Aufgaben zur partiellen Integration

Aufgaben zur partiellen Integration
Ermitteln Sie die unbestimmten Integrale mit Hilfe der Methode
der partiellen Integration.
1) ∫ x · ex dx
2) ∫ ln x dx
3) ∫ ln² x dx
4) ∫ x² sin x dx
5) ∫ sin² x dx
6) ∫ x² sin x dx
7) ∫ ex sin x dx
8) ∫ 1/x² arsinh x dx
9) ∫ x ln x dx
10) ∫ ln x / x dx
Lösungen
∫ x · ex dx = x · ∫ex dx - ∫1 · (∫ex dx) dx = x · ex - ∫ex dx = x · ex - ex + c
= ex (x - 1) + c
∫ ln x dx = ∫ln x · 1 dx = ln x · x - ∫1/x · x dx = x ln x - ∫1 dx = x ln x - x
+c
∫ ln² x dx = ∫ln x · ln x dx = ln x (x ln x - x) - ∫1/x (x ln x - x) dx = x ln²
x - x ln x - ∫(ln x - 1) dx =
= x ln² x - x ln x - (x ln x - x) + x + c = x ln² x - x ln x - x ln x + x + x +
c = x ln² x - 2x ln x + 2x + c
∫ x² sin x dx = x² (-cos x) - ∫2x (-cos x) dx = -x² cos x + 2 ∫-x cos x dx
= -x² cos x + 2 [x sin x - ∫1 sin x dx] =
= -x² cos x + 2 [x sin x + cos x] + c = -x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + c
∫ sin² x dx = ∫ sin² x · 1 dx = sin² x · x - ∫2 sin x cos x · x dx = x sin² x ∫x sin 2x dx =
= x sin² x - [x ∫sin 2x dx - ∫1 (∫sin 2x dx) dx] = x sin² x - x ([- cos
2x]/2) + ∫(- [cos 2x]/2) dx =
= x sin² x + [x cos 2x]/2 - ½ ∫cos 2x dx = x sin² x + [x cos 2x]/2 - [sin
2x]/4 + c =
= [2x sin² x]/2 + [x (cos² x - sin² x)]/2 - [sin 2x]/4 + c = [x cos² x]/2 +
[x sin² x]/2 - [sin 2x]/4 + c =
= x/2 (cos² x + sin² x) - [sin 2x]/4 + c = x/2 - [sin 2x]/4 + c
∫ x² sin x dx = -x² cos x + ∫ 2x cos x dx = -x² cos x + 2x sin x - ∫ 2 sin x
dx = -x² cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
∫ ex sin x dx = ex sin x - ∫ ex cos x dx = ex sin x - ex cos x - ∫ ex sin x dx
... ∫ ex sin x dx = ½ ex (sin x - cos x) + C
∫ 1/x² arsinh x dx = -1/x arsinh x + ∫ dx/(x √(1+x²)) = - 1/x arsinh x +
∫ dz/(z²-1) = -1/x arsinh x - arcoth √(x²+1) + C
∫ x ln x dx = 1/2 x² ln x - 1/4 x² + C
∫ ln x / x dx = 1/2 ln² x + C