Expresiones algebraicas, DIFERENCIA entre identidades y

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Expresiones algebraicas, diferencia entre Identidad y Ecuación
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de
operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se
denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten
traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual o coloquial.
Ejemplo:
Las siguientes expresiones del lenguaje habitual tienen características comunes


“el cuadrado de cinco menos tres”
“el cuadrado de un número menos tres”
En la primera, es claro que el número 5 es el que está elevado al cuadrado y luego
se resta 3
52 – 3
En la segunda no se conoce cuál es número elevado al cuadrado, por eso se
utiliza una letra que reemplaza al número, (en esto caso utilizamos x, puede ser
cualquier letra!!)
x2 - 3
Entonces 52 – 3 y x2 – 3 son dos expresiones que tiene en común elevar al
cuadrado un número y restar otro. Lo que las diferencia es que en la primera
podríamos calcular un resultado: 52 – 3= 25 – 3 = 22, en la segunda simplemente
queda la expresión algebraica x2 - 3.
Agregando un poquito más

“el cuadrado de un número menos tres es 13”
Aparece en la expresión natural (coloquial) la palabra es.
Esto indica que la expresión algebraica x2 – 3 se transforma en x2 – 3 = 13 dando
origen a una ecuación. Sus soluciones son 4 y -4, la forma de resolverla la
veremos más adelante.
¿Cómo sabemos si esas son sus soluciones?, simplemente reemplazamos por la
letra (x) observando si se verifica la igualdad.
Si cambio la x por 4 en x2 – 3 = 13
Si cambio la x por -4 en x2 – 3 = 13
Queda 42 – 3 = 13
Queda (- 4)2 – 3 = 13
16 – 3 = 13
16 – 3 = 13
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Más ejemplos de ecuaciones
“el doble de: un número más cinco es igual al mismo número menos uno”
. 2(x + 5) = x - 1
en esta ecuación vemos dos expresiones algebraicas
separadas por un igual, aplicando distintos pasos de resolución.
a) Ana llega a que la solución de esta ecuación es 4.
Al reemplazar la letra x por 4, no obtendremos una igualdad
2 (4 + 5) = 4 – 1
2.9 =3
18 = 3 esto no es cierto, por lo tanto 4 no es la solución
b) Beto llega a que la solución de esta ecuación es – 11.
Verificamos, reemplazando la x por - 11
2 (-11 + 5) = - 11 – 1
2 . (- 6) = - 12
-12
= - 12 esto es cierto, por lo tanto la solución es -11.
Veamos otra expresión algebraica 2. (x + 3) – 1 = 2x + 5
Si repetimos el proceso de reemplazar la letra por algún número y realizamos las
operaciones que quedan indicadas tenemos:
a) Si x = 2
2(2+3)–1=2.2+5
2.5 - 1= 4 +5
10 - 1 = 9
9
= 9
se verifica la igualdad
b) Si x = 8
2(8+3)–1=2.8+5
2 . 11 - 1 = 16 + 5
22 - 1 = 21
21 = 21
se verifica la igualdad
c) Si x = 1/2
2 ( 1/2 + 3 ) – 1 = 2 . 1/2 + 5
2 . 3,5 - 1 = 1 + 5
7
-1 = 6
6
= 9 también se verifica la igualdad ……
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En este caso, sea cual sea el número que utilicemos (podemos intentarlo
infinitamente), siempre vamos a llegar a igualdad verdadera. Este es un ejemplo
de identidad.
Resumiendo:
Dos expresiones algebraicas relacionadas por el signo igual, tales que al
sustituir la indeterminada por cualquier valor numérico resulta una igualdad
verdadera, se llama identidad. Si esto es cierto tan solo para algunos valores
de la indeterminada, se llama ecuación y a estos valores se les llama
soluciones de la ecuación.
En la práctica no haríamos el proceso de reemplazar la letra por números para ver
si se trata de una ecuación o de una identidad.
Para ver si una ecuación es o no identidad basta con realizar las cuentas
indicadas a cada lado del signo igual y ver si se llega a lo mismo, “sin hacer
pasaje de términos”
En el ejemplo dado:
2. (x + 3) – 1 = 2x + 5
Aplicando propiedad distributiva 2x + 6 – 1 = 2x + 5
Restando
2x + 5 = 2x + 5
Para practicar:
Indica cuáles de las siguientes expresiones son identidades y cuáles son
ecuaciones.
a. 2(x - 1) + 3x(x + 1) = 3x2 + 5(x - 2) + 8
b. (x - 3)2 + 6(x + 1) = -2x + 7
c. (x + 3).(x - 3) = x2 - 9
d. x.(2x - 2) = 3(x + 1)