1. preliminares del curso diseño de elementos de máquinas

1. PRELIMINARES DEL CURSO DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Al diseñar los elementos de máquinas en general son varios los criterios que deben
ser tenidos en cuenta para garantizar su funcionalidad, estabilidad de trabajo y
fiabilidad bajo todas las condiciones de operación. Entre los criterios que el
diseñador debe considerar al proyectar cualquier componente se cuentan la
resistencia mecánica en el núcleo y en la superficie, la rigidez y la estabilidad de
las formas y las superficies de los elementos bajo cargas estáticas, de impacto y
variables.
En este capítulo se recuerdan algunos conceptos de resistencia de materiales, los
más utilizados en los cálculos de diseño de piezas a partir del criterio de la
resistencia mecánica. El diseñador debe siempre preguntarse si es la resistencia el
criterio fundamental de dimensionamiento o en qué casos debe utilizarse en una
etapa de cálculo de comprobación.
1.1.
CONSIDERACIONES DE RESISTENCIA EN LAS SOLICITACIONES ESTÁTICAS DE
LAS PIEZAS.
La mayoría de los diseños en los sistemas de potencia mecánicos vinculan las
cargas que una pieza de un material dado debe soportar o transmitir, bajo unas
condiciones de operación y seguridad estipuladas, con la forma y las dimensiones
de dicha pieza. Se habla así de los diseños de proyecto, a partir de la resistencia
mecánica. Los otros cálculos pueden resultar de análisis y comprobación.
Algunos piezas por su aplicación pueden incluir modificaciones constructivas
generadas por perforaciones o labraduras para posicionamiento de piezas, estrías
internas o externas bajo diferentes ángulos, canales de lubricación, inclusión de
elementos de diferente material (piezas compuestas), etc. En esos casos es
importante realizar un análisis de los esfuerzos en los planos relativos o aledaños a
esas zonas, con el fin de compararlos con los esfuerzos permisibles para la pieza.
En piezas que estén sometidas a esfuerzos bidimensionales (reducción de los
estados tensionales a dos esfuerzos principales 1 y 2), como en los recipientes a
presión, piezas sometidas a esfuerzos de contacto, discos, volantes, etc. los
esfuerzos normales y cortantes en un plano de interés (figura 1.1) estarán dados
por:


    1  cos 2    2  cos 2    2 ó
    1  cos 2    2  sin 2 


   0 ,5· 1  sin 2  0 ,5   2  sin 2    2 ó
   0 ,5   1   2   sin 2
(1.1)
(1.2)
1
Se recuerda que los esfuerzos cortantes máximos son iguales a la mitad de la
diferencia entre los esfuerzos normales principales y se ubican en secciones a 45°
con relación a las secciones de aplicación de los esfuerzos principales, resultado
de hacer sin 2  1 :
 max   1   2  / 2 ;   45  .
(1.3)
Figura 1.1. Esfuerzos en las secciones inclinadas en una zona de una pieza bajo la
acción de esfuerzos planos o bidimensionales.
Para el caso en que los dos esfuerzos principales sean iguales (figura
1.1,c):  1   2   -estado denominado de tracción (compresión) biaxial uniforme-,
los esfuerzos cortantes  en todas las secciones que pasen por el punto de
estudio serán iguales a cero, mientras que el esfuerzo normal no cambiará:
   .
Para el caso en que los dos esfuerzos principales sean iguales en magnitud pero
diferentes en signo (figura 1.1,d):  1    3   - estado denominado de
deslizamiento puro-, los esfuerzos normales y cortantes  en los planos inclinados
bajo los ángulos  = 45° y  = 135° son    0 y      .
El caso más generalizado al planteado hasta ahora consiste en determinar los
esfuerzos nomales  y  y cizallantes actuantes sobre una sección bajo
cualquier ángulo , dada una combinación de esfuerzos normales  y  y
cizallantes , en un elemento infinitesimal de una pieza. El problema se ilustra en la
figura 1.2.
2
Figura 1.2. Determinación de los esfuerzos normales y cizallantes sobre un plano
ubicado bajo un ángulo  dado.
Proyectando todas las fuerzas en las direcciones normal y tangencial al plano en
cuestión:
   dA     dA  cos   cos    dA  cos   sin   ·dA  sin   cos     dA  sin  sin  0
  dA     dA  cos   sin    dA  cos   cos    dA  sin   sin     dA  sin  cos  0
Se obtienen las expresiones para los esfuerzos  y  :
     cos 2     sin 2     sin 2
(1.4)
  0 ,5     sin 2    cos 2
Igualando los esfuerzos cortantes a cero, se obtienen los planos de ubicación de
los esfuerzos principales (o y o+/2):


0 ,5        sin 2 0    cos 2 0  0 , ó


tan 2 0  2   /      .
(1.5)
Considerando las relaciones trigonométricas
sin 2 0  
tan 2 0
1  tan 2 0
2
cos 2  0  0 ,5  1  cos 2 0 ;
; cos 2 0  
1
1  tan 2 2 0
sin 2  0  0 ,5  1  cos 2 0  ,
se obtienen las expresiones para dos de los esfuerzos principales:
 max  0 ,5         0 ,5       2  4 2
(1.6)
min
3
En el caso de estado de esfuerzos biaxial, el tercer esfuerzo es igual a cero, por lo
que la definición convencional de los esfuerzos 1,  y  depende de las
magnitudes y signos obtenidos para los esfuerzos max y min.
Si uno de los esfuerzos es igual a cero, la expresión anterior se simplifica:
 max  0 ,5  0,5  2  4 2
(1.7)
min
Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo se hallan igualando a cero la derivada
de los esfuerzos cortantes :
 max   0 ,5  2  4 2
(1.8)
min
Ejemplo. Determinar la magnitud y dirección de los esfuerzos principales para el
elemento mostrado en la figura 1.2, si  = 45 MPa,  = 32 MPa y  = 15 MPa.
2  15
  2 ,307 ;
32  45
2 0   6634' ;
tan 2 0 
 0   3317'
El signo negativo indica que el ángulo o se cuenta a partir de la dirección del
esfuerzo  en el sentido de giro de las manecillas del reloj.
45  32
1
45  32 2  4  15 2  37 ,5  16 ,35  53,85 MPa ,

2
2
 37 ,5  16 ,35  21,15 MPa
 max 
 min
max actúa sobre el área en la dirección o, mientras que min actúa en el área
ubicada bajo el ángulo o + /2.
Si en el ejemplo dado el esfuerzo cizallante  tuviera la dirección contraria, el
ángulo obtenido o sería positivo, lo que ubicaría a max a un ángulo o, con
respecto a la dirección del esfuerzo , contado en el sentido de giro contrario a
las manecillas del reloj.
1.1.1. RELACIÓN ENTRE LAS DEFORMACIONES Y LOS ESFUERZOS
Considerando la ley de Hooke para el estado de esfuerzos uniaxial, la relación
entre las deformaciones longitudinales y transversales y el principio de
independencia de acción de las cargas (superposición), los esfuerzos se
relacionan con las deformaciones por las expresiones:
4
 1  E(  1     2 ) /( 1   2 ) y
 2  E(  2     1 ) /( 1   2 )
(1.9)
Para el estado de cargas tridimensional, cuando los esfuerzos principales se
conocen, las deformaciones en los ejes principales son determinadas por las
expresiones:
1
  1     2   3 ,
E
1
 2    2     3   1 ,
E
1
 3    3     1   2 
E
1 
(1.10)
Estas expresiones representan la ley de Hooke generalizada.
Si se toman las dimensiones de las aristas de un cubo igual a 1 mm, su volumen es
igual a 1 mm3 y el volumen después de la deformación provocada por la
aplicación de cargas está dado por:
V  1   1   1   2   1   3   1   1   2   3
(1.11)
La variación relativa del volumen es:
  V1  V0  / V0   1   2   3 ,
(1.12)
ó, en términos de los esfuerzos principales:
  1  2     1   2   3  / E
(1.13)
Figura 1.3. El cubo de caucho
ABCD
sin
holguras
está
incrustado en un molde de acero
de
manera
que
puede
deformarse por dos de sus caras
opuestas, al tiempo que por la
cara superior se le aplica una
presión p. Se debe determinar el
esfuerzo x, las deformaciones y
y z y también el cambio relativo
v del volumen. El módulo de
elasticidad y el coeficiente de
Poisson
son
E
y

respectivamente; se desprecia la
fricción entre el cubo y las
paredes del molde [1].
5
Un ejemplo de aplicación de las expresiones para las deformaciones relativas
puede ser el ilustrado en la figura 1.3.
Dados  y  0 ,  z   p y  x  0 , si se desprecia la fricción entre las caras del
cubo y el molde y considerando a ésta absolutamente rígida, se obtiene:
 x   p ;  y     1 p / E ;


 z   1   2 p / E;
   x   y   z   1  2  1    p / E
1.1.2. ESFUERZOS COMBINADOS Y TEORÍAS DE FALLA
Para la mayoría de los materiales de ingeniería son conocidas y reportadas
comercialmente las propiedades mecánicas fundamentales limitantes de las
máximas cargas simples que en el laboratorio se pueden aplicar a las probetas
respectivas en acuerdo con los estándares de pruebas y ensayos. Así, las
características del diagrama esfuerzo-deformación de un acero de construcción,
obtenidas tras cargar a tracción o compresión una probeta de este material, o su
dureza luego de un tratamiento térmico, son reportadas por los fabricantes o
procesadores del acero dado.
Sin embargo, las piezas de las máquinas pueden ser sometidas a modos de
solicitación complejos, en los que no solamente se generan esfuerzos normales,
sino también cizallantes, en combinaciones no previstas por las pruebas
estandarizadas y no resulta económico para cada combinación de esfuerzos
prescribir nuevos montajes de prueba.
Por lo anterior se hace necesario disponer de ayudas analíticas que permitan
valorar el peligro de que el material, sometido a esfuerzos combinados, esté
cercano a perder su elasticidad (en materiales dúctiles) o cercano a la rotura (en
materiales frágiles), sin recurrir a complicados montajes experimentales y
utilizando sólo la información de las pruebas de estado uniaxiales.
Las ayudas analíticas mencionadas se conocen como hipótesis o teorías de
resistencia y, a pesar de tener carácter teórico, han sido validadas por los
resultados experimentales, teniendo ellas diferentes grados de aplicabilidad,
según el caso y el material. Son muchas las teorías que grupos de investigación en
diferentes países han elaborado y probado desde mediados del siglo 19.
Las teorías de resistencia tienen como premisa que dos estados de esfuerzos
cualesquiera son igualmente peligrosos y de igual solicitación si el estado límite se
alcanza simultáneamente en ellos al aumentárseles proporcionalmente los
esfuerzos principales en una misma magnitud.
Para el diseño o cálculos de comprobación de resistencia de los elementos de los
sistemas de transmisión de potencia es amplio el uso de las teorías del esfuerzo
6
normal máximo, del esfuerzo cortante máximo y del esfuerzo cortante octaédrico.
Según la teoría del esfuerzo normal máximo una pieza, sometida a esfuerzos
combinados normales y cizallantes, se encuentra en su estado peligroso si en
alguno de sus puntos el esfuerzo máximo supera el límite último de resistencia del
material (reducido por los factores modificadores y, considerando, claro, los
esfuerzos límites para los esfuerzos normales de tracción o de compresión, según
sea el caso).
Para el estado de carga compuesto de esfuerzos normales biaxiales y esfuerzo
cizallante, la aplicación de la primera teoría de resistencia a un problema de
diseño se traduce en la expresión:
 max  0 ,5       0 ,5      2  4 2    ,
(1.14)
min
siendo [] el esfuerzo permisible o admisible de la pieza. Se observa que se
obtienen dos esfuerzos principales que pueden ser ambos positivos, ambos
negativos o uno positivo y otro negativo. Las comparaciones se harán
respectivamente con el esfuerzo último de tracción, el esfuerzo último de
compresión o con ambos. La teoría de los esfuerzos normales máximos se verifica
experimentalmente con mayor aproximación para materiales bastante frágiles y
lo suficientemente homogéneos como vidrio, yeso y algunos compuestos
cerámicos.
Si sólo se aplican esfuerzos normales en una dirección, la expresión de cálculo por
la primera teoría de resistencia se reduce a:
 max  0 ,5  0 ,5  2  4 2   
(1.15)
min
En diseño se habla de que en la pieza actúa un esfuerzo equivalente:
 e  0 ,5  0 ,5  2  4 2   
(1.16)
El esfuerzo equivalente debe interpretarse como el esfuerzo de tracción (o de
compresión) uniaxial que debe crearse en la pieza para que su estado de
esfuerzos sea igual al estado de esfuerzos complejos real al que está sometida la
pieza.
Según la teoría de los esfuerzos cortantes o tangenciales máximos el estado
peligroso tiene lugar cuando el esfuerzo cortante máximo en algún punto de la
pieza sometida a esfuerzos combinados supera el máximo esfuerzo cortante
admisible en una probeta sometida tracción  max   1   3  / 2    . En el caso
particular en el que para un punto sobre el plano de cálculo actúan solamente
un esfuerzo normal y un esfuerzo cizallante la expresión de cálculo toma la forma:
 max   0 ,5  2  4 2   
(1.17)
min
7
Como el límite de resistencia en cizalladura es igual a la mitad del límite de
resistencia en tracción (si 1  0, 2 = 3 = 0,  = 1/2 = /2), al hacer uso de esta
teoría se deriva un esfuerzo equivalente, que para el caso de combinación de
esfuerzo normal uniaxial y esfuerzo cizallante se encuentra como:
 e   2  4 2   
(1.18)
La teoría del esfuerzo cortante máximo arroja buen acuerdo con los resultados
experimentales para los materiales dúctiles que resisten de igual manera la
tracción y la compresión. La aplicación de esta teoría permite también expresar
el límite de fluencia en cizalladura en función del límite de fluencia normal:
y = 0,5y
(1.19)
La teoría del esfuerzo cortante octaédrico establece que una pieza se encuentra
en su estado límite cuando en algún punto de ella el máximo esfuerzo cortante
octaédrico supere el esfuerzo cortante octaédrico presentado en la pieza
sometida sólo a tracción, cuando el máximo esfuerzo de tracción ha alcanzado
su estado límite. El esfuerzo cortante octaédrico se determina por la expresión:
 oct 
1
3
 1 -  2 2   1 -  3 2   2 -  3 2
(1.20)
Esta teoría genera las mismas expresiones que la teoría de la energía potencial
unitaria de variación de la forma, según la cual el estado peligroso se determina
por el valor máximo de la energía unitaria acumulada de variación de la forma, la
cual puede compararse con la variación unitaria máxima admisible de la forma
de la pieza sometida sólo a tracción.
De la teoría del esfuerzo cortante octaédrico puede derivarse una expresión de
esfuerzo equivalente, que para el caso más sencillo compuesto de un esfuerzo
normal y un esfuerzo cizallante tiene la forma:
 e   2  3 2   
(1.21)
La aplicación de esta teoría permite expresar el límite de fluencia en cizalladura
en función del límite de fluencia normal (a partir del caso de deslizamiento puro,
cuando  e  3 2 ;  y  3 y ) :
 y   y / 3  0,577 y
(1.22)
La teoría del esfuerzo cortante octaédrico se emplea ampliamente al calcular
elementos, fabricados de materiales dúctiles, sometidos a esfuerzos combinados.
8
1.2.
ESFUERZOS VARIABLES Y TEORÍAS DE FATIGA
Es común en las piezas de máquinas la rotura ocurrida tras la aplicación repetida
de cargas variables de magnitud muy por debajo del límite de resistencia
estático. La variedad de este tipo de fallas se agrupa bajo el conjunto conocido
de fallas producidas por fatiga del material.
En el laboratorio de resistencia de materiales se suele determinar el límite de
fatiga de una probeta giratoria de un material dado, sometida a flexión derivada
de la aplicación de una carga constante en el centro del vuelo. Los esfuerzos así
generados son esfuerzos normales alternativos y simétricos, el esfuerzo medio es
igual a cero y el esfuerzo alternativo es igual al esfuerzo normal máximo generado
por la flexión. El límite de resistencia hallado para un número de ciclo base en este
caso se conoce como límite de fatiga y se denota como -1.
Como las piezas mecánicas pueden cargarse con diferentes combinaciones de
esfuerzos alternos, a y medios, m, se utilizan las teorías de fatiga para determinar
el estado de seguridad de un caso en particular. Entre estas teorías, las más
utilizadas son las de Goodman, para materiales frágiles y las de Soderberg y
Gerber para materiales dúctiles.
La expresión de Goodman relaciona los límites último y de fatiga con los esfuerzos
medio y alterno respectivamente, al tiempo que la expresión de Soderberg
relaciona los límites de fluencia y de fatiga con los respectivos medio y alterno.
Dichas expresiones son:
1 m a


y
N  u  -1
1 m a
,


N  y  -1
Ecuación de Goodman:
Ecuación de Soderberg:
(1.23)
(1.24)
donde N es el coeficiente de seguridad.
De las expresiones de Goodman y Soderberg se pueden derivar expresiones para
un esfuerzo equivalente de carácter estático, si se multiplican las expresiones por
el límite último (para materiales frágiles) o de fluencia (para materiales dúctiles), o
de carácter de fatiga bajo régimen alternativo simétrico, si se multiplican las
ecuaciones por el límite de fatiga.
Es conveniente para los aceros hablar de un esfuerzo de naturaleza estática,
equivalente por sus resultados al estado de esfuerzos variables. Multiplicando la
expresión de Soderberg a ambos lados por el esfuerzo límite de fluencia, y, se
obtiene:
e 
y
N
 m 
y
 -1
a
(1.25)
9
Análogamente, puede hablarse de un esfuerzo equivalente en cizalladura,
cuando está se presenta bajo ciclos variables.
e 
y
N
 m 
y
 -1
a
(1.26)
En las expresiones anteriores podría hablarse de un coeficiente de seguridad
según los esfuerzos normales, n, y un coeficiente de seguridad según los esfuerzos
cizallantes, n.
Como las expresiones e y e tienen ya carácter estático, ellas pueden
reemplazarse en las expresiones de esfuerzos combinados, dadas por las teorías
de esfuerzo cortante máximo y esfuerzo cortante octaédrico y, considerando el
esfuerzo permisible [] igual al límite de fluencia sobre el coeficiente de seguridad,
y/N, se puede obtener la expresión generalizada para el cálculo de cualquier
componente mecánico sometido a esfuerzos combinados y variables:
2
2

  
 
1
1
  m  a   m  a  




N 
N
  y  -1    y  - 1 
(1.27)
En esta expresión los límites de fatiga normales y cizallantes, -1 y -1, deben
modificarse por los concentradores de esfuerzo, los factores de escala, de
superficie y de longevidad, al utilizar la fórmula para el cálculo de una pieza en
concreto (tal como está se aplica sólo al cálculo de una probeta).
La reflexión hecha anteriormente para obtener la ecuación general tiene un
carácter práctico y convencional, pero no hay que olvidar que “la teoría de la
elasticidad, que permite calcular de una manera precisa los esfuerzos estáticos y
sus efectos (alargamientos, flechas, etc.), no parece conducir a resultados
exactos de los efectos en los casos de esfuerzos dinámicos y, de manera general,
variable. Los materiales no son ni continuos ni homogéneos; la repartición de los
esfuerzos no es homogénea porque siempre existen concentraciones de
esfuerzos; la ley de Hooke no se aplica exactamente en cargas variables porque
se presentan fenómenos de histéresis tras la carga y descarga de la pieza” [1].
El coeficiente de seguridad N de la fórmula anterior es la resultante de un
coeficiente de seguridad según los esfuerzos normales y un coeficiente de
seguridad según los esfuerzos cizallantes. La fórmula podría plantearse como:
N
10
n  n
n2  n2
 N 
(1.28)
1.2.1. ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LAS ROTURAS POR FATIGA
Entre las conclusiones de los estudios sobre fatiga se afirma que una pieza puede
resistir un número indefinido de esfuerzos alternativos cuando no se alcanza el
límite elástico en ningún punto y que, en caso contrario, es el trabajo no restituido
el que, acumulándose, termina por producir la deformación permanente.
Eliminando el metal en ciertas partes de las piezas puede aumentarse la
elasticidad de las mismas, lo que las habilita para amortiguar una mayor energía
dinámica.
La rotura de una pieza de acero por fatiga presenta un aspecto característico,
compuesto por dos zonas: una de superficie lustrosa que constituye la fractura por
fatiga propiamente dicha (en las aleaciones no ferrosas la zona propiamente de
fatiga presenta grano cristalino con de poco relieve) y otra de grano cristalino o
fibroso más o menos aparente que forma la fractura final instantánea.
Examinando con atención los bordes de la rotura de fatiga muchas veces se
distinguen estrías o pequeñas grietas que nacen en defectos de la sección o de
la superficie externa. El origen de la rotura por fatiga puede estar en una fisura
muy pequeña que se extiende progresivamente hasta el instante en que no existe
suficiente metal en la sección como para resistir la carga, produciéndose la rotura
brusca e instantánea por deformación plástica o por fragilidad de acuerdo con
las propiedades del metal y su sensibilidad a la entalla. La fractura presenta una
zona de aspecto liso, resultante del frotamiento prolongado de los bordes de la
fisura, y una zona fibrosa o granular en la sección final que resiste la carga.
Es común en las piezas que fallan por fatiga la observación de unas divisiones en
líneas paralelas o líneas de detención (por los períodos de descanso de la pieza
entre los períodos de operación) que corresponden a los sucesivos frentes de la
rotura por fatiga. Las líneas de detención también se explican por la deformación
plástica del material, la cual le permite aumentar su resistencia y por un tiempo
(por unos ciclos) aguantar la carga.
Cuando la rotura ocurre tras una sobrecarga fuerte, ella se origina en varios
puntos situados en planos diferentes. Los cambios de sección, los sitios de
montajes y formas de fijación de las piezas, las perforaciones y ranuras para pines
o conductos de lubricación, las superficies roscadas, estriadas o dentadas, los
sitios de montajes con ajuste (considerados como concentradores de esfuerzos) y
las rayas de mecanizado (acabado superficial) sirven frecuentemente de
orígenes de las fallas por fatiga. Cuanto mayores sean las dimensiones de las
piezas (mayor escala), mayor es la probabilidad de la rotura por fatiga.
Los análisis de las fallas de piezas pueden iniciarse en la búsqueda de la posición y
orientación del origen, los cuales son definidos por los modos de solicitación a los
que las piezas se han sometido.
11
La naturaleza de la rotura por fatiga se ha buscado explicar con muchas teorías,
entre las que figuran la teoría de los esfuerzos secundarios de Grifith, la teoría de la
histéresis de las deformaciones seudoelásticas, la teoría del deslizamiento
molecular, la teoría del amortiguamiento interno.
Es importante desarrollar y emplear métodos para la detección de grietas o fisuras
de fatiga, de suerte que se pueda detectar a tiempo, al comienzo de su
aparición, de suerte que se puedan desmontar o sacar de operación y evitar a
tiempo las consecuencias de una rotura no prevista.
1.2.2. ANÁLISIS DE CASOS DE ROTURAS POR FATIGA
A continuación, a manera de ejemplo se detalla el análisis macroscópico
realizado a dos piezas que fallaron por fatiga: el cigüeñal de un motor fuera de
borda y una de las barras guía de una máquina inyectora de plástico.
Las fallas por fatiga son muy comunes en los cigüeñales de los motores, árboles
que trabajan en regímenes muy variados de carga y revoluciones.
Particularmente exigentes son las condiciones para este tipo de árboles en los
motores fuera de borda, porque además de los regímenes de operación tienen
mucha influencia los factores ambientales y las condiciones de conservación. A
continuación se expone el concepto dado a la rotura de un cigüeñal de un
motor fuera de borda Yamaha de cuatro cilindros, dos tiempos, tras el análisis de
las secciones y las superficies de las piezas partidas. El cigüeñal en este tipo de
motores se apoya completamente en rodamientos de agujas partidos. Las bielas
también se articulan con los pasadores de pistón y muñones de bielas mediante
rodamientos de agujas (canastillas).
El material en su núcleo no presenta defectos de grietas y su estructura es
totalmente homogénea. Las características tanto de núcleo como de superficies
son las de un acero de alta resistencia y elevada templabilidad (figuras 1.4 y 1.5).
Estos aceros son de elevada sensibilidad a la concentración de esfuerzos y
defectos de superficie.
Figura 1.4.
12
Figura 1.5
La superficie de las piezas en la zona de rotura correspondiente al sitio de montaje
de la volante no tiene un acabado acorde con una o dos montadas cuidadosas
de la misma; la zona presenta ralladuras (ver figuras 1.6 y 1.7) que no son propias
de un motor nuevo o siquiera de una sola desmontada; no ha habido un montaje
cuidadoso de la volante, luego de los posibles desmontes que haya sufrido, hay
ralladuras excesivas no originales, las cuales hacen de concentradores de
esfuerzos.
Figura 1.6.
Figura 1.7.
La zona interior de montaje de la volante en las piezas presenta un
decapamiento de considerable espesor, causado por corrosión (color rojizo del
óxido de hierro, ver figura 1.8). No es normal tal estado de corrosión, a menos que
se haya estado guardado sin operar y en condiciones no muy bien protegidas (lo
que se puede haber dado por estancamiento de humedades en ese intersticio
durante largas paradas, agravadas por las condiciones de salinidad en la costa).
Existen en el borde de la superficie donde se inició la rotura suficientes
discontinuidades y porosidades de corrosión (ver figura 1.9), para que las
pequeñas cargas de flexión y de torsión surgidas durante el trabajo y las
arrancadas originaran una destrucción por fatiga.
Figura 1.8.
Figura 1.9.
En la zona externa de la sección de corte se observan profundizaciones, a
manera de estrías, de las irregularidades superficiales (ralladuras y porosidades de
corrosión) que tienen el aspecto estrella de puntas múltiples (ver figura 1.10)
propio de las roturas de fatiga iniciadas por corrosión.
13
Figura 1.10.
Figura 1.11.
En esta zona se inició la destrucción de la pieza. Los pequeños esfuerzos de flexión
existentes en este tramo fueron suficientes para iniciar la propagación de la
grieta. La grieta se propagó por flexión, de lo que son prueba los surcos
descentrados; luego hubo un arranque de un pedazo de material (ver figura 1.11)
que no se encontró, pero que al empatar las partes, se ve claro que no está y que
se desprendió mucho antes. Con la sección debilitada y la grieta ya profundizada
continuó el proceso de fatiga por flexión, ya con un ligero desbalanceo del
extremo del eje. Los surcos espaciados (ver figura 1.6) muestran que durante las
arrancadas la grieta se iba propagando. En unas arrancadas posteriores, ya más
desbalanceado el extremo del eje y con la carga del arranque (cerca de 200
N·m de par de arranque) la grieta se propagó por torsión (se aprecia un ángulo
de aproximadamente 45 en la segunda fase de la rotura) intensivamente hasta
que en la pequeña zona de grano superfino se desprendió el conjunto (ver figuras
1.12 y 1.13).
Figura 1.12.
Figura 1.13.
En síntesis la rotura es de fatiga de corrosión iniciada por flexión y terminada por
torsión y se inició por irregularidades y ralladuras causadas durante el montaje de
la volante y, mayormente por la corrosión superficial (un mal cuidado o una mala
conservación). No hay problemas de material ni en el núcleo, ni en la superficie.
Los problemas de agrietamiento previo del extremo del eje generaron
irregularidades de funcionamiento del motor, ya que en ese extremo se
encuentra el generador: una irregularidad de flujo magnético se manifiesta en
14
irregularidades del sistema de carga y del encendido y se pudo haber detectado
de haber desmontado la volante a tiempo.
Figura 1.14.
Figura 1.15.
El factor de concentrador de esfuerzo en la zona corroída fue mucho mayor que
el del chavetero y esto es mucho decir, por que la falla, de iniciarse en un
cigüeñal, debía iniciarse allí o en el hombro, antes que en la superficie lisa, pero se
reitera que estaba mal cuidada, mal tratada.
Diagnóstico de Eje de una Inyectora de Plástico
El eje guía y apoyo de las placas de la inyectora presenta evidencias de haber
fallado por fatiga en flexión. El eje está diseñado para trabajar sólo en tracción,
bajo ciclo pulsante. Sin embargo, tolerancias en el sistema de regulación de la
posición de la placa de apoyo originaron que ésta se atravesara y se sometiera a
flexión, lo que combinado con una pequeña falla superficial en la rosca del
tornillo, con tratamiento superficial evidente, terminó originando la rotura.
Figura 1.16. Imperfecto en el diámetro
interno rosca, en el que se origina el inicio
de la falla por fatiga. Se observan las
maclas de una falla progresiva de fatiga
con carga de flexión. Un desvanecimiento
dúctil ocurrido con pocos ciclos.
15
Figura 1.17. Zona de inicio de la rotura.
Una imperfección o pequeña grieta, no es
claro que la puedo haberla causado fue
extendiéndose en la periferia.
Figura 1.18. Dos zonas en la
rotura por fatiga: la zona
izquierda
evidencia
las
maclas, al tiempo que la
zona
derecha
tiene
la
apariencia rugosa y abrupta
de la rotura frágil. El grano es
bastante fino, propio de los
materiales para ejes que
eventualmente
pueden
soportar cargas de impacto.
Figura 1.19. Última zona de
resistencia. Se puede ver la zona
final de rotura, en la que el material
continúa
desprendiéndose
de
manera profunda, soportándose por
los hilos de la rosca, en los cuales
termina cizallándose.
16
Figura
1.20.
Debilitamiento
en
el
entorno de la rosca
(presencia de escamas).
Iniciada la reducción del
área, las inmediaciones
del diámetro interno son
más sensibles a la fatiga,
por tener un tratamiento
para darle resistencia a la
abrasión.
1.3.
CÁLCULO POR CARGAS DE IMPACTO
“Una cargas se considera que es de impacto cuando el tiempo que tarda la
respuesta en alcanzar su máximo valor es menor que el más bajo período natural
de vibración del cuerpo incidido. Si el impacto es ocasionado repetidamente,
puede adicionalmente causarse un debilitamiento por fatiga con impacto. Si la
velocidad de aplicación de una carga variable aumenta, la frecuencia de la
carga aplicada llegará a ser mayor que la frecuencia de respuesta, y en este
caso el fenómeno corresponde a la definición de carga por impacto” [4].
La aplicación de la mayoría de las cargas sobre las piezas no se produce bajo la
consideración de carga estática. En el arranque de cualquier máquina, salvo que
se implementen dispositivos especiales, la carga aplicada (y la potencia
demandada) es mayor que la nominal; entre los dientes de los engranajes, al
iniciarse la transmisión de potencia, existe una holgura (si son muchos los
engranajes en serie engranados existen muchas holguras); en todas las
articulaciones de los mecanismos existen holguras. En la medida en que a un
dispositivo con holgura se le aplique una carga en un tiempo muy pequeño,
habrá implicaciones dinámicas cercanas a las de impacto. Por el principio de la
transmisibilidad, si en una caja de velocidades, por ejemplo, el momento torsor
de entrada tiene características de impacto, las cargas radiales y axiales, y los
momentos flectores sobre los ejes, lo mismo que las reacciones en los apoyos
tendrán características de impacto también.
1.3.1. CÁLCULO POR IMPACTO DURANTE LA APLICACIÓN DE UNA CARGA AXIAL
Para evaluar la influencia de la acción dinámica de la carga sobre la
deformación o tensión se usa el coeficiente dinámico:
17
kd 
d
 est
(1.29)
siendo est la deformación del elemento elástico durante la aplicación estática de
la carga Q y d la deformación durante la aplicación de impacto de la carga.
Figura
1.21.
Representación
esquemática para el cálculo del
impacto por carga axial [3].
La relación entre los esfuerzos dinámicos y estáticos se expresa así, mediante el
coeficiente dinámico:
Q
 d  k d  est  k d
(1.30)
F
La relación entre los esfuerzos y las deformaciones se mantiene igual tanto para
la carga estática Pest como para la dinámica Pd:
Pest
c
P
d  d
c
 est 
siendo c 
EF
la rigidez de la barra.
l
El cambio en la energía potencial de un peso T al caer desde una altura H y
recorrer el trayecto H + d será:
(1.31)
T  Q( H   d )
La energía potencial de deformación de la barra, acumulada durante el
impacto:
Ud 
c e
1
Pd  d  d
2
2
(1.32)
Considerando el principio de conservación de la energía:
T = Ud
c d2
 Q( H   d )
2
18
(1.33)
considerando que est = Q/c:
 d2  2 est · d  2 est H  0
De aquí, la deformación dinámica:
2
 d   est   est
 2 estH
(1.34)
La expresión anterior se puede presentar en la forma:

 d   est  1  1 

2 H 
 est 
Por consiguiente el coeficiente dinámico de acuerdo con (1.30) es:
2H
kd  1  1 
(1.35)
 est
como H = v2/2g (v es la velocidad del peso caído al inicio del impacto), entonces:
kd  1  1 
puesto que
2H
 est

v2
gest
(1.36)
To
, siendo To = QH = Qv2/2g la energía cinética del peso caído
U est
en el momento del impacto y Uest=Q·est/2 la energía potencial de deformación de
la barra durante la aplicación estática de la carga Q, el coeficiente dinámico se
expresa:
kd  1  1 
To
U est
(1.37)
cuando H = 0, Kd = 2. puesto que por regla general H >> est, entonces:
kd  1 
2H
 est
 1
v2
 est
 1
To
U est
(1.38)
Esfuerzo dinámico durante el impacto:

 d  k d  est   est  1  1 

2 H  Q
2QHE
 

 est  F
IF
(1.39)
La carga dinámica durante el impacto:
19

2H
Pd   d F  k d  est F  Q 1  1 

est





(1.40)
1.3.2. ESFUERZO DURANTE EL IMPACTO TORSIONAL
Dado el caso de caída de un peso Q sobre una manivela empotrada en un árbol,
el esfuerzo de cizalladura máximo en el árbol se determina, de manera general,
por la expresión 
 d max  k d  estmáx
(1.41)
donde k d  1  1 
Figura 1.22. Representación esquemática
elementos cargados a impacto torsional [3].
 est  R 
 estmáx 
2H
 est
(1.42)
de
M tor l
QR 2 l
R
;
GI p
GI p
M tor QR

Wp
Wp
H es la altura de caída del peso; Q es el peso de la carga que cae; R es el radio
de la manivela; l es la longitud del árbol; Ip, Wp son el momento de inercia polar y
el módulo polar de la sección, respectivamente.
La energía cinética:
(1.43)
T o = Ud
Ud es la energía potencial de deformación del árbol durante la torsión de
impacto.
Teniendo en cuenta que
Ud 
M2 l
1
M tor .d  d  tor .d
2
2GI p
(1.44)
y, considerando que
 d max 
M tor .d
Wp
ó M tor .d   d max ·W p 
d 3
16
 d max
se puede escribir que
Ud 
20
 d2 max 2 d 6 l
16 2 GI p ·2

 d2 max lF
2G
(1.45)
Sustituyendo (1.45) en (1.43) y despejando el esfuerzo dinámico máximo:
 d max  2
To G
lF
(1.46)
1.3.3. CÁLCULO POR IMPACTO DURANTE LA FLEXIÓN
Por analogía con los casos anteriores, los esfuerzos dinámicos máximos durante la
flexión de impacto:
 d max  k d  est max
siendo k d  1 
2H
f est
el coeficiente dinámico.
Figura
1.23.
Representación
esquemática de una viga sometida a
impacto de flexión [3].
fest es la flecha estática en el lugar del impacto que depende del esquema de
solicitación y las condiciones de apoyo.
En el caso de impacto en la mitad de la viga con rigidez a la flexión de la sección
EI se tendrá:
Ql 3
M Ql
f est 
,  est max 

48 EI
W 4W
Y los esfuerzos dinámicos máximos en este caso serán:
 d max  k d  est max 
Ql
4W

96 To EI 
1  1 

Q 2 l 3 

designando QH = To, entonces:
 d max 
Ql
4W

 1  1  96T2o EI

Q l3





(1.47)
La condición de resistencia:
 d max 
Q
4W

 1  1  96 T2o EI

Q l3

 d  
f

   d ,


(1.48)
nd
21
Donde nd es el coeficiente de seguridad contando con la carga dinámica; f es el
límite de fluencia del material de la viga; la energía cinética del peso es Qv12/2g.
1.4. COLUMNAS PARA CARGAS CENTRADAS
Cuando un elemento es sometido a una carga de compresión, dependiendo de
su forma, dimensiones y material, puede perder su estabilidad de forma, sin que
necesariamente pierda su resistencia. Este tipo de fenómeno puede hacer que los
mecanismos pierdan su funcionalidad. La varilla de accionamiento de un
embrague multidisco, los émbolos buzos de las bombas y las agujas de los
inyectores, las bielas en los motores y compresores, los varillajes de los mecanismos
de accionamiento deben prever en su diseño este fenómeno. El cálculo a la
estabilidad o el pandeo en los elementos estructurales, en las construcciones
civiles es un cálculo obligatorio de diseño. En el diseño de elementos de
máquinas, el cálculo al pandeo de los elementos, usualmente, es un cálculo de
comprobación.
A la pérdida de forma se someten los elementos con cierto grado de esbeltez,
entendiendo por esbeltez la relación de la longitud efectiva de pandeo, Le, sobre
el radio de giro de la sección, k. Como el radio de giro es la relación entre el
momento de inercia I y el área, A de la sección, los cálculos consideran,
inicialmente, el menor de los momentos de inercia. De haber pandeo en un
elemento o pérdida de estabilidad, ésta se producirá, con mayor probabilidad,
en torno al eje con respecto al cual la sección posee menos inercia (sin embargo,
se han observado bielas en motores de combustión, con sección en I, en las
cuales el pandeo se ha producido en torno a los dos ejes).
Los cálculos de los elementos esbeltos sometidos a compresión o cálculos de
columnas centradas están orientados a verificar que la carga aplicada sobre el
elemento esté por debajo de la carga crítica, Fc, que produce el pandeo de
éste, según el material de que él esté hecho.
Para los cálculos de la carga crítica de las denominadas columnas largas, sin
rozamiento en los extremos, se emplea la fórmula de Euler, la cual tiene la forma:
Fc 
 2 ·E · A
 Le 
 k


2
,
(1.49)
donde Fc es la carga concéntrica axial, llamada carga crítica, que origina que la
columna esté en el punto de iniciación del pandeo y E es el módulo de
elasticidad del material de que está hecha la columna.
22
Figura 1.24. Esquema de cálculo de una
columna con carga centrada.
En la expresión de Euler no se
incluye
la
característica
de
resistencia del material y daría la
impresión que cualquier carga que
no supere la crítica puede ser
soportada por la columna, así el
esfuerzo generado de compresión
supere el límite de fluencia. Por
esto la fórmula de Euler es válida
sólo por encima de cierto valor de
esbeltez, Le/k. Para estar seguros de
que no hay peligro de pérdida de
elasticidad, o de rotura de la
piezas, la carga real F sobre una
columna debe ser menor que Fc,
es decir, el coeficiente de
seguridad o el coeficiente de
cálculo N debe ser aplicado ahora a la carga F:
N 
Fc
F
(1.50)
Para una sección transversal y una longitud determinada, la capacidad de
carga, Fc de una columna depende sólo del módulo de elasticidad E. Como los
valores del módulo de elasticidad, E para todos los aceros es muy cercano, el
cambio de un acero de baja resistencia por otro de mayor resistencia no genera
mayor incremento de la carga critica que puede soportar la columna.
1.4.1. LONGITUD EFECTIVA O LIBRE
La forma de aseguramiento de la columna determina la forma de pandeo
principal. Los esquemas simples de aseguramiento de las columnas se ilustran en
la figura 1.25. La ecuación de Euler se aplica a una columna con extremos
empotrados de manera arbitraria, tomando la longitud de pandeo igual a la
distancia entre las secciones libres de momento flector; a esta longitud se le
denomina longitud libre o efectiva Le.
Considerando el coeficiente de seguridad de seguridad, N, la ecuación de Euler
toma la forma:
 2 ·E · A
 2 ·E· A
 2 ·E·I
ó
(1.51)
F


Fc  N  F 
2
2
N ·L2e
Le 

 Le 
N 

 k
 k


23
Para columnas estructurales, calculadas por la fórmula de Euler, el coeficiente de
seguridad tiene un valor cercano a N = 3,5.
a)
b)
c)
d)
Figura 1.25. Formas de deformación de las columnas, para diferentes formas de
empotramiento.
Según el tipo de apoyos en los extremos, la columna aguantará una mayor carga
si los apoyos son de tipo empotramiento (figura 1.25,b), con Le = L/2, y la columna
con un extremo libre será a la que se le podrá aplicar la menor carga (figura
1.25,d), con Le = 2L.
1.4.2. COLUMNAS CORTAS
Por debajo de cierto valor de esbeltez, Le/k, para cada material, la fórmula de
Euler queda limitada por la resistencia de fluencia: por debajo de cierto valor la
pérdida de la funcionalidad puede ser debida a una pérdida de elasticidad y,
para prevenir esto durante el diseño, se debe calcular la carga de compresión
que no produce el pandeo y que además garantiza la conservación de las
deformaciones de compresión dentro de la zona de elasticidad del material. Se
utiliza en este caso la ecuación o criterio de Johnson, la cual establece el valor de
la carga crítica como:
2


 y  Le k  


 
Fc   y · A1 
4 2 ·E 





ó
2


 y  Le k  

F

 ,
  e 1 
A
4 2 ·E 





(1.52)
El coeficiente de seguridad con la fórmula de Johnson en consideración se
expresa también como la relación de los esfuerzos N = Fc/F = y/e; siendo F/A el
esfuerzo real nominal.
Las constantes en la ecuación de Johnson son tales que la curva es tangente a la
curva de Euler y siempre en Fc/A = y/2.
24
En el cálculo de las columnas se utilizan otras fórmulas, diferentes a las de Euler y
Johnson, como la fórmula de la secante, la cual considera cierto valor de
excentricidad, e, en la aplicación de la carga. La forma de la función de Euler es
una hipérbola, la forma de la función de Johnson es una parábola invertida, con
vértice en el límite de fluencia. Se emplean también fórmulas lineales, como las
empleadas en las edificaciones urbanas y las para columnas fabricadas de
fundición de hierro.
1.4.3. PUNTO DE TRANSICIÓN ENTRE COLUMNAS LARGAS E INTERMEDIAS
El punto de tangencia de las funciones expresadas por las fórmulas de Johnson y
Euler corresponde, para cada material, a un valor de Le/k determinado, que
marca los límites de aplicación de las dos teorías, denominado valor de transición
entre las columnas cortas y las columnas largas. Este valor se halla igualando las
derivadas con respecto a Le/k de las dos funciones:
[d(F/A)/d(Le/k)]E=[d(F/A)/d(Le/k)]J .
Igualando los valores de Fc/A, se obtiene el valor de transición de Le/k.
En general, se emplea la fórmula de Johnson cuando Le/k es menor que el valor
correspondiente al punto de tangencia; se usa la fórmula de Euler cuando Le/k es
mayor que dicho punto. La fórmula de Johnson es la que, en general, se emplea
más para el cálculo de elementos de máquinas; la fórmula de Euler es más
empleada en elementos de construcción y estructuras metálicas.
En el cálculo de resistencia, el área de la sección de una columna se podrá
tantear como A = F/e, (e = y/N), utilizando para el esfuerzo equivalente, e, la
expresión de Euler (fórmula 1.54) o la expresión de Johnson (fórmula 1.53).






F
1
 F
Por Johnson,  e 
(1.53)
2
A
A
Le  

 y k  


 
1 
4 2 ·E 

  L 2 
e

F  y  k  
F
 

Por Euler,  e 
(1.54)
2
A   ·E 
A




Los esfuerzos equivalentes encontrados por las expresiones (1.53) y (1.54) se
suman, donde se esté aplicando también flexión, a los esfuerzos normales
generados por ésta.
25
1.5. ESFUERZOS DE CONTACTO
Los esfuerzos y deformaciones que surgen durante la presión mutua de dos
cuerpos contiguos se denominan de contacto. El material en el lugar de
contacto, sin poder deformarse libremente, se halla en estado de esfuerzos
volumétrico (figura 1.26). Los esfuerzos de contacto tienen un carácter puramente
local y disminuyen muy rápidamente a medida que se alejan del lugar de
contacto. Hay que presentar especial atención a los esfuerzos de contacto
durante el cálculo a la resistencia de tales piezas como son los rodamientos de
bolas y rodillos, las ruedas dentadas, las ruedas de vagones ferroviarios, rieles, etc.
Figura
1.26.
Esquema
representativo para el cálculo de
los esfuerzos de contacto en
elementos contiguos [3].
1.5.1. COMPRESIÓN DE ESFERAS
El radio en la zona circular a que se forma en el lugar de contacto durante la
presión mutua con la fuerza P de dos esferas de radios R1 y R2 y módulos de
elasticidad E1 y E2, respectivamente, se determina mediante la fórmula:
1
1

E
E2
a  0 ,88  3 P  1
(1.55)
1
1

R1 R2
Los esfuerzos normales (de compresión) están distribuidos en la zona de contacto
por una semiesfera. El esfuerzo máximo, que tiene lugar en el centro de la zona de
contacto, puede determinarse por la fórmula:
 3    max   1,5
P
 0 ,388 
  a2
3
4P 
E12 E22 R1  R2 
E1  E2 2 R12 R22
2
(1.56)
Los demás esfuerzos principales en el centro de la zona son iguales a:
 1   2   0 ,8   max
Gracias al estado de esfuerzos volumétrico del material en el centro de la zona de
contacto, cuando los tres esfuerzos de compresión son prácticamente iguales, el
material de ese punto puede resistir, sin que aparezcan deformaciones
permanentes, unas presiones bastante grandes que son, por ejemplo, de acuerdo
26
con la teoría del esfuerzo cortante máximo, iguales a  max  5 y . Para el acero
que tiene  y  1000 MPa, max alcanza 5000 MPa.
El punto más peligroso en la zona de contacto está situado sobre el eje z a una
profundidad igual a la mitad del radio de la zona de contacto,
aproximadamente. Los esfuerzos principales en este punto son iguales a:
 1   2   0 ,18   max ;
 3   0 ,8   max
(1.57)
Determinándose max por la expresión (1.56).
El esfuerzo cortante máximo en el punto peligroso es:
 max 
1 3
2
 0 ,31   max
(1.58)
1.5.2. COMPRESIÓN DE CILINDROS
Durante la compresión mutua por una carga distribuida uniformemente q de dos
cilindros que se tocan con las generatrices paralelas, el ancho de la zona de
contacto rectangular se determina mediante la expresión:
1
1

E
E2
(1.59)
b  2 ,15 q 1
1
1

R1 R2
El esfuerzo máximo que actúa en los puntos del eje de la zona de contacto se
haya por la expresión:
E E
R  R2
q
(1.60)
 max  1,27   0 ,418 2 q  1 2  1
b
E1  E 2 R1 R2
El punto peligroso en la zona de contacto se encuentra sobre el eje z a una
profundidad igual a 0,4b. Los esfuerzos principales en este punto tienen los
siguientes valores:
 1   0 ,180   max ;
 2   0 ,288   max ;
 3   0 ,780   max .
(1.61)
El esfuerzo cortante máximo en el punto peligroso es:
 max  0 ,3   max
(1.62)
27
Cambiando en la fórmula 1.60 el signo de R2 por el inverso se obtiene el esfuerzo
en el caso de que la presión del cilindro sea sobre una superficie cilíndrica
cóncava:
 max  0 ,418
2q
E1 E 2 R2  R1

E1  E 2 R1 R2
(1.63)
Durante la presión mutua del cilindro de radio R1 = R y el plano, tomando en (1.60)
R2 =  , se tendrá:
2 q E1 E2
 max  0 ,418
(1.64)
R E1  E2
Las anteriores fórmulas fueron obtenidas para el coeficiente de Poisson  = 0,3. Sin
embargo, en los cálculos prácticos son también válidas para otros valores de .
Ejercicio. Analizar las cargas y definir los criterios de cálculo de los elementos
componentes del mecanismo de conmutación de cambios de una caja de
velocidades, mostrado en la figura 1.27.
Figura 1.27. Mecanismo de conmutación de cambios de una caja de
velocidades.
28
BIBLIOGRAFÍA.
[1] STEPIN, P. A. Resistencia de Materiales. Escuela Superior, sexta edición. Moscú,
1979.
[2] TIMOSHENKO, S. Resistencia de Materiales. Espasa-Calpe, S. A. Madrid, 1978.
[3] PISARENKO, G. S. y otros. Manual de Resistencia de Materiales. Mir. Moscú,
1989.
[4] FAIRES, V. M. Diseño de Elementos de Máquinas, Limusa, México: 1995.
[5] CAZAUD, R. La Fatiga de los Materiales. Aguilar. Madrid, 1957.
[6] HALL, A. S. y otros. Diseño de Máquinas, serie Schaum. McGraw-Hill. México,
1987.
29
30