Universidad Autónoma de Madrid Matemáticas, Matemáticas-Informática Geometrı́a I. Curso 2008-09 GEOMETRÍA I Hoja 4: Geometrı́a euclı́dea II. 1. Sea f : R2 → R2 la aplicación lineal cuya matriz en una base ortonormal B es: α β . β 1−α Demuestra que f es una proyección ortogonal sobre la recta ax + by = 0, donde α = b2 /(a2 + b2 ) y β = −ab/(a2 + b2 ). 2. En R3 se considera el producto escalar con matriz en una base B = {w1 , w2 , w3 }, 1 1 0 1 2 2 . 0 2 5 i. Calcula una base ortonormal {u1 , u2 , u3 }. ii. Calcula la proyección ortogonal del vector con coordenadas (1, 1, 1) respecto a la base B sobre el plano y + z = 0. iii. Calcula el subespacio ortogonal al vector con coordenadas (2, 0, 1) respecto a la base {u1 , u2 , u3 }. 3. Encuentra las ecuaciones de la simetrı́a respecto al plano 2x + y + z = 0. 4. Encuentra la expresión analı́tica de las siguientes isometrı́as: i. La simetrı́a deslizante de eje paralelo a la recta 2x + y = 3 y que transforma (2, 1) en (1, 0). ii. El giro de ángulo π/3 que lleve (2, 1) en (1, 0). 5. Estudia las siguientes isometrı́as del plano: ( √ x0 = −2 +√ 21 x − 23 y y 0 = 1 + 23 x + 12 y ( √ √ x0 = 22 x√+ 22 y √ y 0 = 1 + 22 x − 22 y. Estudia la isometrı́a composición de las anteriores. 6. Sea {P ; e1 , e2 , e3 } una referencia ortonormal del espacio afı́n euclı́deo, (A, E), sea f la simetrı́a respecto al eje P + h(a, b, c)i y sea f˜ su aplicación lineal asociada. i. Demuestra que para todo v ∈ E, f˜(v) + v es o bien ~0 o bien un vector propio de valor propio 1. ii. Usa el apartado anterior para calcular la matriz de f˜ en función de a, b, c. iii. Usa el apartado anterior para hallar las ecuaciones de la rotaci ón de ángulo π respecto al a recta intersección de los planos 3x − 4y − 25 = 0, z = 2. 7. Sea {P ; e1 , e2 , e3 } una referencia ortonormal del espacio afı́n euclı́deo, (A, E). Considera la simetrı́a g respecto al plano de ecuación ax + by + cz + d = 0, y sea g̃ su aplicación lineal asociada. i. Demuestra que para todo v ∈ E, g̃(v) − v es ortogonal al plano de simetrı́a. ii. Calcula la matriz de g̃ en función de a, b, c. iii. Halla las ecuaciones de la simetrı́a respecto al plano x + 2y − 3z + 2 = 0. 8. En R3 considera el producto escalar cuya matriz 5 1 0 en la base B = {e1 , e2 , e3 } es: 1 0 1 0 . 0 3 Calcula la distancia del punto (−1, 1, −2) al plano que pasa por los puntos de coordenadas cartesianas a = (1, −1, 1), b = (−2, 1, 3) y c = (4, −5, −2) en la referencia {O; B}. 9. En R3 considera el producto escalar usual y sea α ∈ R. i. Calcula la ecuación de la recta lα que pasa por los puntos P = (1, α, −1) y Q = (1, 2α, −2). ii. Calcula el punto rα simétrico del punto m = (1, 0, −2) con respecto a la recta lα . iii. Demuestra que el lugar geométrico de los puntos rα con α ∈ R es la recta (1, 0, 2) + h(0, 1, −1)i. 10. Encuentra la expresión analı́tica de las siguientes isometrı́as de R3 : i. La simetrı́a respecto al plano 3x − y + 2z = 1. ii. La rotación helicoidal respecto al eje h(1, −1, 0)i con ángulo π y vector de traslación (2, −2, 0). iii. La composición de las dos isometrı́as anteriores. 11. Estudia las siguientes isometrı́as de R3 : √ 2 1 1 0 x = 1 + 2 x√+ 2 y√+ 2 z x0 = 1 + y y0 = 1 − y y 0 = −1 + √22 x − 22 z 0 1 z 0 = −x z = 2 x − 22 y + 21 z Estudia la composición de las dos isometrı́as anteriores. 12. En Rn fijamos un sistema de referencia ortonormal R = {O; e1 , e2 , e3 }, y sea a1 x1 + . . . + an xn = b un hiperplano H ⊂ Rn . i. Demuestra que el vector (a1 , . . . , an ) es ortogonal a cualquier vector en la dirección de H. ii. Sea P = (b1 , . . . .bn ) un punto y sea H como en el apartado anterior. Demuestra que d(P, H) = |a1 b1 + . . . + an bb + b| p . a21 + . . . + a2n 13. Sean L1 y L2 dos rectas que se cruzan en R3 , sobre el que consideramos el producto escalar usual. i Demuestra que existe una única recta L que es ortogonal a L1 y a L2 . ii. Sean P1 = L ∩ L1 y P2 = L ∩ L2 . Demuestra que d(L1 , L2 ) = d(P, Q).