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MAESTRIA EN INGENIERIA
DE CONTROL INDUSTRIAL
Con el apoyo académico de la Universidad
Católica de Lovaina y la Universidad de Gante
(Bélgica)
1
PROGRAMA DE AUTOMATIZACION
INDUSTRIAL
Universidad de Ibagué – Marzo 19 de 2009
2
SEÑALES Y SISTEMAS
Ing. M.Sc. PhD José Aldemar Muñoz Hernández
Correo electrónico: aldemar.munoz@unibague.edu.co
Ing. M.Sc (c) Ricardo Enrique Troncoso Hernández
Correo electrónico: ricardo.troncoso@unibague.edu.co
3
3. SISTEMAS EN TIEMPO
DISCRETO
4
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Secuencias
x(T) x(2T)
●
●
x(3T)
x(0) ●
●
Presión
sanguínea
0
t=nT
T
2T
3T
Tiempo t
T
x(t)
Muestreador
ideal
x(nT)
x(nT)
x(t)
switch
5
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Las mismas conclusiones acerca de los sistemas pueden obtenerse en
caso de que el sistema sea digital. Aquí las señales vienen dadas por
secuencias y la ecuación del sistema por ecuaciones en diferencia.
Y[n]+A1y[n-1]+A2 y[n-2]+…+AN y[n-N]
=B0x[n]+B1x[n-1]+…+BMx[n-M]
Sistema tiempo contínuo
Ecuación diferencial
Sistema tiempo discreto
Ecuación en diferencia
6
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Señales en tiempo discreto
• Las señales se representan como secuencias de números (muestras)
• El valor de la muestra de alguna señal típica o secuencia se denota con
x[n], − ∞ ≤ n ≤ ∞
Representación gráfica de una señal en tiempo discreto
7
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• T: Intervalo de muestreo o periodo de muestreo
• Fs : Frecuencia de muestreo (T=1/Fs)
• Si T esta en segundos, Fs estará en ciclos por segundo(Hz)
• Sin importar si x[n] se obtiene por muestreo, la cantidad x[n] se llama la n-ésima
muestra de la secuencia
• x[n] es una secuencia real, si la n-ésima muestra x[n] es real ∀n, de lo contrario
x[n] es una seecuencia compleja.
• Una secuencia compleja se puede escribir como :
{x[n]} = {x [n]} + f {x [n]}
re
im
8
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Secuencia conjugada compleja de x[n]
{x [n]} = {x [n]} − f {x [n]}
*
Re
Im
• Tipos de señales discretas :
Señales de datos muestreados (sampled-data signals)
Los valores de las muestras estan en contínuo
Señales digitales (digital signals)
Los valores de las muestras estan en discreto
9
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Señal en tiempo discreto de longitud finita : N ≤ n ≤ N
1
2
• Una secuencia de longitud N esta dada por una secuencia de N puntos.
• La longitud o duración de la secuencia de longitud finita esta dada por :
N = N − N +1
2
1
• Una secuencia de lado derecho (right-sided) x[n] tiene muestras con valor cero
para n<N1
• Si N1∆0, la secuencia es causal
Secuencia de lado izquierdo
(left-sided)
10
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Operaciones básicas
1. Producto (modulación)
2. Aadición
3. Multiplicación
11
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
4. Desplazamiento en el tiempo
N>0
Retardo unitario
N<0
Operación avance
5. Operación folding
12
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
6. Operación de ramificación (Branching)
Ejemplo :
y[n] = a x[n] + a x[n − 1] + a x[n − 2] + a x[n − 3]
1
2
3
4
13
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Alteración de la rata de muestreo : se emplea para generar una nueva
Secuencia y[n] con una rata de muestreo F´T más alta o más baja que la
Rata de muestreo FT de una secuencia dada x[n].
F
R=
F
´
T
Razón de alteración de la rata de muestreo
T
• Si R>1, el proceso se llama interpolación
• Si R<1, el proceso se llama decimación
14
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Muetsreo por encima por un factor entero L>1, L-1 muestras con valor cero
equidistantes se insertan por el muestreador entre cada dos muestras con
secutivas de la secuencia de entrada x[n].
15
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• En muestreo hacia abajo por un factor entero M>1, cada M-ésimas muestras
de la entrada se mantienen y M-1 muestras entre ellas son removidas :
16
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Una secuencia arbitraria se puede representar en el dominio del tiempo
como una suma pesada de alguna secuencia básica y su versión reatar
dada (avanzada)
17
TRANSFORMADA Z
 Se define la transformada z, E(z) de una secuencia e[k] :
E(z ) = Z {e[k ]} =
∞
∑
k
ek z −k ,
r0 < z < R 0
= −∞
 La cantidad compleja z generaliza el concepto de frecuencia al dominio
complejo
z = r e j 2πft s
 Para una secuencia x[n]={6 4 2 2 -2} la transformada z esta dada por :
n=0
X ( z ) = 6 z 2 + 4 z1 + 2 z 0 + 2 z −1 − 2 z −2
 Como X(z) es una serie de potencias, no converge para todo z. Los
valores de convergencia definen la región de convergencia(ROC).
Toda X(z) tiene asociada una ROC, pues puede ocurrir que dos secuencias
18
distintas tengan una X(z) idéntica, pero diferentes ROC.
TRANSFORMADA Z
 Para una secuencia x[n] de longitud finita, X(z) converge para todo z,
excepto para z=0 y/o z=∞
 Transformada z de algunas secuencias
• Impulso unitario
x[n] = δ [n];
X ( z ) = 1;
ROC ,− ∞ ≤ z ≤ ∞
• Pulso rectangular
x[n] = u[n] − u[n − N ];
N −1
X ( z ) = ∑ z −k
k =0
1− z−N
=
; z ≠ 1 ROC , z ≠ 0
−1
1− z
• Escalón unitario
x[n] = u[n];
∞
X ( z) = ∑ z
k =0
−k
1
=
; ROC : z > 1
−1
1− z
19
TRANSFORMADA Z
 Transformada z idéntica para dos secuencias, pero ROC diferente.
• Exponencial
∞
x[n] = a u[n]; X ( z ) = ∑ a k z − k
k
k =0
∞
k
a
z
ROC ; z > a
= ∑( ) =
( z − a)
k =0 z
• Exponencial
x[n] = −a nu[−n − 1],
X ( z) =
−1
∑−a
k = −∞
k
z −k
∞
∞
z
= ∑ − a −m z m = ∑ − ( )
a
m =1
m =1
z
( )
z
a
=−
=
; ROC : z < a
z
[1 − ( )] ( z − a )
a
m
20
TRANSFORMADA Z
Transformada z unilateral : Suponga que se representa la secuencia discreta
u(kT), k=0,1,… como una función contínua usando
la función “delta”.
u[kT ] = u 0δ(t ) + u 1δ(t − T )++u k δ(t − kT )+
La transformada de Laplace de la secuencia discreta es :
L{u[kT ]} = u 0 + u 1e −Ts ++u k e −kTs +
Se elimina ahora la función exponencial trascendental definiendo una nueva
variable z=esT, para obtener :
Z {u[kT ]} = L{u[kT ]} s = 1 ln z = U (z ) =
T
∞
−k
u
z
∑ k
k =0
21
TRANSFORMADA Z
• Transformada z de
ak
Sea,
z
•Si a=1 se obtiene la función paso unitario
•Si
a=e+-bT
z − 1
se obtiene la función exponencial
z
z − e ± bT
22
TRANSFORMADA Z
•
Transformada z de
{ }
Z uk
d
= Z {ka k } = aZ {ka k − 1} = aZ { a k }
da
d
d
Z {a k } = a
= a
1 − az − 1
da
da
(
( )(
= a − 1 1 − az
=
az − 1
(1 − az )
−1
2
−1
=
)
−1
) (− z )
−2
−1
az
(
z − a
)
2
• Si a=1,
Z{kT}=TZ{k}=
Tz
(z
− 1)
2
Use los comandos de Matlab ztrans, iztrans
Función rampa unitaria
23
TRANSFORMADA Z
• Transformada z de a=rejωT
• Si a=e+-bT
Z {kTe ± bkT } =
Tze ±bT
(z
−e
± bT
)
2
24
TRANSFORMADA Z
• Propiedades de la transformada z
ax[n] + by[n] ↔ aX ( z ) + bY ( z )
 Superposición
 Desplazamiento x[ n − 1] ↔ z −1 X ( z ) + x[ −1]
x[n − N ] ↔ z X ( z ) + z x[−1] + ... + x[− N ]
x[n + N ] ↔ z X ( z ) − z x[0] − z x[1] − ... − zx[ N − 1]
−N
N
 xn2
N
N −1
a x[n] ↔ X ( z / a )
n
 Escalado
 xn
− ( N −1 )
dX ( z )
nx[n] ↔ − z
dz
d
dX ( z )
n x[n] ↔ − z (− z
)
dz
dz
2
25
TRANSFORMADA Z
• xcos
• xsen
1
cos(nω T ) x[n] ↔ [ X {z exp( jω T )} + X {z exp(− jω T )}]
2
1
sin( nω T ) x[n] ↔ j [ X {z exp( jω T )} − X {z exp(− jω T )}]
2
0
0
0
0
0
0
Definición y propiedades
• Convolución
x[n] * y[n] ↔ X ( z )Y ( z )
• Diferencia
x[n] − x[ N − 1] ↔ (1 − z ) X ( z )
−1
• Teorema del valor inicial
x[0] = lim X ( z )
• Teorema del valor final
lim x( N ) = lim ( z − 1) X ( z )
x →∞
x →∞
z →1
26
TRANSFORMADA Z
Secuencia
Transformada z
z
a u[n]
( z − a)
z
− a u[− n − 1]
( z − a)
az
na u[n]
( z − a)
z[ z − (cos nω T )]
[cos nω T ]u[n]
z − 2(cos nω T ) z + 1
zsen(nω T )
[ sennω T ]u[n]
z − 2(cos nω T ) z + 1
z[ z − r (cos nω T )]
r [cos nω T ]u[n]
z − 2r (cos nω T ) z + r
ROC
z> a
n
z< a
n
z> a
n
2
z >1
0
2
0
0
z >1
0
2
0
0
0
n
0
2
0
2
z>r
27
TRANSFORMADA Z
• Desplazamiento hacia delante ó avance de una etapa
Z {u k + 1} =
∞
∑
k
u k + 1z
−k
=
=0
= z
∑
k
u k + 1z −(k + 1)z 1
=0
∞
uk
∑
k
+ 1z
−(k + 1)
=0
= z
∞
∞
∑
m
= z
∞
umz
∑
m
−m
=1
u m z − m + zu 0 − zu 0
=1
= zU (z ) − zu 0
28
TRANSFORMADA Z
• Desplazamiento hacia delante ó avance de dos etapas
Z {u k + 2} = zZ {u k + 1} − zu 1
{
= z zU (z ) − zu 0
}
− zu 1
= z 2U (z ) − zu 1 − z 2u 0
En general:
Z {u k + n } = z U (z ) − z
n
n −1
n
−m
u
z
∑ m
m =0
Transformada z bilateral:se define como
∞
X ( z ) = ∑ x[n]z
n = −∞
−n
z es una variable compleja, y la transformada z bi
Lateral de una señal discreta es una función analítica en cierto dominio, que se denomina región de
Convergencia.
29
TRANSFORMADA Z
• Propiedades de la transformada z
30
TRANSFORMADA Z
• Se puede obtener la transfromada de Fourier a partir de la transformada z
haciendo la substitución z=ejω. Esto corresponde a restringir |z|=1. Con z=rejω,
∞
∞
X (re ) = ∑ x[n](re ) = ∑ ( x[n]r )e
jω
n = −∞
jω
−n
−n
− j ωn
n = −∞
• Esto es, la transformada z es la transformada de Fourier de la secuencia
x[n]r-n. Para r=1 esta es la transformada de Fourier de x[n]. De esta manera, la
transformada de Fourier corresponde a la transformada z evaluada sobre el circulo unitario.
 La transformada de Fourier es periódica en frecuencia.
 La transformada de Fourier no converge para
todas las frecuencias(la suma infinita no siempre
será finita).
 La transformada de Fourier de x[n] existe si la suma
converge.
31
TRANSFORMADA Z
• La transformada z de x[n] es la transformada de Fourier de la secuencia
x[n]r-n. La transformada z existe (ó converge) si,
∞
X ( z ) = ∑ x[n]r < ∞
−n
n = −∞
• Esto conduce a la condición
∞
−n
∑ x[n] z < ∞
n = −∞
Para la existencia de la transformada z. La ROC consiste de un anillo en el
Plano z :
• En casos específicos el radio interno de este
anillo puede incluir el origen, y el radio externo se puede extender al infinito.
• Si la ROC incluye el circulo unitario |z|=1, entonces la transformada de Fourier convergerá.
32
TRANSFORMADA Z
• Región del plano complejo z para la cual converge la transformada z. Cuatro
casos(z=0 puede o no puede ser incluido, es un caso especial!)
33
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Solución del ejemplo anterior por transformada z inversa.
• Ahora el problema consiste en tomar la transformada z inversa de
la razón de dos polinomios en z.
34
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• METODOS COMUNES PARA OBTENER LA TRANSFORMADA INVERSA
 División sintética : divide los polinomios para obtener una serie de potencia
en z-1.
 Expansión en fracciones parciales : descompone U(z) en una combinación lineal de transformadas z fácilmente invertibles.
El comando “residue” de MATLAB calcula la expansión en fracciones
parciales.
35
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Método de división sintética : representa a U(z) como una serie de potencias
en z-1.
U (z ) = u 0 + u 1z −1 + u 2z −2 +
 uk
= u 0δ[k ] + u 1δ[k − 1] + u 2δ[k − 2]+
• Este método es útil para un número limitado de valores en una
secuencia ó como un método de chequeo rápido sobre otros
métodos.
36
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Método de expansión en fracciones parciales :
Donde,
 i incluye todas las raíces distintas de a(z)
 r incluye todas las raíces repetidas de a(z)
 la raíz zr tiene multiplicidad mr>1.
Los coeficientes (residuos) A,B Y C se pueden calcular a mano para sistemas
de orden bajo, o expandiendo U(z)/z en una expansión en fracciones parciales
Usando “residue” y multiplicando por z en sitemas de orden alto.
37
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Cálculo de los residuos por el método de Heaviside :
Ai =
B rj =
(z
)
− z i U (z )
z
(m
r
z = zi
(
 mr − j z − z
r
1
d
 mr − j
z
− j ! dz

)
)
mr


U (z )

z = z r
38
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Ejemplo 1: Obtener la transformada Z inversa de
z2 + z + 2
G( z) =
( z − 1)( z 2 − z + 1)
utilizando el método de expansión en fracciones parciales :
y (k ) − 2 y (k − 1) + 2 y (k − 2) − y (k − 3) = x(k − 1) + x(k − 2) + 2 x(k − 3)
Solución :
k 2 z + k3
k1
z2 + z + 2
=
+
G( z) =
( z − 1)( z 2 − z + 1) z − 1 z 2 − z + 1
(Ec. A)
2
Multiplicando por el m.c.d. : ( z − 1)( z − z + 1)
z 2 + z + 2 = k1 ( z 2 − z + 1) + (k 2 z + k 3 )( z − 1)
= k1 z 2 − k1 z + k1 + k 2 z 2 + k3 z − k 2 z − k3
z 2 + z + 2 = (k1 + k 2 ) z 2 + (k3 − k 2 − k1 ) z + k1 − k3
39
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Igualando coeficientes de potencias iguales de z :
k1 + k 2 = 1
− k1 − k 2 + k 3 = 1
k1 − k 3 = 2
k1 = 4, k2 = -3 y k3 = 2
,
• Sustituyendo en la ecuación (A) :
4
4 z −1 − 3 z −1 + 2 z −2
− 3z + 2
G( z) =
+
=
+
z − 1 z 2 − z + 1 1 − z −1 1 − z −1 + z −2
 z −1 − 0.5 z −2 
4 z −1
0.5 z −2
+
=
− 3
−1
−2 
−1
−2
−
z
+
z
1 − z −1
1

 1− z + z
−1

1
0.5 z −1
−1  1 − 0.5 z
−1
+ z
= 4z
− 3 z 
−1
−2 
−
z
+
z
1 − z −1
1
1 − z −1 + z −2


−1
(Ec. B)
40
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Se conoce que :
[
− at
[
− at
]
1 − z −1e − aT Cos ( wT )
Z e Cos ( wt ) =
1 − 2 z −1e −aT Cos ( wT ) + e −2 aT z −2
]
z −1e − aT Sen( wT )
Z e Sen( wt ) =
1 − 2 z −1e −aT Cos ( wT ) + e −2 aT z −2
e −2 aT = 1
,
Cos ( wt ) =
,
Sen( wt ) = Sen
π
3
= 0.86 =
3
2
1
2
wt =
π
3
3
Sen( wt ) =
2
 1 − 0.5 z −1  k
 kπ 
=
1
Z 
Cos
 
−1
−2 
1
z
z
−
+
 3 


−1

3 z −1 
 1 z −1 
 0.5 z −1 
1
−1
−
1
 = 1 1k Sen kπ 
2
2
=Z 
Z 
=Z 
⋅
−1
−2 
−1
−2
−
−
1
2
 3 1− z + z 
3
1 − z + z 
 3 
1 − z + z 




−1
( ) ( )
x(k ) = a 1k −1 − 3 1k −1 Cos
(k − 1)π
1 k −1
(k − 1)π
1 Sen
+
3
3
3
( )
Para k = 1,2,3,...
41
x(k)=0, kΩ0
TRANSFORMADA “Z” INVERSA
• Ejemplo 2:
8
16
1
X ( z) 8
⇒
= −
+
( z − 1 / 4)( z − 1 / 2)
z
z ( z − 1 / 4 ) ( z − 1 / 2)
16 z
8z
⇒ X ( z) = 8 −
+
( z − 1 / 4) ( z − 1 / 2)
1
1
x[n] = 8δ [n] − 16( ) u[n] + 8( ) u[n]
⇒
2
4
X ( z) =
n
n
•Ejemplo 3:
1
X ( z)
A
B
C
z
=
+
+
⇒
=
( z − 1) ( z − 2)
( z − 1) ( z − 2) ( z − 1) ( z − 1) ( z − 2)
z
1
1
−1
z
X ( z)
z
−z
⇒
=
−
+
⇒ X ( z) =
−
+
( z − 1) ( z − 1) ( z − 2)
( z − 1) ( z − 1) ( z − 2)
z
x[n] = − u[n] − nu[n] + (2) u[n]
⇒
X ( z) =
2
2
2
2
2
n
42
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
ECUACIONES EN DIFERENCIA
Un sistema LTI en tiempo discreto se puede representar mediante ecuaCiones en diferencia.
43
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
• Adelantos y retardos
y[k+2] – 5 y[k+1] + 6 y[k] = 3 f[k+1] + 5 f[k]
Avance
y[k] – 5 y[k-1] + 6 y[k-2] = 3 f[k-1] + 5 f[k-2]
K=k-2
Atraso
y[k-1] = y[k-1] u[k] ≠ y[k-1] u[k-1]
Se trabaja con k∆0, así que u[k] esta
A menudo implicado.
44
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Se puede describir la salida de un sistema en tiempo discreto para una
entrada específica y unas condiciones iniciales dadas.
• No es una solución general la que nos motiva a mirar hacia las funciones
de transferencia de un sistema.
• Con el fin de derivar la F.T se debe separar :

Respuesta del sistema a “ESTADO CERO” a una entrada dada con
condiciones iniciales cero.

Respuesta “ENTRADA CERO” a solo condiciones iniciales.
45
FUNCION DE TRANSFERENCIA

Considere la respuesta al “ESTADO CERO”
1. Sin condiciones iniciales : y[-k]=0 ∀k>0
2. Solo entradas causales : f(-k)=0
∀k>0

Escriba una ecuación en diferencia general de orden n-ésimo
46
FUNCION DE TRANSFERENCIA
Definición : La F.T de un sistema es la razón de la transformada de la salida
del sistema a la de la entrada con condiciones iniciales cero.
H[z] es una función racional (razón de dos polinomios) de la variable compleja z.
Para H(z)=a(z)/b(z)
• Los valores de z para los cuales a(z)=0 son llamados ceros de H(z). Estos determinan las frecuencias bloqueadas por el sistema.
• Los valores de z para los cuales b(z)=0 son llamados polos de H(z). Estos determinan la forma de la respuesta del sistema (modos naturales del sistema).
• Si z0 es un polo de H[z] y (z-z0)pH(z) no tiene ni un polo ni un cero en z0,
se dice que H[z] tiene un polo de orden p en z0.
47
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Efecto de polos y ceros de H(z)
(
z − z1 )(z − z2 ) (z − zm )
H [z ] = bn
(z − γ 1 )(z − γ 2 ) (z − γ m )
• Un número complejo es pensado como un vector en el plano complejo.
Im
zi
• Como z y zi son ambos números complejos, la diferencia
es de nuevo un número complejo y de esta forma un
vector en el plano complejo.
z − zi
z
Re
• Cada término de diferencia (z-z1), etc, en H(z) puede
ser representado como un número complejo en forma
polar
48
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• La magnitud es la distancia del polo/cero al
punto elegido(frecuencia) sobre el circulo unitario.
• El ángulo es el ángulo del vector con el eje
horizontal.
jφm
jφ1
jφ2
r
e
r
e
r
e

H (e jΩ ) = bn 1 jθ1 2 jθ 2 m jθ m
d1e d 2 e  d m e
r1r2  rm j [(φ1 +φ2 ++φm )−(θ1 +θ 2 ++θ m )]
= bn
e
d1d 2  d m
49
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Un sistema LTI también se puede expresar en una ecuación en diferencia.
y[n] + A y[n − 1] + A y[n − 2] + ... + A y[n − N ]
1
2
N
= B x[n] + B x[n − 1] + ... + B x[n − M ]
1
o
M
• Aplicando transformada z a ambos lados de esta ecuación, se tiene la
función de transferencia discreta del sistema H(z).
B + B z + ... + B z
H ( z) =
1 + A z + ... + A z
−1
1
o
−M
M
−1
1
−N
N
• En forma factorizada,
H ( z) = K
( z − z )...( z − z )
( z − p )...( z − p )
1
1
M
N
50
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• S i la F.T se evalúa para los valores de z=exp(j2πfts), esto es, en el círculo
unitario, se obtiene la F.T en el estado estacionario o la respuesta en frecuencia del sistema, H(f). Esta función H(f) es periódica con periodo ts=1/fs y es
la DTFT de h[n].
• Para calcular la respuesta en frecuencia de y[n]=αy[n-1]+x[n], se substituye z
por exp(j2 πfts), entonces
H ( z) =
1
(1 − αz )
−1
⇒ H( f ) =
1
1 − αe


1
H( f ) = 

1 − 2α cos(2πft ) + α 
2
s
− j 2 πft s
=
1
{1 − α cos(2πft ) + jsen(2πft )}
s
1/ 2
s
1 − α cos(2πft ) 

(
2
)
sen
ft
α
π


φ ( f ) = tan 
−1
s
s
51
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• Ejemplo 4 :
• Interpretación física de polos y ceros
• La magnitud exhibe grandes picos alrededor de z=0.4±j0.693(polos de G(z)).
• La magnitud exhibe pozos muy estrechos y profundos alrededor de la locación z=1.2 ±j1.2
52
FUNCION DE TRANSFERENCIA
• La ROC de una transformada z es un concepto importante. Sin este conocimienno hay una única relación entre una secuencia y su transformada z.
• La transformada z debe siempre especificarse con su ROC.
• La ROC de una transformada z racional esta limitada por la localización de sus
polos.
• Ejemplo : La transformada z H(z de la secuencia h[n]=(-0.6)un[n]esta dada por :
H ( z) =
1
1 + 0.6 z
−1
• Aquí la ROC esta justo fuera del circulo
que va a través del punto z=-0.6
z > 0.6
53
DIAGRAMAS DE BLOQUE
• Las representaciones en función de transferencia (F.T) de sistemas discretos
Permiten el uso de diagramas de bloque para describir sistemas en tiempo discreto de una manera análoga a como se hizo en sistemas continuos.
 Adicione funciones de transferencia en paralelo.
 Multiplique funciones de transferencia en serie (cascada)
 Un lazo de retroalimentación sencillo se reduce a una F.T de camino hacia
delante dividida por uno menos la F.T del lazo abierto.
 La manipulación de diagramas de bloque y lasa reglas de Mason se aplican
sin cambio.
54
DIAGRAMAS DE BLOQUE
• Interconexión en serie de dos sistemas
x[n]
y1[n]
y[n]
H1
H2
y[n] = H [ y [n]] = H {H [n]} = H {x[n]}
2
1
2
1
• Interconexión en serie de dos sistemasparalelo
x[n]
H1
H2
y1[n]
+ y[n]
y2[n] +
y[n] = {H + H }{x[n]} = H {x[n]}55
2
1
ESTABILIDAD
• Conocida H[z] se puede encontrar la salida dada una entrada.
F[z]
H[z]
Y[z]
• Puesto que H[z] es la razón de dos polinomios, las raíces del polinomio del
denominador (polos) controlan donde H[z] puede explotar!
• Se dice que el sistema es “ESTABLE” si H[z] corresponde a una serie que
converge cuando los polos caen dentro (no sobre) de un circulo unitario.
También se puede decir que el sistema es estable si la magnitud de todos sus
polos es menor que uno.
56
ESTABILIDAD
• Un sistema LTI es asintótica mente estable si
y solo si todas las raíces están dentro del circulo
unitario. La estabilidad de un sistema LTI discreto
requiere que la respuesta impulso h[n] sea absolutamente sumable(integrable en contínuo). Esto quiere
decir que h[n]=0 en n=∞.
• Inestable si y solo si una o ambas de las siguientes
condiciones existen :
 Al menos una raíz esta fuera del circulo unitario
 Raíces repetidas sobre el circulo unitario.
• Marginalmente estable si y solo si no hay raíces
fuera del circulo unitario y no hay raíces repetidas
sobre el circulo unitario.
57
ESTABILIDAD
Estabilidad tiempo continuo vs tiempo discreto
Sistema tiempo discreto
Sistema tiempo contínuo
58
ESTABILIDAD
• Estabilidad interna : se refiere a las respuestas de todas las variables internas
(estados) de un sistema.
• Estabilidad externa : se refiere a la respuesta de las variables de salida de un
sistema tales como las descritas por la F.T ó el modelo de
respuesta impulso.
Ellas difieren en que algunos de los modos internos del sistema no pueden estar
conectados a la entrada y salida de un sistema dado.
 Para estabilidad externa una definición común de una respuesta apropiada
es que para cada entrada limitada la salida debe también ser limitada.
Una condición necesaria y suficiente para estabilidad BIBO(bounded input-bounded
output) es :
∞
hk
∑
i
= −∞
−i
< ∞
59
ESTABILIDAD
Una F.T racional puede ser expandida en una expansión en fracciones parciales
Así que su respuesta pulso será la suma de sus términos. Asi, si todos los polos
estan dentro del circulo unitario, el sistema es estable. Si al menos un polo esta
Sobre o fuera del circulo unitario, el sistema no es BIBO estable.
1. Suficiente : sea
∀i, entonces,
Así, la salida esta limitada si
2. Necesaria : considere la entrada limitada
Aaplicando esta entrada. La salida en k=0 es:
A menos que esta condición sea
Verdadera, el sistema no es BIBO
60
estable.!
ESTABILIDAD
• La estabilidad de una F.T puede determinarse inspeccionando los coeficientes
del denominador de la F.T. Para ello debe estar en forma de términos de segundo órden,
N ( z)
1+ β z + β z
H ( z) =
= a ∏(
)
D( z )
1+ α z + α z
−1
L −1
−2
1i
0
2i
−1
i =0
−2
1i
2i
• Para cada término de segundo órden se calculan las raíces (λ1i y λ2i) del denominador así :
D ( z ) = 1 + α z + α z = (1 − λ z )(1 − λ z )
−1
i
1i
−2
−1
2i
1i
−2
2i
• Para las raíces del polinomio y los coeficientes se cumple,
α = −(λ + λ )
α = λ .λ
1i
2i
1i
1i
2i
2i
λ <1
1i
y
α <1
2i
λ <1
2i
61
ESTABILIDAD
• Las raíces del polinomio son :
α + α − 4α
2
λ =−
1i
1i
1i
2
α + α − 4α
α − α − 4α
2
2i
λ =−
,
1i
1i
2i
2i
2
2
1i
1i
2i
< 1 ⇒ α − 4α < 2 − α
2
1i
2
2i
α − 4α < 4 − 4 α + α ⇒ α < 1 + α
α
2
1i
1i
2
2i
1i
2i
1i
1i
2i
1
-1
1
-1
α
1i
62
ECUACION EN DIFERENCIA
Ejemplo ecuación de segundo orden :
•y[k+2] - 0.6 y[k+1] - 0.16 y[k] = 5 f[k+2] with
y[-1] = 0 and y[-2] = 6.25 and f[k] = 4-k u[k]
• Respuesta entrada cero
γ 2 - 0.6 γ - 0.1 6 γ = (γ + 0.2) (γ - 0.8)
(γ + 0.2) (γ - 0.8) = 0
Polinomio característico
Ecuación característica
Raíces características
γ1=-0.2 ; γ2=-0.8
y0[k] = C1 (-0.2)k + C2 (0.8)k
Solución
• Respuesta estado cero
63
ECUACION EN DIFERENCIA
• Respuesta impulso
h[k+2] - 0.6 h[k+1] - 0.16 h[k] = 5 δ[k+2]
Con
h[-1] = h[-2] = 0 debido a la causalidad
h[k] = (b0/a0) d[k] + y0[k] u[k]
a0=-0.16; b0=0
h[k] = y0[k] u[k] = [C1 (-0.2)k + C2 (0.8)k] u[k]
Se necesitan dos valores de k para resolver
h[0] - 0.6 h[-1] - 0.16 h[-2] = 5 d[0] ⇒ h[0]
=5
h[1] - 0.6 h[0] - 0.16 h[-1] = 5 d[1] ⇒ h[1]
C1 = 1,
=3
Solución única!
C2 = 4
h[0] = C1 + C2 = 5
h[1] = -0.2 C1 + 0.8 C2 =
3
•h[k] = [(-0.2)k + 4 (0.8)k] u[k]
64
ECUACION EN DIFERENCIA
• Solución respuesta estado cero
ys[k] = h[k] * f[k] = {[(-0.2)k + 4(0.8)k]
u[k]} * (4-k u[k])
ys[k] = [-1.26 (4)-k + 0.444 (-0.2)k +
5.81 (0.8)k] u[k]
• Respuesta total
•y[k] = y0[k] + ys[k]
y[k] = [C1(-0.2)k + C2(0.8)k] +
[-1.26 (4)-k + 0.444 (-0.2)k + 5.81 (0.8)k] u[k]
Con y[-1] =0 y y[-2] = 6.25
y[-1] = C1 (-5) + C2(1.25) = 0
y[-2] = C1(25) + C2(25/16) = 6.25
C1 = 0.2, C2 = 0.8
65
ECUACION EN DIFERENCIA
Ejemplo 5:
Resuelva para : u(k)=2,3,…
%Sea l=k+1
%Código MATLAB :
u(1)=1;u(2)=1;
for l=3:10
u(l)=u(l-1)+u(l-2);
end
k=0:9;
stem(k,u)
title(‘primeros 10 términos serie Fibonnaci')
66
ECUACION EN DIFERENCIA
•
Aproximación clásica
1. Asuma una solución, u(k)=zk
{ }
i = 1
n
2. Substituya en la E.D y resuelva para todoszlos
valores
de z que
i ,posibles
satisfacen la ecuación diferencial(E.D),
3. Construya un solución general en la forma de una combinación lineal de
las soluciones, zk, esto es,
uk =
n
∑
i
Ai z ik
=1
4. Resuelva para los Ai imponiendo las condiciones iniciales.
67
ECUACION EN DIFERENCIA
• Solución del ejemplo anterior usando la aproximación clásica
68
ECUACION EN DIFERENCIA
• Respuesta de un sistema con condiciones iniciales nulas
 Sistema
y[n] = αy[n − 1] + x[n]
 Entrada
x[n] = α u[n]
Ec[1]
n
Aplicando transformada z a la Ec[1]
Y ( z)
1
z
=
=
X ( z ) (1 − αz ) z − α
z
X ( z ) = Ζ{x[n]} = Ζ{α u[n]} =
z −α
1
α
z
Y ( z)
z
⇒
=
=
+
Y ( z) = X ( z)H ( z) =
(z − α )
(z − α ) (z − α ) (z − α )
z
αz
z
+
⇒ y [n] = α u[n] + nα u[n] = (n + 1)α u[n]
Y ( z) =
(z − α ) (z − α )
Y ( z )(1 − αz ) = X ( z ) ⇒
−1
−1
n
2
2
2
n
2
2
n
n
cin
69
ECUACION EN DIFERENCIA
•Respuesta de un sistema con condiciones iniciales no nulas
Considere el mismo sistema anterior, pero con las condiciones iniciales :
y[-1]=2
Aplicando el principio de superposición se tiene
y[n] = y [n] + y [n]
cin
ec
Siendo,
Ycin[n]: respuesta con condiciones iniciales cero
Yec[n]: respuesta del sistema a entrada cero(x[n]=0) y condiciones iniciales especificadas
• Respuesta al estado cero :
y[n] = αy[n − 1]
αy[−1] αy[−1]z
Y = α {z Y [ z ] + y[−1]} ⇒ Y [ z ] =
=
(1 − αz ) ( z − α )
y [n] = αy[−1]α u[n] = 2α u[n]
−1
ec
ec
ec
n
ec
n +1
−1
70
ECUACION EN DIFERENCIA
• Respuesta total del sistema :
y[n] = y [n] + y [n] = (n + 1)α u[n] + 2α u[n], Ec[2]
n +1
n
cin
ec
= (n + 1 + 2α ) α u[n]
n
y[n-1]
x[n] y[n](1)
y[n](3)
n=0
2
1
2α+1
2α+1
n=1
2 α+1
α
(2 α+2) α (2 α+2)α
n=2
(2 α+2)α
α2
(2 α+3) α2 (2 α+3)α2
n=3
(2 α+3)α2 α3
(2 α+4) α3 (2 α+4) α3
n=4
(2 α+4) α4 α4
(2 α+5) α4 (2 α+4) α3
71
ECUACION EN DIFERENCIA
• Sistemas IIR y FIR
 FIR(respuesta al impulso finita) causal ⇒ implementable en la práctica
h[n] = 0;
n<0
y
n≥N
N −1
y[n] = ∑ h[k ]u[n − k ]
k =0
Implementación FIR noRecursiva.
72
ECUACION EN DIFERENCIA
Simbología
 q : operador desplazamiento directo
 q-1 : operador desplazamiento inverso(retardo unitario)
 qx[n] : x[n+1]
 q-1x[n] : x[n-1]
 IIR (respuesta al impulso infinita) causal ⇒la mayoría de los sitemas físicos.
h[n] = 0;
n<0
∞
y[n] = ∑ h[k ]u[n − k ]
No implementable prácticamente!
k =0
• Representación IIR no-recursiva
y[n] = F{u[n],..., u[n − M ]}
73
ECUACION EN DIFERENCIA
• Ejemplo 6: suma de convolución
∞
y[n] = ∑ h[k ]u[n − k ]
k =0
• Representación IIR recursiva
y[n] = F { y[n − 1],..., y[n − N ], u[n],..., u[n − M ]}
74
ECUACION EN DIFERENCIA
• Ejemplo 7: Ecuación en diferencias (ED)
N
M
y[n] = − ∑ a y[ n − k ] + ∑ b u[n − k ]
k =1
k
k =0
k
• N: orden de la ecuación o del sistema
Se necesita
Solución de ED
 u[n], n∆0
 N condiciones iniciales
y[−1], y[−2],..., y[− N ]
75
ECUACION EN DIFERENCIA
SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA (ED)
N
M
y[n] = − ∑ a y[ n − k ] + ∑ b u[n − k ]
Ec[1]
y[n] = y [n] + y [n]
Ec[2]
k =1
H
k
k =0
k
p
• yH[n] : solución de la ecuación homogénea asociada
respuesta libre
N
y [n] = − ∑ a y[n − k ]
H
k =1
k
• yp[n] : solución particular de la ecuación no-homogénea
Ec[3]
respuesta forzada
76
ECUACION EN DIFERENCIA
• Respuesta libre
[3] se puede escribir como :
N
∑ a y[n − k ] = 0
k =0
k
Con a0=1 Ec[4]
• Se proponen soluciones del tipo :
y [ n] = λ
Ec[5]
n
H
Reemplazando [5] en [4] se tiene :
∑a λ = 0
N
k =0
n−k
k
NOTA : Una representación recursiva de la forma de una ecuación
en diferencias a coeficientes constantes corresponde a un sistema
IIR. Lo converso no se verifica, es decir no todo sistema linealestacionario IIR puede describirse por una ecuación en diferencias
a coeficientes constantes.
77
ECUACION EN DIFERENCIA
λ (λ + a λ + a λ + ... + a ) = 0
n− N
N −1
N
N −2



1
2
• N raíces : λ1,λ2,…,λN
N
y = ∑c λ
N
Polinomio característico:
H
k =1
k
n
k
• Respuesta forzada: yp[n] de la misma forma que u[n]
Entrada
A(cte)
Solución particular, yp[n]
k(cte)
AMn
kMn
AnM
K0nM+k1nM-1+…+kM
AnnM
An(K0nM+k1nM-1+…+kM)
Acosω0n,asenω0n
k1 cosω0n+k2 senω0n
78
RESPUESTA IMPULSO
• La respuesta de un sistema en tiempo discreto a una secuencia muestra
unitaria {δ[n]} es llamada la respuesta ala muestra unitaria ó la respuesta
impulso y se denota por h[n].
• Ejemplo 8: Encuentre la respuesta impulso del sistema ,
y[n] = α x[n] + α x[n − 1] + α x[n − 2] + α x[n − 3]
1
2
3
4
- Seleccione x[n]= δ[n], entonces se consigue:
h[n] = α δ [n] + α δ [n − 1] + α δ [n − 2] + α δ [n − 3]
1
2
3
4
- L a respuesta impulso es así una secuencia de longitud finita de longitud 4
dada por:
{h[n]} = {α ,α ,α ,α }
1
2
3
4
79
RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO
• Ejemplo 9:
y[n] = ay[n − 1] + u[n]
n
y[ n] = a y[−1] + ∑ a u[n − k ]


 
n +1
k
k =0
yH[n]
Respuesta libre
yp[n]
Respuesta forzada
Asumiendo condiciones iniciales nulas, (esto es, y[-1]=0), la respuesta del sisTema al impulso es :
y[n] = ∑ a δ [n − k ]

n
k =0
k
h[n] = a
n
80
RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO
• Recordando la condición necesaria y suficiente para la BIBO estabilidad del
sistema se tiene
∞
∞
k =0
k =0
a <1
∑ h[n] < ∞ ⇔ ∑ a < ∞ ⇔
k
BIBO estabilidad
• El procedimeinto se puede extender para el caso de un sistema descrito por
una ecuación en diferencias de orden N de la forma Ec[1]. En este caso resulta:
h[n] = ∑ c λ
N
k =1
n
k
k
• Para BIBO estabilidad se tiene entonces,
∞
BIBO estabilidad
∞
∞
n
∑ h[n] = ∑ ∑ c λ ≤ ∑ c ∑ λ < ∞
k =0
N
n = 0 k =1
n
k
k
N
k =1
k
n =0
Ec[¨6]
k
81
RESPUESTA IMPULSO - LINEAL ESTACIONARIO
• Por lo que deberá ser ,
∞
∑ λ < ∞,
n =0
Es decir,
λ <1
k
Si algún λk es tal que
Concluir :
n
k
∀k ,
λ ≥ 1,
k
entonces Ec[6] no se verifica. Se puede entonces
Condición necesaria y suficiente para la estabailidad de un sistema causal IIR
Descrito por una ecuación en diferencias a coeficientes constantes es que las
Raíces del polinomio característico tengan módulo menor que 1.
λ <1
k
∀k ,
82
RELACION ENTRE LA F.T. Y LA RESPUESTA PULSO
Considere H(z)=U(z)/E(z) con E(z) =1
Osea e[k]=1 para k=0 y cero para otro valor de k.
U(z) = H(z)
La transforma z de la respuesta pulso-unitario de un sistema discreto es su
Función de transferencia.
83
RELACION ENTRE h[k] Y H[Z]
• Se usa para describir el sistema
 Tener uno es equivalente a tener el otro puesto que ellos son pares de
transformada Z.
 Por definición la respuesta impulso h(k) es :
y[k] = h[k]
Cuando
f[k] = δ[k]
Z{h[k]} = H[z] Z{δ[k]} ⇒ H[z] = H[z] · 1
h[k] ⇔ H[z]
• Como las señales en tiempo discreto se pueden construir a partir de impulsos
unitarios, conociendo la respuesta impulso se caracteriza completamente el
sistema LTI.
84
EXPONENCIALES COMPLEJAS
y[k ] = h[k ]∗ f [k ] = h[k ]∗ z k
=
∞
∑ h[m]z
k −m
• Las exponenciales complejas tienen propiedades
Especiales cuando son entradas a sistemas LTI.
m = −∞
=z
∞
k
∑ h[m]z
−m
• La salida será la misma exponencial compleja pesada por H[z].
m = −∞
= z k H [z ]
• Cuando estamos en el dominio de frecuencia, la magnitud de H[z] controlará
cuales frecuencias son atenuadas y cuales no.
85
RESPUESTA EN FRECUENCIA
• Para sistemas en tiempo continuo las respuestas de sinusoides son:
e j ω t → H ( j ω )e j ω t
cos(ω t ) → H ( j ω ) cos[ω t + ∠H ( jω )]
• Para sistemas en tiempo discreto en el dominio z :
z − k → H [z ] z − k
• Para sistemas en tiempo discreto en frecuencia en tiempo discreto:
( )
cos(Ω k ) → H (e ) cos[Ω k + ∠H (e )]
e jΩk → H e jΩ e jΩk
jΩ
jΩ
86
RESPUESTA EN FRECUENCIA
• Respuesta a sinusoides muestreados
 Comience con un sinusoide en tiempo continuo,
cos(ω t )
 Muestrear el sinusoide cada T segundos(substituya t=kT)
 Muestre el sinusoide en tiempo discreto.
 Resultando en :
cos(ω k T )
cos(Ω k ) = cos(ω k T )
Ω = ωT
 La frecuencia en tiempo discreto es igual a la frecuencia en tiempo continuo
multiplicada por el periodo de muestreo T.
• Ejemplo 10: Calcule la respuesta en frecuencia del sistema dado como una
ecuación en diferencia.
y[k + 1] − 0.8 y[k ] = x[k + 1]
87
RESPUESTA EN FRECUENCIA
• Asumiendo condiciones iniciales cero se toma la transformada z,
Y [ z ]( z − 0.8) = X [ z ]z
Y [z ]
z
1
=
=
H [z ] =
X [z ] z − 0.8 1 − 0.8 z −1
• Como
z = e jΩ
[ ]
He
jΩ
1
1
=
=
− jΩ
1 − 0.8e
1 − 0.8(cos Ω − j sin Ω )
• Agrupe las partes real e imaginaria
[ ]
H ejΩ =
1
(1 − 0.8 cos Ω ) + j 0.8 sin Ω
88
RESPUESTA EN FRECUENCIA
• El valor absoluto(respuesta magnitud) es :
[ ] = (1 − 0.8 cos Ω) + j0.8 sin Ω
He
1
jΩ
=
1
(1 − 0.8 cos Ω )2 + (0.8 sin Ω )2
1
=
1.64 − 1.6 cos Ω
• El ángulo(respuesta de fase) es :
( )
∠H e
jΩ
 0.8 sin Ω 
= 0 − tan 

 1 − 0.8 cos Ω 
−1
• La respuesta en frecuencia de un sistema en tiempo discreto es periódica
con 2π. Por qué?. La respuesta en frecuencia e sfunción de la exponencial
compleja la cual es periódica con 2π.
jΩ
j (Ω + 2 π m )
e
=e
89
RESPUESTA EN FRECUENCIA
• El valor absoluto de la respuesta en frecuencia en tiempo discreto es impar y
el ángulo es par simétrico.
• El sinusoide en tiempo discreto es simétrico alrededor de π.
cos(Ω + 2πm )k = cos(Ωk + 2πmk ) = cos Ωk
cos(π Ω x )k = cos(Ω x k ) cos(πk )  sin (Ω x k )sin (πk )
= cos(Ω x k ) cos(πk )
90
RESPUESTA EN FRECUENCIA
• Un sinusoide en tiempo continuo puede tener una frecuencia desde cero(0)
hasta infinito.
• Muestreando un sinusoide en tiempo continuo se tiene,
sample
cos(ω t ) → cos(ω k T ) = cos(Ω k )
t = kT
• La frecuencia Ω en tiempo discreto es única desde 0 hasta π.
0 ≤ ωT < π ⇒ 0 ≤ ω <

π
T
= f sπ ⇒ 0 ≤ 2πf < f sπ ⇒ 0 ≤ f < f s / 2
Solo se pueden representar frecuencias hasta la mitad de la frecuencia de
muestreo fs.
 Frecuencias más altas que existan deben ser traslapadas a alguna otra frecuencia en el rango.
91
CONVOLUCION
• La suma de la convolución discreta: considere un sistema lineal, estacionario
discreto.
 Si su respuesta a un pulso unitario es h(k) , entonces su respuesta a un
pulso de amplitud e0 es e0*h(k), puesto que el sistema es lineal.
 Puesto que el sistema es estacionario, un retraso de la entrada causará un
retraso igual en la respuesta.
 El efecto de una secuencia de pulsos es la suma de sus efectos individuales.
Para una secuencia infinita :
• Para un sistema causal k>i.
• hk-i es el efecto de un pulso de entrada en la
muestra i sobre la salida a la muestra k.
• La convolución se transforma en un producto Y(z)=E(z)H(z)
92
CONVOLUCION
• Como alguna señal de entrada x[k] se puede descomponer en una suma de
funciones impulso discretas,
x[k ] =
∞
∑ x[m]δ [k − m]
m = −∞
• Por las propiedades lineal e invariante en el tiempo, se tiene la convolución lineal,
y[k ] = x[k ]∗ h[k ] =
∞
∞
m = −∞
m = −∞
∑ x[m]h[k − m] = ∑ h[m]x[k − m]
• Para cada valor de k, calcule una suma diferente (posiblemente) infinita.
h[k]
y[k] = h[0] x[k] + h[1] x[k-1]
Averaging filter
1
2
k
93
CONVOLUCION
• Respuesta del sistema LTI
Sea,
entonces,
• Linealidad
• Invarianza en el tiempo
CONVOLUCION
94
CONVOLUCION
• Tiempo continuo
• Tiempo discreto
95
CONVOLUCION
• Propiedades de la convolución
96
CONVOLUCION
• Convolución por superposición
Sea,
97
CONVOLUCION
• cont…Convolución por superposición
• Respuesta impulso h[k] y entrada x[k] a un sistema
I
• Superponga versiones repetidas
de la respuesta impulso
II
• Suma las contribuciones en cada punto
para obtener la respuesta total!
III
98
CONVOLUCION
• Pasos a seguir para la convolución gráfica :
 Dibuje x[k] y h[k]
 Reflecte(“fold”) x[k]⇒x[-k]
 Desplace x[-k] ⇒x[n-k]
 Multiplique h[k]●x[n-k]
 Sume
99
CONVOLUCION
100
CONVOLUCION
• La convolución analíticamente
101
CONVOLUCION
• cont… La convolución analíticamente
Repaso series geométricas
∀α
Fórmula general
∀α
}
Casos especiales
102
CONVOLUCION
• Ejemplo 11 : Sea,
1. Aplicando superposición: Escriba h[n] en términos de impulsos.
103
CONVOLUCION
• cont.. superposición
104
CONVOLUCION
2. Aplicando método gráfico
105
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
Un sistema discreto lineal, estacionario puede representarse en la siguiente forma :
Donde,
y
y
son vectores de entrada y salida,
es el vector de estado y
son matrices de dimensión apropiada.
 Las matrices A,B,C,D son a menudo usadas para describir
la representación en espacio de estado de un sistema.
Ejemplo 12: considere G(z)=U(z)/E(z)=K(z+1)/(z2-1)
Sea,
X1(z)/E(z)=1/(z2-1) or x1[k+2]-x1[k]=e[k]
x1[k+2]=x1[k]+e[k]=x2[k+1]
x1[k+1]=x2[k]
x2[k+1]=x1[k]+e[k]
106
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
Entonces,
U(z)/X1(z)=K(z+1) ó u[k]=K*x1[k+1]+K*x1[k]
= K*x1[k]+K*x2[k]
x 1 
0 1 x 1 
x [k + 1] = 
x [k ] +

1 0  2 
 2
u[k ] = [K
0
1e[k ]
 
x 1 
K ] [k ] + 0u[k ]
x 2 
107
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
• Para transformar las ecuaciones de espacio de estado en tiempo continuo
en la forma de estado discreta se procede así,
A* : matriz de estado nxn
B* : matriz de entrada nxr
C : matriz de salida mxn
D : matriz de transmisión directa mxr
• El estado de un sistema en un instante k, es el mínimo número de variables
x1[k],x2[k],…,xn[k] tal que el conocimiento de estas variables y la entrada aplicada permitan calcular cualquier salida futura.
108
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
• Esquema de la descripción de espacio de estado
D
x[k+1]
u[k]
B
D
x[k]
y[k]
C
A
• Ejemplo 13: dado el siguiente sistema en diagrama
x1[k + 1] = 5 x1[k ] − 6 x2 [k ] + u[k ]
de bloques obtenga la representación
en espacio de estado
x [k + 1] = x [k ]
2
x1[k+1]
u[k]
-
D
+
5
6
x1[k]
x2[k+1]
x2[k]
D
1
y[k ] = x [k ]
2
y[k]
x [k + 1] 5 − 6  x [k ] 1
 x [k + 1] = 1 0   x [k ] + 0u[k ]


 
  
 x [ k ]
y[k ] = [0 1]

109
 x [k ]
1
1
2
2
1
2
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
• Solución de la ecuación en espacio de estado
x[k + 1] = Ax[k ] + Bu[k ]
y[k ] = Cx[k ] + Du[k ]; k ≥ 0
Por iteración se obtiene la solución para x[k+1] para cualquier entero positivo k.
x[1] = Ax[0] + Bu[0]
x[2] = Ax[1] + Bu[1] = A x[0] + ABu[0] + Bu[1]
x[3] = Ax[2] + Bu[2] = A x[0] + A Bu[0] + ABu[1] + Bu[2]
2
3
k −1
x[k ] = A x[0] + ∑ A
k
i =0
k −i −1
2
Bu[i ]
La salida se puede escribir como :
k −1
y[k ] = CA x[0] + C ∑ A Bu[i ] + Du[k ]


 
k
k −i −1
i =0
Respuesta debida a las C.I
Respuesta debida a la entrada
110
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
• Tranformada z en el espacio de estado
x[k + 1] = Ax[k ] + Bu[k ]
y[k ] = Cx[k ] + Du[k ]; k ≥ 0
La transformada z esta dada por :
z ( X [ z ] − X [0]) = AX [ z ] + BU [ z ]
Y [ z ] = CX [ Z ] + DU [ z ]
( zI − A) X [ z ] = zx[0] + BU [ z ]
X [ z ] = z ( zI − A) X [0] + ( zI − A) BU [ z ]
−1
−1
La inversa (zI-A)-1 debe existir, ó en otras palabras |zI-A| no puede ser cero.
La salida Y[z] esta dada por :
Y [ z ] = zC ( zI − A) X [0] + [C ( zI − A) B + D ]U [ z ]
−1
−1
111
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
• Con condiciones iniciales cero y si se aplica impulsos en las diferentes entradas
(U[z]=I), la salida es igual a la transformada z de la respuesta impulso así :
H [ z ] = C ( zI − A) B + D
−1
• Para calcular Y[k] para cualquier entrada U[k] se procede así :
 Se encuentra la transformada U[z] de la entrada U[k].
 Se encuentra la F.T H[z] del sistema y se obtiene la transformada z de la salida
Y[z]=H[z]U[z].
 Se toma la transformada z inversa de Y[z] para obtener Y[k].
• Ejemplo 14: Obtenga la función de transferencia para el ejemplo anterior.
x [k + 1] = 5 x [k ] − 6 x [k ] + u[k ]
1
1
2
x [k + 1] = x [k ]
2
1
y[k ] = x [k ]
2
112
DESCRIPCION EN ESPACIO DE ESTADO
• Se puede concluir que :
−1
x [k ] = x [k + 1] = y[k + 1]
1
( zI − A) =
2
adj ( zI − A)
zI − A
x [k + 1] = y[k + 2]
1
1
5 − 6
A=
B
=
0 

 
1 0 
C = [0 1] D = [0]
z − 6 
1
( zI − A) =
z ( z − 5) + 6 1 z − 5
−1
Aplicando la ecuación para H[z] se obtiene :
H [ z] =
1
1
=
z − 5 z + 6 ( z − 3)( z − 2)
2
113
BIBLIOGRAFIA
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Saunders College Publishing. San Diego. CA. USA,
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Systems. Second Edition. Prentice Hall. New Jersey.
USA. 1990
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Septima Edición. Prentice Hall Hispanoamericana,
S.A. Naucalpan de Juárez, Edo. de México. 1996
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Hall Hispanoamericana S.A. México D. F. 1998.
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Systems. Second Edition. PWS-KENT Publishing
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User's Guide. version 6.6. The MathWorks, Inc. 2007
• Control Systems Toolbox For Use with MATLAB. Using
the Control System Toolbox. Version 7.1. The
MathWorks, Inc. 2006.
• The GThe Getting Started with MATLAB 7. MathWorks,
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