PARTE I - Universidad Nacional del Callao.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN
ELBORACIÓN DEL TEXTO: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE
AUTOR: Lic. FERNANDO HIPOLITO LAYZA BERMÚDEZ
(PERIODO DE EJECUCIÓN: Del 01 de junio de 2010 al 31 de mayo del 2012
Resolución No. 704-2010-R)
MAYO DEL 2012
CALLAO – PERÚ
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INDICE
1.-RESUMEN................................................................................................................................1
2.-INTRODUCCION ....................................................................................................................2
2.1.-OBJETIVOS Y ALCANCES DE LA INVESTIGACIÓN ................................................2
2.1.1.-OBJETIVO GENERAL ..............................................................................................2
2.1.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS ......................................................................................3
2.2.-ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................3
2.3.-PLANTEAMINTO DEL PROBLEMA .............................................................................3
3.-MARCO TEÓRICO..................................................................................................................4
4.-MATERIALES Y MÉTODOS .................................................................................................5
4.1-UNIVERSO.........................................................................................................................5
4.2.-MATERIALES ..................................................................................................................6
4.3.-MÉTODO...........................................................................................................................6
5.-RESULTADOS.........................................................................................................................6
6.-DISCUCIONES ........................................................................................................................7
7.-CONCLUSIONES ....................................................................................................................7
8.-REFERENCIALES ...................................................................................................................7
9.-APÉNDICE ...............................................................................................................................9
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1.-RESUMEN
La presente investigación tuvo como propósito la elaboración del texto:
ALGEBRA LINEAL CON MAPLE El texto (El cual Adjunto) se ha desarrollado de
acuerdo a los capítulos siguientes:
Capítulo I: Descripción del Software Maple que es un Software matemático muy importantes
que nos ayuda a resolver problemas complejos de Matemática, Ingeniería etc.
Capítulo II: Espacios Vectoriales se estudia los comandos de Maple para analizar si un
conjunto de vectores es linealmente Independiente y a la vez generadores de un espacio
Vectorial. Por tanto así obtenemos una base de un Espacio Vectorial.
Capítulo III: Transformaciones Lineales son aplicaciones de un Espacio Vectorial sobre otro
Espacio Vectorial. Son importantes en el estudio de los espacios vectoriales ya que preservan
las operaciones de adición y multiplicación por un escalar.
Capítulo IV: Matrices y Determinantes. Se define de una matriz vía Maple y éstas son
importantes en la resolución sistemas de ecuaciones lineales.
Capítulo V: Producto y Ortogonalidad Con el comando orthog verificamos si la matriz A es
ortogonal o no
Capítulo VI: Valores y vectores propios que son importantes en el estudio de las matrices
diagonalizables y semejantes
Capítulo VI: Aplicación del Álgebra Lineal con Maples, se describe algunas aplicaciones
como: El Cálculo Diferencial Vectorial, Programación Lineal etc.
Por tanto, con el desarrollo de los capítulos mencionados y el estudio del Software Maple se dio como
resultado la elaboración del texto Algebra Lineal con Maple que servirá de apoyo a los estudiantes
universitarios en la formación de su carrera profesional y a mis colegas profesores como texto de
consulta.
1
2.-INTRODUCCION
El álgebra lineal tiene sus orígenes en el estudio de vectores en el plano cartesiano. Un
vector, aquí, es un segmento de línea orientado, caracterizado por ambas longitudes y
magnitudes, así como dirección. Los vectores pueden ser entonces utilizados para representar
ciertas magnitudes físicas como fuerzas y pueden ser añadidas (sumadas) y multiplicadas
como magnitudes escalares, entonces formando el primer ejemplo real de ESPACIO
VECTORIAL
Un espacio vectorial se define sobre un cuerpo, tal como es el cuerpo de los números reales o
en el campo de los números complejos. Los operadores lineales tienen efecto en el espacio
lineal de otro (o en sí mismo), en una manera que es compatible con la suma o adición y la
multiplicación escalar en uno o más espacios vectoriales. Si la base de un espacio vectorial
está definida, cada transformación está definida, y cada transformación lineal puede ser
representada por una tabla de números llamada matriz. El estudio detallado de las
propiedades y los algoritmos actuando como matrices, incluyendo determinantes y autovectores, se consideran parte del Álgebra Lineal.
Del otro lado, el Software Maple y sus componentes se uso en la aplicación de los ejemplos
de cada tema de éste texto Así mismo, estos componentes de Maple nos ayudo a realizar
cálculos y trabajos en menor tiempo del que nos tomaría hacerlo de forma manual.
2.1.-OBJETIVOS Y ALCANCES DE LA INVESTIGACIÓN
2.1.1.-OBJETIVO GENERAL
Elaborar un texto que permita el uso del Software Maple en la solución de problemas de
Algebra Lineal.
2
2.1.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Desarrollar
los
conceptos
básicos
de
Espacios
Vectoriales,
Matrices
y
transformaciones Lineales.

Utilizar el Software Maple para realizar operaciones con matrices, calcular la inversa
de una matriz y obtener su determinante.

Resolver, mediante el uso de un Software Maple, problemas de aplicación de sistemas
de ecuaciones lineales.

Utilizar el Software Maple para encontrar la matriz de transformación y representar
un vector de una base a otra y realizar el proceso de Ortonormalización de GranSchmidt.

Desarrollar los conceptos de matrices semejantes y ortogonales.

Utilizar el Software Maple para solucionar problemas de Programación Lineal.
2.2.-ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN
Esta investigación tiene un carácter puramente practico, que nos permite
apreciar la
importancia del Software Maple en la solución de problemas de del Álgebra Lineal. Así
mismo, con el desarrollo de éste texto podrán ser beneficiados docentes, alumnos en el
proceso de enseñanza
y aprendizaje, capacitándonos y por ende preparándonos para
enfrentar los avances de nuevas tecnologías.
2.3.-PLANTEAMINTO DEL PROBLEMA
¿Cómo elaborar un texto que aplicando Software Maple oriente a estudiantes y profesores e
investigadores a resolver problemas del Algebra Lineal?
3
2.4.-IMPORTANCIA Y JUSTIFICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN
El avance de la ciencia y la tecnología hacen indispensable el uso de los programas
informáticos en la enseñanza-aprendizaje y el uso de los medios virtuales. El presente trabajo
de investigación titulado elaboración del texto: ALGEBRA LINEAL CON MAPLE pretende
dar paquetes básicos del Software Maple con la finalidad de resolver problemas del Álgebra
Lineal tales como: Resolver sistemas de ecuaciones lineales, encontrar la inversa de una
Transformación Lineal, generar un cambio de base a partir de vectores linealmente
independientes, diagonalizar una matriz, calcular los auto-valores y los auto-vectores, etc.
Se justifica por ser investigación básica con valor teórico- práctico
3.-MARCO TEÓRICO
El SOFTWARE MAPLE es un sistema computacional probado que se ha creado
específicamente para el uso educativo y profesional. Los varios programas matemáticos
permiten aplicar las técnicas del análisis numéricos y simbólicos que son muy rápidos y
eficaces para la solución de problema de gran complejidad.
Con los avances de la tecnología, los cursos de matemáticas en nuestras universidades
necesitan el apoyo computacional para la realización de cálculos en diferentes
procedimientos, de tal forma que los docentes pueden profundizar más en los conceptos,
dejando al software matemático los cálculos manuales largos y tediosos.
El SOFTWARE MAPLE es un Software Matemático, tiene configurado paquetes de
aplicación a la Matemática, a la Estadística, a la Física, etc. En desarrollo de este texto se ha
usado los paquetes impotantes: El paquete linalg , el paquete LinearAlgebra .y el paquete
VectorCalculus
4
PAQUETE LINALG
Este paquete está formado por un conjunto de procedimientos, entre los cuales se incluyen
alrededor de cien comandos que permiten realizar una gran diversidad de operaciones de
Álgebra Lineal. Las características de este paquete son las siguientes:
Los arreglos son la estructura de datos básica. Álgebra de matrices. Álgebra Lineal abstracta.
Manejo limitado de matrices grandes con elementos numéricos.
PAQUETE LINEAR ALGEBRA
Este paquete contiene un conjunto de funciones de Álgebra Lineal, las cuales proporcionan
las mismas funcionalidades del paquete linalg (y aún más). Entre sus características más
notables se encuentran: Estructuras de datos básicas; Comandos para tipos especiales de
matrices y vectores; Álgebra de matrices mejorada. y Soporte más eficiente de matrices
numéricas grandes.
PAQUETE VECTORCALCULUS
Igual que los paquetes anteriores este paquete de maple contiene un conjunto de Operadores
del Cálculo Vectorial como son: Producto cruz, producto escalar, Diferenciabilidad,
Integridad, Vector tangente, Vector Normal Principal Los vectores TNB,Matriz Jacobiana,
Vector gradiente Campo vectorial, etc
4.-MATERIALES Y MÉTODOS
4.1-UNIVERSO
Este texto se ha elaborado especialmente para los estudiantes de las diferentes universidades
y para aquellos investigadores que desean tomar éste texto como consulta de la especialidad
5
4.2.-MATERIALES
Para la edición de este texto de usaron los siguientes materiales:
Material de oficina: Papel Bond A-4 , Lapiceros, Liquid-paper
Material bibliográfico: Libros de la especialidad en Análisis Vectorial y Álgebra Lineal.
Material hemerográfico: Revistas y guías científicas.
Material de Cómputo: Google y el SOFTWARE MAPLE
4.3.-MÉTODO
La elaboración del texto, propósito de la investigación, le mando al suscrito ordenar
información compilada durante su vida profesional.
Para la elaboración del se tuvo mucho cuidado en la construcción de los contenidos, se tuvo
que ordenar los capítulos de una manera lógica secuencial que facilite al estudiante asimilar
la parte teórica y práctica.
En cada capítulo, del desarrollo de texto, se ha resuelto un conjuntos de ejercicios y
problemas con la finalidad que el estudiante observe que tan importante es el SOFTWARE
MAPLE que permite solucionar con rapidez diversos problemas del algebra Lineal y sus
aplicaciones.
El método desarrollado en este texto es el método puramente práctico por lo que se usaron
comandos SOFTWARE MAPLE para solucionar problemas del Álgebra Lineal.
5.-RESULTADOS
El resultado de éste texto ha sido preparado para apoyar a los alumnos universitarios en la
formación de su carrera profesional o profesionales que deseen ampliar sus conocimientos
en el algebra lineal y sus aplicaciones
6
Con la experiencia en la docencia universitaria se ha logrado desarrollar un texto base, que
beneficiará a todos los alumnos que inician por vez primera el curso de: Álgebra Lineal y
Análisis Vectorial, cuya modalidad es netamente práctico; y además servirá como guía de
consulta a mis colegas de la especialidad.
6.-DISCUCIONES
La teoría desarrollada en éste texto, responde a los conceptos básicos que debería tomar
conciencia en el estudiante universitario de la importancia y de la aplicación del Software
Maple en la Matemática particularmente del Álgebra Lineal. Además, permite en el alumno,
desarrollar la capacidad imaginativa, creativa, y del análisis en la aplicación de problemas de
la vida cotidiana.
En cada capítulo del texto se hace mención a la teoría y luego se plantean ejemplos para usar
los comandos de maples y dar solución rápida e eficaz al problema planteado ya sea en forma
analítico y/o gráfico.
7.-CONCLUSIONES
Se concluyo con la elaboración del texto Titulado Algebra Lineal con Maple (el cual adjunto)
y servirá a los alumnos en la formación de su carrera Profesional y a mis colegas que desean
usar como un texto de consulta.
8.-REFERENCIALES
1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.
Edición. México-1992
2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.
Edición. México-1992
7
3.-Colman, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones, México: Prentice Hall. Sexta Edición
1999.
4.-Pérez López César: Métodos Matemáticos y Programación con Maple V. Editorial
RAMA. Madrid-1998.
5.-Poole.David
“Algebra Lineal, una introducción moderna”. Editorial Cengage. 2da.
Edición. México – 2006
6.-Bru. Rafael “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001
7.- Jerrold E, Marsden. “Cálculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edición.
España-1991.
8.-Larges Lima Elon.” Geometría Analítica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de
Janeiro-2004.
9.-HASSER LA SALLE. Análisis Matemático II , Editorial Trillas, México,1974
10.-MAPLESOFT:El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO
MAPLE INC..CANADA 1988.
8
9.-APÉNDICE
SILABO
INFORMACION GENERAL
1.1 NOMBRE DE LA ASIGNATURA
1.2 PRE-REQUISITO
: ALGBRA LINEAL CON MAPLE
: NINGUNO
1.3 SEMESTRE ACADEMICO
1.4 CICLO ACADEMICO
1.5 CRÉDITOS
: 04
HORAS TEORÍA
: 03
HORAS PRÁCTICAS
: 2010-A
:V
: 03
1.6 DURACIÒN
: 17 SEMANAS
1.7 PROFESOR
: Lic. LAYZA BERMUDEZ, Fernando
- SUMILLA
En el curso, se tratarán los siguientes temas: Matrices. Espacios Vectoriales. Calculo
vectorial, Curvas en el espacio. Cálculo Diferencial Vectorial Programación Lineal: método
simplex
OBJETIVOS
A.-GENERALES.
Al concluir la asignatura, el alumno estará en condiciones de:
Aplicar los comandos de maple en el algebra lineal .
B.-ESPECIFICOS.
1.-Definir y graficar una matriz.
2.-Calcular una base para un espacio vectorial.
3.-Calcular el conjunto solución de un sistema de ecuaciones.
4.-Definir y graficar una función vectorial,
5.-Definir y la triada móvil.
6.-Definir campos vectoriales.
CRITERIOS DE EVALUACION
La evaluación del rendimiento de los alumnos es objetiva, en base a : cuatro prácticas
calificadas, un examen parcial, un examen final e intervenciones orales.
9
Si la nota final fuese desaprobatoria, rendirá un examen sustitutorio, el que será único y
abarcará todo el curso y cuya nota reemplaza a la nota más baja de los exámenes.
El sistema de evaluación se realizará de la siguiente forma:
Examen Parcial
:
A
Examen Final
B
(Peso 1)
Promedio de Calificadas Prácticas
Promedio
Final
del
C
(Peso 1)
(Peso 1)
Curso

A  B  C
3
NOTA:
El examen sustitutorio de teoría comprende todo el curso y reemplaza la nota más baja de uno
de los exámenes parciales.
La nota Mínima Aprobatoria: es 10.5 que es equivalente a 11(once).
METODOLOGÍA
El desarrollo de la asignatura se efectuará sobre la base de los siguientes lineamientos
metodológicos.
Las clases serán teórico prácticas, desarrollándose los temas de acuerdo al programa analítico
diseñado. El profesor, propiciará y estimulará la participación de los alumnos en clase.
El alumno deberá asistir a la clase obligatoriamente, estudiando los temas tratados y
repasando el tema que el profesor desarrollará. Esto permitirá una mejor participación del
alumno en clase.
Los profesores de la signatura, brindarán horas de asesoría en horarios predeterminados con
el fin de atender en forma personalizada, cualquier dificultad que el alumno pudiese
encontrar en el estudio de los distintos temas.
El profesor pondrá a disposición de los Estudiantes: Separatas y Guías de Prácticas; que
deberán ser resueltas con la finalidad de afianzar los conocimientos adquiridos.
CONTENIDO ANALITICO Y CALENDARIZADO
SEMANA N° 1
Vector . Definición Matriz. Definición. Matrices Inversas . Cálculos de la Matriz Inversa.
SEMANA N° 2
Autovalores y auto vectores, Definición. Cálculo
SEMANA N° 3
Matrices semejantes . Matrices Diagonales . Matrices especiales.
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PRIMERA PRACTICA CALIFICADA
SEMANA N° 4
Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. Independencia Lineal. Bases y Cambio de bases
SEMANA N° 5
Aplicaciones lineales .Formas cuadráticas. Sistema de Ecuaciones Algebraicas Lineales.
Definición. Resolución.
SEMANA N° 6
Calculo vectorial. Funciones Vectoriales de variable real. Definición. Operaciones Límites,
derivadas
SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA
SEMANA N° 7
Integral de una función vectorial. Primer y el segundo Teorema Fundamental del Cálculo
SEMANA N° 8
Curvas en el espacio. Definición. Curva regular. Parametrización de una curva regular.
Longitud de arco
PRIMER EXAMEN PARCIAL
SEMANA N° 9
Vectores unitarios. Vector Tangente. Vector Normal principal. Vector Binormal. La triada
móvilSEMANA N° 10
Planos Plano Osculador. Plano Normal y Plano Rectificante.
SEMANA N° 11
Cálculo diferencial vectorial. Teoremas en varias variables. Calculo diferencial vectorial
TERCERA PRACTICA CALIFICADA
SEMANA N° 12
Regla de la cadena. Teorema de la función implícita. Teorema de la función Inversa
SEMANA N° 13
Teorema de Cambio de Variable. Campos vectoriales. Rotacional Divergencia
SEMANA N° 14
Gráficos en 3D.de curvas de R3. Gráficos de campos vectoriales.
CUARTA PRACTICA CALIFICADA
SEMANA N° 15
11
Programación Lineal. Definición. Elementos. Optimización de funciones
SEMANA N° 16
Método del Simplex. Definición ejemplos
EXAMEN FINAL
SEMANA N° 17
EXAMEN SUSTITUTORIO
BIBLIOGRAFIA
1.-Stanley I. Grossman. “Algebra Lineal con aplicaciones”. Editorial Mc Graw-Hill . 4ta.
Edición. México-1992
2.-Stanley I. Grossman. “Aplicaciones de Algebra Lineal”. Editorial Mc Graw-Hill. 4ta.
Edición. México-1992
3.-Colman, Bernard. Álgebra Lineal con aplicaciones, México: Prentice Hall. Sexta Edición
1999.
4.-Lopez Pérez César. “Métodos Matemáticos y Programación con Maple V. Editorial
RAMA. Madrid-1998.
5.-Poole David.
“Algebra Lineal, una introducción moderna”. Editorial Cengage. 2da.
Edición. México – 2006
6.-Bru.Rafael “Algebra Lineal”. Editorial Alfaomega. Mexico.2001
7.-Jerrold E, Marsden. “Cálculo Vectorial”. Editorial Addison-Wesley. Tercera Edición.
España-1991.
8.-Elon Larges Lima.” Geometría Analítica y Algebra Lineal”. Editorial IMCA. Rio de
Janeiro-2004.
9.-HASSER LA SALLE. Análisis Matemático II , Editorial Trillas, México,1974
10.-MAPLESOFT:El SOFTWARE MAPLE 14.1 SOLF A DIVISION WATERLOO
MAPLE INC..CANADA 1988.
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LISTADO DE FÓRMULAS
Sea C una curva (en el plano o en el espacio) dada por la función vectorial
Curva en el
Plano
Curva en el
Espacio
Vector
velocidad

 ( t )  ( x ( t ), y ( t ))

 ( t )  ( x ( t ), y ( t ), z ( t ))


v (t)  
Vector velocidad,
rapidez y
vector aceleración
'
(t)

ds
  ' (t )
dt

v (t ) 
Rapidez


a (t )   '' (t )  aT T (t )  a N N (t )
Vector unitario
tangente y vector
unitario normal
principal


 ' (t )
T (t ) 
N (t ) 

 ' (t )
T ' (t )

T ' (t )


aT (t )  a (t )T (t ) 

v (t ). a (t )


v (t )
Componentes de la
aceleración



v(t)
Fórmula para la
curvatura en el plano
d 2s
dt 2

v(t)x a(t)
aN(t)  a(t)N(t) 
K
2

ds
 a(t) aT2  K( )2
dt
y ''
C dada por
y=f(x)
1  ( y ) 
K
' 2 3/ 2
x ' . y ''  y ' . x ''
( x )
' 2
C dada por
 x  x (t )

 y  y (t )

' 2 3/ 2
 (y )
s es el
parámetro
longitud de
arco

''
K  T ( s)   ( s)
'
Fórmulas para la
curvatura en el plano o
en el espacio

T (t )

 ' (t )

 ' ( t ) x  '' ( t )
'
K 
Vector
aceleración

3

 ' (t )
13
t es el
parámetro
general
DERIVADAS DE FUNCIONES
d
(cu)  cu'
dx
d
(u  v)  u'v'
2.dx
d
(uv)  u'.v  u.v'
3.dx
d u
u' v  uv'
( )
4.dx v
v2
d
( x)  1
5.dx
d u
(e )  e u u'
6.du
d
(senu)  (cosu)u'
7.dx
d
(cosu)  (senu)u'
8.dx
d
(tagu)  sec2 u.u'
9.dx
d
(cotu)   cos c 2 u.u'
10.dx
d
(secu)  secu.tagu.u'
11.dx
d
(cosecu)   cosecu. cot ag.u'
12.dx
d
u'
(arcsenu) 
13.dx
1 u 2
1.-
d
u'
(arccosu) 
dx
1 u 2
d
u'
(arctagu) 
15dx
1 u 2
d
u'
(arc cot gu) 
16.dx
1 u 2
d
u'
(arc sec u) 
17.dx
u u 2 1
14.-
18.-
19.20.21.22.23.24.-
14
d
u'
(arccossec u) 
dx
u u 2 1
d
(senhu)  coshu.u'
dx
d
(coshu)  senhu.u'
dx
d
(taghu)  sec h 2 u.u'
dx
d
(cot aghu)   cosh2 u.u'
dx
d
(sechu)   sec hu.taghu.u'
dx
d
(coschu)   cos echu. cothu.u'
dx
PAQUETES DE MAPLE
15
16