2.2. FLUJO DE POTENCIA Flujo de potencia.

SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2. FLUJO DE POTENCIA Flujo de potencia.‐ Métodos generales para cálculos de la red.‐ Flujo de potencia en una línea corta de transmisión.‐ Un procedimiento iterativo.‐ Ecuaciones de flujo de potencia.‐ Método de Gauss y Gauss‐Seidel.‐ Método de Newton‐Raphson.‐ Especificación de la tensión del bus y regulación.‐ Programa de flujo de cargas Repaso previo: Capítulo anterior. Contenido: Explicación de los procedimientos de representación y cálculo por el método por unidad. Objetivo: Sabrá aplicar los procedimientos de cálculo del método por unidad. Bibliografía: STEVENSON, William D. “Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia”. Ediciones del Castillo. WILHELMI, José Román. “Sistemas Eléctricos de Potencia”. E. T. S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid. ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. “Técnicas Computacionales en Sistemas Eléctricos de Potencia”. Editorial Limusa PARRA, Dr. Valentín. E. T. S. Ing. Industriales Madrid. MEDINA, Prf. E. U. P. Las Palmas. Apuntes de clase. UD5 – 02 ‐16 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.1.‐ FLUJO DE POTENCIA El objetivo principal de un Sistema Eléctrico de Potencia es satisfacer la demanda. Como consecuencia surge el problema de por donde debe hacerse la alimentación e incluso prever caídas de tensión, regulación de transformadores, inyección de potencia reactiva, ... . Los estudios de flujo de potencia, más normalmente llamados estudios de flujo de carga, son sumamente importantes para evaluar el funcionamiento de los sistemas de potencia, su control y planificación para expansiones futuras. Un estudio de flujo de potencia define principalmente las potencias activa y reactiva y el vector de tensión en cada bus en el sistema, aunque mucha información adicional estará disponible en la salida por impresora del ordenador del estudio de flujo de potencia típico. Los principios en los estudios del flujo de potencia son fáciles, pero un estudio relativo a un sistema del potencia real sólo se puede llevar a cabo con un ordenador digital. Entonces la necesidad sistemática de cálculos numéricos requiere que se ejecuten por medio de un procedimiento iterativo; dos de los normalmente más usados son el método Gauss‐Seidel y el método Newton‐Raphson. Antes de considerar estos métodos numéricos, se ilustra el concepto del flujo de potencia para obtener las expresiones explícitas de la potencia que fluye en una línea corta de transmisión. Hay que reducir el número de posibilidades: Estudio de Flujo de Potencia. Resultado: 1.‐ Tensión y Potencia en todas las barras 2.‐ Flujo de Potencia en todas las líneas. Se precisa resolver un sistema que no es lineal ya que los valores de potencia proceden de dos factores, tensión e intensidad, y solo se conoce el producto. Basado en la filosofía de los sistemas lineales del análisis de nudos, hecho en la asignatura de Circuitos, se trata de utilizar herramientas de cálculo numérico que por procedimientos iterativos llegar a la solución. UD5 – 02 ‐17 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA Desarrollo: 1.‐ Método de Análisis nodal es el más empleado. 2.‐ Construir la Matriz de Admitancias de barras: YBUS. Pi  Qi  Vi*Yi1V1  Vi*Yi 2V2  ...  Vi *YinVn  0
i  1,2,..., n
3.‐ Ajustarse a los tipos de barras: Tipo Dato Incógnita Denominación 1 |V|, [V] P, Q Barra de referencia 2 P, |V|, Qmax, Qmin Q, [V] Barra de tensión controlada 3 P, Q |V|, [V] Barra de carga 4.‐ Modelización de las líneas mediante su esquema en . UD5 – 02 ‐18 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.2.‐ (REPASO) MÉTODOS GENERALES PARA CÁLCULO DE LA RED. En este capítulo se desarrollan unos métodos para la solución general que están pensados para la solución por ordenador de los problemas sistemas de potencia. Se empieza con los teoremas básicos de líneas. 2.2.2.1. TRANSFORMACIÓN DE LA FUENTE La fuente del voltaje de la figura (a), se transforma a la fuente de intensidad de Fig. 7‐l (a). 7‐l (b) y viceversa, con tal de que Is = Eg/Zp (7 1) Zp=Zg (7.2) y (a)
Fig. 7.1. UD5 – 02 ‐19 (b)
SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.2.2. MATRIZ DE LA ADMITANCIA DEL BUS El sistema de cuatro bus que corresponde al diagrama unifilar de la Fig. 7.1 (a) estaría representado por la red de la Fig. 7.1 (b). En cuanto a los voltajes de los nodos V1, V2, V3 y V4 y las admitancias dadas, por la ley de intensidades de Kirchhoff implica: yii
 yik
 yki
ykk
I1 = V1 y10+ (V1‐V2) y12+ (V1‐ V3) y13 I2 = V2 y20+ (V2 ‐ V1) y12+ (V2‐V3) y23+ (V2‐ V4) y24 I3 = V3 . y30+ (V3‐ V1) y13+ (V3‐ V2) y23+ (V3‐ V4) y34, I4 = V4 y40+ (V4‐ V2) y24+ (V4‐ V3) y34 Fig. 7‐2
Reestructurar estas ecuaciones y vuelve a escribir los en matriz forma, obtenemos: I1 y10+ y12+ y13 ‐ y12 ‐ y13 0 V1 I2 = ‐y12 y20+ y12+ y23+ y24 ‐y23 ‐y24 V2 I3 ‐ y13 ‐ y23 y30+ y13+ y23+ y34 ‐y34 V3 I4 0 ‐y24 ‐y34 y40+ y24+y34 V4 Se escribe la ecuación (2.2.2.2.) como  I1   Y11 Y12
I  Y Y
22
 2    21
 I3  Y31 Y32
  
I 4  Y41 Y42
Y13
Y23
Y33
Y43
donde: Y11 = y10 + y12 + y13 Y22 = y20+ y12 + y23+ y24 Y33 = y30+ y13+ y23+ y34 UD5 – 02 ‐20 Y14  V1 
Y24  V2 
.
Y34  V3 
 
Y44  V4 
(7‐4)
SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA Y44 = y40+ y24+ y34 Y12 = Y21 = ‐y12 Y13= Y31 = ‐y13 Y14 = Y41 = ‐y14 = 0 Y23 = Y32=‐y23 Y24 = Y42 =‐y24 Y34 = Y43 =‐y34 Cada admitancia Yii (i= 1, 2, 3, 4) se llama admitancia propia del nodo i y es igual a la suma algebraica de todas las admitancias que terminan en el nodo i. Cada término de la matriz triangular Yik (i, k= 1, 2, 3, 4) se llama la admitancia mutua (o admitancia de transferencia) entre nodos i y k y es igual a la suma cambiada de signo de todo admitancias conectadas directamente entre esos nodos. Más allá, Yik = Yki. Para una red general con N nodos la ley de intensidades de Kirchhoff en cuanto a las tensiones de nodo se escribe como: I= Ybus V (7. 6) donde Y
Y
Y
Y
…
Y
Y
…
Y
… Y
… Y
… … .. … Y
Ybus Se llama la matriz del bus de la admitancia, y V e I son las matrices del voltaje de nodo y matrices de intensidad nodo, respectivamente. En (7.6), el primer subíndice en cada Y indica el nodo al que la intensidad está expresado, y el segundo subíndice indica el nodo cuyo voltaje es responsable por un componente particular de la intensidad. Más allá, las admitancias a lo largo de los diagonales son las admitancias propias, y las admitancias del triangular son las admitancias mutuas. Se deduce de (7.5) y (7.6) que la intensidad que entra en un nodo k es: (7.7) N
Ik   Ykn Vn n 1
Para un sistema grande las matrices de (7.3) y (7.6) serian de un orden grande. En tal caso las operaciones con las matrices son más convenientes cuando las matrices se hayan dividido, o subdivido. Como un ejemplo, la matriz UD5 – 02 ‐21 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 es dividida en cuatro submatrices tal ese D E 
A

 F G (7.9)
donde se define las submatrices por a11 a12 
D

a 21 a 22   a13
E 
a 23 F  a31 a32 G  a33 (7.10)
Se demuestra la multiplicación de matrices con submatrices, que permite que A de (7.8) se pueda postmultiplicar por una matriz  b11
b21
H 
B  
 ...   J 
b31
 
(7.11)
Ejercicio.‐ Hallar la matriz de impedancias Zbus del sistema de la figura, siendo los valores por unidad. UD5 – 02 ‐22 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.3.3. FLUJO DE POTENCIA EN UNA LÍNEA CORTA DE TRANSMISIÓN. Se considera la línea corta de transmisión como se muestra en Fig. 8‐l (a) que tiene una resistencia despreciable y una reactancia de la serie en Ohmios jX por fase. Las tensiones por fase del extremo emisor y del receptor son Vs y Vr, respectivamente. Para determinar la potencia activa y reactiva enviada del extremo emisor al receptor, dado que Vs se desfasa con Vr un ángulo . La potencia compleja S, en voltiamperios, se da en general por: S= P+ j Q = V I* (VA) (8.1)
donde I* es el complejo conjugado de I. Así, en una base del por fase, el extremo del emisor tiene: Ss = Ps + j Qs = Vs I* (VA) (8.2)
De Fig. 8‐1 (a), se da I por I
1
VS  VR 
jX


(8.3)


(8.4)
o bien: I* 
1
*
*
VS  VR
 jX
Sustituyendo (8.3) en (8.2) sale: SS 
VS
*
*
VS  VR
 jX
Ahora, del diagrama vectorial de Fig. 8‐1 (b), VR = |VR|[0º] así VR = VR* y UD5 – 02 ‐23 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA VS = |VS|[] De (8.4) vuelve VS  VR VS e j VR VS
V  VR VS cos 

sen   j S
SS 
 jX
X
X
2
2
Finalmente, desde Ss = Ps + j Qs, escribiríamos PS 
(8.5)
VR VS
sen 
X
y (8.6)
V  VR VS cos 
QS  S
X
2
Semejantemente, al extremo de la recepción que se tiene: SR = PR + j QR = VR I* Procedimiento como sobre el que se obtiene: PR 
(8.7)
VR VS
sen 
X
Y (8.8)
V V cos   VR
QR  R S
X
2
De este simple ejemplo se derivan varias conclusiones significantes. Primero, la transferencia de potencia real depende sólo en el ángulo , que se sabe como el ángulo de la potencia, y no en las magnitudes relativas del extremo emisor y voltajes del extremo receptor (diferente el caso de un sistema del cc). Además, la transferencia potencia varía aproximadamente con el cuadrado del voltaje. El máximo potencia transferida ocurre cuando = 90º y PR.max  PS .max 
(8.9)
VR VS
X Finalmente, de (8.6) y (8.8), está claro esta potencia reactiva fluirá en la dirección del más bajo voltaje. Si el sistema opera con   0, entonces fluye la potencia reactiva media encima de la línea es V  VR
1
 QS  QR   S
2
2X
2
Qmed
2
(8.10)
Esta ecuación muestra la fuerte dependencia de la potencia reactiva fluye con la diferencia del voltaje. UD5 – 02 ‐24 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA En este punto se ha abandonado la pérdida en la línea: I2R. Si ahora se asume que R es la resistencia de la línea por fase, entonces la pérdida de la línea es: Plinea  I R
(8.11)
2
De (8.2), tenemos I* 
P  jQ
V I
P  jQ
V* y Así, I .I  I
*
2
P2  Q2

V
2
y (8.11) resulta Plinea 
P2  Q2
V
2
(8.12)
R
Indicando que ambas potencias real y reactiva contribuyen a las pérdidas de la línea. Así, es importante reducir el flujo de la potencia reactiva para disminuir las pérdidas de la línea. UD5 – 02 ‐25 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.4. UN PROCEDIMIENTO ITERATIVO Se puede obtener una expresión analítica para el flujo de potencia en un caso ideal; sin embargo, en un sistema de potencia real, las soluciones explícitas analíticas no son claras por las fluctuaciones de la carga en los buses y porque no se sabe el voltaje del extremo receptor. Entonces, se deben usar métodos numéricos para resolver con cantidades desconocidas ‐ generalmente utilizando un procedimiento del iterativo. La figura 8‐2 muestra un sistema de dos buses, con la potencia real representada por flechas continuas y la potencia reactiva por flechas a trazos. Las ecuaciones que gobiernan el sistema son (por fase base) S2 = V2 I* V1= V2+ ZL I Con los símbolos definidos en Fig. 8‐2. Resolviendo por V2 y eliminando I de estas ecuaciones, se obtiene: V2  V1 - Z L I  V1 - Z L
S2
*
(8.13)
*
V2 Se resuelve (8.13) iterativamente, asumiendo un valor por V2 y lo llamamos V2(0). Se sustituye en el miembro de la derecha de (8.13) y resuelve por V2, calculando el nuevo valor de V2, se obtiene en esta primera iteración, V2(1). Se sustituye entonces (V2(1))* en el miembro de la derecha de (8.13) y obtiene un nuevo valor V2(2). Este procedimiento se repite hasta que converge y alcance la precisión. El proceso iterativo usa la ecuación general, o algoritmo, V2
(k )
 V1 - Z L
V
S2
(8.14)
*

( k 1) *
2
UD5 – 02 ‐26 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.5. ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA La matriz del bus de admitancias es útil en un acercamiento sistemático a la solución de problemas del flujo de potencia. Antes de discutir este acercamiento, necesitamos definir los nudos o buses especiales siguientes: 1. Un bus de la carga es un bus en que se conocen las potencias activa y reactiva. 2. Un bus de referencia o generador es un bus en que se conocen el módulo de la tensión y el ángulo. 3. Un bus de tensión controlada es un bus en que se conocen el módulo de la tensión y se especifica, el rango de tensión máxima y mínima. Por conveniencia se escoge V[]= 1[0] por unidad. De (7.5), se escribe el k‐ésimo (de N) la intensidad del nudo como (8.15) N
I k   Ykn Vn
n 1
que se escribe también como (8.16) N
I k  Ykk Vk   Ykn Vn
n 1
n k
Resolver la Vk resulta: Vk 
Ik
1

Ykk Ykk
(8.17) N
Y
n 1
n k
kn
Vn
Ahora, desde Vk I k  Pk  jQk (8.18) *
Tenemos Ik 
Pk  jQk
Vk
(8.19) *
Finalmente, (8.17) y (8.19) da, para N nudos, 

N

1  Pk  jQk
  Ykn Vn 
Vk 

*
Ykk  Vk
n 1

n k

 (8.20) Para k= 1, 2, ... N Este sistema de N ecuaciones constituyen las ecuaciones del flujo de potencia. UD5 – 02 ‐27 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA 2.2.6. MÉTODOS DE GAUSS Y GAUSS‐SEIDEL Los métodos de Gauss y de Gauss‐Seidel son procedimientos iterativos para resolver simultáneamente ecuaciones no lineales. Ilustramos el método Gauss con el ejemplo siguiente. Tanto Gauss como Gauss‐Seidel implican la formulación: x = F(x) y la formula iterativa x(n+1 = F(x(n) En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1 a partir de los x(n obtenida en la iteración anterior En Gauss‐Seidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente después de haber sido calculados aunque no haya terminado la iteración en curso (mayor rapidez). EJEMPLO: Resolver las variables x y en el sistema: y‐ 3x+ 1.9 = 0 y+ x2‐ 1.8 = 0 Resolver con el método de Gauss, se vuelven a escribir las ecuaciones dadas como x = y/3 + 0,633 y = 1.8 ‐ x2 Ahora hacemos una suposición inicial de x0 = 1 y y0 = 1, actualiza x con el subíndice (1), y actualiza y con el subíndice (2). Es decir, computamos x1 = y0/3+ 0.633 = 1/3+ 0.633 = 0,9663 y1 = 1.8‐ x2 = 1.8‐ 1= 0,8 En iteraciones subsiguientes computamos, más generalmente, xn+l = yn/3+ 0,633 (1) y yn+l = 1.8‐xn2 (2) Después de varias iteraciones se obtienen x= 0,938 y, y= 0,917. Con más iteraciones se llegaría a los resultados exactos: x = 0,93926 e y = 0.9178. Sin embargo, se debe señalar que una "suposición desafortunada" de los valores iniciales (tal como x0= y0= 100) haría que la solución diverge. Si estábamos usando el método Gauss‐Seidel en el ejemplo precedente, se usaría todavía la UD5 – 02 ‐28 SISTEMAS ENERGÉTICOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA ecuación (1) para calcular Xn+l, pero se usaría entonces la Xn+l, para encontrar Yn+l en lugar de (1) y (2), el algoritmo por el método Gauss‐Seidel estaría xn+l = yn/3+ 0,633 yn+l = 1.8 ‐ xn+12
extrapolando los resultados, encontramos que el algoritmo Gauss‐Seidel para las ecuaciones del flujo de potencia (8.20) es Vk
( i 1)


N
1  Pk  jQk
(i ) 

  Ykn Vn 

Ykk  V ( i ) *
n 1

n k
 k
 (8.21)  
Para k= 2, 3, ... N Tener en cuenta que V1, en (8.21) se especifica, que se empiezan los cálculos con el nudo 2. Utilizando el factor de aceleración α: Vi[k+1] = Vi[k]+ α Vi[k+1]. (α = 1.4 , 1.6) UD5 – 02 ‐29