DOS PROBLEMAS OLÍMPICOS 1.- Hay pares de números

DOS PROBLEMAS OLÍMPICOS
1.- Hay pares de números cuya suma y productos son cuadrados perfectos. Por ejemplo
5 + 20 =25 y 5·20 = 100. Si el número menor de una de tales parejas es 1 090, ¿cuál es
el valor más pequeño posible del otro?
2.- El área y el volumen de cierta esfera son ambos productos de п por un número de
cuatro cifras. ¿Cuál es el radio de la esfera?
SOLUCIONES.
1.Como 1 090 = 19·10=19·5·2, no tiene factores al cuadrado, luego:
B2 = 1 090 · x, de donde x = 1 090·c2, para que B2 = 1 0902·c2
Por otro lado, A2 = 1 090 + 1 090·c2 = 1 090·(c2 + 1), y por tanto:
C2 + 1 = 1 090·k2 donde k2 debe ser mínimo, es decir, k = 1, de donde c2 deber ser igual
a 1 089, que es un cuadrado perfecto puesto que 332 = 1 089.
Por todo lo visto: x = 1 090·1 089 = 1 187 010.
Comprobamos que cumple las condiciones iniciales:
1 090 + 1 187 010 = 1 0902, es decir que A = 1 090
y 1 090·1 187 010 = 1 239 840 900 = 35 9702, es decir que B = 35 970
2.Puesto que el área de una esfera es 4·R2·п, 4·R2 es un número de cuatro cifras, entre
1 000 y 9 999. Análogamente ocurre con (4/3)·R3: debe ser un valor entre 1 000 y
9 999.
De la primera condición se deduce que 15 < R < 50, y de la segunda que 9 < R <20. Por
tanto, para cumplir ambas condiciones simultáneamente, R tiene que estar entre 16 y 19,
ambos inclusive. Pero para que (4/3)·R3 sea un número entero, R debe ser divisible
entre 3. Así que R = 18, el área es 1296·п y el volumen es 7 776·п