Teoría de cónicas.

CURVAS CONICAS: ELIPSE, HIPERBOLA, PARABOLA
Cono:
Superficie formada al girar una recta alrededor de otra que la corta.
Elementos del cono:
Eje: es el eje de giro.
Generatriz: la recta que gira alrededor del eje y cada una de las posiciones que ocupa al
girar.
Directriz: la figura formada por todas las posiciones que ocupa un punto de la generatriz al girar
alrededor del eje. En el caso del cono es una circunferencia.
Vértice: punto de intersección de la generatriz con el eje.
Corte de un cono:
Al cortar un cono mediante un plano, obtenemos una curva cónica.
Si el plano no es paralelo a ninguna generatriz, obtenemos una elipse. (Caso particular sería
cuando el plano es perpendicular al eje del cono en que la curva obtenida sería una circunferencia).
Si el plano es paralelo a dos generatrices, obtenemos una hipérbola.
Si el plano es paralelo a una sola generatriz, obtenemos una parábola.
Las curvas cónicas no se pueden trazar mediante arcos de circunferencia, por ello en
algunos casos se permite sustituirlas por óvalos para mejorar la presentación.
La parábola como caso especial de la elipse:
Si el plano que anteriormente cortaba el cono formando una elipse, lo inclinamos
progresivamente, disminuyendo el ángulo que forma con el eje, la curva se va alargando cada vez
más, hasta que llega un momento en que deja de cortar a todas las generatrices (en puntos propios),
quedando paralelo a una de ellas.
En tal caso, la elipse no se cierra pues uno de los vértices es un punto impropio; se
convierte por tanto en una curva abierta, simétrica respecto a un eje, cuya dirección se va
aproximando indefinidamente a la dirección del eje de simetría mencionado, hasta llegar al punto
impropio (el vértice) en que ambas coincidirían.
El foco cercano al vértice impropio, también sería un punto impropio. La circunferencia
focal con centro en dicho foco se convertiría en una recta al tener radio infinito (se llamará
directriz). La otra circunferencia focal quedaría en el infinito y no se considera.
El centro también sería un punto impropio y la circunferencia principal se convertirá en
una recta perpendicular al eje que pasa por el vértice.
La hipérbola como caso especial de la elipse:
Si una vez obtenida la parábola, seguimos inclinando el plano que corta al cono,
disminuyendo el ángulo que forma con el eje, obtendremos hipérbolas con -aparentemente- dos
ramas. El plano quedará paralelo a dos generatrices, a las que cortará, por tanto, en puntos
impropios. Entonces la curva tendrá dos puntos impropios.
En realidad se puede considerar a la hipérbola como una curva cerrada, de una sola rama,
como si fuera una elipse que tiene dos puntos en el infinito. Comienza en un vértice, se va abriendo
hasta llegar a dos puntos impropios, a partir de los cuales comienza a cerrarse, pero al otro lado del
plano, y continúa cerrándose siguiendo la misma dirección y el mismo sentido, hasta completarse
en el otro vértice.
El eje mayor de la curva sería toda una recta menos un segmento (el A-A') y lo sustituimos
por ese segmento, llamándolo ahora eje real.
Las circunferencias focales tendrían como radio ese eje real.
1
TABLA COMPARATIVA DE LAS CURVAS CÓNICAS
DEFINICIÓN que relaciona los radiovectores con magnitudes constantes.
Elipse
Parábola
Hipérbola
Es la curva cerrada, plana, convexa,
simétrica respecto a dos ejes ortogonales,
formada por todos los puntos de un plano
cuyas sumas de distancias (las distancias
son los radiovectores) a dos fijos, llamados
focos, son constantes.
Es una curva abierta, plana, simétrica
respecto a un eje, formada por todos los
puntos de un plano cuyas diferencias de
distancias a un punto llamado foco (un
radiovector) y a una recta, llamada directriz
(esa distancia es el otro radiovector), son 0.
Es la curva abierta, de dos ramas, plana,
simétrica respecto a dos ejes ortogonales,
formada por todos los puntos de un plano
cuyas diferencias de distancias a dos fijos,
llamados focos, son constantes.
DEFINICIÓN que relaciona una circunferencia focal con el otro foco
Elipse
Parábola
Hipérbola
Es la curva cerrada, plana, convexa,
simétrica respecto a dos ejes ortogonales,
formada por todos los puntos de un plano
que equidistan de un punto (foco) y de una
circunferencia (circunferencia focal con
centro en el otro foco).
Es una curva abierta, plana, simétrica
respecto a un eje, formada por todos los
puntos de un plano que equidistan de un
punto (foco) y de una recta, llamada
directriz (circunferencia focal con centro en
el foco situado en el infinito).
Es la curva abierta, de dos ramas, plana,
simétrica respecto a dos ejes ortogonales,
formada por todos los puntos de un plano
que equidistan de un punto (foco) y de una
circunferencia (circunferencia focal con
centro en el otro foco).
ELEMENTOS.
Elipse
Parábola
Hipérbola
Ejes.
Son dos, el mayor (A-A') y el menor
(B-B'). Son segmentos situados en los
ejes de simetría, cuyos extremos son
puntos de la elipse.
La parábola sólo tiene un eje de simetría.
El eje mayor sería una semirrecta, de
longitud indefinida por tanto, situada en el
eje de simetría y con extremo en el vértice
A.
Son dos, el real (A-A') y el imaginario
(B-B'). Son segmentos situados en los ejes
de simetría, cuyos extremos son los vértices
de la curva, en el caso del eje real.
Centro.
Es el centro de simetría de la curva (O).
Está situado en la intersección de los dos
ejes.
No tiene.
Es el centro de simetría de la curva (O).
Está situado en la intersección de los dos
ejes.
Vértices.
Extremos (A y A') del eje mayor.
Sólo tiene uno, situado en el eje de simetría.
Extremos (A y A') del eje real.
Focos.
Puntos fijos (F y F') a los que alude la
primera definición dada. Están situados en
el eje mayor, entre los dos vértices.
Punto fijo al que alude la primera definición
dada. Está situado en el eje de simetría, en la
concavidad de la curva.
Puntos fijos (F y F') a los que alude la
primera definición dada. Están situados en
el eje mayor, fuera del segmento
comprendido entre los vértices.
Distancia focal.
Es el segmento comprendido entre los dos
focos.
No se considera, pero su equivalente en la
parábola es la distancia entre la directriz y el
foco.
Es el segmento comprendido entre los dos
focos.
Radiovectores.
Segmentos comprendidos entre un punto
de la elipse y uno de los focos. Cada punto
de la elipse es extremo de dos
radio-vectores.
Al no tener la parábola más que un foco
propio, quedaría con un solo radiovector por
cada punto. Para evitarlo, se considera
también como radiovector el segmento más
corto entre cada punto y la recta directriz.
Segmentos comprendidos entre un punto de
la elipse y uno de los focos. Cada punto de
la elipse es extremo de dos radio-vectores.
Semiejes.
Segmentos cuyos dos extremos son el
En la parábola no tiene sentido hablar de
2
Segmentos cuyos dos extremos son el
centro y un extremo de un eje. El semi-eje
mayor tiene como longitud el segmento a,
y el menor, b.
semiejes, al quedar el eje mayor, único
existente, con longitud indefinida.
centro y un extremo de un eje. El semi-eje
mayor tiene como longitud el segmento a, y
el menor, b.
Semidistancia focal.
Segmento cuyos extremos son el centro y
un foco. Su longitud es c.
En la parábola se considera como tal la
distancia entre el foco y el vértice, ya que no
tiene sentido hablar estrictamente de
semidistancia focal, al quedar uno de los
focos en posición indefinida.
Segmento cuyos extremos son el centro y
un foco. Su longitud es c.
Circunferencias focales.
Son las que tienen como centro un foco y
de radio el eje mayor (2a).
La única que se considera es la que tiene
como centro el foco impropio, y al ser de
radio infinito, se convierte en una recta que
se llama directriz.
Son las que tienen como centro un foco y de
radio el eje mayor (2a).
Circunferencia principal.
Es concéntrica con la elipse y pasa por los
vértices.
En la parábola tiene radio infinito y pasa por
el vértice, por lo tanto es una recta
perpendicular al eje que pasa por dicho
punto.
Diámetros conjugados.
Es concéntrica con la hipérbola y pasa por
los vértices.
Asíntotas.
Un diámetro es conjugado de otro cuando
pasa por los puntos medios de las cuerdas
paralelas al otro diámetro. En una afinidad
que me transforme una circunferencia en
una elipse, los diámetros conjugados de la
elipse son los afines de diámetros
conjugados de la circunferencia (son
perpendiculares).
Son las tangentes a la curva en los puntos
impropios.
PROPIEDADES.
Elipse
Parábola
Hipérbola
Los dos radio-vectores de un punto suman
2a, el eje mayor. (Es la primera definición)
La diferencia entre los dos radiovectores de
un punto, es 0. (Es la primera definición).
La diferencia entre los dos radio-vectores
de un punto mide 2a, el eje real. (Es la
primera definición)
El semi-eje mayor al cuadrado es
igual a la suma de los cuadrados del otro
semi-eje y de la semi-distancia focal.
a2=b2+c2
La semi-distancia focal al cuadrado es igual
a la suma de los cuadrados de los semi-ejes.
c2=a2+b2
(De manera que conociendo dos de estos
segmentos se puede hallar el otro trazando
un triángulo rectángulo).
(De manera que conociendo dos de estos
segmentos se puede hallar el otro trazando
un triángulo rectángulo).
La circunferencia con centro en un punto
de la curva, que pasa por un foco, es
tangente a la circunferencia focal trazada
desde el otro foco.
La circunferencia con centro en un punto de
la curva, que pasa por el foco, es tangente a
la circunferencia focal trazada desde el otro
foco (recta directriz).
La circunferencia con centro en un punto de
la curva, que pasa por un foco, es tangente a
la circunferencia focal trazada desde el otro
foco.
El punto simétrico de un foco, cuando el
eje de simetría es una recta tangente a la
elipse, está situado en la circunferencia
focal trazada desde el otro foco.
El punto simétrico del foco, cuando el eje de
simetría es una recta tangente a la parábola,
está situado en la directriz (circunferencia
focal trazada desde el foco impropio).
El punto simétrico de un foco, cuando el eje
de simetría es una recta tangente a la
hipérbola, está situado en la circunferencia
focal trazada desde el otro foco.
Las proyecciones ortogonales de los focos
sobre las rectas tangentes a la elipse, son
puntos de la circunferencia principal.
Las proyecciones ortogonales del foco
sobre las rectas tangentes a la parábola, son
puntos de la circunferencia principal (recta
perpendicular al eje que pasa por el vértice).
Las proyecciones ortogonales de los focos
sobre las rectas tangentes a la hipérbola,
son puntos de la circunferencia principal.
La recta normal a la elipse en un punto de
ella, es la bisectriz del ángulo interior de
los radio-vectores de ese punto. La recta
tangente a la elipse en un punto de ella,
será pues, la bisectriz del ángulo exterior
de los radio-vectores de ese punto.
La recta normal a la parábola en un punto de
ella, es la bisectriz del ángulo interior de los
radio-vectores de ese punto. La recta
tangente a la parábola en un punto de ella,
será pues, la bisectriz del ángulo exterior de
los radio-vectores de ese punto.
La recta normal a la hipérbola en un punto
de ella, es la bisectriz del ángulo interior de
los radio-vectores de ese punto. La recta
tangente a la hipérbola en un punto de ella,
será pues, la bisectriz del ángulo exterior de
los radio-vectores de ese punto.
3
TRAZADOS:
ELIPSE:
Trazado de la elipse:
Por puntos.
Por afinidad.
Por haces proyectivos.
A partir de dos diámetros conjugados, hallar los ejes.
Trazado de rectas tangentes a la elipse:
Por un punto de la curva.
Por un punto exterior.
Por un punto impropio. (Paralelas a una dirección).
PARÁBOLA:
Trazado de la parábola:
Por puntos.
Trazado de rectas tangentes a la parábola:
Por un punto de la curva.
Por un punto exterior.
Por un punto impropio. (Paralelas a una dirección).
HIPÉRBOLA:
Trazado de la hipérbola:
Por puntos.
Trazado de rectas tangentes a la hipérbola:
Por un punto de la curva.
Por un punto exterior.
Por un punto impropio. (Paralelas a una dirección).
Trazado de las asíntotas.
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