Asad L. - Dello Russo H - Universidad Tecnológica Nacional

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Bahía Blanca
Departamento de Ing. Mecánica
Mecánica Racional
TRABAJO FINAL
Alumnos: Leonardo Asad.
Hernán Dello Russo.
Profesor: Dr. Ing. Liberto Ercoli.
-2011-
Mecánica Racional - Trabajo Final Asad L. – Dello Russo H.
Índice
Índice ............................................................................................................................................. 1
Análisis del movimiento de rolido de un barco ........................................................................... 2
Determinación de altura metacéntrica .................................................................................. 3
Ecuación diferencial del movimiento, solución y frecuencia natural resultante .................. 5
Problema de aplicación: determinación del período ............................................................. 8
Estabilización de rolido................................................................................................................. 9
Movimiento Giroscópico: precesión uniforme ....................................................................... 9
Estabilizador de rolido tipo “sperry” .................................................................................... 12
Unidad estabilizadora de aletas............................................................................................ 14
Aplicaciones .................................................................................................................. 20
Ejercicio de aplicación numérica ................................................................................................ 22
Mecánica analítica ...................................................................................................................... 25
Ejercicio................................................................................................................................. 26
Bibliografía .................................................................................................................................. 31
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Mecánica Racional - Trabajo Final Asad L. – Dello Russo H.
Análisis del movimiento de rolido de un barco.
Figura 1
En primer lugar suponemos al barco flotando en aguas tranquilas donde no hay
perturbaciones (Figura 1.a). Consideramos a W como el peso del barco y
como la fuerza de
empuje. Ya que el sistema se encuentra en equilibrio (estabilidad vertical), no existe una
aceleración que modifique el estado del barco por lo tanto la sumatoria de fuerzas verticales
es igual a cero. Si consideramos las fuerzas actuantes nos quedaría de la siguiente manera:
Cuando el cuerpo gira el centroide del volumen del líquido desplazado se mueve a una nueva
ubicación C’ (Figura 1.b). Si C’ se mueve suficientemente lejos, se desarrolla un momento
restaurador y el cuerpo está estable, como se muestra. Esto queda determinado por la altura
metacéntrica
(h) definida como distancia de G al punto de intersección de la fuerza de
empuje antes de la rotación con la fuerza de empuje después de la rotación, denominado
metacentro (M). Su ubicación depende de la configuración geométrica de la nave. Si h es
positiva, como se muestra, el cuerpo está estable; si h es menor a cero (M queda debajo de G)
el cuerpo esta inestable, por lo tanto es uno de los puntos importantes en el diseño de la nave.
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Deducción de la altura metacéntrica:
Figura 2
Para la determinación de la altura metacéntrica primero debemos definir los siguientes
parámetros:


L= La longitud del cuerpo.
= Es el volumen original bajo el agua, es decir este corresponde al área encerrada

entre los puntos AEJF multiplicada por L.
= Es la porción de volumen agregada al volumen original. En otras palabras

podríamos decir que es el volumen que se sumerge conformado por el área DOE por la
longitud transversal L.
= Es la porción de volumen restada del volumen original. En otras palabras podemos

decir que es el volumen que emerge conformado por el área AOB por la longitud L.
= Es el volumen total sumergido conformado por
Para localizar el centroide del volumen compuesto
se toman momentos de la siguiente
manera:
Si observamos en la figura 2 podemos ver la distancia
es igual a cero, con la cual obtenemos
Representando lo anterior a través de integrales nos quedaría:
Si:
3
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Reemplazando los diferenciales de volumen en la ecuación del centroide obtenemos:
(1)
Donde Io es el momento de segundo orden (momento de inercia) del área al nivel de la línea de
flotación en torno a un eje que pasa por el origen 0.
Si tenemos que L es una longitud constante podemos obtener la siguiente expresión:
Reemplazando en (1):
Teniendo en cuenta la figura 2 podemos obtener una expresión de la altura metacéntrica
como la siguiente:
4
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Ecuación diferencial del movimiento, solución y frecuencia natural
resultante.
Figura 3
Consideremos a la nave un sistema vibratorio, porque cuando se retira de su posición de
equilibrio muestra una tendencia a volver a ella (Figura 3.a y 3.b). Supongamos que no existe
amortiguamiento. Para pequeños valores del ángulo la posición de M es independiente de
. El par de restitución es
y
o
ya que
es lo suficientemente pequeño
. Mediante la acción de este par, la nave oscilará con respecto al eje
longitudinal. Sea el momento de inercia con respecto a ese eje (el subíndice
representa la
nave), el principio de Newton se puede escribir como:
Si sabemos que es la aceleración angular entonces esta la podríamos reemplazar por
, y la ecuación nos quedaría de la siguiente forma:
Acomodando los términos nos quedaría la siguiente ecuación diferencial homogénea:
; (2)
(2) representa la ecuación diferencial para un sistema no amortiguado con un solo grado de
libertad, cuya resolución es la siguiente:
Sea:
;
;
Reemplazando en (2):
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Como consecuencia obtenemos que:
Para eliminar la parte imaginaria proponemos:
Realizando una sustitución obtenemos:
De esta manera mantenemos A y B complejas, pero C1 y C2 son reales, lo que nos permite
tener una función real como solución a nuestro problema. Así reemplazando obtenemos:
; (3)
Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema. En el
caso más general, las condiciones iniciales son:


Luego de (3) obtenemos:
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C1 = φ0
Tenemos así la solución del problema con valores iniciales, la cual es:
; (4)
De la (4), podemos observar que la frecuencia circular viene dada por
denotar
, llamándose en éste caso
y es costumbre
frecuencia circular natural del sistema. Se
llama natural porque es la frecuencia propia con que vibra el sistema al dejarlo libre, luego de
perturbarlo.
Vamos ahora a dar otra forma de expresar (4) para poder interpretar mejor las conclusiones.
Sea:
Siendo:
Figura 4.
Luego obtenemos:
Es decir (4) se transforma en:
; (5)
La (5) nos permite asegurar que un ciclo de movimiento se efectúa cuando un
T vario
2πrad. O sea, que el periodo T, verifica:
Como la frecuencia es
, resulta que la frecuencia natural del sistema viene dada por:
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En conclusión el movimiento del sistema es armónico.
Problema de aplicación: determinación del período.
Para la sección cuadrada equivalente de la figura 5, la altura h del metacentro es 0.9m.
Calcular el periodo T de la oscilación del buque.
Figura 5.
Dados:
= mg
= 0.9 (m)
=
=
(m2)
=
Ahora vamos a calcular la frecuencia natural del sistema.
(rad/seg)
Por último calculamos el período de vibración T con que oscilara el buque:
(seg)
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Estabilización del rolido
En el caso que la nave se encuentre en un mar picado, las olas van a ejercer sobre la misma un
par variable, más o menos periódicamente. Esa perturbación puede considerarse armónica y
tendría la forma de T0sen(ωt) que podrá escribirse en el segundo miembro de la ecuación (2).
A medida que la frecuencia ω se aproxime a la frecuencia natural ωn del mecimiento del barco,
las oscilaciones pueden ser sumamente grandes. En mares muy picados se ha observado que
el ángulo alcanza una magnitud de 20°. Por lo tanto, es necesario amortiguar estas
oscilaciones mediante algún sistema de control. Hay una extensa cantidad de sistemas de
estabilización de rolido en buques, pero nosotros nos vamos a centrar solo en aquellos que
comprendan la utilización de giróscopos para su funcionamiento. A continuación vamos a
describir la teoría del movimiento giroscópico para luego pasar a explicar los sistemas más
utilizados en la estabilización de buques.
Movimiento giroscópico: precesión uniforme.
Centraremos nuestra atención en éste caso particular ya que los tipos habituales y útiles del
movimiento giroscópico se dan cuando el eje de un rotor que gira a velocidad constante da
vueltas a velocidad constante alrededor de otro eje (movimiento de precesión).
Consideraremos la rotación de un cuerpo simétrico en torno a su centro de masa G que se
tomaría como origen de coordenadas, tal como se indica en el giróscopo de suspensión cardan
de la figura siguiente:
Figura 6.
Se observa que los ejes x e y son principales de inercia para el punto G, e independientemente
de la rotación de los ejes o de la rotación del cuerpo en torno al eje z, los mismos permanecen
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constantes con el tiempo. Convendremos en llamar Izz al momento de inercia principal,
respecto del eje de rotación propia y llamaremos I a los momentos de inercia respecto de los
otros ejes, los cuales serán iguales entre sí.
Para deducir las ecuaciones que rigen este tipo de movimiento se emplea la ecuación general
del momento cinético o ecuación de Euler para el caso de cuerpo rígido, aplicándola a un
cuerpo sobre su eje de simetría de revolución.
Ecuación de Euler:
Donde
es el momento de todas las fuerzas exteriores respecto del centro de momento G,
es la rotación de la terna relativa y
es el momento cinético del cuerpo.
El término entre corchetes representa la variación del momento cinético del cuerpo con
respecto a la terna relativa, y el producto vectorial representa la parte debida a los cambios de
dirección de las componentes de
.
Antes de aplicar las ecuaciones anteriormente citadas introducimos un sistema de
coordenadas que ofrezcan una descripción natural del problema considerado. Éstas
coordenadas son los ángulos de Euler que describiremos a continuación:

= spin o rotación propia.

=precesión.

=nutación.
Representados gráficamente quedan de la siguiente manera:
Figura 7.
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Los ángulos θ y ψ especifican completamente la posición del eje del rotor, y el desplazamiento
angular del rotor está especificado por el ángulo φ.
Aplicando el nuevo sistema coordenado nos quedan las ecuaciones de Euler para un
movimiento giroscópico sometido a un sistema de fuerzas cualquiera. Las ecuaciones
resultantes son las siguientes:
Ahora vamos a examinar el caso particular de precesión uniforme. Las condiciones que se
cumplen son:
De las ecuaciones de Euler se obtiene:
Lo que significa que al aplicar un momento respecto al punto O según una dirección normal al
plano que determinan la rotación propia y la precesión se logra poner al giróscopo en
precesión estable.
Un caso muy común y que tiene su aplicación en la estabilización de buques es en el que
denominado precesión estable normal.
O vectorialmente:
En la siguiente figura se muestran tres orientaciones de los vectores.
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Figura 8.
Así, mediante la precesión controlada de un giroscopio de gran tamaño montado en un buque
se consigue producir un momento giroscópico capaz de contrarrestar el balanceo del buque en
el mar.
Estabilizador de rolido del tipo “Sperry”
Figura 9.
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La utilidad de un giroscopio como estabilizador se basa en que el eje constante del mismo
compensa los movimientos del barco, y reduce su tendencia al balanceo. En 1908, utilizando
este principio, Sperry inventó el giroscopio direccional.
Este giróscopo posee un eje BB que pasa por el centro de gravedad. El engranaje C hace las
veces de freno al acoplarse mediante un piñón al eje de un motor de corriente continua D.
Además del giróscopo principal, también posee un giróscopo piloto, con una dimensión total
de aproximadamente 12 cm, siendo una réplica exacta del giróscopo principal. La única
diferencia es que en el giróscopo piloto no existe el engranaje C, en lugar de este se tiene un
par de contactos eléctricos d1 y d2, los cuales se disponen uno delante y otro detrás del marco
del rotor.
La forma de operar del este giróscopo es la siguiente: cuando el barco experimenta una
velocidad de balanceo en el sentido de las manecillas del reloj (visto desde la popa) la parte
superior del marco del rotor piloto se acelera hacia el frente de la nave cerrando el contacto
d2. Esta sección acciona los reguladores eléctricos que originan la precesión del motor D, de
manera que haga girar el marco con respecto al eje BB en la misma dirección que el marco
piloto. Es decir, la parte superior del marco principal se mueve hacia el frente de la nave. Esto
requiere un par M torsional en el sentido de las manecillas del reloj, que origina una reacción
en el sentido contrario en el marco del rotor principal, y por consecuencia en la nave. Como
resultado vemos que el giróscopo principal origina un par torsional sobre el barco que se
opone a la velocidad del balanceo, contrarrestando de esta forma el mecimiento con mayor
efectividad. Tan pronto como la velocidad del balanceo del barco se hace cero, el par del piloto
desaparece y el rotor piloto vuelve a su posición neutral ya que es empujado por dos resortes
(e). El piloto se saldrá de su posición de equilibrio solamente cuando el vaivén adquiera una
velocidad. Así siempre habrá un par actuando sobre la nave en oposición a la velocidad
instantánea de vaivén, debido a que el par estará siempre en contra de la velocidad angular, y
destruirá la máxima cantidad de energía del movimiento de balanceo.
Hemos visto que la dirección de la precesión deseada
del giróscopo principal, es la misma
que la del giro piloto libre, lo que significa que el motor D hace girar el giróscopo principal en la
misma dirección que lo haría por sí solo, si estuviera en libertad de moverse sobre los cojinetes
B. pero puede verificarse que si existiera esta libertad, el giróscopo principal tendría una
precesión rápida en forma acelerada y alcanzaría =90º en una pequeña fracción del período
de balanceo. En esta posición de balanceo dejaría de influir el giróscopo. Por lo tanto, el motor
D no empuja al giróscopo principal, sino que actúa como freno del mismo, manteniendo la
velocidad de precesión baja, a un valor adecuado.
En las instalaciones reales el giróscopo tiene su eje AA horizontal y al revés de la nave,
mientras que el eje BB de su marco es vertical. La recta que une a los contactos d1 y d2
permanece paralela al eje longitudinal de la nave, al igual que antes.
Los giróscopos estabilizadores de Sperry se han instalado con bastante éxito en muchos yates.
Sus usos en el transatlántico italiano “Conte di Savoia” demostró que un fuerte balanceo se
podía amortiguar con efectividad mediante este dispositivo. Pero en las poderosas tormentas
del Atlántico, se encontró que tan solo una ola inclinaba el barco bajo un ángulo de 17º; y,
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puesto que la potencia del giróscopo es solamente suficiente para girar al barco dos grados, el
mayor ángulo de inclinación con y sin estabilizador no difería materialmente. Un giróscopo que
mantuviera a la nave equilibrada en los momentos más adversos, resultaría prácticamente
imposible, ya que este tendría que ser demasiado grande, del orden del 5% del peso total de la
nave.
Unidad estabilizadora de aletas
La función del estabilizador de aletas es aplicar un amortiguamiento artificial al casco del
buque mediante la generación de un par de torsión alrededor del eje de rotación; dicho par va
a ser proporcional al balanceo de casco y en el sentido contrario al mismo.
Se instala una pareja de aletas por debajo de la línea de flotación de manera que su posición
central (normal) permanezca en el plano de agua local neutral del casco. Las alas pueden girar
a través de un pequeño ángulo con respecto a su eje longitudinal (de babor a estribor) y, por
ende, el ángulo de ataque puede variar y, en consecuencia, variara igualmente la fuerza del
empuje hidrodinámico del agua.
Figura 10.
Por ejemplo, si la aleta hidráulica izquierda (o de babor) tiene un ángulo positivo de ataque
grande y un empuje hacia arriba, mientras que la de la derecha (o de estribor) tiene un ángulo
de ataque negativo con empuje hacia abajo, presentándose entonces un par hidrodinámico
mecedor que, visto desde atrás, será en el sentido de las manecillas del reloj. Si ahora estos
ángulos de ataque se cambian constantemente mediante el impulso de un motor (controlado
por un giróscopo piloto), de manera que el par de torsión de la nave sea opuesto al de la
velocidad de mecimiento, el movimiento del balanceo quedara amortiguado.
El sistema de estabilización de un buque está formado por:

Una parte mecánica: que son las aletas (móviles) y su parte de mecanismo de
articulación o fijación al casco.

Una parte hidráulica: compuesta por una bomba para cada aleta y sus
correspondientes válvulas y cilindros hidráulicos que mueven la misma. En este caso,
el circuito es similar al del timón, pero tenemos dos cilindros de poder de simple
efecto por aleta.
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
Una parte electrónica: que es la encargada de: procesar en forma casi instantánea los
datos de velocidad (de la corredera) e inclinación (clinómetro) del buque para producir
una orden eléctrica a las unidades hidráulicas que moverán las aletas.
Causas de la desestabilización:
Figura 11.
Donde:
M 0  Momento de la ola
  Pendiente de la ola
  Angulo de rolido del buque
La relación
es el índice normalmente usado para evaluar el comportamiento dinámico
de un buque que rola. Cuando mayor sea esta relación más sensible a la perturbación va a ser
el mismo.
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Momentos de rolido que actúan sobre el buque:
Figura 12.
Las cuplas actuantes son:

Momento de la ola: el cual va a ser directamente proporcional a la pendiente que
tenga la ola. Cuando aparece esta perturbación, habrá cuatro momentos que se
opongan a la misma, los cuales son:

Momento estabilizante: este es directamente proporcional al ángulo de rolido del
buque. Aquí vale recordar el principio de Arquímedes teniendo en cuenta cómo varía
la distancia desde el centro de gravedad del buque a la línea de acción del empuje que
realiza el agua sobre el mismo, que pasa por el centro de gravedad del líquido
desplazado.

Momento de fricción o amortiguamiento entre el fluido y el casco del buque: éste es
proporcional a la velocidad de rolido. Surge debido al roce entre capas de fluido
cuando el buque comienza a rolar. El agua actúa como amortiguador para el rolido
debido a su viscosidad, que es pequeña pero está presente.

Momento debido a la inercia del buque: depende de la aceleración de rolido.

Momento corrector de las aletas: el cual nos va a indicar el ángulo de ataque que van
a tener las aletas en cada instante. El mismo va a corresponder a una cupla que es
igual a
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Figura 13.
Considerando los momentos anteriormente citados y realizando una sumatoria de momentos
se puede obtener el ángulo de ataque de las aletas, quedando éste en función de la
velocidad del buque, el ángulo de rolido, la pendiente de la ola, la velocidad y aceleración
angular de rolido del buque. El sistema consta de dos giróscopos que censan velocidad y
ángulo de rolido, que luego son utilizados por el sistema de control para determinar el ángulo
de ataque de las aletas correspondiente. La velocidad y aceleración angular de rolido se
obtienen de forma indirecta a partir del ángulo de rolido.
Con el objeto de evitar que el equipo estabilizador, en caso de una escora permanente (como
por ejemplo: el empuje lateral constante del viento o una distribución no uniforme del peso en
el casco) intente mantener el buque adrizado, el sistema no utiliza como dato el ángulo φ sino
que considera la diferencia entre φ y φ1, siendo este último el ángulo de escora permanente,
que corresponde a un ángulo promedio en un determinado intervalo de tiempo.
Figura 14.
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Diagrama en bloque del sistema de control:
Figura 15.
El sistema va a emitir una orden al circuito hidráulico de poner a las aletas con un cierto
ángulo. Éste ángulo (orden) va a ser el ángulo teórico y a través de la realimentación (3)
tenemos como dato el ángulo real que tienen las aletas en todo momento. Ambos valores se
restan en el comparador C ( teórico -  real).
Si esta diferencia es distinta de cero tendremos una señal de error y el circuito hidráulico
moverá la respectiva aleta hasta posicionarla de tal manera que dicha señal sea cero. De esta
manera, las aletas volverán a moverse cuando se modifique teórico (esto sucede
constantemente).
Consideraciones importantes:
Aunque su peso es pequeño comparado con el de la nave, tiene la desventaja de que aumenta
la resistencia al avance del barco en un pequeño porcentaje, de manera que el costo de la
parte total del combustible utilizado durante la vida de la nave deberá cargarse en su contra.
Esta desventaja se ha superado recientemente instalando aletas retractables, de tal suerte que
se utilizan durante el mal tiempo. Debemos mencionar que los estabilizadores giroscópicos
trabajan aun cuando la nave está en reposo, no así los estabilizadores de aletas, que dependen
para su operación de la velocidad de la nave. La forma “pasiva” o inactiva del sistema en aletas
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se ha usado durante años en forma de quillas, que no son sino burdas aletas acopladas
permanentemente a los lados de la nave.
Figura 16.
Cuando el barco tiene una velocidad hacia delante, no se genera ninguna fuerza de empuje en
estas quillas, porque el ángulo de ataque es cero; pero cuando la nave oscila, su propio
movimiento oscilatorio induce un ángulo aparente de ataque que origina unas fuerzas de
empuje formando un par opuesto a la dirección de la velocidad de balanceo. Las quillas son
bastante deficientes para impedir la oscilación cuando el barco está en reposo, pero resultan
efectivas con intensidad aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad cuando la
nave avanza.
Régimen de funcionamiento:
En el siguiente gráfico se representan el ángulo de rolido del buque  y el ángulo de incidencia
de las aletas  en función del tiempo. En el mismo observamos cómo disminuye  cuando las
aletas están funcionando.
El ejemplo corresponde a un buque como lo es el Almirante Irizar donde las aletas son
retráctiles.
Figura 17.
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En el intervalo I las aletas se encuentran recogida, en el II están extendidas y por último en el
III las aletas se encuentran en pleno funcionamientos.
Aplicaciones:
Este sistema se instaló en algunos destructores británicos durante la última guerra.
También el estabilizador de rolido Vosper Thornycroft es utilizado en las corbetas de guerra
Meko 140 de diseño alemán y fabricado en el país.
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DIAGRAMA EN BLOCK DEL ESTABILIZADOR DE ROLIDO VOSPER THORNYCROFT:
Figura 18.
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Ejercicio de aplicación numérica
Figura 19.
En el giróscopo de eje vertical (rotación propia
) de la figura, el motor A impone un
movimiento de precesión a través de la rueda B alrededor de un eje horizontal transversal al
barco. La rotación propia del rotor adentro del alojamiento se estabiliza en 960rpm en el
sentido que se indica. El rotor pesa 80tn y su radio de giro es de 1,46m. La rueda B gira a 0,32
rad/s.
A continuación determinaremos la magnitud del momento ejercido sobre la estructura del
casco por el giróscopo y explicar en cuál de los dos sentidos (a) o (b) debería girar el motor
para contrarrestar un balanceo del barco hacia babor.
Referencias:

: velocidad angular de precesión.

: velocidad angular del rotor.

: momento ejercido por el giróscopo sobre la estructura.

: radio de giro del rotor.


: momento de inercia con respecto al eje de rotación del rotor `z’.
: masa del rotor.
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Figura 20.
El momento para contrarrestar un balanceo hacia babor debe ser en dirección ), por lo tanto
es necesario que la precesión sea en la dirección
para que se cumpla el producto vectorial.
Figura 21.
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Como se muestra en ésta proyección sobre el plano
Cálculo del momento
, el motor A debe girar en el sentido (b).
:
= 170528 kg.m2
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Mecánica Analítica
En el método de la dinámica analítica o de Lagrange se introducen coordenadas generalizadas
(qj) en igual cantidad que los grados de libertad del sistema (k). El método de Lagrange reduce
todo el campo de la estática, de la dinámica de partículas y de la dinámica de cuerpos rígidos a
un solo procedimiento que implica las mismas etapas básicas independientemente del número
de masas consideradas, del tipo de coordenadas empleadas (es válido tanto para coordenadas
inerciales como para no inerciales), del número de restricciones o vínculos sobre el sistema y
de que éstos y el marco de referencia estén o no en movimiento. Por lo tanto, puede ser
considerado como un método general que abarca a otros métodos especiales. Este método se
basa en magnitudes escalares, las cuales son la energía cinética (e), energía potencial (p),
trabajo virtual (δW), y en muchos casos, la función de potencia (P).
El ejercicio de aplicación realizado a continuación puede ser resuelto utilizando la ecuación de
Lagrange para un punto material bajo fuerzas conservativas, ya que la única fuerza actuante es
la del peso del semidisco. Por lo tanto vamos a realizar una breve descripción de esta ecuación.
Ecuación de Lagrange para un punto material bajo la acción de fuerzas conservativas:
Introduciendo la llamada “función de Lagrange” o “función Lagrangiana”
Resulta:
Estas k ecuaciones de segundo orden para cada grado de libertad j, darán la ecuación de
movimiento del punto material que corresponde a cada grado de libertad.
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Ejercicio de Mecánica Analítica
En el experimento de la figura 23 se ensaya la respuesta de una embarcación cuya
sección transversal se modela mediante un disco semicircular de radio y masa ,
sometido a los movimientos simultáneos de rolido ( ) y zigzagueo ( ), deseándose
verificar que ambos tienen lugar desacoplados entre sí.
El semidisco pivotea libremente como un péndulo alrededor del eje . La plataforma de
soporte y los pedestales porta cojinetes poseen un momento de inercia
respecto del
eje , alrededor del cual gira el conjunto, sin par motor y sin frenado.
Figura 22.
Demostrar analíticamente que el movimiento pendular del semidisco no está afectado
por la rotación de la plataforma.
En la terna 1,2,3 los ejes del semidisco son principales de inercia.
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Velocidades angulares:
Cada componente del versor , es uno de los cosenos directores.
Momentos de inercia:
= momento de inercia del soporte y los pedestales.
Calculo de la energía cinética.
; (6)
Para nuestro problema la energía cinética queda determinada de la siguiente forma:
Ambos sumando se calculan con (6). En los dos sumando el primer y el último termino
de la (6) son iguales a cero debido a
. Por lo tanto la energía cinética la
obtenemos de la siguiente forma:
Donde:
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Otro método para calcular el
.
Figura 23.
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Figura 24.
Calculo de la energía Potencial:
Figura 25.
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Función de Lagrange:
Para :
Por lo tanto nos queda:
(7)
Para :
Por lo tanto nos queda:
(8)
Las ecuaciones (7) y (8) están desacopladas, con lo que se demuestra que ambos
parámetros -zizagueo y rolido- son independientes entre sí. Es decir, que el movimiento
pendular del semidisco no está afectado por la rotación de la plataforma.
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Bibliografía:
 L. Ercoli, Mecánica Racional, Monografía de la cátedra, UTN-FRBB, 2005.
 J.P. Den Hartog, Mecánica de las vibraciones, CECSA, 1978.
 J.L. Meriam/L.G. Kraige, Mecánica para Ingenieros: Dinámica, 3ª Edición,
Editorial Reverté.
 Merle C. Potter, Mecánica de los fluidos, 3ª Edición, Prentice Hall 1997.
 Material suministrado en la vistita realizada a la base naval Puerto Belgrano.
Software utilizado:
 Microsoft Office Word 2007.
 Solid Edge V14.
 Microsoft Paint.
Agradecimientos:
Al Ing. Néstor Ricciuti por organizarnos una visita a los talleres de la Base Naval Puerto
Belgrano y por su colaboración en la consecución de información sobre la utilización de
giróscopos.
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