Mecánica de Sólidos Capı́tulo VI: Método de Elementos Finitos para Elasticidad No Lineal Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn Programa de Doctorado en Ingenierı́a Facultad de Ingenierı́a y Ciencias Hı́dricas (FICH) Universidad Nacional del Litoral (UNL) 13 de noviembre de 2015 Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 1 / 12 Método de los Elementos Finitos Principio de los Trabajos Virtuales Principio de los Trabajos Virtuales Partimos del PTV: Z Z δW dV = ∂B0σ B0 Z σ̄ · δχ dS + ρ0 b · δχ dV B0 con δW = tr (SδA) = tr (T(n) δE(n) ) Introducimos el desplazamiento u = χ − X y su gradiente D = Grad u(X) = A − I. Dada la DCA χ∗ resulta: δχ = χ∗ − χ = (χ∗ − X) − (χ − X) = u∗ − u = δu (1) Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 2 / 12 Método de los Elementos Finitos Notación de Voigt Notación de Voigt Trabajemos con el par conjugado (T(2) , E(2) ): δW = tr (T(2) δE(2) ) 1 1 E(2) = (AT A − I) = (D + DT + DT D) ≡ E 2 2 ∂W (2) T = ∂E Notación de Voigt: ordenamos los componentes de los tensores T(2) y E en los vectores h i (2) (2) (2) (2) (2) (2) T T̃(2) = T11 T22 T33 T12 T23 T31 Ẽ = [E11 E22 E33 2E12 2E23 2E31 ]T Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 3 / 12 Método de los Elementos Finitos Variación de la deformación Variación de la deformación La variación de E: 1 1 δEαβ = (δAkα Akβ + Akα δAkβ ) = (δuk,α Akβ + δuk,β Akα ) 2 2 se expresa en notación de Voigt como: δE11 Ai1 δui,1 δE22 A i2 δui,2 δE33 Ai3 δui,3 δ Ẽ = 2δE12 = Ai1 δui,2 + Ai2 δui,1 2δE23 Ai2 δui,3 + Ai3 δui,2 Ai3 δui,1 + Ai1 δui,2 2δE31 (2) Luego, la variación de W puede escribirse como (2) δW = Tij δEij = T̃(2)T δ Ẽ = δ ẼT T̃(2) Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 4 / 12 Método de los Elementos Finitos Aproximación por MEF Aproximación por MEF Usando MEF estándar (Galerkin), aproximamos u como " u= | 1 N 0 0 0 N1 0 0 0 N1 2 N 0 0 0 N2 0 0 0 N2 {z N ... ... ... n N 0 0 0 Nn 0 1 # u2 0 u 0 . .. Nn } un | {z } (3) U N I (X): función de forma asociada al nodo I = 1, 2, . . . , n, t.q. N I (XJ ) = δIJ . uI ≈ u(XI ): aproximación al desplazamiento del nodo I (incógnita). Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 5 / 12 Método de los Elementos Finitos Variación de la deformación Variación de la deformación Usando (3): δu = NδU ⇒ δu,α = N,α δU Luego, la variación (2) se escribe: δ Ẽ = [B1 B2 . . . | {z B δu1 δu2 Bn ] . } .. δun | {z } δU I A11 N,1 I A12 N,2 I A N 13 ,3 I A11 N,2 + A12 N,1I I I A12 N,3 + A13 N,2 I I A13 N,1 + A11 N,3 con BI = I A21 N,1 I A22 N,2 I A23 N,3 I I A21 N,2 + A22 N,1 I I A22 N,3 + A23 N,2 I I A23 N,1 + A21 N,3 I A31 N,1 I A32 N,2 I A33 N,3 I I A31 N,2 + A32 N,1 I I A32 N,3 + A33 N,2 I I A33 N,1 + A31 N,3 Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 6 / 12 Método de los Elementos Finitos Variación de la deformación Variación de la deformación Haciendo Aiα = ui,α + δiα , resulta B = I | I N,1 0 0 I N,2 0 I N,3 0 I N,2 0 I N,1 I N,3 0 0 0 I N,3 0 I N,2 I N,1 {z + } BIlin | I u1,1 N,1 I u1,2 N,2 I u1,3 N,3 I I u1,1 N,2 + u1,2 N,1 I I u1,2 N,3 + u1,3 N,2 I I u1,3 N,1 + u1,1 N,3 I u2,1 N,1 I u2,2 N,2 I u2,3 N,3 I I u2,1 N,2 + u2,2 N,1 I I u2,2 N,3 + u2,3 N,2 I I u2,3 N,1 + u2,1 N,3 {z BInolin I u3,1 N,1 I u3,2 N,2 I u3,3 N,3 I I u3,1 N,2 + u3,2 N,1 I I u3,2 N,3 + u3,3 N,2 I I u3,3 N,1 + u3,1 N,3 } Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 7 / 12 Método de los Elementos Finitos Forma MEF de la ecuación de equilibrio Forma MEF de la ecuación de equilibrio Introducimos las aproximaciones por MEF en el PTV: Z Z Z (2) tr (T δE) dV − σ̄ · δu dS − ρ0 b · δu dV = 0 ∂B0σ B0 Z δ ẼT T̃(2) dV − Z δU δuT σ̄ dS − ∂B0σ B0 T B0 Z Z T B T̃ B0 (2) Z dV − δuT ρ0 b dV = 0 B0 Z T N σ̄ dS − ∂B0σ ! T N ρ0 b dV =0 B0 Siendo δU arbitrario, llegamos a la forma discreta en versión MEF de la ecuación de equilibrio: ! Z Z Z R= BT T̃(2) dV − NT σ̄ dS + NT ρ0 b dV = 0 (4) B0 ∂B0σ B0 | {z } | {z } Fint Fext Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 8 / 12 Método de los Elementos Finitos Resolución de la ecuación no lineal de equilibrio Resolución de la ecuación no lineal de equilibrio La ecuación (4) define un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas para las incógnitas Ui , i = 1, 2, . . . , dim × n (dim = 3 en 3D), con n número total de nodos de la malla que representa a B0 . Ese sistema debe resolverse iterativamente. Partiendo de U(k) conocido para la iteración k, se actualiza U para la iteración k + 1 resolviendo el sistema lineal R(U(k+1) ) = R(U(k) ) + K(U(k) )(U(k+1) − U(k) ) = 0 (5) donde K es la matriz jacobiana tangente: K= dR dFint dFext = − dU dU dU Método de Newton-Raphson: K se calcula exactamente. Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a13 y Ciencias de noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 9 / 12 Método de los Elementos Finitos Cálculo de la matriz jacobiana tangente Cálculo de la matriz jacobiana tangente La contribución de las fuerzas internas a K es: Z Z dFint d T T (2) B CB dV + = dV Bnolin T̃ (2) dU B B dU | 0 {z } | 0 {z T̃ =const. } Kmat Kgeo donde C es la matriz en que se ordenan siguiendo la notación de (2) Voigt los módulos elásticos de primer orden Aαβγδ = C= A1111 A2211 A3311 A1211 A 2311 A3111 A1122 A2222 A3322 A1222 A2322 A3122 A1133 A2233 A3333 A1233 A2333 A3133 A1112 A2212 A3312 A1212 A2312 A3112 A1123 A2223 A3323 A1223 A2323 A3123 ∂Tαβ ∂Eγδ : A1131 A2231 A3331 A1231 A2331 A3131 Notar: como Aαβγδ = Aγδαβ , C es simétrica. Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a 13y de Ciencias noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 10 / 12 Método de los Elementos Finitos Cálculo de la matriz jacobiana tangente Cálculo de la matriz jacobiana tangente La contribución de las fuerzas externas: Z Z dFext ∂b T ∂ σ̄ = N dS + NT ρ0 dV dU ∂U ∂U ∂B0σ B0 En caso de cargas muertas, no hay contribución de las tracciones σ̄. Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a 13y de Ciencias noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 11 / 12 Método de los Elementos Finitos Proyección nodal Proyección nodal Se define el campo continuo φ∗ usando las mismas funciones de interpolación que para u: φ∗ (X) = N I (X)φI φ∗ aproxima en sentido débil al campo discontinuo φ (ej., componentes de tensión y deformación) si: Z Z I ∗ N φ dV = N I φ dV B0 B0 Z I J N N dV φJ = FI B | 0 {z } MIJ Si MIJ está diagonalizada: φI = FI MII Vı́ctor Fachinotti, Benjamı́n Tourn ( Programa de Doctorado Mecánica en Ingenierı́a de Sólidos Facultad de Ingenierı́a 13y de Ciencias noviembre Hı́dricas de 2015 (FICH) Universidad 12 / 12