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Primera Guia de Ejercicios de Cálculo 40.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y 0 sen(x) = y ln(y).
2. (1 + y 2 )dx + (1 + x2 )dy = 0.
3. (1 + y 2 )dx + xydy = 0.
4. (y 2 + xy 2 )y 0 + x2 − yx2 = 0.
5. (1 + y 2 )dx = xdy.
p
√
6. x 1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0.
p
√
7. x 1 − y 2 dx + yx 1 − x2 dy = 0, Condicion Inicial, y(0) = 1.
8. e−y (1 + y 0 ) = 1.
9. y ln(y)dx + xdt = 0, Condicin Inicial y(1) = 1.
10. y 0 = ax+y , a > 0 y a 6= 1.
11. ey (1 + x2 )dy − 2x(1 + ey ))dx = 0.
12. (1 + y 2 )(e2x dx − ey dy) − (1 + y)dy = 0,
13. xy 2 (xy 0 + y) = a2 .
Nota. Una ecuación diferencial de la forma
dy
= f (ax + by + c),
dx
donde a, b y c son constantes, se reduce a variables separables mediante la sustitución
t = ax + by + c,
dt
dy
dy
dt
ya que
= a + b , despejando, se tiene que
= (1/b)( ) − (a/b)
dx
dx
dx
dx
Resolver:
1. y 0 = sin(x − y).
2. y 0 = ax + by + c, a, b, c constantes.
3. (x + y)2 y 0 = a2 .
4. Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por
un punto fijo es la circunferencia.
5. Una bala se introduce en una tabla de h = 10cm de espesor con una velocidad inicial de
300m/seg. traspasándola con una velocidad v1 = 90m/seg.Suponiendo que la resistecia
de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar
el tiempo que la bala tardó en atravesar la tabla.
6. Demostrar que la curva que tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente
en cualquier punto es proporcional a la abscisa, es una parábola.
Homogeneas
dy
y
y2
= + 2
dx
x x
7.
1
10. y =
2
µ
0
x y
+
y
x
C.I. y(1) = 1. 8. xy0 = 2x + 3y
9. (x2 − y 2 )dx − 2xydy = 0.
¶
√
dy
1+ x−y
√
12.
=
.
dx
1− x−y
dy
6x2 − 5xy − 2y 2
11.
=
.
dx
6x2 − 8xy + y 2
.
Dierenciales exactas.
13. y 0 =
16.
x−y
.
x+y
14. 2xyy 0 = x2 − y 2 .
dy
x − y cos x
=
.
dx
sin x + y
15.
dr
r2 sin φ
=
.
dφ
2r cos φ − 1
17. (yex − senx)dx − (e−x + 2y)dy = 0.
18. 2xydx + (x2 + 1)dy = 0; y(1) = −3.
Factor Integrante.
19. (3x + 2y 2 )dx + 2xydy = 0
21.
20. (x + x3 sen2y)dy − 2ydx = 0.
dy
seny
=
; y(0) = π/2.
dx
x cos y − sen2 y
22.
dy
x
= 2
dx
x y + y3
Lineales.
22.
dy
y
+ = 1.
dx x
25. I 0 + 3I = e−2t ; I(0) = 5.
23. xy 0 + 3y = x2 .
26. y 0 =
1
x − 3y
dx
+ xy = 2y 2 + 1.
dy
dr
r
27.
=φ−
; r = 1, φ = 1
dφ
3φ
24. y 2
Ejercicio.- Resolver al siguiente ecuación diferencial
(y ln y + yex )dx + (x + y cos y)dy = 0.
Solución.- Veamos si es exacta. Sea M (x, y) = y ln y + yex y
entonces:
∂M
1
= y( ) + ln y + ex = 1 + ln y + ex
∂y
y
(1)
N (x, y) = x + y cos y
y
∂N
= 1,
∂x
de manera que
∂M/∂y 6= ∂N/∂x,
por lo que la ecuación no es exacta.
Veamos si tiene un factor integrante que depende solo de x, para esto calculamos
³
´
∂M
∂N
−
∂y
∂x
(1 + ln y + ex ) − 1
(ln y + ex )
=
=
f (x) =
N
x + y cos y
x + y cos y
y este cociente debe resultar una expresión que dependa solo de x, sin embargo este no fué
el caso, de manera que para esta ecuación no existe factor integrante que dependa solo de
x.
Veamos si tiene un factor integrante que depende solo de y, para esto calculamos
´
³
∂N
∂M
∂x − ∂y
1 − (1 + ln y + ex )
1
(ln y + ex )
f (y) =
=
=
−
=−
x
x
M
y ln y + ye
y(ln y + e )
y
y este cociente debe resultar una expresión que dependa solo de y, y resultando en este caso
que tal expresión depende solo de y, concluimos que la ecuación tiene un factor integrante
que depende solo de y, a saber:
R 1
−1
1
µ(x) = e − y = e− ln y = eln y = −
y
Ahora multiplicando la ecuación diferencial (1) por −
1
obtenemos la euación equivalente
y
(ln y + ex )dx + (x/y + cos y)dy = 0.
(2)
La cual es exacta ya que:
1
∂(x/y + cos y)
∂(ln y + ex )
= =
.
∂y
y
∂x
Buscamos ahora una función U (x, y) tal que dU = (ln y + ex )dx + (x/y + cos y)dy = 0.
Como
∂U
∂U
dU =
dx +
dy.
∂x
∂y
se tiene que

∂U


= ln y + ex

 ∂x
(3)



 ∂U = x/y + cos y
∂y
(4)
Integrando (3) con respecto a x se tiene que la función potencial es de la forma,
U (x, y) = x ln y + ex + c(y),
(5)
donde c(y) es una función de y, la cual debemos calcular.
Para calcular c(y) derivamos (5) con respecto a y, luego
∂U
x
= + c0 (y),
∂y
y
y sustituyendo en (4) obtenemos que
x
x
+ cos y = + c0 (y)
y
y
de manera que
c0 (y) = cos y
y
Z
c(y) =
cos ydy = −seny + c,
con c constante.
Hemos obtedido que una familia de funciones potenciales está dada por:
U (x, y) = x ln y + ex − seny + c.
Finalmente la solución o soluciones implı́citas estan dadas por
U (x, y) = k,
es decir:
x ln y + ex − seny = c