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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
Programa (le Doctorado en Matemáticas
ALGEBRIZABILIDAD DEBILITANDO ESTRUCTURALIDAD
Por: SERGIO ROBERTO MUÑOZ VENEGAS
Tesis presentada a la Facultad de Matemáticas (le la Pontificia
Universidad Católica de Chic para optar al grado académico de Doctor en Ciencias Exactas mención Matemáticas.
Profesora Guía:
Irene Mikenberg
Comisión examinadora: Irene \Iikenberg
Marta Sagastume
Renato Lewin
Martin Chuaqui
Enero 2002
Santiago, Chile
Agradecimientos.
A mis padres. a quienes debo 219 anos de amor, cuidados. y sacrificios.
A Irene Mikenberg, por su apoyo y amistad desde mi
primer día en la universidad hasta hoy,- a Herminia Ochsenuis, por su confianza en mí. y la cordura y amistad
que me otorga en cada conversación: a Renato Lewin, por
compartir su intuición y experiencia: a M. Victoria Marshall. M. Gloria Schwarze. ij Rubén Preiss, que me dieron
su mano en momentos confusos: y a Claudio Fernández,
por su generosidad.
A la Facultad de Matemáticas. "de capitán a paje". por
el apoyo, generosidad, y por crear el ambiente en el cual
se desarrolló mi tesis.
A los "compañeros de trinchera" del post grado.
A Javiera, comnpañ era de mi vida, y a Andrea, mi 'jefa
chica " , que sobrevivieron a mi tes ¿5.1
a quienes amo sin
medida.
y
Indice general
1. Introducción 1
2. Preliminares 3
2.1. Operadores de clausura y sistemas de clausura . . . . . . . . . . .
3
2.2. Lógicas. matrices y lógicas abstractas . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Lógicas Anotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3. Sistemas proposicionales finito-dimensionales 3.1. Modelos para sistemas proposicionales. . . . . . . . . . . . . . . . 13
24
4. HR-algebrizabilidad. 47
4.1. Equivalencia de sistemas proposicionales..............47
4,2. Sistemas de congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3. Sistemas algebraicamente unívocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4. Congruencia de Leibnitz y modelos principales . . . . . . . . . . . 67
A. Demostraciones anexas.
73
Bibliografía.
82
u
INDICE GENERAL
Resumen
El objetivo de esta tesis es establecer una noción de algebrizabilidad de una
lógica sin requerir su estructuralidad. Para ello se extienden las nociones liabituales (le Lógica Algebraica Abstracta a generalizaciones de lógicas y matrices,
en sentido de estructuralidad, de multi-dimensionalidad, (le deducción infinitana, y de sistemas de clausura. Se obtuvo una generalización del proceso de
algebrización cercana a lo habitual, y como consecuencia adicional se tiene una
unificación de distintas versiones (le Lógica Algebraica Abstracta.
Capítulo 1
Introducción
En esta tesis se extienden los conceptos básicos de Lógica Algebraica Abstracta (AAL) debilitando la condición de estructuraliclad que ella impone a una
lógica para considerar su algebrizabilidad. Lógicas no estructurales como las
Lógicas Anotadas (ver [17]) no pueden ser directamente estudiadas por AAL,
aunque fueron estudiadas indirectamente por R. Lewin. 1. Mikenberg, y M. G.
Schwarze en [19] por medio de lógicas estructurales deductivamente equivalentes a las Lógicas Anotadas originales No es claro el rango de aplicación de ese
método.
El concepto (le lógica proposicional usado aquí extiende al de sistema kdeductivo (1 < k < w) presentado en [4] por W. Biok y D. Pigozzi, al eliminar
estructuralidad y finitud de su definición. Para evitar confusión con la nomenclatura tradicional tales extensiones son llamadas sistemas proposicionales.
Los objetos básicos usados son triples formados por un álgebra A, un sistema
de claus'ra de conjuntos de k-tuplas de elementos de 1 A l, y un subconjunto de
los hornuziiorfismos del álgebra de fórmulas del sistema proposicional en A.
Tales triples, llamados HR'-lógicas abstractas, permiten considerar al sistema
proposicional como uno de ellos, de manera análoga al caso k = 1 estructural
y finitario estudiado por J. M. Font y R. Jansana en [14]. Pero además las
HRk -lógicas abstractas determinan, de manera natural, una semántica que bajo
ciertas restricciones es análoga a la de los modelos sobre lógicas abstractas (le
Font y Jansana: en particular todo sistema proposicional es completo respecto
de tal semántica. Más aún, al considerar sistemas proposicionales estructurales,
finitos, y con k = 1, los modelos llenos reducidos de Font y Jansana para él son
esencialmente modelos restringidos en el sentido aquí propuesto, y el sistema es
completo respecto de sus modelos llenos reducidos.
Una consecuencia de ello es que considerando sistemas estructurales y finitanos se obtiene una semántica basada en sistemas de clausura para todo sistema
k-deductivo de [4]; en ese trabajo, y en [2], Biok y Pigozzi usan matrices para
su semántica.
La definición que se da de equivalencia entre sistemas proposicionales cualesquiera (sobre el mismo lenguaje) presenta consecuencias análogas a las obtenidas
Capítulo 2
Preliminares
2.1. Operadores de clausura y sistemas de clausura.
Un operador de clausura sobre un conjunto no vacío A es una aplicación
CA : P(A) - P(A). que si no hay arnbiguedad se denota por C, tal que para
todos B y D subconjuntos de A se cumple:
1. BCC(B)
2. D C B implica C(D) (B)
3. C(C(B))CC(B)
4. El operador es algebraico (o también finitario) si además cumple: C(B) =
U{C(Bi ) : B f B con B 1 finito
Para A conjunto no vacío, una familia C 4 (le subconjuntos (le A es un sistema
de clausura sobre A. y si no hay ambiguedad se denota por C. si 1 .41 E C y C es
(errado bajo intersecciones arbitrarias. Una familia (T)í j de subconjuntos de
.4 es dirigida si para todos i.j E 1 existe k E 1 tal que T u T
Tk. Entonces,
un sistema de clausura es inductivo si U€1 Ti
C para toda familia dirigida
(T )
Si {C : i E I} es una familia de sistemas (le clausura sobre el mismo
conjunto, se dice que C es el sistema de clausura generado por tal familia si es
el menor sistema de clausura tal que U ¿ E ¡ C 2 C. En tal caso, se cumple que
r E C si y sólo si existe lF i E C : i E I} tal que r =
¡E ¡
fl
1. Si C es un sistema de clausura (inductivo) sobre A, entonces el operador
C definido por C(B) = fl{D E C : B C D}. B C A, es un operador de
clausura (algebraico) sobre A.
3
22 LOGICÁS. MATRICES Y LOGIC.LS ÁBSTR.1CTÁS.
1. Si - es una relación (le consecuencia sobre m (resp. con la que tiria
sustitución (7 es compatible. estructural, finitaria) entonces el operador C
definido por E C([') si y sólo si r H es un operador (le clausura sobre
jm (resp. con el que a es compatible. estructural. algebraico).
2. Si C es un operador (le clausura sobre m (resp. con el que una Sustitución
(y es compatible. estructural, algebraico), entonces la relación 1- definida
por U H - 5 j y sólo si E C(1') es una relación de consecuencia sobre m
(resp. con la que a es compatible. estructural, finitaria).
3. Si C es un sistema (le clausura sobre Im (resp. con el que una sustitución
(7 es compatible, estructural, inductivo), entonces el operador C definido
por C(F) = n{E E C [' C E} es un operador (le clausura sobre m
(resp. con el que a es compatible, estructural, algebraico).
4. Si C es un operador (le clausura sobre ílm (resp. con el que una sustitución a es compatible, estructural, algebraico), entonces la familia de
subconjuntos de m: C, definida por T E C si y sólo si C(T) = T, es un sisterna de clausura sobre am (resp. con el que a es compatible, estructural,
inductivo).
5. Si C y C' son sistemas de clausura sobre ílm, y denotamos por C y C los
respectivos operadores de clausura, y por 1- y H' las respectivas relaciones
(le consecuencia entonces C C C' si y sólo si para todo U C 1 a mi C'([')
C(U) si y sólo si para todo r U { p } 1 íV m I, ['F-' implica UF- p.
De modo directo se obtienen las relaciones entre relaciones se consecuencia
y sistemas de clausura.
Una lógico proposicional S es un par ( ílm, Th s ) donde m es un lenguaje proposicional y Th 8 es un sistema de clausura estructural sobre rn.
Por lo dicho arriba. S puede equivalentemente ser considerado como un par
m. Th5 ) o también como un par ( 3Fm, 1-), con Th 8 operador de clausura estructural y C relación de consecuencia estructural. De hecho se usarán las
tres formas indistintamente. Las fórmulas que pertenecen a Th (0) se llaman
teoremas, y los conjuntos de fórmulas T E Th 8 se llaman teorías.
Un sistema deductivo es una lógica proposicional finitaria.
Una matriz lógica (o simplemente una matriz) del tipo de un lenguaje proposicional ílm es un par ( A, F ), donde A es un álgebra del mismo tipo algebraico
de am y F C J Al, llamado el filtro de la matriz.
Dada una lógica proposicional, una matriz de Lindembaum-Tarski es una
matriz lógica sobre ílm tal que su filtro es una teoría de tal lógica.
Una matriz generalizada del tipo de un lenguaje proposicional am es un par
A,C), donde A es un r-álgebra y Ces un sistema de subconjuntos de 1 A l, o
sistema de filtros.
Una lógica abstracta del tipo de un lenguaje proposicional ílm es una matriz
generalizada L = ( A, C) tal que C es un sistema (le clausura sobre 1 Al.
22
LÓGICAS. .\L4TRICES Y LÓGICAS ABSTRACTAS. 7
4.
Si f es rnorflstno bzlógzco (le la lógica abstracta L .wbre la lógica abstracta
y L es reducida, entonces L' es reducida.
5.
3 Si h es morfisino bilóqico de L sobre IL entonces existe un isomorfismo
hilógico de L sobre L .
6.
Si h es morfismo bilógico de
sobre L 1 . y ambas lógicas abstractas son
reducidas. entonces h es isomorfismo Mágico.
Demostración. 1. Sean f y
para cada O E Con B como en el enuncia-
(10. Entonces
• Si a E 1 A. entonces f(a) E 1 B I . y por lo tanto ( f(a), f(a) ) E 6, es
decir. (a.a) E f'[9].
• Si (a. b) E f'[9]. entonces (f(a).f(b)) E O. y por lo tanto
(f(b),f(a)) E 6. Luego. (ha) E f'[O].
• Si (a,b) E f-'[9] y (b.c) E f'[O], entonces (f(a).f(b)) E O y
(f(b), f(c)) E 9, y por lo tanto (f(a). f(c)) E 0. es decir. (a, e) E
f
[9]
• Sean (as, b ) E f' [9] para ¿ E {O... - - 71 - 1} y t E £ operación n-aria. Entonces (f(a).f(b1)) E 9 para i E 10 — —
. . ,n - l},
y por lo tanto ( h(t(ao.....a_ j ), h(t(b0.....b,1_1 )) ) E 8, es decir.
(t(ao.....a_j),t(b0.....b_1)) E f1[0].
Luego, f [O] E Con A. Si suponemos que f es morfismo hilógico de
A, C) sobre ( B, C') y 0 < B (C'), entonces para todo 1' E C, si (a. b) E
f- 1 [9J y a E r, como (f(a),f(b)) E & y f(a) E f[F] E C, necesariamente
f(b) E f[r], es decir, b r. Luego, 9< í2 A (C).
2. Sean f y f[0] para cada O E Con A como en el enunciado. Entonces
• Si a E IBI, existe x E 1 Al tal que a = f(x), y como (x,x) E 9,
entonces (a,a) E f-'[&].
• Si (a, b) E f[0], existen r. j E 1 Al tal que a = f(x) y b = f(y) con
(z. y) E 6, y entonces (y. x) E 0, es decir. (b, a) E f[0].
• Si (a,b) E f[&] y (b,c) E ¡[0], existen x,y,z E 1 Al con f(x) = a,
f(y) b. f(z) = e, y ( z.y ) E 0 (y, z) E 9. Luego (x,z) E 9, y
entonces (a,c) E f[0].
• Sean (a,, b) E ¡[0] para¡ E {O,.... n - 1} y t E £ operación u-aria.
Entonces para cada i E {O. . . . , n - 1} existen x,, y E 1 Al tales que
a, = f(x) y bi
f(y t). con ( X t ,yj) E 9.
Entonces (t(xo,...,x_1),t(y0,...,y_1)) E 0, y por lo tanto
(t(ao. ... .a_1),t(bo.....b,1_1)) E 6.
3 Proposición 1.14 de [141. La demostración es esencialmente igual.
1L
es la imagen de L por el modismo canónico de
9 (1).
2.3. LÓGIC'.S .4XOT.4 DAS. 9
2.3. Lógicas Anotadas.
Las Lógicas Anotadas, tal como fueron presentadas por Da Costa. Subrahainanian y Vago en [17], son el ejemplo del (lije parte esta tesis. va que, como se
indicó en la introducción, además de su valor intrínseco y sus aplicaciones, al
110 ser estructurales quedan fuera del ámbito de Lógica Algebraica Abstracta, y
en rigor, no son lógicas proposicionales. Lewin, Mikenberg y Schwarze presentaron, en [19] y posteriores, una clase (le lógicas estructurales deductivamente
equivalente a las lógicas anotadas originales, por lo que pudieron ser estudiadas
respecto de Lógica Algebraica Abstracta.
Lo que sigue es la presentación de las lógicas anotadas en su versión original,
relativo a [17], más algunas propiedades necesarias posteriormente:
Definición 1. Sea r un retículo completo, llamado retículo de valores de verdad,
con operaciones de supremo e ínfimo denotadas por El y U respectivamente, y
con el orden denotado por C. El supremo de r se denota por T. y el ínfimo
por 1. Además, se asocia a T una función unaria arbitraria denotada por -',
y llamada negación de i- , pero que debe especificarse cuando se presenta una
lógica anotada.
Consideremos los siguientes símbolos primitivos:
1.
Símbolos proposicionales p, q.....p i , q . . .... La cantidad de símbolos
proposicionales, que serán llamados también letras proposicionales o simplemente letras, puede variar según se especifique, aunque por defecto se
asume que es infinito numerable. El conjunto de letras proposicionales se
denota por le( m), o simplemente por le si no hay arnbiguedad.
2.
Constantes, llamadas constantes anotadas o simplemente anotaciones, una
por cada elemento de r, y denotadas por \, p,
3.
Conectivos binarios A, V, -*, y un conectivo unario -. Adicionalmente
se usará el conectivo binario 44 , pero no se considera símbolo primitivo,
sino una abreviatura definida más adelante.
.. Paréntesis '( ", j", aunque también se usarán ]". 1' . 1 " y } ".
Ahora podemos definir el lenguaje m de PT recursivamnente por:
1.
Si p es una letra proposicional y p es una constante anotada, entonces
(p : z) es una fórmula atómica de m, llamada átomo anotado. Nótese
que p no es fórmula de 3m, sino que (p: ) lo es, para cualquier M E r.
2.
Si p es una fórmula de ílm, entonces (-rnp) es también una fórmula de
m. Nótese que usamos el mismo símbolo
que en la función unaria
asociada a T, lo que no debiera prestarse a confusión.
3.
Si W y 0 son fórmulas de ílm, entonces ( W A ), ( y ,) y ( - i1) son
también fórmulas de am. p -* i1 abrevia a (( - iv) A (i4' -
2.3. L (GIC.1S . X() TÁDÁS. 11
igual a i y 0 fórmula. tales que &, = o —+ ( p : U JEJI L J) y tal que para j E J las
fórmulas o — (p : R 3 ) aparecen antes que
en la sucesión'. Equivalentemente, se puede considerar que cada etapa de la demostración de
a partir de U
está (lada por su contraparte cii términos de TI¿,,; O.
Un conjunto U de fórinula.s se dice trivial si Tu,,; (U) = amI. y se dice
inconsistente si existe una fórmula t: tal que 1 i,'.
E Th s (1.').
u
Cuando T es finito j)o(lelnos reemplazar la regla
(r:i )'
( p :
i) A... A (p: jik)(p:
(T3 ),
por el axioma
E Th8(0).
Además, al hacer uso de (--> 4 )se hará referencia a su nombre habitual
ile Modus Ponens. abreviado por MP, generalmente sin escribirlo completo, es
decir, si {. -4 m»}
Th 5 (1'), se dirá simplemente que por MP se tiene t'
Th S (U).
De igual modo, toda demostración usará implícitamente las propiedades de
los sistemas de clausura.
Se consideran las convenciones habituales respecto del significado (le 1- .
FI'. 1' FE, U -1 E. donde {,}uUuE E íy m.
Es de notar que existen en Pr conjuntos de fórmulas inconsistentes pero no
triviales, como se verá luego.
Lema 2.3.1.
• (Ver /191, Remark 21)
Si a0 ,...
son fórmulas complejas y (x 0 .....x) es una tautología del Cálculo Proposicional Clásico (CPC), entonces p(ao.....
es un teorema de Pr . considerando que los conectivos de CPC y Pr son
interpretables, y que para fórmulas complejas los axiomas que regulan los
conectivos en Pr son los mismos que en CPC.
• (Ver [171, Theorem 1)
Si (Iü .....x_) es un teorema del Cálculo Proposicional Positivo (sin
negaciones). entonces para todas o .....a 7 _ fórmulas se tiene que
a1) es un teorema de Pr
• (Ver /19], Theorem 2.1)
E
Ths(r).
Definición 2. Una interpretación 1 es una función que lleva las letras proposicionales en r, y asociada a cada interpretación hay una valuación vi
m—* {O, 1} definida por:
1. Si p es letra proposicional, entonces:
a) v,(p :
= 1 ssi p E I(p),
decir, se obtiene por aplicación de la regla (r3).
Capítulo 3
Sistemas proposicionales
finito-dimensionales
Definición 3. Sea íYm un lenguaje proposicional de tipo L 9enerado por un
conjunto de átomos At, y sea 1 < k < w.
• Sea ani k
{(i,L'o.....u) : Vi < k Wi E am} el conjunto de las
k-fórmulas. Cada k-fórmula(ij'o, .... ." k-i) se denotará por i,1' o(uI i <
salvo para el caso k = 1, en que las 1-fórmulas se denotarán en la forma
habitual, no como 1-tupias.
u Para cada a E Hom(m, m) y i& = (.......k-I) E affl
(a(w) i < k) E aMk, y para cada 1' C am 1 sea
ti' E }.
sea a(ub) :=
{cr()
Definición 4. Dado 1 < k <w, un sistema proposicional finito-dimensional sobre 3Fm con dimensión k, llamado también sistema proposicional k-dimensional,
es un triple
:= ( QIM, SE( Sk), Th sk) tal que:
• Th s es un sistema de clausura sobre Im k denominado sistema de teorías
de S',
• SE( S k ) := {a E Horn(m, m) : VI' E Th 8 a-'[r] E Th 8 1.}, de1.
nominado conjunto de sustituciones estructurales.
• Sk es finitario si Thsk es inductivo.
•
es estructural Si SE (Sk ) = Horn( am, am).
• El operador de clausura sobre am tC asociado a Th 8k se denota por Th s
• La relación de consecuencia asociada a Th s' se denota por 8k.
13
13
•
[ .-lx( SA)J Thsk(ø)
• VRE Inf(Sk) V(F,a)ER .a(cx)E Th5k(a[r])
Demostración.
• 1 +-* 2: Por definición de SE( S")
• 2-*3: Sea FC
Claramente por 2 se tiene ' [Th s (o[F])] E Th . y como r
Gr- '[a[F1] . ¿7' [[f]} ç
[Th s (a[F])], entonces Th s (F). la me1 [Th
nor teoría que contiene a r. está contenida en
es decir.
s
A. (a[F])],
a[Th 5 k(F)]C Th5k(a[1']).
• 3-+2: Sea TETh5.
Por 3 se tiene que a[Th SA. (a 1 [T])J
Th s (a[ 1 [T]]). Pero
(T)
Th
5
T. Luego, a{Th 5 k(a[T])] C T. es
Th S k ( a ía '[T]I)
decir. Th s (o' [T]) c' [T], y por lo tanto a 1 [T] E Th SA..
• 3->4:
Inmediato.
• 4--*3:
Inmediato.
• 4 -* 5:
Basta recordar que iP E Th 5k (1') si y sólo si F E- S ,. .
• 4->6: Como .4x ( S k)
Th s k(ø) por definición, entonces a[ -lx ( S')]
C i[Th S (ç)], y por 3se obtiene c[Th 5k (0)]
Th S (a[ø]) = Th S A. (0).
es decir, o[.4x(S')]C ThSk(0).
Por otra parte, por definición, si R E mf ( S ' ) y (1', a E R. entonces
E Th , ( r). y por 3 se obtiene que a[a] E Th S ,. (a [l7]).
a
• 6 -*4: Si 0
E Th 5k (1'). entonces existe una demostración (fl : i <rl),
con 17 ordinal, de i/ desde r, y por 6 se tiene que para cada i < i) se cumple:
• o bien 8
E .-lx (
• o bien 0,
E
Sk ) . y por lo tanto (/3)
E
Th
(0) C Th
(a[F]).
r, y por lo tanto a(/3) E Th S (a[r]),
• o bien existe ( {/3
: j < ri y i3
<
¡} , O¡ ) E U Irif (Sk),
pero se tiene que si [{fl
: j < ii y i < i}}
Th 5 k (a[]P]), entonces
o($) E Th S (a[r]). Luego. inductivamente se obtiene que Vi <rl , 01$1) E
Th
En particular, como
= . se obtiene que a(/i)
E
Th S k (o[I']).
o
Ejemplo 1.
17
2.
0 bien existen {q,r.s.w}
FOUR tales que
le(m), {k.rn.n,l}
(p:T)
..,' (p: f)
(p: t)
((p:
1)
y {Á.} C {f,t}
-'(q: T)
_,n (q:
_fl(q :
;,'
'(r: 1).
donde \ = i si y sólo si ni + u es impar
3.
0 bien existen {q, r. s, w}
le( jm) y {k, m. u, 1}
w, tales que
J(p
rl:
(p:T)
f)
(p t )
(p:±)
,'
k(q:T)
—+ -m(q:T)
—+
1,'
Ver demostración A en apéndice A.
El siguiente es el ejemplo más importante de sistema deductivo 2-dimensional,
ya que para la noción de algebrizabilidad es fundamental.
Ejemplo 3.
Sea
el sistema proposicional 2-dimensional sobre un lenguaje am determinado por la siguiente axiomatización:
• .4X ( C9m) = {(a,o) : aE m}
• {{((,3),(3,a))} : {,i3} Ç m} E Iflf(Cm)
•
(a, -y) : {i,9,-y} C m} E Iflf(Cm)
• Para cada conectivo n-ario t de £ se tiene
{
({(co,3o). .... (a_i,j_1)},(t(co.....(_1),t(/30,.,
/- i} ç IM } E If(Cm)
A fin de simplificar la notación, se omiten las llaves '{" y "}" si la primera componente en un elemento de una regla de inferencia consta de sólo un
elemento.
Cualquier extensión de sobre Im será llamada sistema proposicional
de congruencias sobre jm. Si Im es claro según el contexto puede escribirse
C en vez de C';Çm.
Por supuesto, tales extensiones no necesariamente serán estructurales. A modo de ejemplo, sea S la extensión de
donde am es un lenguaje adecuado
19
Veamos algunas propiedades:
• C es sistema (le clausura sobre mm
Demostración. Es evidente que m" = ® Kfl mk. Sea F, E C j E .J}
0. Entonces para cada j E .1 existe { Aj E Th
, : ¡ < n} tal que
. Luego
Fj= ®<
aE
E J F J ssj VJE.J .aEFJ ssi VJE.J Vi<rt .7r(a)E
A
ssi Vi < n V E J .ir(a) E A í
ssi
Vi < o .7r 1 (a) E
A
ssi
a
E
®<
REJ í
flJ
fl
Luego. a E
I' = fl EJ ®<
flJEJ ¿ E Th 5 &, para tO(lO i < o.
=
Por lo tanto. C es sistema de clausura sobre
® 1<fl flj
E C. ya que
1m•
• Sea Ø< S el sistema proposicional ni-dimensional sobre Im con sistema (le clausura C y S E(® I < r S"") :=
(u E Hoin( Im, m) : VF E C
'[F] E e). Para abreviar sea S :=
tl<n
• Para todo 1' C IM,n
Ths (1') =
Tu
, (1[r]).
<TI
Demostración. Es claro que r c
tanto Ths (1-')
&<n
ç ®t<fl Tu S I. , (rjr]).
Th . ( 7r 1 [r]) E Th 8 , y por lo
En la otra dirección, si r C T E Th 8 , existe {& E Th
: i < u)
tal que T = Ø< n A, Claramente Vi < n 7r 1 [117]
y por lo tanto
Vi < n
Th Sk, (ir[FJ)
es decir,
Th
(7r 1 [F]) Ç T,
1<71
obtieniéndose la igualdad.
• La igualdad anterior se escribe más sugestivamente como
a E Tui 8 (F) si y sólo si Vi < n ,7r1 (a) E Th
([r]).
21
Consideremos ahora un aso concreto:
Sean CPC el Cálculo Proposicional Clásico. PFOUR la lógica anotada presentada en el ejemplo 2. e IPC el Cálculo Proposicional Intuicionista Clásico. todas definidas sobre el lenguaje m adecuado a PFOUR , es decir. (011
At= {(p:p) pE1eyiE FOUR}.
Entonces por lo anterior S := CPC : PFOUR IPC es un sistema
proposicional de dimensión 3, y corno CPC e IPC son estructurales, SE(3) =
SE( I'FOLR ).
Es interesante ver una axiomatización de S. y cómo ella depende (te las
axiomatizaciones de los sistemas que se mezclan en ella.
Sea .4x := .4r ( CPC ) ø .-lx( PFOUJ? ) c .4x( IPC ). Es evidente que
Az C Th c' p c () . Th PFOUR (0)
Th i p c' (0).
Los tres sistemas tienen a ItIP como única regla (le inferencia, que es estructural. Para .r.y E {O, 1} y { CkO. n i
sean:
yo, 7i}
el conjunto de los pares de la forma
(((a0 , 3, o) (a', 30
d 1,
)},(a, 3 1. ())
el conjunto (le los pares de la forma
{(ao, $o, 70), (aoa 1 , 3, 71 )},( a 1 ,
$,
_¡v ))
el conjunto de los pares de la forma
({(c 0 , $, o), (o 1 , 31, 70 -+71 )}, ( as , 3, i))
Sea además el conjunto P definido por:
({( a o fo, yo), (a1,
fi, 7i)}( a , fi, -y ))
E P
si y sólo si
{ no, a i,fo,fi,7o,7i}
m y x.y,z E {O,1}
Sea In := {P} u {R
: i < n y x,y E {O. 1}}. Es claro entonces que
(r.a) E U Inimplica QE Th5(r).
Para todo ¡ y todo {(a, f, 7)} u {(a j , f, 7) : i E I} c IM3 se tiene:
(o. j3, 7) E Th 8 ({(ck, f, 7,) : i E I}) si y sólo si
ckE Thcpc ({Cti
iEI}),
7ETh l pc({y : iEI})
f ThPFOUR ({,3¡: iEI}), y
Lo que interesa es mostrar que (Ax, In) es un axiomatización de S, y más
aún, que una demostración usando (Ax, Iii) se puede construir a partir de las
tres demostraciones en cada coordenada, usando un método que se mostrará más
evidente a través de un ejemplo concreto:
23
((p: T)
(p:
f))
(((p: T)
((p: f)
(q
b2 E .4a ( PFOUR
tfl)
((p:T)((p:f)q:t)))((p:T)(q:t)) h3 : MP 1)1 y k2
• Para
((p: T)
(q
(p:T)(q:t))
b1: HP b 0 y h3
f2 E Th iec (62):
— (P:
CO = 69
(p: L)((p:
: f)
A
(q:
ci E .4x ( IPC
c9:
MP co y c
Ahora están todos los elementos para "mezclar" esas tres demostraciones en una demostración (( .... . (6) (le E desde 5 usando
(Ax, fu):
(
(a'. b 1 , c 1 ),
.
(0
( E Az
=
(a 1 , b 2 , c 1 ),
(4 E .4x
(a2 , b3 , c2 ),
(: R°° C3 C4
(a2, b 1 ,
ci),
(2: R' ( y ( (a2, b 1 . c 2 ),
( 3: R' ( '
(a2, b 4 , C2)
(6: R° ( o y
)
Luego, usando el método ejemplificado arriba, es fácil ver que
(.4x. ¡u) es una axiomatización para CPC > PFOUR 0 IPC
La motivación de este ejemplo es responder a una inquietud que Janus
Czelakowski plantea en [81 respecto de cómo podría interpretarse un sistema k-deductivo en sentido de [4] para k > 2. Considerando que un sistema
k-deductivo es indistinguible de un sistema proposicional k-dimensional estructural, espero que la mezcla de sistemas finito-dimensionales responda en alguna
medida a tal inquietud.
3.1. MODELOS PARA SISTEMAS PROPOSICIONALES. 25
que se indique lo contrario, a con i < k denota la i-ésinia coordenada de a. La
misma notación se usa para conjuntos de k-elementos. es decir, F representa un
conjunto de k-elementos, llamado k-conjunto. si k es claro según el contexto.
Los k-conjuntos (le C se denominan cerrados de L
En 1 = ( A. H, C), A es el álgebra asociada (o subyacente) de 1 y se
denota por A. L. H es el conjunto de rnorJismos asociados a 1, denotado por
H. L. y C es el sistema de cerrados de L. denotado por C. L.
Las HR k lógicas abstractas son una doble generalización (le los objetos sobre
los que se establecen modelos en Lógica Algebraica Abstracta:
• La adición de un subconjunto (le los homomorfismos desde Im en el álgebra asociada. lo que no se ha usado en a!gebrización, y que permite reflejar
la carencia de estructural ¡dad .
• Considerar sistemas de clausura de conjuntos de k-elementos, lo que extiende la noción de lógica abstracta, presentada por Brown y Suszko en [5]
y utilizada ampliamente por Font y .Jansana en [14] para Lógica Algebraica
Abstracta. (le manera análoga a como en [4] y [2] Biok y Pigozzi extienden a k-matrices la noción (le matriz, mediante el USO (le k-elementos del
álgebra.
Se destacan entonces dos componentes "intermedias (le una HRklógica
abstracta L, correspondientes a estructuras tratables de manera general con
independencia (lel concepto de HR-lógica abstracta:
• := (A. L. H. 1), que corresponde a un HR-álgebra relativa a íV at, es
decir, un par formado por un álgebra y un conjunto no vacío de homomorfismos desde ílm en el álgebra (si ílm es claro según el contexto, puede
omitirse su mención). Estas estructuras, denotadas por 21, , etcétera,
serán tratadas más adelante. Para ellas se usarán también las notaciones
.4.2 para su álgebra y H.21 para su conjunto de morfismos.
• ;= (A. 1. C. 1), que corresponde a una k-lógica abstracta, es decir, un
par formado por un álgebra y un sistema (le clausura de k-subconjuntos de
ella, y serán denotadas por L, M. etcétera. Ellas son una directa generalización de las lógicas abstractas al caso finito-dimensional, y por lo tanto
pueden para ellas utilizarse tanto las herramientas de lógicas abstractas
como las de k-matrices. Se usarán tambien las notaciones A.L para su
álgebra y C.L para su sistema de clausura.
Si A y B son álgebras, 1 < k < w, y h E Hoin(A, B), entonces para
a = (ao, - - . ,ak_!) E 1 Ai k , F 1 AI c , y F' C 1 Bik se definen
• h(a) = (h(ao),. . . ,h(ak_1))
•
h[F]
= {h(a) :
• h'[F']
=
la
a E F}
lAIk : h(a) E F}
3.1. MODELOS PARA SISTEMAS PROPOSICIONALES. 27
Entonces, con 1 < k < w, se tiene2:
• Una congruencia & (le! álgebra A es compatible con F C 1 Al" si para tO(lOS
a. b k-elernentos de A se ('limpie que si a E F y para todo i < k, si n i 0 b,
entonces b E F.
Se denota por a 0' b si para todo i < k se cumple a 7 b,.
&
•9 A(F) es la may or congruencia (le! álgebra A compatible con F C IAI'.
siempre existe. Si 21 es HR-álgebra. entonces ft,(F) := ftt(F). y si L
es una HR-lógica abstracta, entonces ,(F) :
• Una congruencia O E Con A del álgebra A es compatible con F C 1 Al'
si y sólo si O < QA(F).
• Si A es un álgebra y {F
A
nQ A(F)
zEl
: i E I} es no vacío, entonces
A(
flEl Fa).
J
• Si h E Hora ( A, B) es un homomorfismo sobrevectivo entre las álgebras
A y B, entonces para todo F C 1 BI k se cumple:
A (h' [F]) = h' [ B(F)].
Sin embargo, la congruencia de Tarski de una k-lógica abstracta no está explícitamente presentada cuando k qÉ 1.
Definición 7. Dada una k-lógica abstracta L. la congruencia de Tarski de L.
denotada por Ç (L), es la mayor congruencia de .4.L compatible con todos los
cerrados de C.L. Si L es una HR'-lógica abstracta, entonces Ç (L) : Ç (L).
Si la congruencia de Tarskz de una k-lógica abstracta o de una HRk-lógica
abstracta es la identidad, se dirá que es reducida.
u
2 Ver [4] y [2].
3.1. MODELOS PARA SISTEMAS PROPOSICIONALES. 29
1. Corno C está generado por { h' [F] : h E H. L y F E C. L}, entonces
r' ECsiv sólo si existen I, {h I EH.L : iEI}.v{FEC.L
i E I} tales que r' fl1 E / h-'[F].
Luego. se tiene
Vh E H. L h(cx) E CL(h[r])
+4VhEH.L!i(Q)Efl{FEC'.Lh[r]CF}
44
VhEH.L aEfl{h'[F] FEC.LvFCh'[F]}
-cE
flL fl{hF] : FEC.Lvrch-1[F]}
Ji El!.
4cEfl{h_L[F] :hEH.LvFEC.Lvrch'[F]}
-*oEfl{r'Ec : FÇF'}
ct E C'(r)
2. Como C' está generado por U LEL C¿,,,,, entonces F' E CL si y sólo
si existen l,{ILj EL : iEI}v{r 1 EC L, : iel} tales que r'=
fl
E¡
Entonces se tiene:
VLEL VhEH.L VFEC.L h(o)EC L (h[f])4-+VLEL I''HLa
44VLEL aEfl{rLEcrcrL}
f+OE flfl{rLEc' :L'Ci'L}
LEL
EQEfl{I1ECL :rCl"}
E
Definición 8. Sea S k un sistema proposicional k-dimensional. Entonces M5.
es la clase de todos los modelos de S k
.
El siguiente lema se obtiene directamente a partir de las definiciones:
Lema 3.1.3. Sea S'
un sistema proposicional k-dimensional, y sea L una
clase de HR'-lógicas abstractas. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. LC Al. k.
3.1. .\ÍODELOS PARA SISTE\L1S PROPOSICIOXALES. f=qo7
31
Y
g = foó.
Es claro que para todo f E Honi m. A) se cumple que f f o id. es decir.
D es refleja . Adeiruis su simetría se obtiene por definición, Y si f q (D)
q h (D) entonces existe f (71, o. Ói . á>} C D tal que
f
= q 0 (71 y = foó 1 y =
/1 0 (72
11
= (J0Ó2.
Pero entonces f = h.o(a 0 (71). h = fo(ó i os. ,), y se tiene que (7, 0(7 1 y
están en D por ser éste un monoide respecto de la composición. Luego,
D es transitiva y por tanto relación (le equivalencia sobre Hoirr( m. A).
Si O ^4- H C Horn( a m. A). entonces la restricción de D a H es claramente de
equivalencia. Además, es evidente que si D C D', ambos rnonoides que contienen
a id. entonces D C D'.
Para cada f E II C Hom( m. A) sea {f} la clase de equivalencia (le f en
H respecto de D.
En particular para C SE( SA.) se cumple que (lados F Ç 1 AIk, f,g E H Ç
How( a m, A). si f es compatible con F y f y (D) , entonces y es compatible
con F. ya que f'[F] E Th S k y como existe a E D tal que y = foa. se tiene
que
v g' [F] = o,- ' [f [F]] E Th S,. En particular, f q (D) implica que f es
compatible con F si y sólo si g lo es.
o 62
Ejemplo 5.
Sea Pr una Lógica Anotada. Ha y que recordar que lc( m) tiene cardinalidad
infinita numerable. Sea para cada r y cada A álgebra del tipo de Pr el conjunto
1 Al' de todas las funciones de r en 1 Al:
• Si h
Hom(.Çm, A) y p E (m), sea h(p) := (h(p:ji) :jiE r) E
1 Al`, y sea Dis(h) := {h(p) E 1 Al' : p E le( m)}. Claramente
0 qÉ Dis(h) Ç 1 A T y la cardinalidad de Dis(h) es menor o igual a la
cardinalidad de le( am). Dis(h) será llamada la distribución de h en A.
E
• Sea h la relación entre letras (le le( m) (lada por p - q si y sólo
si h(p) = h(q). Claramente es de equivalencia, y por tanto induce una
partición de le( 3m) en clases [p] para cada p E ( m).
• Es evidente que [q}h = [p]-..h si y sólo si i(q) = i(p). Luego, podemos
definir una aplicación h entre clases de equivalencia por - en L( m) y
funciones de Dis(h) por h([p]....h) := h(p). Entonces h está bien definida, y
si h([p]... h ) =
entonces ( p ) = (q), es decir,
= [q]_h, y para toda d E Dzs(h) existe por definición una letra p E ( m) tal que d =
h(p). Luego, hes biyección entre Ie(m)/
:= {[pJ ....
: pE
y Dis(h).
5 La función (aM :i
E r) lleva il Eren 0M•
3. 1. MODELOS PÁRA SISTE\L4S PROPOSICIOY.LES. 33
h(p ¡i), para todo p E le( m) y t E T. Luego. h = g a, y como por
definición a cumple la propiedad y - le. entonces se tiene que si Dis(h)
Dis(g) entonces existe a E SE con la propiedad r - le tal iiie h = g o a.
En particular. si g es compatible con F 1 Al, entonces h también lo es.
Inversamente, si existe a E SE con la propiedad T - le tal que It =
g a. se tiene que para (1 E Dis(h) existe p E ( m) tal que d =
(h(p: ji) : ji E T) = ( go a(p: ji) ji E r). pero por la propiedad r - ¡ese
tiene que existe q E le( m) tal que a(p : ji) = (q : ji) para todo ji E r.
Luego. d = (g(q ji) ji E r) E Dis(g), es decir. Dis(h) C Dis(g).
Sea Dis la relación entre homomorfismos de Horri( m. A) dada por
11 g ( Dis) si y sólo si Dis(h) Dis(g). Claramente Dis es de equivalencia. y por tanto induce una partición (le Horn( jm. A). En particular
se tiene que existen a. p E SE con la propiedad r - le tales que h = g o a
y g = hop. También se tiene que para todo F C 1 A se cumple que h es
compatible con F si y sólo si g es compatible con F. Se usará entonces
indistintamente los términos "h es compatible con F C 1 A l" "[hJ Dt es
compatible con F C 1 Al", y "Dis(h) es compatible con E C IAl'.
Inversamente, si para h, g E Hom( am, A) existen a. p E SE con la propiedad r - le tales que h = goa y g = hop, entonces Dis(h) = Dis(g),
es decir, h E g ( Dis)
Si S E
{a E SE a tiene la propiedad r - le}, entonces Dis = SE?
(la relación entre morfismos definida previamente a este ejemplo).
Si 0 qÉ D Ç 1 A T es de cardinalidad no mayor que la cardinalidad (le
Le( m), entonces existe una partición de le( m) tal que se tiene una
biyección b entre las clases de tal partición y los elementos de D. Luego,
basta definir h E Hom( m, A) por
h(p: ji) = d(ji) para todos ji E r y p E le( m) tal que la imagen por b de
la clase de p es d E D.
Claramente entonces Dis(h) = D, y por lo tanto se tiene que para todo
O $ D Ç 1 Al' de cardinalidad no mayor que la cardinalidad de ( m)
existe h E Horn( 3m, A) tal que Dis(h) = D.
• Finalmente, existe una biyección ñ1 que va de Hoin( íJ rn, A)/ Dis
h E Hom( m, A)} sobre el conjunto
{ [h] Di.
¡Al',, := {D C 1 Al' : O qÉ #D #e(m)},
definida por 5T([hJ DjB ) = Dis(h), donde #D es la cardinalidad de D, y
es biyección va que claramente está bien definida y es inyectiva, y por el
punto anterior se tiene que es sobreyectiva.
.11. MODELOS PARA SISTE\L1S PROPOSICIONALES.
35
• .rVy =yVx =xV(yAy)
• .r-+yx—(yAq)
•
Es decir, las líneas horizontales (le la forma
representan el hecho
tic que respecto de B. b y t no se diferencian de 1 y u respectivamente.
En este caso se tiene que 1 AIF0UF? = 1296. y por lo tanto se tienen 1296
distribuciones mínimas, e identificándolas con el único homomorfismo que tiene
esa distribución, se pueden clasificar respecto (le su recorrido. (le Si SOfl O 00
triviales, es decir, si el menor F C 1 Al con el que son compatibles es igual a su
recorrido. Una precla.sificación se presenta en la siguiente tabla:
992
22
¿Trivial'?
Si
Si
No
No
1
¿Sobrevectiva?
Si
No
Si
No
Las 280 distribuciones triviales y sobrevectivas no se incluirán en las descripciones siguientes. Una descripción más detallada por grupos de las demás,
incluyendo el recorrido, y con un diagrama adjunto, se da en el siguiente listado,
donde se adoptan las siguientes convenciones:
• No se hará diferencia entre la distribución mínima {d}, la función d E
IAlFOR, y el homomorfismo (único) h tal que (Iis(h) = {d}.
• El recorrido, cuando la distribución no es sohreyectiva, se denotará en el
diagrarna por una línea continua.
• Los F C 1 Al contenidos propiamente en el recorrido son incluidos pero
denotados por líneas punteadas. Nótese que por cada uno de tales cerrados
y cada subconjunto (le 1 Al disjunto del recorrido, si no es sobreyectiva. hay
un cerrado con el que la distribución es compatible, pero no se incluyen
en el diagrama.
Grupo 1: La distribución d(±) = b, d(f) = t, d(t) = t, y d(T) = t, sobreyectiva y
no trivial: Cerrados: 1 {b, 1} {b, 1. v} 1 b, 1, t, u} 1 AI}
3.1. MODELOS
OS PARA SISTEMAS PR OPOSICIO4 LES.
Grupo 3:
13 distribuciones sobrevectivas y no triviales:
EIIIEUI
u--u---.u----u---u--.u-.---u---uGrupo 4:
37
Cerrados:
{b. t. u. 1 } y A
Su diagrama es
/
o
La distribución d(±) = d(f) = d(t) = d(T) = b, no sobreyectiva ni
trivial:
V
3.1. MODELOS PÁR.4 SISTEMÁS PROPOSICIOXÁLES.
Grupo 8:
304 distribuciones no sobrevectivas y triviales:
Grupo 9:
240 distribuciones no sobrevectivas y triviales:
39
-------'----'-'-'-- 1.
T
Grupo 10:
u
V
0
368 distribuciones no sobrevectivas y triviales:
Una revisión de los cerrados que aparecen en cada grupo arroja 24 cerrados
de entre los 64 subconjuntos de 1 A, sin contar a 1 A l . Para cada uno de ellos
se pueden detallar los grupos de distribuciones que son compatibles con ellos.
formando 10 grupos denotados por F, i E {1,..., 10}:
3.1. MODELOS PARA SISTEMAS PROI'OSICIO.V4 LES.
11
O bien existe j < i tal que {» J, —* 3j }. 3 ) E ,\JJ)
MP la única regla (le inferencia de PFOU/? (FOUR es hnito), correspondiente
a (
) en la axiornatización presentada para Pr
Entonces basta probar que .-lx ( S ) C h - [F} y que h 1 [ p ] es cerrado
bajo MP. pero para esto último nótese que para tales F se cumple que
para todos a y h en 1 A l . si {a. a —* b} F, entonces h E F (es decir, F es
cerrado por IP), lo que implica que Ir 1 [F] es (errado por MP en
va que si l o, (t ---> 3)
h - ' [F]. entonces { h (a). Ir (a) — h( 3))
F. y por
lo tanto h(3) E F, es decir. 3 E h 1 [F].
Sólo resta probar que .-Ix (S)
h' [F], y para ello, hay que observar
que para todos z, y E 1 Al se cumple:
{. Ay, xV y, £ — y) C B
xAy= (xAx)A(yAy).
xVy=(xAx)V(yA).
X —* y = (
x A x) — (y A y).
Además. 1 E F, ya que para cualquier d E Dis,fl (h), identificando d con
(Dis) 1 [d]. se tiene que Th 8 (ø) C d[F] E Ths, y por lo tanto, si
a = (p: 1) A (p: 1), se tiene que h(a) E B, y como B es un álgebra (le
Boole, necesariamente h(-'a A a) = 1. Pero además -'a A a E Th 5 (e),
así que 1 E F.
Entonces para los axiomas (-+1), ( -+ 2), (-+3), ( A l ), ( A 2 ), (A3), (y1),
( y 2), (V3),(-'1), ( -' 2), y ( -' 3), basta con mostrar un caso. (ligarnos ( -+ 2),
y para los demás el argumento es análogo:
Sean a, 3 E am. Por brevedad, en A escribiremos x2 por x A x. Entonces a —* (3 —* (Y) E .4x (S), y por las observaciones previas se tiene que
=
h(a) -+ (h(3) -> h(a)) = h(a) 2 —* (h(3) 2 -4 h(a) 2 ) = 1, con la última
igualdad dada porque x 2 E B. y porque h(a) 2 (h(3) 2 - h(a) 2 ) es una
instancia, en el álgebra de Boole B, de una tautología (le! Cálculo Proposicional Clásico, lo que implica que su valor es 1.
Para los axiomas (rj ), (7-2 ), y ( r3 ) ( FOUR es finito), como los átomos
involucrados comparten la misma letra de ( am), basta con el argumento
siguiente:
Sea a en alguno de los axiomas nombrados, y sea p la letra que los átomos
de a contienen. Sea f = ( Dis)'[{[p}h}] el homomorfismo cuya distribución corresponde a la clase de p en ( m) respecto de h. Entonces
sabemos que existe una sustitución a E SE con la propiedad T — le tal
que f = hoa, y que ella puede ser la identidad sobre [p}. Entonces,
como por hipótesis f es compatible con F, se tiene que f(a) E F, es decir,
43
3.1. .\IODEL OS P;'UL4 SISTEM-t S PROPOSICI()X.4 LES. Hay 7 congruencias en A:
b
-'---- /
—1
¿fl
co
1
t-.---'-,-..--- u
1\ 0
¡d i Al
1
Al2
u
/v
3.1. MODELOS PARA SISTEMAS PROPOSICIONALES. 15
fórmulas pertenece al recorrido (le algún inorfismo asociado (por ser el álgebra
de fórmulas totalmente libre). En particular. si el tipo del álgebra (le fórmulas
consta (le un conjunto de conectivos de menor ('ardinali(lad que la del conjunto de átomos (habitualmente ha y sólo una cantidad finita de conectivos, y se
asume aquí que todos ellos son finitarios). entonces para todo subconjunto del
álgebra de un modelo (le cardinalida(I no niavor que la car(linalida(l del álgebra
(le fórmulas existe un morfisino que contiene a tal subconjunto en su recorrido.
Entonces se necesita la siguiente definición. considerando esta restricción
sobre los modelos:
Definición 10. Un HR-álgebra 21 relativa a 7Yrn es localmente cubierta si para
todo B C 1.4.2LIde cardinal2dad no mayor que la cardinalidad de .4t existe
h E H.21 tal que B C h[ am) .
Para todo k tal que 1 < k <. se dirá que una HR k -lógica abstracta L es
localmente cubierta si y sólo si L lo es.
Si L es una clase de HR-álgebras o de HR' -lógicas abstractas. 1 < k < w.
entonces LC L denota la clase de HR-álgehra.s (respectivamente de HR k -lógicas
(¿b.stractas) localmente cubiertas de L.
u
L('
En particular.
denota la clase (le modelos localmente cubiertos para
s. 1 <k <
Además, se tiene que para toda 21 HR-álgehra localmente cubierta relativa a
m, y 1 < k <, si F C JA.2tIk es de cardinalidad no ma yor que la cardinalidad
de .4t entonces considerando F := {a E 1.4.211 : 3b E F 3i < k a = b1 }, es
claro que F es de cardinalidad no ma yor que la cardinalidad de .4t (se asume
infinito), por lo que existe h E H.21 tal que E C h[ am], lo que implica que
F C / 41 I m "I1, es decir, el concepto de localmente cubierto se extiende a
subconjuntos de 1.4.211.
Por otra parte, es habitual en Lógica Algebraica Abstracta, aún bajo enfoque
inatricial. el considerar para un álgebra particular el sistema de clausura de todos
los subconjuntos tales que su preimagen por cada homnomnorfismo desde el álgebra
(le fórmulas en el álgebra es una teoría, llamado el sistema (le S-filtros (para
una lógica proposicional S). En particular, en el enfoque basado en lógicas
abstractas desarrollado por Font y .Jansana en [14], los modelos importantes
son aquellos cu y o reducto tiene por sistema (le clausura al sistema de todos los
S-filtros. llamados modelos llenos, así es que los modelos llenos reducidos son
exactamente aquellos modelos reducidos cuyo sistema de clausura es el sistema
de todos los S-filtros. Además, en términos de este trabajo, el conjunto de
morfismos asociados es maximal, en el sentido de que no hay más morfismos que
por preimagen lleven a todos los S -filtros en teorías; de hecho, los morfismos
asociados son todos los homomorfismos desde el álgebra de fórmulas en el álgebra
M modelo.
Respecto de los sistemas proposicionales k-dimensionales, si S k es uno de
ellos, con 1 < k < w, es claro que en tanto modelo (le SÍ mismo cumple con
que todo homomorfismo de íVm en su álgebra asociada (tn) compatible con
Capítulo 4
HR-algebrizabilidad.
4.1. Equivalencia de sistemas proposicionales.
s
Sean k y R ' (los sistemas preposicionales finito-dimensionales de dimensiones 1 < k < w y 1 < 1 < respectivamente, ambos sobre el mismo lenguaje
m. Sea x0 ,. . - Xk-1 una secuencia de símbolos que se asumen no pertenecientes a am y sea T(z0 .... . xk_1) el álgebra de términos (totalmente libre) del
tipo de Im generada por ellos.
Una (k, 1)-traducción consta de (los componentes:
1. Un subconjunto no vacío u de T(10.... . xk_1)I' tal que para cada 5Ev
y cada j < 1 todos los símbolos x 0 .....x 1 aparecen en S.
2. El conjunto de todos los homomorfismos (le T(x0 .... . Xk_1) en jm.
A cada cy E jm k , la (k,1)-traducción le asigna el 1-conjunto u(a) := f [u]
donde f está determinado por f(z) =
para todo i < k.
Sif C jMk entonces v[r] := Urv(a).
Nótese que la definición implica que si u = {(,.. . : j E J} para
jMk,
.1 qÉ 0, entonces dado (00,
se tiene que:
ak- 1) E
= {(f(ó).....f()) : j E .J}
y para 5(z .... . .rk) con j E J y d < 1 (recordando la condición sobre u). se
tiene f((5(xo,. . . , x_ i)) = ó(oO,.. . , o- iL donde esta última fórmula de m
está construida a partir de las fórmulas o 0 ,... mediante conectivos exactamente del mismo modo en que á j lo está a partir de los símbolos I, -. . ,
El uso del álgebra de términos generada por tales símbolos permite manipular de
manera estrictamente algebraica la noción de reemplazo de fórmulas por átomos
en una fórmula dada (además de considerar las dimensiones k y 1) sin utilizar
sustituciones de m, que podrían no ser estructurales. En general, salvo que se
indique lo contrario, para referirse a una (k, l)-traducción se usará la notación:
una (k,1)-traducción u....., sin necesidad de explicitar T(xo,. ­ , X k- J), ni
el hecho de que u C jT(xo. ... . xk...1)I', ni los homomorfismos usados.
i vi
1.1. EQCIVI4LE.VCL4 DE SISTEMAS PROPOSICIONALES.
49
Claramente el concepto de (k. 1)-traducción es meramente algebraico, y sólo
establece una relación sintáctica entre sistemas proposicionales finito-dimensionales.
La siguiente definición enlaza además los respectivos aparatos deductivos:
Definición 12. Sean S k
ron dimensiones 1 < k <
1.
sistemas proposicionales finito-dimensionales
y 1 < 1 < w rcspectzcamncnte.
Una (k.l)-traducción u es una interpretación deductiva de 5 en 1V
para todo 1' U {a}
se tiene:
a E Thsk(L') si y sólo ,siv(a) C Thi(v[T]).
Usaremos simplemente interpretación cmi vez (le interpretación deductiva.
2.
5k y IV son deductivamente equivalentes (equivalentes para abreviar)
si existen una interpretación u de 5 en 7 y una interpretación p de
iV en 5k tales que
Para toda a E affl : Th sk(a) = Th $k(p[v(a)]),
para toda E Im i :
Th1($) = Thi(u[p(/3)]).
En ese caso u y p son interpretaciones mutuamente inversas. Diremos
simplemente que S k yIZ 1 son equivalentes en vez de decir que son de-
ductivamente equivalentes.
.
Simplificando flotación, al aplicar consecutivamente una (k, 1)-traducción u y
una (1. k)-traducción p se omitirán los paréntesis cuadrados, es decir, si a E Im k.
entonces pu(a) abrevia a p[v(a)].
Nótese que S k y R l son equivalentes si existen dos interpretaciones u
mk .
p que satisfacen las cuatro condiciones siguientes para todos 1' u {a}
u{fl} c m:
a E Tu 8k (1') si y sólo si u(a)
Th 7Z , (v[r])
(4.1)
$ E Th1() si y sólo si p($)
Th 8 k(p[])
(4.2)
Th 8 k (a) = Th S k (pv(a))
(4.3)
Th . :(f3) = Th R I(vp(f3))
(4.4)
La siguiente proposición permite establecer que para que tales sistemas sean
equivalentes es suficiente con las condiciones 4.1 y 4.4, y por simetría también
basta con las condiciones 4.2 y 4.3:
-Li. EQUIVALEXCL4 DE SISTEMAS PROPOSICIONALES. Th EQ(BÁ 2
51
si y sólo si o
(o ->(Y) CS una identidad de B.4 cuando
(y —* ) : E F} es un conjunto (le identidades de B.4. lo que a su vez
equivale a que a
1 es una identidad (le BA cuando { y 1
E F} es un
conjunto (le identidades (le DA. lo que finalmente equivale a que (1 E TIn-p (U)
Luego, u es una interpretación de CPC en EQ(BA)2.
Si ahora (0, 3 ) E aM2. entonces es claro que a 3 es un identidad de
DA si y sólo si (a -* 3) 1 es una identidad (le BA si y sólo si (a +- .1)
((a 3) (a -* 3)) es una identidad de DA. Luego. por lo comentado antes se
obtiene que Th EQ(BA) 2 ( ( o. 3 >) = Th EQ(RÁ ) 2 (vp( (a. 3))). De ello se concluye
que p es una inversa por derecha de u, lo que finalmente implica que CPC y
EQ(BA) 2 son equivalentes.
(u[I'])
Dados 8k y R.', para denotar que son equivalentes usaremos la flotación: ckfpl
L)
Consideremos ahora algunas propiedades (le la equivalencia entre sistemas
proposicionales finito-dimensionales:
Proposición 4.1.2. Si S 1?.', entonces SE( Sk)
Demostración. Sean a E SE S k V
Si a E Th
ru
{a}
= SE( 7')
m1.
(1'), por ser p una interpretación, se obtiene que p(a)
Tu sk (p[r]), y por lo tanto a(p(a))
Th 5k(a[p[rj]). Pero como p conmuta
con homomorfismos, en particular se obtiene que p(a(a)) Th s (p[a[F]]),
nuevamente por ser p una interpretación, se obtiene que a(a) E Th ,z(a[F]).
Luego, SE( S k ) C S( Pi), y por simetría se obtiene que SE( 8 k ) =
S E( 1Z').
Para la siguiente proposición se utiliza la flotación:
Si r u
ç
entonces ( F ,,á ) := { ( r, 5) : 5 E }.
1.'.
Proposición 4.1.3. Si S' p R' y 8k es axiomatizado por
.4 ( $ k), Irif (S k ) ), entonces (v[ .4x ( Sk)], v[ mf ( Sk)] u U) es una
axiornatización de 7V, donde
V[ Inf( 8k)] =
{{(v[r],u(a))}
U={{(vp($),) : $E IMI } ,
{(r,cr)} E Inf( Sk)}
{({},up()) :
0
Demostración. Claramente cada a E .4x ( Sk) cumple con u(a) E Th IZ , (ø),
si (r,) E
Inf( 8k) entonces u(a) E Th:(v[r]). Sólo falta probar
U
que si 6 E Th (), entonces existe una demostración de $ desde A usando
(u[ .4x( Sk)],u[ Inf(
sk)J).
4. 1. EQUIVILEXCL1 DE SISTE\ fAS PROPOSICIONALES. h) Para todo MI E ¿CAÍ
PO P[V O P[M]] =
1?. Si S k
L,,p
1
se cumplen V E C. M G =
vup
.kvP
-
=
se cumple
L E PÍ 8
b)
= R'. y
entonces:
Para todo L E
a)
y
R'. entonces:
POP[Sk]
4 . Si 5
33
si y sólo si
pP [ ] E PM.?»
Para todo PM1 se cumple
MI E PM1
si ij sólo si v° [MI] E PM 8
k
5. Si p es una interpretación de S k en R entonces:
Para todo L E M 8 todo F E C. L, y toda 6 E Con A. L se cumple que
A,,
O < í 1 (F) implica 6 <
1. p
k'
,
a)
Para todo
LE
b)
Para todo M
6. Si S
entonces
LCAÍ k y todo F
E LCjtf,
E
C.L se cumple 9 L(F) =
y todo G E C.M se cumple 1 M(G) =
[f (D(G))
7. Si
Sk
y ,p
R', entonces
a)
Para todo
b)
Para todo MI
LE
L CAI S
k
se tiene (L) = (p0P[L])
E LC!f ¡
se tiene Ç (MI) = Ç (v0P[N1I])
= L. EntonE C.p0P[L] y hE H.p0P[L] H.
ces existe FE C.L tal que G = b (F). Sea /3 E Th(h-'[(F)]).
Entonces por interpretación se tiene que p($) Th s
pero p[h[(F)]] C h' [p[(F)]] C h'[FJ E Th
Luego, p(/3) Ç Thsk(h'[F]) = h - ' [F], lo que implica p[h(/3)] =
F. Entonces se tiene que h(fi) E (F), y por lo tanto
h[p(0)]
Demostración. 1. a) Sean G
k (p[h" [(F)]]),
/3 E h'[(F)].
Luego, h 1 [(F)]
M
E
Th
, y se obtiene entonces que p0P[L
E
4.1. EQUI%ALEXC.1A DE SISTEMAS PROPOSICIONALES. 4.
(2)
1) Si L E Ptí S k. entonces poP[L] E L('j
POP
75
y además -
(L]
Entonces:
a' Si H.p0P[L] es compatible con G C 1 .4.p OP [L]J'. sea M
tal que M = pOP [ L]
C. M es el sistema (le clausura
generado por C.p° P [L] Li {G}. Entonces M E y
por lo tanto ¡'°P [-MI E
. Pero la definición (le M
'."( 1I
y L E PMs . implican que V° [M] = L. y por lo tanto MI
pOP [°P [ Mi] ] = p'P [ L] . lo (jUC a su vez implica
G C.p0J{L].
b'
Si h E Hom( m. A.p° [ ] ) es compatible con C.p oP [L], sea
tal que Mi = p° P [L] y H. MI = H.p0P[L] u{h}. Entonces
MI E LC J,por lo tanto VOP[M] E LCMÇk Pero la
definición (le M y IL E PM k implican que [ MI] = L, y
por lo tanto M = pOP [VoP [MI]] = pOP [L] . lo que a su vez
MI
implica h E H.p'P [ i].
Luego. pOP[L] E LC1,
2) Si p0P[L] E PM entonces L = p° P [L] . Luego:
a' Si H. L es compatible con F C 1 .4. Lj k , sea Mi tal cjuc M =
L y C. M ese¡ sistema de clausura generado por C. Lu {F}.
Entonces M E LC Í S k y por lo tanto pOP[MI] E LCj,
Pero la definición de MI y p0P[L E PM
implican que
pOP [M] = pOP [L]. y por lo tanto
MI = v°" [pOP [MI]] =
vOP[pOP[ L]], lo que a su vez implica F E C. L
b' Si h Hoin( íYrn, A. L) es compatible con C. L, sea MI tal
que MI = L y H. MI = H. L U {h}. Entonces MI E LCMS
y por lo tanto p0P[M E LC J R Pero la definición de MI
y p° P [L] E PM, implican que p o P[M
p 0P [LI, y por
lo tanto MI = v°P [Pop [M'] = POP [poP [L]], lo que a su vez
implica h E H. L
Luego, LE LCJÍSk
k,
I
=
b) La demostración es simétrica de la anterior.
5. Supongamos < i (F),y sean cydenA.L' tales que c O'd y c E
Entonces p(c) C F, y para probar que O es compatible con (F) basta
probar que d E (F). es decir, basta probar que p(d) F.
Sean ¿SE p y f,g E Hom(T({xo,.. . ,xj_}), .4. L) tales que f(p) = p(c)
y g(p) = p(d). Entonces g(5) E p(d) y f(5) E p(c) C F. Pero para todo
i <1 se cumple que g(I j ) = d1 8c = f(x,), ya que cO'd, y por inducción
sobre los conectivos del tipo de íVm se obtiene, recordando que p lleva
1-elementos en k-conjuntos, que para todo j < k g(S) 3 Of(5). Por lo tanto
4.1. EQUIVALENCIA DE SISTEMAS PROPOSICIONALES.
Lema 4.1.6. Si S es un sistema proposicional k-dirnensional. con 1 k < w.
entonces
PM5
['] : PM
PMs Á, es una biyeeción y (-) es su inversa, y
k
* P1í
es una biyección y () es su inversa.
Demostración. Sea 21 E P.í S k Entonces existe L E P1I 5 . tal que 21 = L
Pero como H.21 = H. L. se tiene por definición que C.L C T 5 .(2t). y como L
es inaximal-algebraico y H. Les compatible con Ts k ( 21 ), entonces T 5k(21) C
C. L. Luego, C.L = T 5 (21). y por lo tanto
= L E PM 8 k, lo que
prueba que F'., [21] E PAI S k. para toda 21 E PM5
Por otra parte. si para 21. B E PM 5 k se tiene T°.,. [21] = ,.[B], entonces
claramente 21 = J k[ 21 ] =
= 3. por lo que el operador ,T,..[ . ] es
invectivo.
Finalmente, como para todo L E PM ,sk se tiene que T 5 ,.[LJ = L, el
operador es sobrevectivo, es decir, es una bivección.
Respecto (le () , es claro por definición que T .,.[21] = 21, as¡ que (.) s
son hiyecciones inversas una (le la otra.
La afirmación respecto (le PJI,. es entonces evidente. O
Definición 15. 1. Sean A, B, y C álgebras, G U {g}
Hom(A. B), y
Horn ( B, C). Entonces se definen los siguientes conjuntos:
H U {h}
hoG={hog :9EG}
Hog={hog :hEH}
HoG={hog :hEHy9EG}.
2. Para toda HR-álgebra 21 sea
End(21) := {g E Hom(A.21,A.21) : goH.2t C H.21}.
Si Les una HR k lógica abstracta. 1 < k < w, entonces End(L) :=
End( L ). Los elementos de End(1) ( o de End( L)) se denominan endomorfismos de 21.
.
Lema 4.1.7. Sean S" sistema proposicional k-dimensional y L E PMSk.
Entonces:
1.
End( L) o H. L = H. L = H. Lo S E( S k
2.
End(L)={gE Ho7n(A.L,.4.L) :VFEC.L g'[F]eC.L}.
3.
End( S k) = SE( 8
k)
1.1. EQUIVALENCIA DE SISTEMAS PROPOSICIONALES. 4 . Para todos M e
PM1. G E
.59
C. MI, y todo g E End( M) se cumplen
g[í(G)] =
y
(g M (G)) =
Se dirá en este caso que D conmuta por imagen Y preimagen con endo-
tiiorfismos.
Demostración. 1. Basta observar que para todo sistema proposicional finitodimensional Q, PM C PM , y que por definición tanto como pOP
no modifican el reducto HR-algebraico.
2. Sólo es necesario probar que p0P va de Y5 k() sobre T(2t). ya que lo
demás es consecuencia directa del lema 4.1.4.
Como p op [Fk[1] = J[.] =
. pop [5[,]] E PM», entonces
p0P[F[J]
=
lo que por lema 4.1.4 basta para probar que pOP
es isomorfismo (le retículos de J (o.) sobre R (.), y que i-'°' es su
inversa.
3. Para la primera afirmación, con a
E
JA. L I', se tiene:
a E g[(F)] si y sólo si g(a) E (F) si y sólo si
g(p(a)) = p(g(a)) F si y sólo si p(a)
E
91[F]
si y sólo si a E
Para la segunda afirmación, sea a E g[(F)]. Entonces existe b E (F) tal
que a = g(b). Pero p(a) = p(g(b)) = g(p(b)) C g[F]
g L (F). Luego, g[(F)] Ç
E C.pP[L , y por definición se obtiene que
gPOPL](p(F)) C
En la otra dirección, sea G E C.p0P[Lj tal que g[(F)] C G. Entonces
(F)
q[G], y por lo tanto F = ((F)) Ç (g - '[G}). Pero como
= g[(G)], necesariamente g[F] C í(G) E L. Luego,
9L(F)
y por lo tanto (9 1 (F))
= G. lo que finalmente implica que (g L (F))
Cpop 1 (g[(F)J) = g popí:i((F)) . Se
obtiene entonces la igualdad pedida.
4. Simétrica a la anterior.
o
Proposición 4.1.9. Sean S y R l dos sistemas proposicionales de dimensiones 1 < k <w y 1 < 1 <w respectivamente, tales que ' JV.
Entonces para toda 21 E PAI S k = PA1 7Z ¡ se cumple que b es un isomorfismo de retículos de Fs h () sobre ( a ), í es su inversa, y ambos conmutan
por imagen y preimagen con endoinorflsmos.
4.2. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS.
61
Consecuencia directa (le ello es que si M E P.1!Q entonces C. W es subretículo completo (le Con A. M. y además si MI E P.Vj, entonces C M(0) = id A. M
k
Consideremos ahora lo que ocurre cuando S , con
sistema
proposicional k-dimensional y Ç sistema proposicional (le congruencias:
Por la proposición 4.1.9 sabernos que para toda E P\I
es un isomorfismo (le los retículos F () y :Fç (). y que í'
es su inversa, y además por el lema 4.1.4 y la proposición anterior,
para tO(lO F E C. L se cumple L(F) = = (F), ya
que pOP [L] E PM
por lo tanto 5 1 : '.' coinciden sobre C. L.
Luego, dado que para cada F E G.L b (F) = {(a.b) E 1 A. L[2
p( ( a, b)) Ç F }, la congruencia (le Leibriitz (le F E C. L es definible
sintácticamente en .4. L por la interpretación p y F.
Por otra parte, si L E PAI k, entonces pOP [i] E PAIj y por lo
tanto CL(0) = 3(id A,L ) = { a E 1.4.LI k : u(a) < id AL }. Luego,
el menor cerrado de C. L es definible en A. L sintácticamente por u.
Esas propiedades, y las que se mostrarán a continuación, nos autorizan a
establecer la siguiente definición:
Definición 17. Sea S k un sistema proposicional k-dimenszonal. 1 < k < w.
S k es HR-algebrizable si es equivalente a
de congruencias.
Ufl
sistema proposicional
.
Corno ya se vio en el ejemplo 8. CPC es HR-algebrizable, ya que es equivalentea EQ(BA) 2 mediante la (2, 1)-interpretación {X0 x1 } y la (1,2)-interpretación
{ (za, 10 - r0 )} . Más aún, es claro que un sistema proposicional k-dimensional
estructural, al considerarlo como sistema k-deductivo en el sentido de [4], es
algebrizable si y sólo si es HR-algebrizable, ya que el sistema proposicional de
congruencias a que sería equivalente en el último caso es también estructural, y
por lo tanto indistinguible de un sistema de congruencias en el sentido de [4].
La siguiente proposición permite establecer de manera más manejable e intuitiva La propiedad de ser HR-algebrizable:
Proposición 4.2.2. Un sistema proposicional k-dimensional S k con 1 < k <
es HR-algebrizable si y sólo si existen una (k, 2)-traducción u y una (2, k)traducción p tales que
1. p((o,a)) C Th.(0) para toda crE Jm,
2. p((a,/3))
Thsk(p((/3,a))) para todos cr,/3 E am,
3. p((cr,7))CThsi.(p((a,),(í3,7))) para todos cr,/3,.yEm
4.3. SISTEMAS ALGEBRAICAMENTE UXÍ% OCOS. 63
La demostración explícita se encuentra en el apéndice A, en los lemas A.0.6
Y A.0.7. y la proposición A.O.S. y se basa en la proposición 4.2.2.
Nótese que para todo o E Jin la segunda coordenada (le u(a) es un teorema.
que la primera coordenada es siempre compleja. Más aún, para toda a E JM
se cumple que a -* (a A a) E Thp7 (0). coma en CPC, pero ello no implica que
a*-*-'(Aa) E ThPT (0).
Más detalladamente:
Lema 4.2.4. Si Pr es una lógica anotada y a E Im, entonces
a -+ -'(a A o) E Thp (0) si y sólo si a es compleja.
Demostración. () Si a es compleja. también lo es (a A o), y por lema A.0.6
se tiene que Thp (-a
(c A a))
Thp (a -* (o A o))
Thp (0)
Si
o
no
es
compleja,
entonces a = _ k (p : p) para k E w. p E le y
()
ji E r.
Pero si 1 : le '—* r es tal que I(p)
T, entonces vi (a) = v j (-o) = 1 y
-'(a A o)) = O, lo que implica que -'a 4-* - ( a A a) 1 Thp (0).
D
Eso implica que la (1.2)-traducción {(i0, 10 – .to )} no es interpretación de
Pr en su sistema proposicional de congruencias equivalente.
La interpretación p permite capturar respecto de congruencias la negación
(le T, sin importar la estructura de éste o el comportamiento de su negación.
Por los comentarios previos a la definición 17 se puede enunciar sin demostración la siguiente proposición:
s k 1'p
Proposición 4.2.5. Si S es un sistema proposicional k-dimensional HRalgebrizable con
g, entonces
• Para todos LE PM S k, y FE C.L
L(F) = «a, b) E IA.L1 2 : p((a,b))
F},
. para todo LE PMÇk
CL(ø) = a E 4 . Ll k : u(a) C id A L} =
4.3. Sistemas algebraicamente unívocos.
Una característica destacable del proceso de algebrización, en todas sus versiones, es que desde la clase de álgebras asociadas a una lógica algebrizable se
puede formar la clase de sus modelos reducidos, es decir, se puede revertir el
paso desde un modelo reducido hacia su reducto algebraico. En [12]. Herrmann
lo establece diciendo que la función "E" que lleva fórmulas en ecuaciones "define verdad" en la clase (le modelos (matriciales) reducidos; en rigor, E define
1.3. SISTEMAS ÁLGEBRAIC.t\IEXTE UXÍVOCOS. 2.
65
Si R E Iiif (
Sk)
está generada por (F.). y (G.a) E R .4.L es tal que
G C F. con F E C. L entonces por definición existe h E Hom( m. .4. L)
tal que (G.a) = (h[r].h()).
Por ítem anterior se obtiene (aplicado a
) que existen y E H. L y
i E Horn( Im, m) tales que h = qo. y entonces [F]
g[h[F}]
9 - '(F] E Th . Luego. por ser R estructural y por tanto (a[r], i(a) ) E
R. se obtiene a(o) E ,q - '[F], es decir, a = fi(o) = goo(o) E F. F es
entonces cerrado por R. lo que prueba que todo F E C. 1 es cerrado bajo
Inf(SÁ).
3.
Si o E Th s k (h 1 [F]) existe una demostración ($ : i <
de cx desde
h' [F]. Pero Th s k (0)
1[F] implica que para todo i < rj o bien
E h - '[F]. o bien existen .1, no vacío : Vj E Ji i 1 < i}.$ ) E
RE Inf(Sk).
0,
Luego. en A. para todo i < q o bien h() E F. o bien existen J j no vacío
Vi E Ji i 1 <i}.h(fi)) E RA, RE mf ( S k ) . Pero F es
cerrado bajo mf ( S k ) , y por lo tanto. por inducción, Vi < T/ h(fi) E
es decir, o = ¡3, E h'[F]. Ello implica h'[F] E Th sk.
Fl
Si S es un sistema proposicional k-dimensional HRalgebrizable con reglas de inferencia estructurales, entonces
Proposición 4.3.2.
para todos 1, ff1 E PM k A. 1 = . 4. ¡Li implica 1 = 111.
Demostración. Sean L y 1' en PM ,*, tales que .4. 1 = A. U. Probaremos
primero que H. 1' es compatible con C. L.
Si h E H. L' y F E C. L, corno C:-, (0) = í(id A :) = C L(Ø) C F, se tiene
T s (0) h' [CL'(ø)] C h' [F], ya que h [C (ø)} E Th s k , Además, corno
Sk tiene reglas estructurales
y 1 es modelo principal, F E C. 1 es cerrado bajo
mf ( Sk). Entonces h'[F] E Th s k, lo que implica que H. 1' es compatible
con C. L.
Como 1 y 1' son modelos principales (le S A es claro que H. 1' C H. L, y
por un argumento simétrico se obtiene H. 1 = H. Li, lo que finalmente implica
1= U.
o
Claramente todo sistema proposicional finito-dimensional estructural tiene
reglas de inferencia estructurales. Por su parte. las Lógicas Anotadas con retículo
finito tienen como única regla de inferencia a Modus Ponens, que es estructural.
Esto tiene algunas consecuencias que son mejor presentadas usando algo de
notación extra:
4.4. CONGRUENCIA DE LEIBNITZ Y MODELOS PRINCIPALES. 67
Con este Teorema se puede establecer claramente que para todo sistema
proposicional finito-dimensional estructural S k
Sk
•
es HR-algebrizable si y sólo si S es a1gehrizahle' en un sentido
que extiende al dado en [4] pero sin exigir finitud.
En [2] se considera que extender el proceso de algebrización
de sistemas deductivos de dimensión finita (le manera análoga a
como en dimensión 1 pi-algebrización extiende a algebrización.
es decir, que los conjuntos de fórmulas que realizan las interpretaciones no necesariamente sean finitos, ni la lógica sea finitaria.
no debe presentar dificultades. Tal extensión es aquí consecuencia (le HR-algebrización.
• Si S k es HR-algehrizable, entonces la clase de álgebras aquí asociada,
Aig 5k coincide con la asociada en Lógica Algebraica Abstracta, en los
casos considerandos en [4].
4.4. Congruencia de Leibnitz y modelos principales.
En la proposición 4.2.3 se estableció que para sistemas proposicionales finitodimensionales HR-algebrizahles, si L es modelo principal, entonces la imagen
por el operador de Leibnitz de C. L es un subretículo (le Con .4. L El punto
ahora es determinar de qué subretículo se trata.
En Lógica Algebraica Abstracta (incluído el caso multidimensional) la imagen por Leibnitz de un S-flltro sobre un modelo reducido MI, para un sistema
deductivo S, es una A1g8 -congruencia, es decir, el cuociente entre el álgebra
de M y la congruencia de Leibnitz del S-filtro pertenece a Aig 5, que es la
clase de los reductos algebraicos de modelos reducidos.
Es necesario contar con algunas herramientas antes de avanzar al respecto:
Definición 19. Sea S k HR-algebrizable.
• Para toda álgebra A del tipo de íVrn sea
PM S k[A] := {LE PMs,. : .4.1= A}.
• Para toda álgebra A del tipo de
3m sea
Con AlgS k A:= {OE Con A : A/OE AlgSk}.
• Si LE PM
k
y Fe C. L, sean ir := 79 (F) y í(L, F) el triple
(A.L/1L(F), H.Í(L, F), C.í(L, F)), donde
4.4. (O.'GRUEXCL4 DE LEIBXITZ Y MODELOS PRINCIPALES. 69
Demostración. Si G C.í(L, F). sea
:=
[G] =
: (r(ao)....
(Lk
.
ir((ik_ ))
E G}.
Luego. para todo Ji E H L h `[F'}
o Ji) - ' [ G] E Th
s k, y como
L E PM,; k. entonces F' E C. L. Como además ir es sobre .4. ( L, F).
= G.
Finalmente por definición í (F) es compatible con F'. y por lo tanto
L(F) < !
y como S k es HR-algebrizable. entonces F C F'.
Eso prueba que C.Ç(L. F)
{[F'] : F C F' E C. L}
En la otra dirección, si F' es tal que F C F' E C. L. entonces para todo
hEL
(no h)' [7r[F']J
h
[-r 1 [ir[F']]],
pero Q L (F) es compatible con F'. y por lo tanto
- 1 [ir[FJJ
' =/i-I
(ir oh)
[F'JEThSk.
Luego. 7r[F'] E C. Q (L. F). Eso prueba la igualdad.
= F', es decir,
E
Q(LF)EPMk
Demostración. Como ir[F] E C.í(L. F) y QL,F)(ir[F]) = id.F),
claramente
i (?(L F)) = idfl(LF).
E
Proposición 4.4.2. Si S k es HR-algebrizable y A es un álgebra del tipo de
m. entonces para todo L E PM8k[A]
í L(F) : F E C. L} determina un subretículo de Con AIg S A.
Demostración. Por proposición 4.23, hasta probar que para todos L E PAI S Al
vFEC.L, í L( F ) E Con AIgsk A.
Pero por lema previo se tiene que Q( L, F) E PM k, y . 4. ! ( L, F)
.4.L/í(F) = A/ L (F), es decir,9 L(F) E C Ofl AIgS k A.
E
Proposición 4.4.3. Si S k es HR-algebrizable, entonces para todo A del tipo
de 3m y todo 0 Con AIgsi A, existen ILE PMsk[A] y FE C.L tales que
O=
Más aún, Con AIg S . A = ULEp,I5,[A[C.L].
4.4. CONGRUENCIA DE LEJB.\'ITZ Y .\IODELOS PRINCIPALES. 71
Considerando la proposición anterior. Se obtiene
Col' AlS k A=
k
[Al
FE—
Proposición 4.4.4. Si S es estructural y HR-algebrizable, entonces para
cualquier álgebra A del tipo de I m se cumple:
• Existe un único L E
k [A],
y cumple
H.L= Homn(am, A).
• Con AIgS A = [C. L]. para LE PS
Demostración.
• Sean L
E PM S k[A] y ir
«
. Considerando
M
(L. C(ø)),setieneque.4.M = ir[A]yC.M = {ir[F] FE C.L},
Y- como S k es estructural, H. N = Hoin( m. .1. M) por Teorema 2.
Sea g E Hom( m. A). Si F E C. L. como (ir og) E H. M y :íCL(ø)) es
obviamente compatible con F, entonces _1 [F] (ir og)' [ir[F]] E Th s k.
Luego. Homn( íI m. A) es compatible con C. 1, y como L E P!tis k, se obtiene H. 1 = Hom( 3F m, A). En particular, si 1' E P3I 5 k[AJ. lo anterior
implica H. 1 = H. L', es decir, L = U.
• Por ítem anterior PM 5 [A] = { L}, y considerando la proposición previa,
se obtiene COfl Al. 8k = í[C. 1].
o
Apéndice A
Demostraciones anexas.
Consideremos las siguientes funciones sobre hiperliterales (le Im definidas
por:
011 (, k (p: ji)) = ji
y
le(-"(p: ji)) = P.
Entonces se tiene:
Lema A.O.5. En P Q(Jfi se cumple:
1.
Para todos 1 E w. p E le( am), y ji E FOUR, se tiene que
-i' (p: ji)
E Th
5 (0)
si y
sólo si ji = .1..
2.
Para todos {p, q} le( m) y {p, Á} C FOUR, si (p : ji)
(q :
Th 8 (0), entonces o bien ji = A = 1. o bien ji = A 1 y p = q.
3.
Si a E SE, entonces para todo átomo anotado (p : ji) se tiene que a(p
ji) es hiperliteral. Luego, ninguna sustitución lleva átomos anotados en
fórmulas complejas, y por ser homomorfismos, tampoco llevan fórmulas
complejas en hiperliterales.
4.
Si a E SE, entonces para todo hiperliteral
que un(a(o)) = 1.
Q
E
tal que an(c) = 1 se cumple
Demostración.
1. Si -"(p: ji) E Th 5 (0). entonces se obtiene (le inmediato
que (p : -" ji) E Th 8 (0). Si suponemos ji 1, en particular se tiene
que -" ji qÉ 1, y tomando una interpretación tal que I(p) = 1, como
1 C-'1 p, entonces v j (p -'p) = O . Contradicción. Luego ji = 1. En la
otra dirección es por la axioinatización dada.
2. Si (p: ji) -+ (q : A) E Th 8 (0) y suponemos que ji = 1, entonces necesariamente (q: A) E Th S (0), lo que ocurre si y sólo si A = 1. Análogamente
se tiene que suponer ,\ = 1 implica ji = J... Eso da cuenta del primer caso.
Si ahora suponemos que ji
1, por lo anterior se tiene que A Y- 1, y
viceversa. Pero si p qÉ q, entonces consideremos la interpretación ¡ tal que
73
Luego. 10 este caso Vjt E FOUR (ln(a(p :
ponde al ¡nodo 1 del enunciado.
= 1. lo que corres-
Supongamos ahora que a no actúa del modo 1 respecto de p, es decir.
(y (p T) 11 Ths (0).
• Si an(a(p T))
T. y consideramos que a(p T) =
(q
FOUR. corno (le -'(p
ji). es decir. ji E {f, t}
T)<-> (p
k(
Y) E Ths (0) se obtiene k+l(
ji)
ji) E Th 8 (0).
entonces (q —" ' p) 44 (q
°p) E Th s (0). Pero ello implica
que _ k+1 11= ...,k1 y se tenía ( ILIC ji E {f, t} Contradicción.
Luego, an(a(p: T)) = T.
• Si c(p : f) E Th 8 (0), entonces de -'(p f) -* (p : t) E Th 5 (0)
se obtiene que -a (p f) -* a(p : t) E Th 8 (0). Pero a(p : f) E
Th 5 (0) implica que an(o(p f)) = , y por lo tanto -'a(p
f) E Th.s (0), es decir, a(p: t) E Th 8 (0).
Pero además, de (pr f)A(pr t) —* (pr T) E Th s (0) se obtendría
que a(p: T) E Th (0) . Contradicción.
Análogamente, a(p: t) Th 8 (0).
• Si le(a(p T)) qÉ 1e(a(p : f)), entonces (le ( p : Y) —* (p f) E
Th (0) se obtiene que a(p : Y) —*a(p : f) E Th 5 (0), pero
como a(p: f) 11 Th (0), entonces tomando una valuación 1 tal
que ¡(le(a(p r T))) = T y I(le(a(p r f))) = 1 se obtiene que
v j (a(p: T) —>a(p: f)) = O . Contradicción.
Luego, le(a(p r T)) = le(a(p r f)), y por un argumento simétrico
se obtiene que le(a(p r T)) = le(a(p r t)).
Por lo tanto, necesariamente le(a(p r T)) = le(cr(p r f)) =
le(a(p r t)).
• Sean q le(m), {k,m,n} Ç , y {A,p} C FOUR tales que
a(p r T) =
k(q:
T)
cr(p r f) = _, Tfl(q r A)
a(p : t) = -(q
Entonces de -'(p r f) -+ (p : t) E Ths (0) se obtendría que
_,m+l(q r
,fl(q r ji) E Th 8 (0). Pero entonces (q : , ffl+1,\)
A)
(q
E Th 5 (0), y por lo tanto
=
Luego, A = T si y sólo si ji = T, y por lo tanto, en tal caso, se
tendría que a actúa del modo 3 respecto de p.
Si ahora suponemos que A E {f, t} c FOUR, y por lo tanto ji E
{ f, t}, entonces si m + n es par, se obtiene que -' A =
-' 111 A =
= ji, es decir, A qÉ ji en {f,t}. Si en cambio suponemos
que m + n es impar, entonces de manera análoga se obtiene que
A = ji.
Entonces si {A, ji} = { f, t}, se obtiene que a actúa del modo 2
respecto de p
2. Ax yAx — jE Thpr (0)
MP yE Thp (yAx)
Ax yAi — zE Thp (0)
N P x T/pr (yAx)
Ax .r -* (y -* (.r A y)) E Thpr (0)
MP y —* (x A y) E ThP T (y A x)
N P iA y E Thp (yAi)
:3.
A (xAy)—+.rE Thp (0)
MP x Thp (x Ay)
Ax (xAy)—*yE Thpr (0)
MP y E Thpr (x Ay)
{x, y}
Thp (xAy)
4.
3.
A (y-4z)—+(x--+(y--*z)) E Thp (0)
MP x—+(y-4z) E Th 17. (z—*y,y—z)
MP (z—+(y—+z))--(x--+z)E Thp (x—*y.y—*z)
MP z — zE Thp7 (x—y,y—+z)
6.
x —+yE Thp,. (x-+y,y44z)
y —+ZE Thp (x+-y,yHz)
X—>Z E Thp (x—+y,y—*z)
Thp, (x—*y,y4—z)
z —+yE Thp7 (x++y,yf+z)
?J —+X E Th,. (x4-+y,yHz)
Z—+xE Thp (z—+y,y—*.r) c Thp (x—*y,yf+z)
Ax (X-+Z)-+((Z--*X)-+(X-+Z)) E Thp,. (0)
..x4—zEThp(x4-+y,y<+z)
7.
Ax (xAz) — xE Thp7 (0)
x —*yE Thp (x <—>Y)
(xAz)-#yE Thp (x44y)
Ax (xAz)—+zE Thp(Ø)
Z —+ wE Thp (z4w)
(xAz)—#w E Thp (zHw)
79
-'iE Thp ((x-+y),-y)
-Y--+ 1 E Thp (a' y)
Por simetría
-'y E Thp,. (a' 4 y)
11. Inducción sobre !': Si k = 1. va está probado. Supongamos que para k se
k
tiene (k 1
y) E Thp (a' <->y). Entonces como _k x y - y tanihiri
1 __1, y) E Thpr ( k r
(k
'ky)
son complejas.
ThPT (a' y), lo
que termina la prueba.
o
_, k11 : k E w}. Entonces p satisface las
cuatro primeras condiciones de la proposición 4.2.2.
Lema A.O.7. Sea p
Demostración. 1. Para toda a E 1 ami y todo k E se tiene que (ha
Thp,. (a).
Thp (e), y por lo tanto p((a.a))
k0)
E
2. Para todos a.3 E 1 ami y todo k E w se tiene que (3*ka) E
Thp ( 'k a_3) C Thp (p((a,B))), y por lo tanto p((3,a)) Ç
Thp (p((a.3))).
3. Para todos a, 3. 'y E 1 ami y todo k E w, (, k 0 _,k E Thpr (ka _,k3 k8
Thp (p((a. 3))Up((3, y' ))), y por lo tanto p((a. 'y))
ThpT (p((a43))u
,k) c
4. Si <> E {A, y
0,3, -y, á E I ami, entonces (aO8)f+(-y5) E Thp r (a4+'y,/3++Ó).
y como a08 y -yOó son complejas, entonces para todo k E w se tiene
, k (a03)
k0 E Thpr ((aO) 4-* ('yO)). Luego p(((a03), ('y6))) Ç
Thpr (a++'y,/34Ó), y como
Thp ('y,3-*) Ç Thp (p((a,-y))Up((5,))), se obtiene que p(((aOj3),('y05))) C
Thp (p((a.'y))up(3M)).
5.
Si a,d E 1 ami, entonces claramente p(((-a),(-3)))
Thp,. (p((a8))).
p((a,fl))
Luego, p satisface las condiciones pedidas.
o
Proposición A.O.8. Pr es HR-algebrizable mediante p y y := {( a'o A r o, Lo -4 x0)}
Demostración. Sólo resta verificar la quinta condición de la proposición 4.2.2.
Sea a E Im. Claramente (aAa) <-* (a -+ o) E pv(a), y entonces (a —* a) —* (aA
a) E Thp (pv(a)). Luego, como (a ->a) E Thp,. (0), se tiene, por MP, que
(a Aa) E Thp7 (pv(a)), y por lo tanto a E Thpr (aAa) C Thp (pv(a)).
Por otra parte, a A a E Thpr (a), y por lo tanto (a—a)--*(a A a) E
Th,. (a) por MP y axioma (-+2) . Además, por el mismo axioma, MP, y
(a —* a) E Thp (0), se obtiene que (a A a) -4 (a —* a) E Thpr (a). Luego,
(a A a)4-*(a—*a) E Thp (a). Pero como (a A a) y cr -+a son complejas,
entonces p(((aAa),(a—*a))) C Thp ((aAa)+3(a—*a)) Ç Thp (a).
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