DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA 1. (S-97)Hallar el rango de la matriz ⎛1 a ⎜ B=⎜0 1 ⎜1 1 ⎝ −1 ⎞ ⎟ a −1 0 ⎟ a − 1 ⎟⎠ 1 según sea el valor del parámetro a [2,5 puntos] Puesto que el menor 0 1 1 1 = −1 ≠ 0 ⇒ rg B ≥ 2 1 a 1 0 1 a − 1 = a + a 2 − a − 1 − a + 1 = a 2 − a = a(a − 1) 1 1 a ⎧a = 0 a(a − 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎩a = 1 1) Para a 0 y a 1 2) Para a=0 r(B)=3 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ r(B) = 2 ⎛ 1 0 1 -1 ⎞ ⎛ 1 0 1 -1 ⎞ ⎛ 1 0 1 -1 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 0 1 -1 0 ⎟ → ⎜ 0 1 -1 0 ⎟ → ⎜ 0 1 -1 0 ⎟ ⎪ ↓ ↓ ⎜ 1 1 0 -1 ⎟ −F1 +F3 →F3 ⎜ 0 1 -1 0 ⎟ −F2 +F3 →F3 ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎛ 1 0 1 -1 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 0 1 -1 0 ⎟ ⎜ 1 1 0 -1 ⎟ ⎝ ⎠ 3) Para a=1 ⎛ 1 1 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 1 0 0 ⎟ ⎜ 1 1 1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ Las dos primeras columnas son independientes, la 3ª es igual a la 1ª y la 4ª es proporcional a la 1ª r(B)=2 Otra explicación más sencilla: la tercera columna es igual a la primera r(B)=2 ⎛1 0 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 2. (S-99)Hallar en función de a el rango de la matriz A = ⎜ 0 a − 3 ⎟ ⎜4 1 a ⎟ ⎝ ⎠ [1,5 puntos] y calcular cuando exista la matriz inversa A-1 en los casos a = 1 y a= -1 [1 punto]. SOLUCIÓN. 1 0 =1≠ 0 ⇒ 4 1 Puesto que el menor El rango de la matriz A es 2, como mínimo. Veamos para qué valores del parámetro a el rango es 3: 1 0 −1 0 a − 3 = a 2 + 4a + 3 4 1 a a 2 + 4a + 3 = 0 ⇒ a = −4 ± 16 − 12 2 −4 ± 2 ⎧ a = −1 =⎨ 2 ⎩a = −3 = Por tanto: • Para a≠-1 y a≠-3 • Para a=-1 o a=-3: rg(A)=2 A −1 existe cuando rg(A)=3 A ≠ 0 (rango máximo). Por tanto, cuando a = −1 , ∃ A −1 . 1 0 −1 ⎛ 1 0 −1 ⎞ ⎛ 4 −12 −4 ⎞ ⎜ ⎟ Para a = 1: A = 0 1 − 3 = 1 + 4 + 3 = 8 .Tenemos A = ⎜ 0 1 − 3 ⎟ → Adj(A) = ⎜⎜ −1 5 −1 ⎟⎟ ⎜4 1 1 ⎟ ⎜1 4 1 1 3 1 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ → Adj ( A ) t ⎛ 1 −1 8 ⎛ 4 −1 1 ⎞ ⎛ 4 −1 1 ⎞ t ⎜ 2 Adj ( A ) 1⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 5 = ⎜ −12 5 3 ⎟ → A −1 = = ⎜ −12 5 3 ⎟ = ⎜ − 3 2 8 ⎜ A 8⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ 1 ⎝ −4 −1 1 ⎠ ⎝ −4 −1 1 ⎠ − −1 2 8 ⎝ 1 ⎞ 8⎟ 3 ⎟ 8⎟ 1 ⎟⎟ 8⎠ Otra forma de calcular la matriz inversa: 11 30 1 0 1 0 4 0 1 1 8 0 0 0 0 4 8 0 12 0 8 4 0 0 1 0 0 1 1 5 1 1 0 0 1 3 1 0 1 1 1 1 3 0 5 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 A-1= 1 1 3 0 8 4 4 12 4 0 1 1 1 1 5 3 1 1 0 0 1 3. (J-00)Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2×2, A, que cumpla las siguientes condiciones: 1) Coincide con su traspuesta. 2) ⎟⎟ A ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ Verifica la ecuación matricial ⎜⎜ ⎝ −1 − 1⎠ ⎝0 1 ⎠ ⎝ 3 Su determinante vale 9. ⎛1 3) SOLUCIÓN 1)Si ⎛x A = At , se dice que A es simétrica ⇒ A = ⎜⎜ ⎝y 1⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ −3 − 3 ⎞ ⎟ 3 ⎟⎠ [2,5 puntos] y⎞ ⎟ t ⎟⎠ 2) ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 − 1⎠ ⎛x ⋅ ⎜⎜ ⎝y y ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x + y y + t ⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎛ x + y − x + t ⎞ ⎛ −3 − 3 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ t ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ − x − y − y − t ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ − x − y x − t ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ − x − 3⎞ ⎧ x + y = −3 ⎧y = −x − 3 ⎛ x ⎟⎟ ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⇒ A = ⎜⎜ ⎩− x + t = −3 ⎩t = x − 3 ⎝− x − 3 t − 3 ⎠ 3) x − x−3 = 9 ⇒ x 2 − 3x − x 2 − 3x − 3x − 9 = 9 ⇒ − 9 x = 18 ⇒ x = −2 − x−3 x−3 Por tanto, la matriz A es: ⎛ − 2 − 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 1 − 5⎠ 4. (S-00)Sea A una matriz 4×4 cuyas filas, de arriba a abajo son F1, F2, F3 y F4 y ⎛0 ⎜ ⎜0 cuyo determinante vale 2. Sea B = ⎜ 0 ⎜ ⎜1 ⎝ 0 1 0⎞ ⎟ 0 0 1⎟ . Calcular razonadamente: 1 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟⎠ a. El determinante de la matriz A B [1 punto] b. El determinante de la matriz 3 A [0,5 puntos] c. El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): 2F1 + F2 , -F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto] SOLUCIÓN. Calculemos el determinante de B: B = 0 0 1 0 0 0 0 1 (1) 0 0 1 ( 2) 0 1 = 1⋅ 0 1 0 = 1⋅ = −1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 (1) y (2): desarrollando por los adjuntos de la primera fila a. A ⋅ B = A ⋅ B = 2 ⋅ (− 1) = −2 b. Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número. En nuestro caso, cada una de las cuatro líneas (filas o columnas) se multiplica por tres, luego el determinante quedará multiplicado por 34: 3 A = 81.2 = 162 c. det(2F1 + F2 , −F2 ,3F4 ,F3 + F1 ) = det(2F, −F2 ,3F4 ,F3 + F1 ) + det(F2 , −F2 ,3F4 ,F3 + F1 ) = 1 & 0 = det(2F1 , −F2 ,3F4 ,F3 ) + det(2F1 , −F2 ,3F4 ,F1 ) = ( −6) det(F1 ,F2 ,F4 ,F3 ) = 6det(F1 ,F2 ,F3 ,F4 ) = 6·2 = 12 & 0 5. (J-01)Tenemos una matriz 3×3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 , C2 , C3 y su determinante vale 2. a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): -C2 , C3+C2 , 3C1 , calcular razonadamente el determinante de la matriz A-1 caso de que esta matriz inversa exista [1,5 puntos]. b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son: C1+C2 , C2+C3 , C3-C1. Razonar la existencia o no existencia de la matriz inversa de la misma [1 punto] SOLUCIÓN. Sea B=det(C1, C2, C3) =2 a) det(A) = det( −C2 ,C3 + C2 ,3C1 ) = det( −C2 ,C3 ,3C1 ) + det( −C2 ,C2 ,3C1 ) = −3det(C2 ,C3 ,C1 ) = 3det(C1 ,C3 ,C2 ) = = −3det(C1 ,C2 ,C3 ) = −6 Como A ⋅ A−1 = I ⇒ A ⋅ A−1 = A ⋅ A−1 = I = 1 ⇒ A−1 = b) La primera columna C1 + C 2 = C 2 + C3 − C3 + C1 es la diferencia 1 A de = 1 6 la A −1 = segunda 1 1 =− A 6 y la tercera: por lo que el determinante de la matriz será 0 al ser una columna combinación lineal de las otras ⇒ La matriz no tiene inversa. 6. (S-02)Sean A y B las matrices siguientes: ⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 0⎟ ⎜1 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 1 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ Es fácil comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En concreto, estudia el rango de la matriz A + B según los valores del parámetro . [2,5 puntos] SOLUCIÓN. ⎛1 ⎜ A + λB=⎜ λ ⎜1 ⎝ λ 2+λ 1 1+ λ⎞ ⎟ 0 ⎟ . Veamos para qué valores de λ el rango es máximo, es decir 2λ ⎟⎠ 3: 1 1+λ λ 0 = 4λ + 2λ2 + λ + λ2 − 2 − 2λ − λ − λ2 − 2λ3 = −2λ3 + 2λ2 + 2λ − 2 = −2 ⋅ λ3 − λ2 − λ + 1 ⇒ λ 2+λ 1 1 2λ ⇒ ( λ3 − λ2 − λ + 1 = 0 ⇒ ( λ − 1) ⋅ ( λ + 1) = 0 2 ⇒ ) ⎪⎧λ = 1 ⎨ ⎪⎩λ = −1 Se tiene: Para λ ≠ −1 y λ ≠ 1 : Para λ = −1 : A + λ B ≠ 0 ⇒ rg (A + λ B) = 3 ⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A + λB = A − B = ⎜ −1 1 0 ⎟ ⇒ rg (A + λ B ) = 2 ⎜ 1 1 − 2 ⎟⎠ ⎝ pues el menor −1 1 = −2 ≠ 0 1 1 Para λ = 1 : ⎛1 1 2 ⎞ ⎜ ⎟ A + λ B = A + B = ⎜ 1 3 0 ⎟ ⇒ rg (A + λ B ) = 2 pues el menor ⎜1 1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 =2≠0 1 3 ⎛ a 2 ab ab ⎞ ⎜ ⎟ 7. (J-06)Sea la matriz A = ⎜ ab a 2 b 2 ⎟ ⎜⎜ ⎟ ab b 2 a 2 ⎟ ⎝ ⎠ a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. [1,5 puntos] b) Estudiar el rango de A en el caso en que b = −a . [1 punto] SOLUCIÓN. a) a 2 ab ab (1) a ab ab ( 2) 1 b 2 2 2 2 2 ab a b = a b a b = a b a2 ab b 2 a 2 b b2 a 2 b b2 ( = a 2 ⋅ a 2 − b2 b ( 3) 1 b 2 2 2 b = a 0 a − b2 a2 0 0 b 0 a 2 − b2 ( 4) = a2 a 2 − b2 0 0 2 a − b2 ) 2 Propiedades aplicadas: columna y en la primera fila. (1) y (2) (3) F2 − b ⋅ F1 sacar factor común a “a” en la primera , F3 − b ⋅ F1 (4) y (5) Desarrollo por los elementos de la primera columna b) Para b = − a , la matriz A es: ⎛ a2 ⎜ ⎜− a2 ⎜⎜ 2 −a ⎝ − a2 a2 a2 − a 2 ⎞⎟ a2 ⎟ ⎟ a2 ⎟ ⎠ linealmente dependientes, el rango de la matriz es 1. y como los tres vectores fila son ( 5) = a 8. (S-06)Teniendo en cuenta que b c r = 7 , calcular el valor del siguiente y z p q x determinante, sin desarrollarlo, 3a 3b 3c a+p b+q c+r [2,5 puntos] −x+a −y+b −z+c SOLUCIÓN. 3a a+p 3b b+q 3c c+r −x+a −y+b −z+c a = 3⋅ a + p b b+q c c+r = −x+a −y+b −z+c ⎛ a b c a b c ⎜ p q r a b c = 3⋅⎜ + ⎜ −x+a −y+b −z+c ⎝ −x+a −y+b −z+c ⎛ a a b c b c ⎜ q r + p q r = 3⋅⎜ p ⎜ a b c x y z − − − ⎝ ⎞ a b c ⎟ = p q r ⎟ = 3⋅ ⎟ −x+a −y+b −z+c ⎠ ⎞ a b c ⎟ ⎟ = −3 ⋅ p q r = −3 ⋅ 7 = −21 ⎟ x y z ⎠ ⎛ 3 1⎞ ⎛1 0⎞ ⎟ , I=⎜ ⎟ ⎝ −8 −3 ⎠ ⎝0 1⎠ 9. (S-07)Dadas las matrices A = ⎜ a. Comprobar que det ( A 2 ) = ( det ( A ) ) b. Estudiar si para cualquier matriz M = ⎜ 2 [0,5 puntos] ⎛a b⎞ ⎟ de orden 2 se cumple que ⎝c d⎠ det ( M 2 ) = ( det ( M ) ) 2 [1 punto] c. Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen: det ( M + I ) = det ( M ) + det ( I ) [1 pto] a) 1 0 ⎫ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 3 1 ⎞ ⎛1 0⎞ 2 A2 = ⎜ = 1⎪ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⇒ det ( A ) = 0 1 2 ⎝ −8 −3 ⎠ ⎝ −8 −3 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎪ 2 ⎬ ⇒ det ( A ) = ( det ( A ) ) 3 1 2 2 = −9 + 8 = −1 ⇒ ( det ( A ) ) = ( −1) = 1 ⎪⎪ det ( A ) = −8 −3 ⎭ ⎛a b⎞ ⎛a b⎞ ⎛ a 2 + bc ab + bd ⎞ b) M 2 = ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ 2 ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ ac + dc bc + d ⎠ ⎫ ⎪ ⎪ 2⎪ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a bc + a d + b c + bcd − a bc − abcd − abcd − bcd = a d + b c − 2abcd = ( ad − bc ) ⎬ ⇒ ⎪ a b 2 2 ⎪ • det ( M ) = = ad − bc ⇒ ( det ( M ) ) = ( ad − bc ) ⎪ c d ⎭ • det ( M 2 ) = a 2 + bc ab + bd = ( a 2 + bc ) ⋅ ( bc + d 2 ) − ( ab + bd ) ⋅ ( ac + dc ) = ac + dc bc + d 2 det ( M 2 ) = ( det ( M ) ) 2 Por otra parte es evidente para cualquier matriz cuadrada de cualquier orden ya que: M = M ⋅ M = M ⋅ M = M 2 según la propiedad de los determinantes que dice que el 2 determinante del producto de dos matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de dichas matrices c) ⎛a b⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a +1 b ⎞ M=⎜ I=⎜ M+I =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ d + 1⎠ ⎝c d⎠ ⎝0 1⎠ ⎝ c det ( M + I ) = ( a + 1) ⋅ ( d + 1) − bc = ad + a + d + 1 − bc ⎪⎫ ⎬ ⇒ ad + a + d + 1 − bc = ad − bc + 1 ⇒ a + d = 0 ⇒ d = −a det ( M ) + det ( I ) = ad − bc + 1 ⎪⎭ ⎛a b ⎞ luego M tiene que ser de la forma: M = ⎜ ⎟ ⎝ c −a ⎠ 10. ⎛0 α β ⎞ ⎛1 k t ⎞ ⎜ ⎟ (S-07)Sean A = ⎜ 0 0 α ⎟ y B = ⎜⎜ 0 1 k ⎟⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a. Estudiar para qué valores de α y β la matriz A tiene inversa. [0,5 puntos] b. Calcular A5. [1 punto] c. Hallar la matriz inversa de B. [1 punto] SOLUCIÓN. a) Puesto que A = 0 ∀ α , β por tener una columna nula ⇒ A no tiene inversa para ningún valor de α y β b) 2 ⎛0 α β ⎞ ⎛0 α β ⎞ ⎛0 0 α ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A2 = ⎜ 0 0 α ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 α ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; ⎛ 0 0 α2 ⎞ ⎛ 0 α β ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A3 = A 2 ⋅ A = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 α ⎟ = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ y, por lo tanto, A 5 es la matriz nula. c) 1 k t B = 0 1 k = 1 ⇒ ∃ B−1 0 0 1 0 0⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ Adj(B) = ⎜ −k 1 0⎟ ⎜ k 2 − t −k 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −k k 2 − t ⎜ t ⎯⎯ → Adj ( B ) = ⎜ 0 1 −k ⎜0 0 1 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ −1 ⎯⎯ → B = Adj ( Bt ) B ⎛ 1 −k k 2 − t ⎜ =⎜ 0 1 −k ⎜0 0 1 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 11. (S-08)a)(1 punto) Probar que 1 a a2 1 b b2 1 c = (b − a ) (c − a ) (c − b) c2 SOLUCIÓN. a) 1 a a2 (4) = 1 b b2 1 c c2 (1) = ( b − a ) (c − a ) 1 a a2 0 b−a b2 − a 2 0 c−a c2 − a 2 1 0 b+a c+ a −b− a (2) = (5) = b−a c−a (b + a) (b − a) (c + a) (c − a) (3) = ( b − a ) (c − a ) (b − a ) (c − a ) (c − b) Propiedades utilizadas:(1) C2 – C1 , C3 – C1 (2) Desarrollo por los adjuntos de la primera fila (3) Sacar factor común en ambas columnas (4) C2 – C1 (5) Desarrollo por los adjuntos de la primera fila 1 1 = b+a c+a 12. (J-09).b)(1 punto) Teniendo en cuenta que 0 del determinante a −1 a −2 0 1 1 1 0 1 = 2 , determina el valor 1 1 0 a a2 0 a a −1 0 SOLUCIÓN. 0 b) a −1 a −2 a 0 a −1 0 a2 1 a = a⋅ a 0 1 a2 1 a 0 1 0 a = a2 ⋅ a 1 1 0 a a2 1 1 0 1 0 1 =a ⋅ ⋅ 1 a 1 1 0 a a 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 =a ⋅ ⋅ ⋅ 1 0 1 =2 a a 1 1 1 0 0 a La propiedad utilizada ha sido la de sacar factor común en alguna de las líneas del determinante. 13. (S-09)b) [1 punto] Calcular, en función de los valores del parámetro k, el ⎛ 1 −2 1 ⎞ ⎟ 1 3⎟ ⎜ 5 −1 k ⎟ ⎝ ⎠ rango de la matriz B = ⎜⎜ 1 SOLUCIÓN. ⎛ 1 −2 1 ⎞ b)Sea B = ⎜⎜ 1 1 3 ⎟⎟ ⎜ 5 −1 k ⎟ ⎝ ⎠ 1 −2 1 1 = 3 ≠ 0 ⇒ rg B ≥ 2 1 −2 1 1 1 3 = k − 1 − 30 − 5 + 3 + 2k = 3k − 33 5 −1 k 3k − 33 = 0 ⇒ k = 11 1)Si k = 11 ⇒ rg B = 2 2)Si k ≠ 11 ⇒ rg B = 3 14. (S-09)a) [1,25 puntos] Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla a b c de Sarrus: −a + c −b − a −c + b a+c b−a c+b SOLUCIÓN. a b −a + c − b − a a+c b−a c −c + b c+b a = F1 + F2 → F2 − F1 + F3 → F3 b c −a c −a c b = 0 porque tiene dos filas iguales b 15. (J-10) a)Estudiar para que valores de a el determinante de la matriz 0 2a ⎞ ⎛ a ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 a − 1 0 ⎟ es no nulo. ⎜ −a 0 −a ⎟⎠ ⎝ Para a = 3 , obtener el determinante de la matriz 2A . (1,5 puntos) SOLUCIÓN. a 0 2a A = 0 a − 1 0 = −a 2 (a − 1) + 2a 2 (a − 1) = a 2 (a − 1)(−1 + 2) = a 2 (a − 1) 0 −a −a ⎧a = 0 a 2 (a − 1) = 0 ⇒ ⎨ ⎩a = 1 Luego el determinante es no nulo para a 0 y a 1 Para a=3 ⎛3 ⎜ A=⎜ 0 ⎜ −3 ⎝ 2A = 8 A 6⎞ ⎟ 0⎟ 0 −3 ⎟⎠ = 8·18 = 144 0 2 ⎛x 16. −2 ⎞ (J-10) a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de ⎜ ⎟ coincide ⎝ 5 −x ⎠ con su opuesta. (1,5 puntos) SOLUCIÓN. ⎛ x −2 ⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 5 −x ⎠ ⎛ −x Calculamos -A = ⎜ ⎝ −5 −1 Calculamos A 2⎞ ⎟ x⎠ A = − x 2 + 10 ⎛ − x −5 ⎞ Adj(A) = ⎜ ⎟ x⎠ ⎝ 2 ⎛ −x 2 ⎞ Adj(A) t = ⎜ ⎟ ⎝ −5 x ⎠ A −1 = . 1 1 Adj(A) t = A 10 − x 2 ⎛ −x ⋅⎜ ⎝ −5 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎛ −x −1 ⎬ ⇒ Si -A = A ⇒ ⎜ ⎝ −5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎞ ⎪ ⎟ ⎪ x ⎠ ⎪⎭ 2⎞ ⎛ −x 1 ⋅ ⎟= 2 ⎜ x ⎠ 10 − x ⎝ −5 2⎞ 2 ⎟ ⇒ 10 − x = 1 ⇒ x = ±3 x⎠ ⎛ cos α senα 0 ⎞ (S-10)Dada la matriz A= ⎜⎜ −senα cos α 0 ⎟⎟ ⎜ 0 0 β ⎟⎠ ⎝ 17. a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea simétrica. ¿Será la matriz B = A AT igual a la matriz identidad en algún caso? (1 punto) b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. (0’75 puntos) SOLUCIÓN. a) Para que A sea simétrica los elementos simétricos respecto de la diagonal principal deben ser iguales. En nuestro caso : sen α=-senα 2senα=0 senα sen0 ⎧α = 0 + 2kπ ⎨ ⎩α = π + 2kπ, k ∈ ] α = kπ, k ∈ ] y ∀β ∈ \ la matriz A es simétrica. ⎛ cos α senα 0 ⎞ ⎛ cos α −senα 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = A·A = ⎜ −senα cos α 0 ⎟ ⎜ senα cos α 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⇒ β 2 = 1 ⇒ β = ±1 ⎜ 0 0 β ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 β ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 β 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎝ t b) cos α senα 0 ⎫ ⎪ 2 2 A = −senα cos α 0 = β cos α + β s en α = β ⎪ ⎪⎪ 0 0 β 2 ⎬⇒ B = A 1 0 0 ⎪ ⎪ B = 0 1 0 = β2 ⎪ 2 0 0 β ⎪⎭ 18. (J-11) a. (1,25 puntos)Estudia para qué valores de α el determinante de la matriz 1 2 ⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ A = ⎜ α + 1 −1 α − 2 ⎟ tiene rango máximo. ⎜ −1 α + 1 2 ⎟⎠ ⎝ b. (1,25 puntos) Siendo A-1 la inversa de ma matriz A, calcular (A-1)2 para α =-1 SOLUCIÓN. a) Como A es una matriz cuadrada, r(A)=·3 0 1 A 0 2 A = α + 1 −1 α − 2 = 2(α + 1) 2 − (α − 2) − 2 − 2(α + 1) = 2α 2 + 4α + 2 − α + 2 − 2 − 2α − 2 = 2α 2 + α 2 −1 α + 1 ⎧α = 0 ⎪ 2α 2 + α = 0 ⇒ α (2α + 1) = 0 ⇒ ⎨ 1 ⎪⎩α = − 2 1 2 Por tanto el rango de A máximo (r(A)=3) α 0 y α − b) Si α =-1 ⎛0 1 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 −1 −3 ⎟ ⎜ −1 0 2 ⎟ ⎝ ⎠ A = 3− 2 =1 ⎛ −2 ⎜ Adj(A) = ⎜ −2 ⎜ −1 ⎝ ⎛ −2 ⎜ Adj(A) t = ⎜ 3 ⎜ −1 ⎝ A −1 3 −1 ⎞ ⎟ 2 −1 ⎟ 0 0 ⎟⎠ −2 −1 ⎞ ⎟ 2 0⎟ −1 0 ⎟⎠ ⎛ − 2 − 2 −1 ⎞ Adj(A) t ⎜ ⎟ 2 0⎟ = =⎜ 3 A ⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ Ahora calculamos (A-1)2 ⎛ −2 −2 −1⎞ ⎛ −2 −2 −1⎞ ⎛ −1 1 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (A ) = ⎜ 3 2 0 ⎟ ⋅ ⎜ 3 2 0 ⎟ = ⎜ 0 −2 −3 ⎟ ⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎜ −1 −1 0 ⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 2 19. (J-11) a. (1 punto) Sean las matrices ⎛ cos α 0 senα ⎞ ⎛ cos α senα ⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ y B= 0 ⎟. β ⎟ ⎜ 0 sen cos − α α ⎝ ⎠ ⎜ −senα 0 cos α ⎟ ⎝ ⎠ Estudiar qué valores de α y β hacen que sea cierta la igualdad (det(A))22det(A)det(B)+1=0 b. (1,5 puntos)Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular 2 3 4 el valor de 2 a + 3 b + 4 con a, b, c, 2 c+3 d+4 SOLUCIÓN. a) det(A)=1 det(B)=βcos2α+ βsen2α β (det(A))2-2det(A)det(B)+1=0 12-2·1·β+1=0 1-2 β+1=0 β=1 Luego la igualdad se cumple para α y para β=1 b) 2 3 4 1 3 4 1 3 4 a b 2 a +3 b+4 = 21 a +3 b+4 = 2 0 a b = 2 = 2(ad − cb) c d 2 c+3 d+4 1 c+3 d+4 0 c d 20. ⎛α ⎝0 (S-11) Sea la matriz A = ⎜ 1 ⎞ ⎟ −α ⎠ a. (0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz (AAT) con AT la traspuesta de A b. (0.75 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro α se 2 satisface la ecuación 4 A − 2 A T + 2α 2 = 0 con A = det(A) c. (1punto) Obtener la inversa de A cuando sea posible SOLUCIÓN. a) A = α 0 −1 −α = −α 2 ⇒ A·A T = A ·A T = ( −α 2 )( −α 2 ) = α 4 He aplicado las siguientes propiedades: •El determinante de un producto es el producto de los determinantes •El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta b) 4α4-2(-α2)+2 α2=0 4α4+2α2+2 α2=0 4α4+4α2=0 4α2(α2+1)=0 c) ∃A −1 ⇔ A ≠ 0 ⇒ Como A = α 0 −1 −α = −α 2 , existe matriz inversa ∀ α ≠ 0 En ese caso, calculamos ⎛ −α 0 ⎞ Adj(A) = ⎜ ⎟ ⎝ −1 α ⎠ ⎛ −α −1⎞ Adj(A)T = ⎜ ⎟ ⎝ 0 α⎠ A −1 = Adj(A)T 1 ⎛ −α = ⎜ A −α 2 ⎝ 0 ⎛1 −1⎞ ⎜ α ⎟=⎜ α⎠ ⎜ 0 ⎝ 1 ⎞ α2 ⎟ − 1 ⎟⎟ α⎠ α=0 21. (S-11)(2,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener de los valores de a y b que satisfacen simultáneamente las ecuaciones: a+b a−b 1 2 0 1 =0 a + 2b 3 2 y a a a2 ba 2 =0 SOLUCIÓN. a+b a−b 1 2 a 1 2 b 1 2 1 1 2 1 1 2 0 1 = a 0 1 + − b 0 1 = a 1 0 1 + b −1 0 1 = 2a − 5b = 0 a + 2b 3 2 a 3 2 2b 3 2 1 3 2 2 3 2 a a 2 a ba 2 = a3 1 1 1 b = a 3 (b − 1) = 0 ⎧2a − 5b = 0 ⎪ ⎪ ⎧a = 0 ⇒ b = 0 (sustituyendo en la 1ª ecuación) Re solvemos el sistema : ⎨ 3 ⎪ ⎪a (b − 1) = 0 ⇒ ⎨b = 1 ⇒ a = 5 (sustituyendo en la 1ª ecuación) ⎪⎩ ⎪⎩ 2 22. a. (S-12) (0,5 pts)El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2 ⎛ 1 0 1⎞ ⎟ ⎜ A = ⎜ 1 2 1⎟ . Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 2⎞ de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice): B = ⎜⎜ 1 2 4 ⎟⎟ ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ sen x − cos x 0 ⎞ b. (2 puntos) Sea C la siguiente matriz: C = ⎜⎜ cos x sen x 0 ⎟⎟ ⎜ 1 sen x x ⎟⎠ ⎝ Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible. SOLUCIÓN. a. 1 0 1 1 0 1+ 0 +1 1 0 2 A =1 2 1 = 1 2 1+ 2 +1 = 1 2 4 = B = 2 C1 + C2 + C3 → C3 0 −1 1 0 −1 0 + −1 + 1 0 −1 0 A la 3ª columna del determinante de la matriz A se sumo la 1ª y 2ª columna me queda otro determinante; B; del mismo valor. b. sen x C = cos x 1 − cos x sen x sen x 0 0 = xsen 2 x + x cos 2 x = x(sen 2 x + cos 2 x) = x ⇒ ∃ C −1 ∀ x ≠ 0 x Calculamos C-1 sen x C = cos x 1 − cos x sen x sen x 0 0 = xsen 2 x + x cos 2 x = x(sen 2 x + cos 2 x) = x ⇒ ∃ C −1 ∀ x ≠ 0 x − x cos x senx(cos x − 1) ⎞ ⎟ xsenx −sen 2 x − cos x ⎟ ⎟ 0 1 ⎠ xsenx x cos x ⎛ t ⎜ xsenx ( Adj(C) ) = ⎜ − x cos x ⎜ senx(cos x − 1) −sen 2 x − cos x ⎝ ⎛ xsenx ⎜ Adj(C) = ⎜ x cos x ⎜ 0 ⎝ C −1 = ( Adj(C) ) C t 0⎞ ⎟ 0⎟ 1 ⎟⎠ ⎛ xsenx x cos x 0⎞ ⎜ senx ⎛ 1⎜ ⎟ ⎜ xsenx 0⎟ = ⎜ = ⎜ − x cos x − cos x x⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎝ senx(cos x − 1) −sen x − cos x 1 ⎠ ⎜ senx(cos x − 1) ⎜ ⎝ x cos x senx −sen 2 x − cos x x ⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎟ x⎠ 23. (S-12)b) (1 punto) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene como determinante -3. Determine el determinante de la matriz B+Bt donde Bt denota la traspuesta de B SOLUCIÓN. t Si la matriz B es simétrica, entonces B=Bt B + B = B + B = 2B = 8 B = 8·( −3) = 24 Puesto que la matriz B es 3x3 y sacamos un 2 factor común de cada fila. 24. (J-13) a) (1punto) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a: −a 6 ⎞ ⎛ a ⎜ ⎟ A=⎜ 2 −2 4 ⎟ ⎜ a + 2 −5 −10 ⎟ ⎝ ⎠ b) (1,5 puntos) SOLUCIÓN. a A = −a −2 6 4 = 20a − 60 − 4a(a + 2) + 12(a + 2) + 20a − 20a = 20a − 60 − 4a 2 − 8a + 12a + 24 = a + 2 −5 −10 2 = −4a 2 + 24a − 36 = −4(a 2 − 6a + 9) = −4(a − 3) 2 −4(a − 3) 2 = 0 ⇒ a = 3 • Si a ≠ 3 ⇒ r(A)=3 • Si a=3 ⎛ 3 −3 6 ⎞ ⎜ ⎟ A= ⎜ 2 −2 4 ⎟ ⎜ 5 −5 −10 ⎟ ⎝ ⎠ −2 4 =20+20=40 ≠ 0 ⇒ r(A)=2 (puesto que A = 0) −5 −10 25. (S-13)a)(1 punto) Sean A y B las dos matrices siguientes: ⎛a 1 0⎞ A=⎜ ⎟, ⎝0 1 1 ⎠ ⎛ -2 1 ⎞ ⎜ ⎟ B= ⎜ 0 -1⎟ ⎜3 a ⎟ ⎝ ⎠ ¿Para qué valores de a existe la inversa de AB?¿Y la de BA? SOLUCIÓN. ⎛ -2 1 ⎞ ⎜ ⎟ B= ⎜ 0 -1⎟ ⎜3 a ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ -2 1 ⎞ ⎛a 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛ −2a a − 1 ⎞ A⋅B = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 0 -1⎟ = ⎜ ⎟ ⎝0 1 1 ⎠ ⎜ ⎝ 3 a − 1⎠ ⎟ ⎝3 a ⎠ Veamos para que valores de a existe la inversa de A·B : ⎛a 1 0⎞ A=⎜ ⎟, ⎝0 1 1 ⎠ ⎧a = 1 a −1 ⎪ = −2a(a − 1) − 3(a − 1) = (a − 1)( −2a − 3) = 0 ⇒ ⎨ 3 a −1 ⎪⎩a = − 2 3 si A ⋅ B ≠ 0, es decir, si a ≠ 1 y a ≠ 2 −2a A⋅B = 3 ∃ ( A ⋅ B) −1 1⎞ ⎛ -2 1 ⎞ ⎛ −2a −1 ⎜ ⎟ ⎛a 1 0⎞ ⎜ ⎟ B·A = ⎜ 0 -1 ⎟·⎜ −1 −1 ⎟ ⎟=⎜ 0 0 1 1 ⎠ ⎜ ⎜3 a ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3a a + 3 a ⎠ Veamos para que valores de a existe la inversa de B·A : −2a B·A = 0 3a −1 −1 a +3 1 −1 = 2a 2 + 3a + 3a − 2a(a + 3) = 2a 2 + 3a + 3a − 2a 2 − 6a = 0 ∀a ⇒ a No existe la matriz inversa de B·A para ningún valor de a