Hoja de problemas 3. Derivadas

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA – 2014/2015
Hoja de problemas 3. Derivadas
3-1. Halla los puntos donde las siguientes funciones tienen tangente horizontal.
a) f (x) = x3 + 1 b) f (x) = 1/x2
c) f (x) = x + sen x
√
d) f (x) = x − 1 e) f (x) = ex − x f) f (x) = sen x + cos x.
Sol. La recta tangente tiene pendiente horizontal en puntos c donde f 0 (c) = 0.
a) x = 0; b) En ningún punto; c) En puntos c = (2k + 1)π, k entero; d) En ningún punto; e) En c = 0; f) En
puntos c = (k + 1/4)π, k entero.
3-2. (*) Halla las derivadas de las siguientes funciones: √
x x2 − 1
a) f (x) = sen x + tan 3x sen 2x
b) f (x) =
2x + 6
3/2
c) f (x) = 4x cos 2x
d) f (x) = 5x ln(8x + sen 2x) + etan 5x .
√
e) f (x) = xsen x
f) g(x) = ( x)x .
Sol. a) cos x + 3(1 + 3 tan2 3x) sin 2x + 2 tan 3x cos 2x;
2
x3 +6x√
−3
b) 2(x+3)
;
2 x2 −1
√
c) 6 x cos 2x − 8x3/2 sin 2x;
4+cos 2x
2
tan 5x
d) 5 ln (8x + sin 2x) + 10x 8x+sin
;
2x + 5(1 + tan 5x)e
sin x
sin x
e) x
(ln x cos x + x );
√ x
f) 12 ( x) (1 + ln x).
3-3. (*) Sea f (x) = 2[ln(1 + g 2 (x))]2 . Sabiendo que g(1) = g 0 (1) = −1, calcula f 0 (1).
Sol. f 0 (1) = 4 ln 2.
3-4. Sean f (x) = ln(1 + x2 ) y g(x) = e2x + e3x . Calcula (f ◦ g)0 (0) y (g ◦ f )0 (0).
Sol. (f ◦ g)0 (0) = 4 y (g ◦ f )0 (0) = 0.
3-5. (*) Calcula la derivada de las siguientes funciones indicando dónde no son derivables.

(
si x ≤ −2

2
 1/|x|
x − 1 si x ≤ 0
(x + 2)2
si − 2 < x ≤ 0
a) f (x) =
b) g(x) =

0
si x > 0

π
3 + sen (x + 2 ) si x > 0
Sol. a) f es derivable en R − {0} pero no en 0 dado que f no es continua en 0. La derivada es f 0 (x) = 2x if
x < 0, f 0 (x) = 0 if x > 0;
b) g es derivable en R − {−2, 0} pero no en −2 dado que no es continua en este punto, y tampoco es derivable
en 0;
3-6. (*) Halla a y b para que la función f (x) =
3x + 2
si x ≥ 1
sea derivable en todo R.
2
ax + bx − 1 si x < 1
Sol. a = −3 and b = 9;
3-7. (*) Sea f (x) = x3 − 3x + 3, donde f : [−3, 2] → R. Determinar los extremos globales de f .
Sol. −3 mı́nimo global y−1, 2 máximos globales;
1
2
√
3
3-8. Sea f (x) = −2x + 3 x2 , donde f : [−1/8, 27/8] → R. Determinar los extremos globales de f .
Sol. 0, 27/8 mı́nimos globales y −1/8, 1 máximos globales;
3-9. (*) Determina los extremos locales de las siguientes funciones:
a) f (x) = x4 − 4x3 + 2; b) g(x) = x2 (2 − x)3 ; c) h(x) = sen x − x;
√
x
d)j(x) = x + x4 ;
f) l(x) = x−1
e) k(x) = x2 + 1;
.
Sol. a) 3 mı́nimo local;
b) 0 mı́nimo local y 4/5 máximo local;
c) No tiene extremos locales.
d) −2 máximo local y 2 mı́nimo local;
e) 0 mı́nimo local (y global);
f) No tiene extremos locales.
3-10. (*) Evalúa los siguientes lı́mites utilizando la regla de L’Hopital:
a) limx→∞
d) limx→0
2x+1
;
4x2 +x
ex −(1−x)
;
x
b) limx→0
e) limx→∞
ln (sen αx)
ln (sen βx) ;
ln
√x ;
x
√
c) limx→1
2−x−x
x−1
;
f) limx→0 (1 + x)1/x .
Sol. a) 0; b) 1; c) −3/2; d) 2; e) 0; f) e.
3-11. (*) Mediante la aproximación lineal f (c
+ h) ≈ f (c) + hf 0 (c) y eligiendo valores a decuados de c, h,
√
3
encontrar el valor aproximado de (a) 1.01 y (b) sin 31o .
Sol. (a) 1.0033; (b) 0.5151.
3-12. (*) Calcular los intervalos de monotonı́a de las fucniones (a) f (x) =
para x > 0, donde m, n son enteros positivos.
2x
1+x2
and (b) g(x) = xn e−mx ,
Sol. (a) Creciente en (−1, 1), decreciente en (−∞, −1) ∪ (1, ∞);
(b) La derivada es g 0 (x) = e−mx xn−1 (n − mx). Dado que x 6= 0 y que la exponencial nunca se anula, g es
creciente en (0, n/m) y decreciente en (n/m, ∞).
3-13. (*) Calcular los intervalos de concavidad/convexidad, ası́ como los puntos de inflexión de las funciones (a) f (x) = 1 + x2 − 12 x4 y (b) g(x) = xn e−mx , para x > 0, donde m, n son enteros positivos.
√
√
√
√
Sol. (a) Cóncava en (−∞, −1/ 3) y en (1/ 3, ∞), convexa en (−1/ 3, 1/ 3);
(b) La segunda derivada es g 00 (x) = e−mx xn−2 (n(n − 1) − 2mnx + m2 x2 ). Dado que e−mx xn−2 > 0, el signo
de g 00 depende
de la parábola convexa n(n − 1) − 2mnx + m2 x2 (notar que m2 > 0). Los ceros de la parábola
√
√
n± n
son m ≥ 0, luego g es convexa en los intervalos (0, (n − n)/m) (para n > 1, si n = 1 el intervalo es
√
√
√
vacı́o) y ((n + n)/m, ∞), y g es cóncava en ((n − n)/m, (n + n)/m).
3-14. (*) Una empresa monopolista produce un bien en cantidad x ≥ 0. El coste total de producir x
unidades viene dado por la función C(x). El precio unitario de mercado está dado por la función
p(x) (función inversa de la demanda). Suponemos que todas las funciones son derivables. Suponemos
que el monopolista desea maximizar beneficios.
(a) Construya la función de beneficios de la empresa.
(b) Muestre que la cantidad óptima a producir por la empresa, si existe y es positiva, es punto de
intersección del coste marginal y del ingreso marginal.
(c) Escriba las condiciones suficientes para que un punto crı́tico de la función de beneficios sea un
máximo local. ¿Qué condiciones garantizan que dicho punto crı́tico es máximo global?
(d) Suponga que en x1 > 0 (x2 > 0) el ingreso marginal es mayor (menor) que el coste marginal.
¿Qué conviene hacer, aumentar, disminuir o mantener el nivel de producción en x1 (x2 )?
3
(e) Suponga C(x) = x2 − 10x − α, donde α > 0 y p(x) = 100 − x2 . Resuelva el problema del
monopolista y obtenga el beneficio máximo si α = 200.
(f) Se define el coste medio como Cm (x) = C(x)
x . Con las funciones del apartado anterior, halle el
coste fijo α tal que la cantidad del bien que hace mı́nimo el coste medio coincida con la que
maximiza el beneficio.
Sol. (a) B(x) = xp(x) − C(x), donde I(x) = xp(x) es el ingreso;
(b) Si un máximo x0 existe, entonces es punto crı́tico, es decir, B 0 (x0 ) = 0 o I 0 (x0 ) = C 0 (x0 );
(c) Si x0 es punto crı́tico, entonces B 00 (x0 ) < 0 garantiza que es un máximo local, es decir, I 00 (x0 ) < C 00 (x0 ).
Es máximo global si B es cóncava, es decir si I 00 (x) < C 00 (x) para todo x > 0;
(d) Un nivel de producción donde el coste marginal es mayor que el ingreso marginal no puede ser óptimo y
conviene disminuir la producción para aumentar los beneficios;
(e) B es cóncava, x0 = 30 y B(x0 ) = 1550 u.m.:
−1
0
−2
(d) Cm
√(x) = x + 10 + αx . Cm (x) = 1 − αx . Luego el mı́nimo de Cm (es una función convexa) es
xm = α. Luego x0 = xm sii α = 900.