∗ Matriz Inversa. 1. Transpuesta de una matriz Si A es una matriz m x n, entonces la transpuesta de A, denotada por AT , se dene como la matriz n x m que resulta de intercambiar los renglones y las columnas de A. Si A= a11 a21 a12 , a22 a11 a12 AT = a21 a22 En general (aij )T = (aji ). La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas; es decir, (A + B)T = AT + B T . Ejemplo: Sean las matrices: A= 2 4 9 , 3 B= 2 9 4 , 3 BT = 2 4 9 , 3 5 2 1 7 Sean entonces las matrices transpuestas: AT = 7 2 1 5 Es posible vericar que (A + B)T = AT + B T . Propuesto: Sean las matrices: A= B= 1 7 5 2 Determinar: AB, (AB)T , AT , B T , B T AT . Vericar que (AB)T = B T AT . 2. Matriz identidad Si una matriz diagonal de orden n tiene todas sus entradas diagonales iguales a 1, entonces la llamaremos matriz identidad de orden n y la denotaremos por la letra I. 1 0 0 , 1 1 0 0 0 1 0 0 0 , 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 . 0 1 las anteriores matrices cuadradas que tienen unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella, son ejemplos de matrices identidad. La matriz identidad actúa exactamente como el número 1 en la multiplicación ordinaria. IA = AI = A, 3. BI = IB = B. Matriz inversa Consideremos el sistema a11 x1 + a21 x2 = b1 a12 x1 + a22 x2 = b2 ∗ Eduard Rivera Henao. 2014-03-08. Álgebra Lineal. 1 4 Teorema 2 de dos ecuaciones lineales en x1 , y x2 . Este sistema se puede escribir como una sola ecuación , usando la notación de vector y matriz, veámos: a (x1 , x2 ) 11 a21 a12 a22 = (b1 , b2 ). Así, XA=b. Ahora, recordemos que en una ecuación algebraica de la forma xa = b, es posible despejar la variable 1 −1 . Donde a−1 es el inverso de a bajo la multipplicación. La ecuación XA=b es una x ; así x = a b, x = ba ecuación vector-matricial pero la división de matrices no está denida para intentar despejar el vector X, pero sí podemos hablar de matrices inversas. Así, decimos que la matriz cuadrada A de orden n es invertible previsto que exista una matriz cuadrada B de orden n tal que: AB = BA = I Donde I es la matriz identidad. Tenemos entonces la ecuación vector-matricial XA=b. Así X = bA−1 , donde A−1 es la matriz inversa de A bajo la multiplicación. Si A es una matriz de orden n y si A−1 es una matriz con la propiedad de que AA−1 = A−1 A = I, entonces −1 A es única. Ejemplo: Si A= 1 , 0 3 −2 Determinar una matriz B. Si tal matriz existe, con la propiedad de que AB = BA = I. Sea B= hallaremos los valores p,q,r y s p r q , s tales que AB = I. Así, B = A−1 . AB = I q 1 0 = s 0 1 3q + s 1 0 = −2q 0 1 1 p 0 r 3 −2 3p + r −2p Igualando los elementos correspondientes de las matrices, tendremos: 3p + r = 1, 3q + s = 0, −2p = 0, −2q = −1. Así, p = 0, q = − 21 , r = 1, s = 32 ; por lo tanto: B= − 21 0 1 , 3 2 donde B = A−1 , ya que AA−1 = I. 3 −2 1 0 0 1 Así, A 4. −1 − 12 3 2 0 = 1 = − 21 3 2 1 0 0 1 . Teorema Si A es una matriz cuya inversa A−1 existe, entonces la inversa de A−1 existe y (A−1 )−1 = A. 4 Teorema 3 Propuesto: Vericar que AA−1 = I, donde 0 1 1 0 , A−1 = 1 0 1 1 0 1 −1 ,B = 1 −1 A= y que BB −1 = I, donde B= −1 , 1 0 . 1 Mostrar además que se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Buscaremos la forma de hallar la matriz inversa de A de una manera práctica; para esto recordaremos que el determinante de la matriz a c A= es el número real denotado por |A| o por y denido por a c a |A| = c Para una matriz b d b = ad − bc. d A= buscaremos una matriz b d a c b d x y B= , z u tal que AB = I, es decir, hallaremos A−1 , donde B = A−1 . Veámos: Si AB = I, entonces a c b d x y z u = 1 0 0 . 1 Multiplicando tendremos: ax + bz cx + dz ay + bu 1 = cy + du 0 0 1 Igualando tendremos las ecuaciones: ax + bz = 1, ay + bu = 0, cx + dz = 0, cy + du = 1. De las ecuaciones igualadas a cero dz podemos encontrar que: y = − bu a , x = − c , reemplazando en las ecuaciones igualadas a uno, tendremos: c a −b −d z = −ad+bc , u = −bc+ad . Por lo tanto: y = −bc+ad , x = −ad+bc . Así, A −1 = −d −ad+bc c −ad+bc −b −bc+ad a −bc+ad A−1 = 1 |A| 1 = ad − bc d −b −c a d −b . −c a Consideremos dos casos: Si |A| = 0; no existen valores de x,y,z,u que satisfagan el sistema, excepto x = y = z = u = 0, pero entonces la matriz será igual a la matriz cero, y la matriz cero no tiene inversa. Por lo tanto, si |A| = 0, la matriz A no tendrá inversa. Si |A| = 6 0, entonces A −1 1 = |A| d −b . −c a 5 Teorema 5. 4 Teorema La matriz A= a11 a21 a12 a22 tiene inversa A−1 si y solo si, |A| = 6 0. Por lo tanto: A −1 1 = |A| a22 −a21 −a12 . a11 Ejemplo: Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la matriz inversa: Consideremos el sistema 3x1 + 4x2 = 7 x1 − 2x2 = 9 Si escribimos una ecuación vector-matricial equivalente de la forma (x1 , x2 ) 3 4 Así nuestra matriz 1 −2 A= XA=b, tendremos: = (7, 9). 1 , −2 3 4 para la cual podremos hallar una inversa si |A| = 6 0. Veámos: A−1 = 1 −10 −2 −4 −1 . 3 Resolver el sistema es despejar el vector X de la ecuación vector-matricial ambos lados de la igualdad por la inversa de A, así: XA Para esto multiplicaremos en =b −1 = bA−1 XI = bA−1 X = bA−1 XAA XA=b. Veámos: (x1 , x2 ) 3 4 3 1 (x1 , x2 ) = (7, 9) 4 −2 1 1 −2 −1 −2 −1 1 = (7, 9) −2 −10 −4 3 −10 −4 3 1 1 0 −2 −1 (7, 9) (x1 , x2 ) = 0 1 −4 3 −10 1 (x1 , x2 ) = (−14 − 36, −7 + 27) −10 (x1 , x2 ) = (5, −2) Así, x1 = 5, x2 = −2. Valores que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales. 6 Ejercicios propuestos 6. 5 Ejercicios propuestos 1. Hallar el determinante de la matriz A; si |A| = 6 0, hallar la matriz A−1 y vericar que AA−1 = I. a b c ) ) 1 A= 5 3 . 7 4 A= 5 3 . 2 ) A= d ) A= 5 1 . 10 2 9 3 2 . 1 2. Resolver el sistema dado, escribiendo una ecuación vector-matricial equivalente de la forma a XA=b. ) 2x1 − 3x2 = 7 −5x1 + 4x2 = 13 b ) 3x1 + 4x2 = 10 7x1 − 2x2 = 12 c ) 5x1 + 8x2 = 6 4x1 − 3x2 = −2 d ) 7x1 + 4x2 = 10 2x1 + 5x2 = −1 3. Mostrar que para A de orden 2, |kA| = k2 |A|, donde k es un número real. 4. Sea A una matriz de orden 2, con |A| = 6 0, mostrar que el determinante de A−1 es igual al recíproco del 1 . determinante de A; es decir, mostrar que |A−1 | = |A| 5. Mostrar que si las matrices A y B son de orden 2, con |A| = 6 0, |B| = 6 0, se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Tener en cuenta que |A||B| = |AB|. 6. Vericar que para A= Se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . 2 5 3 1 ,B = 8 2 −2 −3