calibración del factor de fricción y detección de fugas en una

CALIBRACIÓN DEL FACTOR DE FRICCIÓN Y DETECCIÓN DE FUGAS EN UNA RED CERRADA DE
TUBERÍAS DE AGUA POTABLE
Óscar A. Fuentes Mariles
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria, Coyoacán, 04510, México D.F., México, ofm@pumas.iingen.unam.mx
Adriana Palma Nava
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria, Coyoacán, 04510, México D.F., México, apn@pumas.iingen.unam.mx
Guadalupe E. Fuentes Mariles
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
Ciudad Universitaria, Coyoacán, 04510, México D.F., México, gfm@pumas.iingen.unam.mx
RESUMEN
agua es imperioso disminuir las cantidades de agua que se
pierden por este concepto.
Las fugas en las redes de distribución de agua potable producen
desperdicio de agua, reducen la eficiencia de las redes y
generan una pérdida económica a los organismos operadores
del sistema de distribución de este tipo de líquido. La detección
de fugas en una red de tuberías es complicada ya que en su
mayoría no se encuentran visibles. Para reducirlas es necesario
contar con procedimientos e instrumentos especiales para
localizarlas y eliminarlas. En este artículo se expone un método
para detectar fugas a lo largo de las tuberías, además de realizar
una estimación del factor de fricción (calibración). Con él se
determina el caudal de las mismas y la posición donde ocurren
en las tuberías de una red cerrada, además del factor de fricción
para cada tubería, considerando la fuga.
Si bien, en las redes de agua potable no se puede evitar que
existan fugas, es necesario llevar a cabo acciones permanentes
encaminadas a disminuir el número de fugas y los caudales de
las mismas. Una de las complicaciones de la detección de fugas
es que la mayoría de éstas no se encuentran visibles, por tanto
para reducirlas es necesario contar con alguna herramienta que
permita estimar su localización, así como sus caudales.
Se considera que la red funciona en flujo permanente a presión
y que sólo existe una fuga por cada tubería de la red. El
procedimiento propuesto se basa en las mediciones de la
presión en la unión de las tuberías, el conocimiento del
diámetro y longitud de las tuberías de la red y la estimación de
las demandas de caudal. Se emplea la teoría de la computación
evolutiva, en particular, un algoritmo genético simple, como
mecanismo de búsqueda de la solución óptima.
Palabras Claves: fugas, caudales de fuga, detección de fugas,
calibración, factor de fricción, rugosidad, algoritmos genéticos.
1. INTRODUCCIÓN
En los sistemas de conducción de agua a presión es común que
se presenten fugas de este líquido. Las fugas pueden deberse al
agrietamiento transversal, aplastamiento o agrietamiento
longitudinal de las tuberías, la corrosión, el mal junteo de los
tubos o la falla de las válvulas que pueden incrementar las fugas
en una red.
En algunos países, las fugas de los sistemas de abastecimiento
de agua llegan a ser del 50% de la cantidad requerida por los
habitantes para satisfacer sus necesidades hídricas; esto implica
pérdidas económicas de importancia y un mal aprovechamiento
de los recursos naturales. En Malasia el porcentaje de las fugas
es del orden del 40%, en Brasil y Suecia del 25%, y en México
39% [1]. En las ciudades donde es escasa la disponibilidad de
Las mediciones de gasto en una red de tuberías de agua potable
son complicadas de realizar, mientras que las mediciones de
presión son menos difíciles y económicas por lo que el método
propuesto se apoya en las mediciones de las cargas de presión
en los sitios donde se unen dos o más tuberías (nudos de cruce),
además de las características de la red (diámetro, longitud,
material, etc.) y los gastos de demanda.
Un aspecto muy importante con respecto a las características de
la red es el factor de rugosidad interno o bien el factor de
fricción, ya que en los casos en que las tuberías ya son viejas,
éste se incrementa. En la simulación numérica del flujo en redes
es importante tener el valor aproximado de éste, ya que la
variación del mismo afecta los cálculos obtenidos.
Las pérdidas de carga en las tuberías con flujo a presión ocurren
por el efecto del rozamiento del fluido con las paredes internas
del conducto. Ellas determinan los caudales que circulan en la
tubería en función de la diferencia de cargas piezométricas en
sus extremos y en las redes condicionan la distribución del agua
entre las conducciones que la componen. En la determinación
de la pérdida de carga es muy importante estimar el factor de
fricción de Darcy-Weisbach, el cual, en este trabajo se presenta
una forma de obtener una aproximación de su valor.
La solución óptima del sistema de ecuaciones que se genera al
establecer la representación matemática del funcionamiento
hidráulico de la red se obtiene mediante la aplicación de un
algoritmo genético, los cuales en los últimos años se han
utilizado ampliamente en varios campos de la ciencia.
Para estimar la bondad del método propuesto para detectar
fugas en redes de tuberías y su calibración, se realizaron
pruebas sobre un caso sintético, en una red pequeña. Con los
datos sintéticos se realizó la estimación de fugas y el factor de
fricción, obteniendo buenos resultados.
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
donde C está dada como
Considérese la red de tuberías cerrada de la figura 1. Se han
numerado los nudos y las tuberías, distinguiendo a estos últimos
con números encerrados en un círculo. También aparecen con
flechas los gastos (q) que egresan (gastos de demanda) de (o
ingresan a la red por ejemplo, desde algún pozo) la red, los gastos
(Q) que fluyen en las tuberías (se han supuesto los sentidos del
flujo del gasto) y los caudales de las fugas (Qf). Se considera que
está red tiene dos fugas, la primera, a una distancia L1 en el tubo 1
y otra, a la distancia L2 en la tubería 4. Las dos distancias son
desconocidas (pero la longitud de la tubería no) y se encuentran
marcadas en la figura. El tramo del nudo 1 al nudo de la fuga 1,
se ha representado como la tubería 1’ y el tramo del nudo de la
fuga 1 al nudo dos como tubería 1; se hace la misma
consideración para la otra fuga. Se conocen las cargas de presión
en los nudos del 1 al 5, los diámetros de las tuberías, la longitud
de las tuberías, los gastos de demanda en los nudos y el gasto que
ingresa a la red (Q6).
C = 0.0826
f L
d5
Al expresar estas ecuaciones (1) en función de la carga de
presión, se tiene
(
)1/ 2 − k 2 (h1 − h3 )1/ 2 + q 6 = q1
k1 (h f 1 − h2 )1 / 2 − k 3 (h2 − h3 )1 / 2 − k 4 (h2 − h f 2 )1 / 2 = q 2
− k1 h1 − h f 1
k 2 (h1 − h3 )1 / 2 + k 3 (h2 − h3 )1 / 2 − k 5 (h3 − h4 )1 / 2 = q 3
(
)1/ 2 = q 4
k 5 (h3 − h4 )1 / 2 + k 4 h f 2 − h4
donde
ki
[2]
es un coeficiente donde están incluidas la longitud, el
diámetro, la aceleración de la gravedad y el factor de fricción de
cada tubería. Se sabe que
1
C
k=
1/ 2
En el sitio donde se juntan varias tuberías se establece que la
suma de los gastos que llegan a él es igual a la suma de los gastos
que salen del mismo. Así, al aplicar el principio de continuidad en
los nudos 1 al 4 y en los nudos de fuga, se establece el sistema de
ecuaciones siguiente
La fórmula de Swamme y Jain es
0.25
f =
ε
5.74
log
+ 0.9
3.71d ℜ
−Q1'− Q2 + Q6 = q1
Q1 − Q3 − Q4 = −q 2
[1]
Q2 + Q3 − Q5 = q3
Q5 + Q4'= q 4
Donde
ε
2
es la rugosidad
De tal forma, el sistema de ecuaciones 2 se puede escribir así:
En los métodos de redes se emplea la ecuación de DarcyWeibach
hf = f
fL
d5
El factor de fricción f determina la influencia que tiene la
rugosidad de las paredes de la tubería sobre las pérdidas de carga;
así como la corrección de éstas al aplicarse a flujos totalmente
turbulentos. En este trabajo se empleó la fórmula de Swamme y
Jain (1976) para determinarlo de acuerdo con el número de
Reynolds y la rugosidad de tubería.
Figura 1.Red de tuberías
2
C = 0.0826
y
2
2
2
LV
LV A
L Q
= f
= f
2
d 2g
d 2g A
d 2 gA2
si se usa el sistema internacional de unidades
fL
h f = 0.0826 5 Q 2
d
que puede ser escrita de la siguiente manera:
h f = CQ 2
β1
L1'
β1
L1 − L1'
12
12
(h1 − h f 1 )1 / 2 −
(h f 1 − h2 )1 / 2 −
β5
L5
12
β3
12
L3
(h3 − h4 )1 / 2 +
β2
12
L2
(h1 − h3 )1 / 2 = q1 − q6
(h2 − h3 )1 / 2 −
β4
L4 − L4'
β4
L4'
12
(h2 − h f 2 )1 / 2 = q2
[3]
(h f 2 − h4 )1 / 2 = q4
donde
βi =
d5
0.0826 f i
Finalmente, para el ejemplo mostrado en la figura 1, se tiene un
sistema de tres ecuaciones no lineales con once incógnitas, las
longitudes a partir del primer nudo, en sentido del flujo, donde se
encuentra la fuga, las cargas en estos puntos, que permiten
obtener el caudal y los factores de fricción de cada tramo de
tubería. Para resolver este sistema de ecuaciones de manera que
las cargas de presión sean parecidas a las medidas se propone en
este trabajo emplear un algoritmo genético simple, ya que un
método robusto y muy eficiente para esta clase de problemas
matemáticos.
soluciones (individuo) depende del número de
tuberías con fuga de la red y la longitud del
cromosoma del individuo está en función del número
de variables y del valor de la precisión para cada una.
Para el ejemplo que se muestra en este trabajo se
tienen 2 tuberías con fuga y como variables se
establecieron las cargas de presión, la longitud donde
se presenta la fuga a partir del nudo de cruce y el
factor de fricción de la tubería, en el caso de
presentarse una fuga, se considera que se tienen dos
tramos y para cada uno un factor de fricción.
3. ALGORITMOS GENÉTICOS
El objetivo de las técnicas de optimación es encontrar el óptimo
global (o los óptimos globales) de una función.
Desgraciadamente, sólo en algunos casos limitados, puede
garantizarse convergencia hacia el óptimo global. De hecho, la
mayoría de las técnicas usadas para optimación localizan
óptimos locales, pero no puede garantizarse convergencia al
óptimo global a menos que se usen técnicas exhaustivas o que
se consideren tiempos excesivos de cálculo.
El gran campo de aplicación de los AG’s se relaciona con
aquellos problemas para los cuales no existen técnicas
especializadas [12].
Los algoritmos genéticos, inspirados en la selección natural y la
genética, son técnicas de optimación que tienen la ventaja de
realizar la búsqueda sobre un conjunto de posibles alternativas
simultáneamente (sobre una población), y no a partir de un solo
punto, lo cual reduce la posibilidad de converger a un óptimo
local. Estos algoritmos parten de una población de soluciones
generadas, inicialmente, en forma aleatoria, las cuales se van
adaptando al problema (mejorando) a través de las generaciones
mediante la selección de las más aptas y la aplicación de
operadores genéticos como son cruza y mutación sobre estas
soluciones. De esta manera se crea una nueva generación con
tendencias a moverse hacia el óptimo al paso del tiempo
(generaciones).
Los algoritmos genéticos son procedimientos adaptativos
(basados en sistemas de analogías con el funcionamiento de la
naturaleza y la evolución de la misma) que pueden usarse para
resolver problema de optimación, búsqueda y clasificación
dentro de los cuales tenemos sistemas de ecuaciones no
lineales. Es una técnica robusta basada en el proceso genético
de los organismos vivos.
En los AG’s se necesita una codificación de cada una de las
posibles soluciones (individuos). Además, se requiere de una
función de evaluación de aptitud, que asigna un valor de calidad
a cada solución. Durante la ejecución del algoritmo, los padres
deben ser seleccionados para la reproducción; luego, dichos
padres se cruzarán para generar hijos, sobre cada uno de los
cuales actuará el operador de mutación. Como resultado, los
hijos forman un conjunto de individuos más apto (valores más
cercanos a la solución del problema), que constituyen la
población de la siguiente generación.
Los principios básicos de los AG’s fueron establecidos por
Holland en 1975 [3]. Si bien, es difícil garantizar que con este
algoritmo se encuentre la solución del problema, existe
evidencia empírica de que se obtienen soluciones aceptables, en
un tiempo de cómputo relativamente corto.
Para resolver el sistema no lineal (ecuaciones 3), se plantea un
algoritmo general simple, de la siguiente manera:
•
Población de soluciones. El algoritmo genera de
forma aleatoria un conjunto de soluciones del
problema que serán evaluadas. Cada una de las
•
Asignación de una calificación a cada individuo. Se
establece una función objetivo que se denomina de
aptitud, para asignar a cada una de las soluciones una
calificación. En este caso se empleó la siguiente:
Fa =
•
q medido − q estimado
Mezclado de las mejores soluciones para generar
otras que en promedio sean superiores. Una vez que
se estimó la aptitud de cada individuo de la población,
se seleccionan parejas para llevar a cabo la cruza y
generar otra población (generación), la cual se
evaluará nuevamente. El método de selección para la
cruza empleado fue el de ruleta [14], con un valor de
0.6 de cruza y de 0.01 de mutación.
El método es general y capaz de ser aplicado a distintos tipos de
problemas de optimación, con la ventaja de que son fáciles de
plantear y sencillos de codificar en la computadora.
Se utilizó el algoritmo genético simple implantado en Matlab
(MathWorks,1992) con algunas modificaciones en los archivos
de ejecución. En la aplicación del algoritmo genético simple se
utilizaron, en cada corrida 300 generaciones (iteraciones) y el
número de individuos elegido fue de 4000, ya que para estos
valores los resultados obtenidos se aproximaban a la solución
buscada.
Una vez obtenida una solución óptima estableciendo que en la
red, en cada tubería puede existir sólo una fuga, con los datos
respecto a posición de fuga, carga de presión en el nudo de fuga
o caudal de la misma y factor de fricción, se realiza el cálculo
hidráulico de la red, para comparar la diferencia entre los datos
encontrados con el algoritmo genético y la modelación
numérica de la red.
En el método se establecieron las siguientes hipótesis:
a) El número de fugas por tubo es uno
b) Se cuenta con mediciones de la carga de presión en varios
nudos de la red de tuberías (nudos de cruce).
c) Se conocen los gastos de demanda y el gasto total que se
ingresa a la red de tuberías.
d) Se conoce la longitud y diámetro de cada tubo de red
f) El flujo en la red es permanente
4. RESULTADOS
En la tabla 1, se muestran las características de la red mostrada
en la figura 1. En la tabla 2 se muestran los resultados obtenidos
para una primera evaluación.
El procedimiento se realizó en etapas, ya que como primera
búsqueda se establecieron fronteras muy distantes, es decir, por
ejemplo para la posición de la primera fuga se estableció un
espacio de búsqueda a partir de los 50 metros de distancia del
primer nudo, y con un intervalo de 50 m, esto es, las posiciones
posibles eran 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350 y 400.
Para el caso de las cargas de presión, el incremento o precisión
era de 0.001m, dentro del intervalo de la cargas entre los nudos
donde se presenta la fuga, por ejemplo, para la segunda fuga la
búsqueda era entre 59.357 y 76.825 m, que son lo valores de
carga de presión de los nudos 2 y 4.
Para el factor de fricción el intervalo de búsqueda para
una primera estimación se definió entre 0.02 y 0.023, en
intervalos de 0.001, definidos éstos de acuerdo a las
características de la red sin fuga (número de Reynolds y
rugosidad para el material).
Tabla 1 Características de la red
Tubería
Diámetro
(pulgadas)
Factor de
fricción
1’
1
2
3
4’
4
5
6
8
8
8
6
6
6
4
8
.02
.02
.02
.02
.02
.02
.02
.02
Nudos (extremos de
tubería)
Del
Al
1
1’
1’
2
1
3
2
3
2
4’
4’
4
3
4
1
7
Longitud
(m)
100
300
300
500
200
100
400
200
Tabla 2 Resultado del cálculo hidráulico de la red con fugas.
Datos sintéticos.
Nudo
1
1’
2
3
4’
4
5
Carga
(Datos sintéticos)
(m)
Gasto
demanda
(l/s)
81.301
25.00
79.819
10.00 (fuga)
76.825
-20.00
76.276
50.00
63.135
15. 00 (fuga)
59.357
60.00
100.00
140.00
Resultado
con AG’s
Carga (m)
Resultado con
AG’s
Posición (m)
79.741
100
63.778
200
Tabla 2 Continuación.
Nudo
1
1’
2
3
4’
4
5
Resultado con AG’s
f
Carga
calculada
(m)
0.021
81.301
0.02
79.730
0.021
76.698
0.022
76.072
0.02
62.941
0.023
58.571
0.021
100.00
Error
%
0
1.74
2.83
4.06
3.68
4.49
16.8
Con este primer intento, se aprecia que el valor del factor de
fricción presenta una gran variación y las cargas de presión
estimadas presentan todavía un error considerable, sobre todo al
valuar hidráulicamente la solución propuesta. Esta solución, de
acuerdo a las cargas de presión calculadas con AG’s, da un
caudal de fuga de 9.98 l, con la posición y los factores de
fricción, se realiza el cálculo hidráulico de la red bajo estas
condiciones, obteniendo las cargas de presión para cada nudo,
tal como se muestra en la penúltima columna de la tabla 2. Con
estos cálculos se obtiene el error para las cargas de presión, que
es la diferencia entre “medidas” (caso sintético) y calculadas.
En un caso práctico no se tendría una observación de la carga
de presión en donde se presenta la fuga, pero la finalidad en
este caso es valuar la robustez del método y determinar la
factibilidad de emplearlo en una red real, por lo que sí se han
considerado para valuar el error.
Al analizar estos resultados, el espacio de búsqueda o bien
precisión de la variable para el algoritmo genético se redujo con
la finalidad que en la nueva búsqueda del mejor individuo se
probaran mejores soluciones. Se realizaron dos pruebas más
obteniendo los resultados mostrados en la tabla 3. En el resto de
las soluciones las posiciones de las fugas daba en el valor
correcto, es decir, a 100 y 200 m, para la fuga 1 y fuga 2,
respectivamente, por lo que es esta tabla se omite este resultado.
En estos resultados se puede apreciar que aunque la búsqueda
se acote, o bien el espacio se reduzca, la robustez de los AG’s
es muy buena, ya que se gana poco en errores, aunque desde el
concepto del funcionamiento hidráulico, éstas son mejores
soluciones.
Para una tercer corrida, ver tabla 3, la diferencia entre cargas ya
es muy pequeña y logra ubicar la fuga, el caudal y los factores
de fricción de forma muy aproximada, concluyendo que este
error es aceptable.
Esta insensibilidad también puede explicarse porque los gastos
en la red son muy pequeños y la diferencia entre los factores de
fricción y cargas de presión no generan un cambio significativo
en los caudales de fuga.
Tabla 3 Resultado del cálculo hidráulico de las soluciones
propuesta por los AG’s
Nudo
Carga
real
(m)
1
1’
2
3
4’
4
5
81.301
79.819
76.825
76.276
63.135
59.357
100.00
Resultado 2
con AG’s
Carga (m)
79.6682
63.5077
Resultado 2
con AG’s
f
Carga
calculada
(ms)
0.0207
81.301
0.02
79.752
0.021
76.721
0.02
76.074
0.0213
62.320
0.021
58.418
0.02
100
Tabla 3 Continuación
Error
%
0
3.37
2.32
4.01
2.13
5.38
17.2
Nudo
1
1’
2
3
4’
4
5
Resultado 3 con
AG’s
Carga (m)
79.7406
63.32
Carga
calculada
(ms)
Error
%
0.021
81.301
0.02
79.730
0.021
76.703
0
0.25
2.72
4.01
0
0.79
Resultado 3 con
AG’s
f
0.02
76.07
0.021
62.471
0.021
58.557
100.00
0.02
7.77
5. COMENTARIOS Y CONCLUSIONES
Con este trabajo y otros similares se ha podido verificar la
bondad de los algoritmos genéticos como una herramienta para
la para obtener o acercarse al óptimo global en problemas de
optimación.
Los resultados son útiles para detectar las tuberías con fugas y
una buena aproximación al factor de fricción y por tanto a la
determinación del factor de rugosidad, aunque se debe
continuar con este tema para mejorar sus estimaciones y que
algunas imprecisiones en las mediciones de las cargas de
presión puedan manipularse para que no tengan una influencia
importante en los resultados.
En el Instituto de Ingeniería se cuenta con una red
experimental, se pretende seguir este estudio para verificar los
resultados obtenidos con los datos sintéticos, y definir la
factibilidad de su aplicación a casos prácticos.
REFERENCIAS
[1] Arreguín F., Ochoa L., Fernández A. (1997), Evaluación de
pérdidas en redes de distribución de agua, TLALOC-AMH,
Órgano informativo de la Asociación Mexicana de Hidráulica
(AMH), No.10.
[2] Sánchez J., Fuentes O. (1996), Método para detectar fugas
mayores en una red de agua potable, Ingeniería del agua, Vol.3,
No. 1.
[3] Holland, J.H. (1975), Adaptation in Natural and Artificial
Systems, University of Michigan Press
[4] Sánchez J., Fuentes O. (1991), Actualización de un método
para calcular redes de tuberías funcionando a presión en régimen
permanente, Revista de Ingeniería, Vol. LXI, México D. F.
[5] López A., Vela F., Iglesias P. (1995), Análisis de seguridad
en abastecimientos y su aplicación a la detección de fugas,
Ingeniería del agua, Vol. 2, Num. 3.
[6] Pudar S., Ligget A.(1992), Leaks in Pipe Networks, Journal of
Hydraulics Engineering, ASCE, Vol. 118, No. 7.
[7] Sánchez B., Fuentes M. (1996), Método para detectar fugas
mayores en una red de agua potable, Revista Ingeniería del Agua,
Universidad Politécnica de Valencia, España, Vol. 3, No. 1, marzo
1996, ISNN 1134-2196.
[8] Vela A., Martínez F., García-Serra J., Pérez R. (1994),
Estrategias óptimas para la reducción de pérdidas de agua en
sistemas de abastecimiento, Ingeniería del Agua, Vol. 1, No. 1,
Valencia, España.
[9] Vítovský, J. and Simpson, A. (2000). Leak detection and
calibration using transients and genetic algorithms. Journal of
Water Resources Planning and Management, Vol. 126, No.4. pp
262-265.
[10] Luvizotto, E. y Ocampos, A. (2002). Compando os métodos
de Levembenvereg e Nelder-Mead em modelos de deteccao de
fuga, Seminario Hispano-Brasileiro sobre planificación, proyecto y
operación de redes de abastecimiento de agua. Valencia, España.
Págs. 451-463.
[11] Fuentes M. O.A., Rodríguez V. K., Jímenez M. M. R., y De
Luna C. F., Vega S. B. E. (2004), Método para la detección de
fugas en redes de distribución de agua potable, Memorias del 3er
Seminario Hispano-Brasileño sobre Planificación, Proyecto y
Operación de redes de abastecimiento de agua, Universidad
Politécnica de Valencia, España.
[12] Rodríguez V. K., Jiménez M. M. R., Fuentes M. O. A. (2004),
Los algoritmos genéticos en la Ingeniería de los sistemas de
abastecimiento ¿la modelación del futuro de las redes de
distribución?, XVIII Congreso Nacional de Hidráulica, San Luis
Potosí, S. L. P. , México, Tema 11: Agua potable y alcantarillado,
1533.
[13] Fuentes M. O. A., Palma N. A., Rivera T. F. G., Rodríguez V.
K. (2004), Localización de fugas y determinación de sus gastos
en una red de tuberías de agua potable usando un algoritmo
genético, XVIII Congreso Nacional de Hidráulica, San Luis Potosí,
S. L. P., México, Tema 11: Agua potable y alcantarillado, 1557.
[14] Goldberg, D. E. (1989), Genetic algorithms in search,
optimization and machina learning, Addison-Wesley.