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F U N C I O N E S
R E A L E S
BERNARDO ACEVEDO FRIAS
Trabajo presentado como requisito
parcial para ingresar a la categoría
de Profesor A s i s t e n t e .
UNIVERSIDAD NACIONAL
SEDE MANIZALES
1984
INTRODUCCION
La carencia de un material básico, lógico y coher e n t e , en el curso de matemáticas fundamentales ha
sido el principal m o t i v o , que me llevo a la escogencia de este tema d e n o m i n a d o , FUNCIONES
REALES.
El trabajo enfocado comprende, los conceptos básicos
de las funciones reales, sus clases, las propiedades
mas importantes con algunas d e m o s t r a c i o n e s , ejemplos
teóricos y gráficos; con ello se permite al lector conocer con mayor seguridad y r a p i d e z , lo referente a funciones.
Mi experiencia como profesor en la asignatura de Matem á t i c a s F u n d a m e n t a l e s , ha sido mi principal punto de
apoyo para el desarrollo del tema, pues considero que
es necesario un documento claro, accesible que servirá
ue complemento para estudiantes de Ingeniería.
He procurado hacer este trabajo lo mas concreto y orientado hacia el estudiante, por lo tanto contiene para cada
uno de los conceptos ilustraciones s u f i c i e n t e s , con el
fin de proporcionar mayor agilidad en su interpretación
- 2 -
T A B L A DE CONTENIDO
Pag
INTRODUCCION
1
1.
PRODUCTO CARTESIANO
3
2.
RELACION
3
3.
D O M I N I O DE UNA R E L A C I O N
1*
¿4.
R E C O R R I D O DE UNA R E L A C I O N
6
5.
CONJUNTO SOLUCION
7
6.
G R A F I C A DE UNA R E L A C I O N
7
7.
FUNCION
11
8.
A L G E B R A DE F U N C I O N E S
13
9.
A L G U N O S T I P O S DE F U N C I O N E S
15
iii
Pág
9.1
FUNCION UNO A UNO
15
9.2
FUNCION SOBRE
16
9.3
FUNCION/CRECIENTE
16
9.k
FUNCION DECRECIENTE
17
9.5
FUNCION ACOTADA
17
9.6
FUNCION PAR
17
9.7
FUNCION IMPAR
18
9.8
FUNCION PERIODICA
18
9.9
ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
19
9.9.1
FUNCION POLINOMIAL DE GRADO n
19
9.9.2
IGUALDAD DE POLINOMIOS
20
9.9.3
SUMA DE DOS POLINOMIOS
20
9.9.4
RESTA DE DOS POLINOMIOS
21
9.9.5
MULTIPLICACION DE DOS POLINOMIOS ..
21
9.9.6
DIVISION DE DOS POLINOMIOS
21
9.10
TEOREMA DEL RESIDUO
27
9.11
TEOREMA DEL FACTOR
27
9.12
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
28
iv
Pág
9.13
OTROS TEOREMAS
29
10.
EJERCICIOS ADICIONALES
33
11.
ANALISIS DE ALGUNAS FUNCIONES POLINOMI ALES
36
11.1
FUNCION POLINOMIAL DE GRADO CERO ..
36
11.2
FUNCION P O L I N I M I A L DE GRADO PRIMERO
3?
11.3
FUNCION POLINIMIAL DE GRADOSEGUNDO
38
11.4
FUNCION POLINOMIAL DE GRADO TRES ..
'41
11.5
FUNCION POLINOMIAL DE GRADO C U A T R O .
42
11.6
FUNCION POLINOMIAL DE GRADO C I N C O . .
43
12.
FUNCIONES RACIONALES
¿+5
13.
FUNCIONES IRRACIONALES
51
14.
FUNCION PARTE ENTERA
54
15.
FUNCION VALOR ABSOLUTO
58
16.
FUNCION SIGNO DE X
73
v
Pág
17.
18.
,
V
.' Tj EMCIAL
'AD
'JNCI >N LOGARITMO
75
19.
FUNCIONES HIPERBOLICAS
79
20.
FUNCIONES CIRCULARES
83
21.
RELACION INVERSA
22.
FUNCION INVERSA
23.
FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS
106
24.
FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS
113
* •
, .
BIBLIOGRAFIA
94
98
11?
vi
F U N C I O N E S
PRODUCTO
R E A L E S
CARTESIANO:
S e a n A y B dos c o n j u n t o s d i f e r e n t e s de v a c í o , p o d e m o s formar el c o n j u n t o cuyos e l e m e n t o s son todos las p a r e j a s ordenadas
( a , b ) , d o n d e a£A y b e B ; tal c o n j u n t o lo l l a m a r e m o s el P r o d u c t o C a r t e s i a n o da A y B y lo n o t a r e m o s como
AxB = £( a ,b)/afcA, bcBj,
Ejemplo
l.l
A=[l,2|;
Ejemplo
B=[2,3];
[(1, 2 ) , (l, 3 ) , (2, 2 ) , (2,:
1.2
A=(l,3,5j;
Ejemplo
AXB = { l f 2} < { 2 , 3}-
{2) ; AxB» jl, 3, 5 ^ 2 ^
j(l, 2) , ( 3, 2 ) , ( 5 , 2) j
1.3
A = {o,2lj , B = {l,4^j ;
AxB=|o,2^|x{l,4^=1(0,1),(0,4),(2,1),(2,4)*¡
RELACION:
C u a l q u i e r s u h c o n j u n t o no v/acio del p r o d u c t o c a r t e s i a n o de
A y B l l a m a r e m o s R e l a c i ó n de A en B y la n o t a r e m o s así;
Ejemplo
2.1
fl={l,3,5,7l);
B = [ l , 3 \ ; A x B « {l, 3 , 5,7^ x |l, 3 } = [ ( l , 1) , (l, 3) , ( 3,1
(3,3),(5,l),(5,3l,(7,l)}(7,3) j
R = 1 1 , 5 ^ x j l , 3 \ = {(1,1), ( 1 , 3 ) , ( 5 , 1 ) , (5 j 3) es un s u b c o n j u n t o
no v a c i o de A x B , cuya r e p r e s e n t a c i ó n es:
R
f
"iii^a 2. ?
3
** Ì V '
0
'
'
B =
2
;
•
u .A
•
3
l ' ì ;
Ay6-='*1
Ul2) .
3j X [ 2 , 3 ] =
, (3,2) , (3,3) \
1
a n
>' > ( » ^ ) > ( ' » ? i
s u b c o n j u n t o nc v a c '
kÌ--
\
/
O on I M O Dt UM A R ti ACLÛN :
j >• ^ >Oui ì c ¡j • : j j n t : -• A :uyos elementos son las pi iflia'us ecu'
Parejas ucuaod.'oj que p e r t e n e c e n « I« relar
.i, n o t a r e m o s pur,
<
q
55
* d/ =tt A ,
d,ti £ R 1
fjempi U J m À.
A-
3
M '
!
.
9 =
l J » ö -J Ï
X |5,b' =
/2.3Í X I 5,6 j = j ( 2 , 5 ) / ? , r . ) , ( 3 , 5 ) t ( 3 t 6 ) |
Ejemplo
es jn suoconjt
3.2
(-00, +oo)
;
' ^ U ^ / n u ^ l
conjunto no v« Lo je A x B .
ï1 s e L i !f c , i e una r e c a c i a >i<~
r d¡0i: c"irrv, >
de esta
'• ,
;
) , = Tu,T
•W —
irjr
,
„
V Pre là
es un su'
na.iar
tlaeppij.
mos y en t é r m i n o s de X y a n a l i z a m o s que v a l o r e s de X h a c e n
que Y sea un n ú m e r o r e a l , y tal c o n j u n t o de v a l o r e s de X es
el D o m i n i o de la R e l a c i ó n
E j emplo
A=B=
3«, 3
( - 0 0 , +oO)
; R» j \ x , Y ) y
X 2 + Y 2 = 16^J es un s u b c o n -
junto no v a c í o de A x B .
,
,,
e n t o n c e s Y= A / 1 6 - X 2 .
v 2
v2
luego Y = 16 - X
^
2
para que Y sea un n u m e r o real debe d a r s e que 16 - X ^ O
v2
v 2
X + Y
= 1 6 ,
es decir
)
l c
(4— X) ( 4 + X ) ^ O
el cual p a r a h a l l a r la
solución
m a r c a m o s s o o r e una recta n u m é r i c a d o n d e se anula cada
factor}
X=4 y X=-4 ; y a n a l i z a m o s en que i n t e r v a l o la i n e c u a c i ó n
B3
verdadera.
4 - X ^ . 0#*4 £ X
4- X
4 +
;
4-X<0«v4<X
-+ -+ -+ +
+
1
i
—
L
L
'Luego
( 4 - X ) (4 + X ) / > 0
ú n i c a m e n t e en el i n t e r v a l o [-4,4]
p u e s en los d e m á s el produj2to de las dos es n e g a t i v o , luego el D o m i n i o es j"-4,4l
J
E j e m p l o 3.4
Y =, f T , j es un número real
A = B = ( - 0 0 , + c o ) ; R=
X € [0,+«>
Dr
- 5 -
si
Ejemplo
3.5
A = B= ( - 0 0 , +C0) ; R= ( ( X , Y ) /
2
X=Y j
D e s p e j a n d o Y en t é r m i n o s de X tenemos que
Y es un número real si X £ Q o , +oo)= D R
Ejemplo
3.6
A=B= ( - 0 0 , +00 )
R- [ ( X , Y ) / X
-{(X,Y)/X-Y
4.
y asi
R E C O R R I D O DE UNA
5 X- -Y ]
2
- Y
.
2
- o } = [(X,Y
Dr .
(
_fl0f
RELACION:
Es el s u b c o n j u n t o de B cuyos elementos son las s e g u n d a s componentes de las p a r e j a s o r d e n a d a s que p e r t e n e c e n a la r e l a c i ó n .
La n o t a r e m o s R R = ( _ b / b € B , ( a , b ) t R ) .
Ejemplo
4.1
A= { l , 2 , 3 } ,
B=
(5,6 \ ;
A xB =
x
{5,6^ = [ (l, 5) , (1, 6) ,
(2,5),(2,6),(3,5),(3,6) }
R=
R
R
(2,3j x (5,6^j =
= (5,6^
Ejemplo
;
[(2,5),(2,6),(3,5),(3,6)^
DR - (2,3)
4.2
A=B= (-C0 , +C0 ) ; R» { ( X , Y ) / X 2 + Y 2 = 1 6 ^ .
Para hallar el R e c o r r i d o , d e s p e j a m o s X en términos de Y,y anal i z a m o s que v a l o r e s de Y hacen que X sea un„número real y tales
r e s de Y1 forman el r e c o r r i d o , E n efecto
X ¿ + Y * 16 } X = 16-Y
entonces^
X * - \/l6
- Y2
, luego
16 - Y 2 ^ 0
cuyo conjunto s o l u c i ó n es [_-4,4~j = R R
- 6 -
,
es d e c i r , (4-Y) (4+Y)
0,
Ejemplo
a
=8=
4.3
(-00, +oo)
;
R =
^(x,Y)/v=
*
.
+
Si d e s p e j a m o s X en t é r m i n o s de Y t e n e m o s
recorrido
sería
(-00, +oo)t
X = - Y , luego
el
lo cual no es cierto ya que Y to-
ma s e g ú n la d e f i n i c i ó n de la r e l a c i ó n t o d o s los n ú m e r o s
mayo-
res o i g u a l e s que cero y así el R e c o r r i d o
Este
es
e j e m p l o m u e s t r a que no s i e m p r e se p u e d e d e s p e j a r X en t é r m i n o s
de Y p a r a h a l l a r el R e c o r r i d o de una r e l a c i ó n .
Algunas
veces
f u n c i o n a , pero o t r a s v e c e s no: de i a u a l forma s u c e d e con el
Dominio.
5.
CONJUNTO
S O L U C I O N DE UNA R E L A C I O N :
£ s el c o n j u n t o de p a r e j a s o r d e n a d a s
fr'cH—y"( S.7E) £ R
Ejemplo
(a,b)
tales que a e. A ,
5.1
A= (1,2,3*1 ,
R=[(X,Y)/
B=
[l, 2, 3 ,*)
Y>X^=
{ ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , (2,3)^j as el c o n j u n t o
solu-
ción.
6.
G R A F I C A DE UNA
RELACION
Es la r e p r e s e n t a c i ó n g e o m é t r i c a del C o n j u n t o
Ejemplo
A=B=
Solución.
6.1
(-00 , + o o ) ; R = {_ (X, Y )/ X 2
- 7 -
+
Y 2 = l] D R = R R
= [-l,l]
Ejemplo 6.2
<r
A=B= ( - c o , + o>) ;
DR
_ RR
=
Rb
((X,Y)/
X
2
- y 2 = 0^) » [(X,Y
(-00, + © )
Y
A=B= (-00 , +00 )
Dr
« Rr
;
R»j^(X,Y)/4^X2 + Y2<r9
-[-3,3]
- 8 -
Ejemplo
A=B=
6.4
( - 0 0 , +co)
dr = l i , 2 ] ;
;
R= [ ( X , Y ) / 1 Í.X v< 2, 2 ^ Y ^ 3 ^
Rr = [ 2 , 3 ]
V
a,
1
\
Ejemplo
A= ( l , 2 ,
2
r
r
6.5
,
B = [4,5\
;
AxB « ( l , 2 , 3 \ x
[ (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \
:=
{2,3¡| x (4Í,
= [ ( 2 , 4 ) , (3,4) ^
- 9 -
,
DR
« {2,3Ìj ,
R
R
Y
Ejemplo
R
•
2
1
*
6.6
A=8= (- oo , +00 ) ;
R
•
R« [ ( x , y ) / y= |(xí|~J d r = (-oo, +00)
[o, +00)
X
Ejemplo
6.7
A = B= ( - o o , + co )
{(X,Y)/ Y = W ]
- 10
DR
=
+00) -
R
r
7.
FUNCION
U n a f u n c i ó n f:ft
* B es una r e l a c i ó n de A en B tal que
a cada e l e m e n t o de A le c o r r e s p o n d e a lo mas un e l e m e n t o de
B
Ejemplo
A=
7.1
^1,2,3,4^
,
B=
{l,2,3,4^
f= { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 1 ) ^
es una f u n c i ó n , pues es una re-
l a c i ó n en la c u a l a cada e l e m e n t o de A le c o r r e s p o n d e a
lo más uno de B .
Su r e p r e s e n t a c i ó n
es:
f
Ejemplo
7,2
A=
^1,2,3,4^)
g=
{ (2,3),(3,4),(4,2) ^
es:
,
B=^l,2,3,4^
es una f u n c i ó n , su
9
- 1 1 -
representación
Ejemplo
7.3
A=B= (-a> , + C O )
h=
1 ( X , Y ) / Y = X+l \
es una f u n c i ó n , su r e p r e s e n t a c i ó n
es
A=B = (-00 , + 00)
<j=£(X,Y) /
X = Y2^)
no es una f u n c i ó n , su
- 12 -
representación
Ejemplo
7.5
A= { 1 , 2 , 3 }
B=
(2,4^
h= { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 2 ) , ( 2 , 4 ) \
su r e p r e s e n t a c i ó n
no es Una función
,
es
A
De aqui en adelante t o m a r e m o s A = B = R = (-GD , +CO)
salvo que se diga otra cosa .
N o t a : S i X es un elemento en el dominio de
f,usaremos
el símbolo f ( x ) , e n lugar de Y,para d e s i g n a r el número
en el recorrido de f que forma la pareja con X,es d e c i r ,
en lugar de escribir
f= { ( X , Y)/ Y= X^j ,g= [ ( X , Y ) / Y = 2X+1
e s c r i b i r e m o s f(X) = X; g ( X ) = 2X+1
8 . ALGEBRA DE
FUNCIONES
Si f(x) y g ( x ) son dos funcionas
formar nuevas funciones así :
8.1
( f + g ) (X) « f(X) + g (x)
8.2
( f - g ) ( X ) - f(X) - g ( x )
- 13 -
cualquiera,podemos
8.3
(fg) (X) =
f(X)„g(x)
8.4
(f/g) (X) » f | x j , g(x)j¿ o
D o n d e el dominio de las nuevas f u n c i o n e s es el Dominio de f
• erceptado con el Dominio de g , en s í m b o l o s D f H D g ; exceptuados Jaquellos V a l o r e s de X , donde g ( X ) = 0 , en 8 . 4 .
(la
div/ision por cero es i m p o s i b l e ) .
Si el recorrido ae la función g i n t e r c e p t a d o con el dominio de la
función f es d i f e r e n t e de vacío d e f i n i r e m o s la c o m p o s i c i ó n fog
8.5
( f Q g) (X) =
Consideremos
f(g(x)).
f(x) = V T /
Dg
= (-00,
,
Df »
( x ) =2X+1,
; Df+g
« DfHD
= [_0,+<D)
g
8.2.1
(f-g)(X) = f(X) - g(x) = V T -
(2X+1) ; D f _ g
= DfOD
g
=[of+co)
8.3.1
(fg) (X) = P ( X ) x g ( X ) = V T 1
Ejemplo 8.4.1
(f/g)(x) = f ^ X j
Ejemplo
g
*
(f + g ) ( x ) = f(X) + g ( X ) = V T + 2 X + 1
Ejemplo
;
+ffl)
Ejemplo 8.1.1
Ejemplo
, + co)
(2x+l) , D f g
Xj - 1 / 2 ; D f / g
- DfOD
= Df O
g
« [ o l + flO)
D g = (_0, + C0)
8.5.1
( f 0 g ) ( X ) = f(g(x)) = f (2X+1) = V r 2 x í ?
- 14 -
DF
= [ - 1 / 2 , + 00)
po|
Ejemplo
8.5.2
(g o f) (x) - g ( f ( X ) ) = g( V T ) = 2 V T
Ejemplo
+1 D
f
* [ o , + QO)
8.5.3
Si c o n s i d e r a m o s f ( x ) = V T g ( x )
( f 0 g ) ( x ) - f(g(x)) -
f
(-*2)
= - X2
;
X<0
, c a r e c e de s e n t i d o j
en este caso no p o d e m o s e f e c t u a r la c o m p u e s t a , p u e s
(-03 , 0 )
, D f = [ 0 , + 0 0 ) y a s í el d o m i n i o de la
f interceptado
R^ =
función
con el r e c o r r i d o de la f u n c i ó n 9
es
vacío,
ALGUNOS TIPOS DE
9.1
FUNCIONES:
F U N C I O N UNO A UNO:
f: A
—>B. A «B s u b c o n j u n t o s de l o s n ú m e r o s r e a l e s ;
es f u n c i ó n uno a uno o i n y e c t i v a si y solo si p a r a cada X , X * e - D f , si X , ^ X t e n t o n c e s f ( X t ) ¿ f(X») , o en
forma e q u i v a l e n t e si f(X^) = f ( X t )
entonces X t = X a ,
p a r a f í x * ) , f ( X t ) en el r e c o r r i d o de f
Ejemplo
9.11
f(x)=x es i n y e c t i v a ; pues f(X,)= f ( X t ) e n t o n c e s X t «X*
Ejemplo
9.1.2
f (X ) =V~P
e
iny a c t i v a
Ejemplo
9.1.3
f(X)=X
no es i n y e c t i v a , pues 2/ - 2 sin
.f(2) - f ( - 2 ) « 4
- 15 -
embargo
Ejemplo
9.1.4
P ( X ) = | X | no es i n y e c t i v a , p u e s
3=/ - 3
sin
embargo
r(3)-f(-3)«3 = l3l*\-M
9.2
FUNCION
SOBRE:
f: A
es u n a f u n c i ó n s o b r e si y s o l o si
tratrxr'bVB, e x i s t e atA tal que f ( a ) = b.
Ejemplo
para
9 0 2.1
f ( x ) =X es u n a f u n c i ó n
Ejemplo
9.2.2
f ( X ) =X
Ejemplo
sobre
es una f u n c i ó n
9.
sobre
2.3
2
f(X)=X
no es s o b r e , p u e s -2C.R y no e x i s t e atR t a l
f(a)= - 2
ya que la f u n c i ó n
m a y o r e s o iguales que
Ejemplo
toma
valores
que
únicamente
cero
9.2.4
f ( x ) = ) x | no es s o b r e p u e s - l £ R y no e x i s t e aeR
talque
f(a) = -1
9.3
FUNCION
CRECIENTE:
Una función f(x)
si f ( X ) $ f ( V )
es c r e c i e n t e en un i n t e r v a l o
p a r a c a d a par de p u n t o s X,Y en
con X ^ Y
Ejemplo
f(X) = X
9.3.1
es c r e c i e n t e
en
- 16 -
(-co,+co)
[]a,b]
[a.b]
Ejemplo
9.3.2
f(x) = X^
Ejemplo
9.3.3
F(X) =
9.4
es c r e c i e n t e en [ o , + °°)
| X | es c r e c i e n t e en ( o , + c0)
FUNCION
DECRECIENTE:
Una Función
f(X)
si f ( x ) < f ( V )
Ejemplo
f(X)-X2
Ejemplo
f(X) = -X
9
* 5
FUNCION
es d e c r e c i e n t e
para X , V e [ a , b ]
en un
intervalo
con X ^ Y
9.4.1
8 8
d e c r e c
i-ente
eno(j-oo,oJ
9.4.2
es d e c r e c i e n t e
en ( - c o , + cO)
ACOTADA:
f(X)
es a c o t a d a en un i n t e r v a l o £a,b]
c o n s t a n t e p o s i t i v a Pl tal que |f(x)j$.l*l
Ejemplo
9.5.1
f(X)=X
no es a c o t a d a en
X£[0,l]
sin
embargojsi
si lo e s , p u e s 2 es c o t a s u p e r i o r y - 1 es
ta i n f e r i o r
entre
co-
otras.
Ejemplo
9.5.2
f(X)-~2
es una f u n c i ó n a c o t a d a , 3 es s u p e r i o r y 0 es
cota inferior, entre
9.6
( - 0 0 , + cd)
si e x i s t e u n a
para X t [ a , b |
FUNCION
f(X)
otras,
PAR:
es u n a f u n c i ó n p a r si f ( - x ) = f ( x )
- 17 -
para todo X
D
Ejemplo
f(x)= X
Ejemplo
9.6.1
2
es u n a f u n c i ó n parj p u e s
f(-X)=
2
2
(-X) =X =f(X)
9.6.2
f (X) = | X | es una f u n c i ó n parj p u e s F ( - X ) = |-X| = (X[=f (x)
9.7
Ejemplo
9.6.3
f(X)=2
es u n a f u n c i ó n p a r ; p u e s
FUNCION
IMPAR:•
f(X)
xco
f(-x)=2=f(x)
es u n a f u n c i ó n i m p a r si f ( - X ) = — F ( X )
cada
f
Ejemplo
9.7.1
f(x)=x
es i m p a r ; p u e s f ( - X ) = - X =
Ejemplo
9.7.2
f(x)=x3
Ejemplo
f(X)=
es i m p a r ;
pues f(-X)=
-f(x)
(-X)3= -X3=
FUNCION
-f(x)
9.7.3
no es i m p a r , ni es par
Ejemplo 9.7.4
f ( x ) = x ^ +X
no es u n a f u n c i ó n p a r ni
9.8
para
impar
PERIODICA:
U n a f u n c i ó n f (X) se d i c e p e r i ó d i c a de p e r i ó d o T 7 Ü s i
f(X+T)=f(x)
para
~tLodo X £ D F .
Al m e n o r J 7 0 q u e
- 18 -
c u m p l e que
Ejemplo
f ( x + 7 " ) = f(X)
se l l a m a el p e r i o d o de
f^X)
9.8.1
f ( x ) = S e n X = S e n ( X + 2TT )=Sen
(x+4TT) =
S e n ( X + 6 77") =
...
es una f u n c i ó n p e r i ó d i c a , de p e r i ó d o T =2 TT
Ejemplo
9.8.2
1
si xe [2n
,2n+0
f(x) =
- 1 si X£ [ 2 n - 1 , 2 n )
E s una f u n c i ó n p e r i ó d i c a de
9.9
periódoT=2"
ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES
Y SUS P R O P I E D A D E S
MAS
IMPORTANTES;
9.9.1
F u n c i ó n P o l i n o m i a l de G r a d o
n;
Es una e x p r e s i ó n de la forma f ( x ) = a 0 + a l x + a f c X 2 + a i X 3 ,
a
n*
;
n t N j a o j a , ,... , a 0
son
constantes
c u a l e s q u i e r a y son l o s c o e f i c i e n t e s de p o l i n o m i o .
Ejemplo
9.9.1.1
f(X)=l+X^+X^,
Ejemplo
p o l i n o m i o de grado 5
9.9.1.2
f (X)= \T? X + (JL+2) X2 + 4 X 3 ,
Ejemplo
f(x)=4,
p o l i n o m i o de g r a d o
9.9.1.3
p o l i n o m i o de grado 0
- 19 -
3
9.9.2
I g u a l d a d de d o s
Sea
Polinomios;
f (X) = a 0 + a < X + a t x*"+...+a n x° , a n * 0 , y
a
g (X )=b»+b< X + b t X
+ . . . + b „ X , b n + 0 , a 0 ». • • , a^ , b 0 , . . . , bn.
c o n s t a n t e s , d e c i m o s que f ( x ) = g ( x )
si y s o l o
si
a 0 = b 0 , a1 = b 1 , a i = b 2 ,. * • , a^—bt\
Ejemplo
9.9.2.1
3
f(X)=l+X3+X
9.9.3
; g(x)=x +x+l,
entonces
f(x)=g(x)
S u m a de D o s P o l i n o m i o s :
S e a f ( X ) — Bq + 9 ^ X • « • + 3 *
entonces
(a 0 + . .. + a n X n ) + ( b D + . . . +bTn X* 2 )
f(X)+ g(X)=
(a0+b0) + (aA+bt)X
ti < m
Ejemplo 9.9.3.1
3
+biX+...+bnX
+ . ..
( a „ + b n ) X n + b a i . l ( X n + L + . . ^ « n x""
+
2
f(x)=x +x+l, g(x)=X +2X, entonces
2
3
2
(l+X + 0 X + X ) +
f(x)+g(x)=
2
3
(0+2X+X +0X )-l+3X+X +X
en g e n e r a l si f es un p o l i n o m i o
de g r a d o n y g
es un p o l i n o m i o d e g r a d o m , e n t o n c e s
es un p o l i n o m i o de g r a d o
Ejemplo
f(X)+g(X)
K¿maX(n,m)
9.9.3.2
3
2
f ( x ) = x , g ( x ) = x , luego
el g r a d o de
Ejemplo
3
2
f(x)+g(x)=x +x
3
(f+g) (x) = 3 <. maX ( 2 , 3)
9.9.3.3
f(X)=-X4+X+1, g(X)=X4+X2,
g r a d o ( f + g ) (X) = 2 ^ maX (4,4)
- 20 -
2
f(x)+g(x)=x +x+l;
,
9.9.4
R e s t a de Dos P o l i n o m i o s :
f (X) = a 0 + a 1 X + .
an#0
n,
g(x)=bo+b1X+...+b7nx ,b™n^O
entonces f(X)-g(X) =
(ao+a^ X + . . . + a n X ° )- ( b 0 + b 1 X + . . . + b w X ^ ) =s
(ao-b0 ) + ( a v - b t ) X
9.9.5
+...+ ( a n - b n ) X ° - b n n X
, n
-....b(ni
rxra
M u l t i p l i c a c i ó n de D o s P o l i n o m i o s :
Sea f (X)=a„+a A X + . . . + a 0 X° , a n + 0
g ( X ) = b 0 +b, X + .. . + b ^ X m , b**0
ft
entonces f(x)g(x) =
(b. +b, X + .. .+b r ^' m ) =
(a0+a^X+. . ;+anX )
a o ( b 0 + b l X + .. . + b m X , n ) + a< X(bo +b, X + .. ,b^(' n )+...+
a n X° (b. +b, X + . .. +bnt/"")= a.b® + a 0 b t X + ... + a , b im X +
a, b„ X + a* b, X + ... +a, b ^ *
=a0bo
1
+. . . + a n b 0 X* +a„ b< X" 4, + ..+...
+ ( a 0 b, +a! b 0 ) X + ( a 0 b A + a, b, +a fc b 0 ) X + . .
a„
En g e n e r a l f ( X ) g ( X ) = C e + C 1 X + C ^ X 1 + . . , + C ^ X K
Ct «a* b , b
t
es m+n= grado
Ejemplo
+...+80^
9.9.5.1
2
l
l
entonces
l
(X +X+l) (X +1)= X (X +l)+X
4
X +X*+X*+X+X+l
9.9.6
f(X)g(X)
g+ grado f
f(x)=x +x+l, g(X)=X2+l
l
, el grado de
donde
f(x)g(x)=
(X*+l)+X*+l=
grado f ( X ) g ( X ) =
2+2=4
D i v i s i ó n de Dos P o l i n o m i o s :
S u p o n g a m o s que p ( x ) es un p o l i n o m i o de g r a d o n ,
y D ( X ) es otro polinomio de grado m con ^ m i n
y que queremos dividir p ( x ) entre D(X); ordenamos cada polinomio en p o t e n c i a s d e c r e c i e n t e s de X
- 21 -
y s e p r o c e d e como se i l u s t r a en l o s
ej e m p l o s :
Ejemplo
P(X) = X
X «
+
9.9.6.1
-1; D(X)=X * - 1
-1
-x*_tx
siguientes
LX*
L
-1
x
l
; x«-l=
X X
p(x)
(x ^ - i ) x +
D (X)
=
z
(x -i)
Q ( X ) + R (X)
S i n e m b a r g o p o d e m o s s e g u i r d i v i d i e n d o , h a s t a obt e n e r un r e s i d u o R ( x )
con g r a d o d e R ( X ) < grado D (X ), t a l p r o c e d i m i e n t o se l l a m a a l g o r i t m o de
la d i v i s i ó n .
x
-X
* -1
1 X
+ X*
"
X
z
-1
+1
X * -1
- X * +1
0
V así
P ( X ) = D (X)
X
Ejemplo
4
QA(X)
-1=(X * -l)x
3
+1
X *
-X
1
+1
-X
X *
+
R
4
(X)
(X * +1 ) +0
9.9.6.2
D i v i d i r p ( X ) = X ' i +1
X
+
entre
X
X+L
X * + 1 = ( X * + X ) ( X - 1 ) + (X+1)
- 22 -
D(X)=X*+X
En g e n e r a l sea p ( X )
un p o l i n o m i o de grado n ^ l ,
D ( X ) ^ 0 un p o l i n o m i o de g r a d o ^ m ^ l , con 1 < m ¿ n ,
entonces existen polinomios únicos Q(x) y R(x)
t a l e s que p ( X ) = D ( X ) x Q ( X ) + R ( X ) .
Si R ( X ) t i e n e g r a d o , es d e c i r si R ( X ) no es el
p o l i n o m i o nulo e n t o n c e s este g r a d o es m e n o r q u e
el g r a d o de D ( x ) . p ( x ) se l l a m a D I V I D E N D O , D ( x )
es el D I V I S O R , Q ( x ) el C O C I E N T E y R ( x ) el R E S I D U O .
Si R ( x ) = 0
es d e c i r i c a r e c e de g r a d o
(Polinomio
Nulo)
e n t o n c e s p ( x ) = D ( X ) x Q ( X ; ^y en este caso
D(X) y Q(X)
se l l a m a n F a c t o r e s o D i v i s o r e s de
P(X).
S i el grado de p ( x ) es m e n o r que el grado de D X )
entonces Q(X) = 0
Ejemplo
9.9.6.3
D i v i d i r el p o l i n o m i o P ( X ) = 3X
3X
-3X
z
+ 2X + 2
+2X+2 entre
D(X)=X-2
| X-2
+ 6X
3X+8
3X * + 2X + 2= (X- 2) x ( 3X+8 ) +18
8X + 2
-8X+16
18
S i n e m b a r g o el e j e m p l o a n t e r i o r lo p o d e m o s simp l i f i c a r u t i l i z a n d o la l l a m a d a D I V I S I O N S I N T E T I C A .
En e f e c t o , s u p o n g a m o s :
f (x) = a0 +ai X + . . . +a rt X n , a ^ O ,
es el d i v i d e n d o y D ( X ) = (X-a)
entonces podemos escribir
a0 ... , an
constantes;
es el d i v i s o r ,
f(X)«(X-a)xQ(X)+R,
ae.C,
don-
de Q ( X ) es de g r a d o n - 1 , es d e c i r ;
Q ( x ) = b o + b, X + b ^ X * + . . .+b w „ L -X n * L , b n _ t * 0 ; y d e s e a mos d e t e r m i n a r l o s c o e f i c i e n t e s
m i n o s de f ( X )
Como f ( X ) = ( X - a ) Q ( x ) + R
- 23 -
tenemos:
de Q ( X ) en tér-
a 0 +ai X + . . . + a n X n
b o X + b , X1
= (X-a)(b«> + b 1 X + . . .+bn_» x"'1 )+R =
+b j, X J
+ . . . + b 0 ^ X M - í i b t - a b í X - a b v X 1 "-..
abft-i X n " i + R = ( R - a b 0 ) + (bo - a b 4 >X + (b « - a b t
b .y.^ X n
a
0
+a
1
)Xl+...+
es decir:
X +...+a0Xn
= ( R - a b o ) + ( b 0 - a b 4 . ) X + (b 1 - a b ¿ )X
1
b
X*
igualando
coeficientes tenemos
R-abo
, b 0 - ab(
que:
= a< , b1 - a b ¿ = a t
,b4-abj=a}
b» - a b ^ =a^ ,.. . , bn.^ - ab n . t =a«\.», bn-j.=an es decir
b0_l=a0
, brt.f, = a
+ ab f \. i ,.. . , b j =a 4 +ab»
:
b-, 3 i +ab¿ , b 0 =a ^ +abi
mos e s c r i b i r art.
,R = a 0 + a b 0
a <\.t
...
;
»bi = a 9 +ab3
luego
at...a0
abo-v
abn-i
ab^
ab0
b^.j, bo-t
bn-5
be
R
pode-
j a
En forma más e s p e c í f i c a , para d i v i d i r un pol i n o m i o f ( x ) = a 0 +a i X + . , . + a o X 0
tre g ( X ) = X - a
se p r o c e d e
, a n / O , en-
así:
En la p r i m e r a línea se e s c r i b e n los
cientes a n
,... , a 1 , a 0
coefi-
, del d i v i d e n d o
y el
numero
a j separado
y a la d e r e c h a ; si
a l g u n a p o t e n c i a f(X) no a p a r e c e se e s c r i b e
como c o e f i c i e n t e
Se e s c r i b e a o
0.
como primer término de la ter-
cera l í n e a y se m u l t i p l i c a por
do el p r o d u c t o a 0 a
bajo de
a, e s c r i b i e n -
en la s e g u n d a l í n e a , de-
a^j, y se suma an-i
con el p r o d u c t o
a n a y se e s c r i b e an-i+aar, en la tercera
línea
y así s u c e s i v a m e n t e , h a s t a que se usa como
sumando a* , e s c r i b i é n d o s e la suma en la t e r c e r a
-
2k
-
l i n e a . El último número a la d e r e c h a de la
t e r c e r a linea es el r e s i d u o , los n ú m e r o s ant e r i o r e s son los c o e f i c i e n t e s
del c o c i e n t e
c o r r e s p o n d i e n t e a p o t e n c i a s d e s c e n d i e n t e s de
X.
Ejemplo
9.9.6.4
U s a n d o la d i v i s i ó n s i n t é t i c a , h a l l a r el cociente Q ( X ) y el residuo R para la d i v i s i ó n de
X4-X3+7X-12
V
entre
X+4=X-(-4)
-1
0
7
-12
-4
20
-80
292
-5
20
-73
280
ii
Q(X)
-4
ii
R
X 4 - X 3 + 7 X - 1 2 * ( X 3 - 5 X 2 + 2 0 X ~ 7 3) ( X + 4 ) + 2 8 0
R
Q
Ejemplo
9.9.6.5
H a l l a r e l ^ r e s i d u o R y el c o c i e n t e
la d i v i s i ó n de
3X 4 -4X 2 -*4
entre
X+n/T
3
-4
0
0
-4
-3 VT
6 -2f?
4
3 -3VT
2 -2F?
0
|
Q(x)
en
-\¡2
R
Q
3X - 4 X - 4= ( 3X - 3 V T X +2X- 2 V~2) (X + V D + O
^
^
w
Q
R
- 25 -
Ejemplo
9.9.6.6
H a l l a r el r e s i d u o R y el c o c i e n t e Q ( x ) en la
. , . '
4
2
d i v i s i ó n de 2X +3X - 2 0
entre
X+2i
2
0
2
3
0
-20
— Ai
-8
lOi
20
-4i
-5
10 i
0
-y
|-2i
R
Q
A „..2
2 X % 3 X ^ - 2 0 = ( 2 X 3 - 4 i X 2 -^5 X + 1 0 i ) ( X + 2 i ) + 0
Q
Ejemplo
R
9.9.6.7
H a l l a r el c o c i e n t e Q y el r e s i d u o R en la div i s i ó n de
X2-2X+1
-2
1
1
X-l
-1
-1
1
entre
0
R
Q
X -2X+l=(X-l)(X-l)+0
Q
R
A c o n t i n u a c i ó n v e r e m o s a l g u n o s t e o r e m a s de
gran u t i l i d a d .
- 26 -
9.10
TEOREMA DEL
RESIDUO:
Si un p o l i n o m i o
f(X) se d i v i d e e n t r e X-a
(afcC);
el residuo es i g u a l a f(a)
DEMOSTRACION:
S u p o n g a m o s que el grado de f ( x ) e s
por el algoritmo de la d i v i s i ó n ,
n,
f(x)=(X-a)xQ(X)+R,
d o n d e el grado de Q ( x ) es n-1 y asi f (a ) = (a-a) xQ ( a)+R =R
Ejemplo
9.10.1
H a l l a r el residuo al d i v i d i r
3
2
X - 3 X -X + 3 entre X+l .
s e g ú n el t e o r e m a del residuo se tiene f ( - 1 ) = - 1 - 3 + l + 3 = 0 = R .
S e a f(X) un p o l i n o m i o c u a l q u i e r a j d e c i m o s q u e a es R A I Z
da f(x) si y solo si
f(a)=0
E C U A C I O N POLINOMICA«, es una e x p r e s i ó n de la
forma
h ( X ) = g ( x ) d o n d e h ( x ) y g ( X ) son p o l i n o m i o s y d e e i m o s
que U es s o l u c i ó n j s i h ( u ) = g (ü); tal e c u a c i ó n
podemos escribir
9.11
T E O R E M A DEL
la
f (X ) =h (X )-g (X ) = 0
FACTOR:
S e a F(X) un p o l i n o m i o ; afectes raiz de f ( x ) si y
solo si (X-a) es un factor de f(X)
DEMOSTRACION:
Supongamos
que a es R A I Z de
f(X),
e n t o n c e s f ( a ) = 0 , es d e c i r el residuo es cero,luego f (X) = ( X - a ) x Q ( x ) y así (X-a) es un factor de
f(x).
s u p o n g a m o s que X - a es un factor de f ( x ) , luego
f(x)=
( X - a ) x Q ( x ) y asi f ( a ) = 0 es decir
E3EMPL0
a es RAIZ de f ( x )
9.11.1
Consideremos
3
2
f(X)=X - 3 X - X + 3 , si o b s e r v a m o s
f (l) = f ( - 1 ) = f ( 3) = 0 , c o n c l u í m o s que 1 , - 1 , 3 son r a i c e s
- 27 -
de f ( x ) y asi
3
( X + l ) , ( X - l ) , X - 3 son
factores,lue-
2
g o , X - 3 X - X + 3 = (X+l) (X-l) (X-3)
Ejemplo
9.11.2
2
Consideremos
f(x)=X +l;
f(i)=f(-i)=0, luego
s o n r a i c e s de f ( x ) l u e g o X + i , X - i son
go
9.12
i,-i
factores,1ue-
2
X +l=(X-i)(x+i)
TEOREMA
FUNDAMENTAL
DEL
S e a f ( x ) un p o l i n o m i o
de grado
n^/lj
una r a í z .
Ejemplo
ALGEBRA:
con
coeficientes
la e c u a c i ó n
crevo
v-J ^
o
complejos,
f ( x ) = 0 t i e n e al m e n o s
oow
9.12.1
f ( x ) = X - 2 t i e n e a dos como una r a í z , p u e s
f(2)=0
Ejemplo 9 . 1 2 . 2
o
f ( X ) = X - 1 , t i e n e a 1 , - 1 como r a i c e s , p u e s
Ejemplo
9.12.3
f(x)=(x-3)4
t i e n e 3 como
multiplicidad
9.13
f(l)=f(-l)=0
r a í z y d e c i m o s que
tiene
de orden 4
TEOREMA:
S e a f ( X ) un p o l i n o m i o
con c o e f i c i e n t e s
d e g r a d o n 7/1, la e c u a c i ó n
n
raices.
- 28 -
f(x) = 0
complejos
t i e n e a lo m á s
Ejemplo
9.13.1
f ( x ) = x +1
Ejemplo
t i e n e a lo m á s dos r a i c e s , i , - i
9.13.2
f(x)=(X-3)^
t i e n e a los m á s c i n c o
r a i c e s , en
c a s o t i e n e u n a , p e r o de m u l t i p l i c i d a d
9.14
este
cinco.
TEOREMA:
Sea
f ( x ) un p o l i n o m i o
con
coeficientes
a + i b es r a í z de f ( X ) e n t o n c e s
DEMOSTRACION:
Como
es f a c t o r de
Dividamos
a - i b t a m b i é n es
f(x)
(X-(a+ib))(X-(a-ib))=X2-2aX+a2+b2
f(x) por
duo tendrá grado
2
C o m o la i g u a l d a d
t o d o X , en p a r t i c u l a r
R ( a + i b ) +S =0
anterior
para X=a+ib;
luego Ra+iRb+S=0;
e n t o n c e s R a + S = 0 y R b = 0 , como b 4 0
así S =0.
Ejemplo
l u e g o el
a lo m á s u n o , e n t o n c e s
2
( X - 2 a X + a + b ) Q ( x ) + R X + S , d o n d e R , S son
REALES.
raíz.
a + i b es r a í z d e f ( x ) , X - ( a + i b )
h a s t a que el r e s i d u o sea d e g r a d o < 2 ,
2
r e a l e s , si
y así el r e s i d u o v a l e
resi-
f(X)=
CONSTANTES
es v á l i d a
para
f(a+ib)=0xQ(a+ib)+
(Ra+S)+iRb=0+0i
entonces R=0 y
cero.
9.14.1
2
f(X) = x S l ,
f(i)
= 0 , l u e g o i es r a í z y p o r el t e o r e m a
- i t a m b i é n es r a í z .
Ejemplo 9.14.2
f ( X ) = X 2 + ( l - i ) X - i , f ( i ) = f ( - l ) = 0 es d e c i r i , - l
las raices,
heficientes
son
- i no es r a í z ya que f ( x ) no t i e n e
realas.
- 29 -
co-
9.15
TEOREMA;
Sea f(X) un p o l i n o m i o con c o e f i c i e n t e s
1
Si a+ \flP es r a í z , siendo
iTb
racionales,
irracional
entonces
1
a- tTb es r a í z .
La d e m o s t r a c i ó n es muy s e m e j a n t e a la anterior y por
eso la. o m i t o .
E j e m p l o 9.15.1
X^
J Z-
2
f ( x ) = X - 2 , f ( \ f P ) = 0 , luego \ T P
el t e o r e m a anterior
Ejemplo
es raíz y por
]
- \(~2 t a m b i é n es r a f z .
9.15.2
H a l l a r un p o l i n o m i o de grado cuatro con
tes r e a l e s , que admita como raices
Como 2+ V 3 1
es raíz e n t o n c e s 2-
coeficien-
2+ \ZT I y 3- V I P
t ambi én es r a í z ,
lo mismo sucede con 3+ )[~2, luego el polinomio
do es:
pedi-
(X- ( 2+ f 3 ) ) (X- (2- V 3 ) ) (X- ( 3- \T2) ) (X- (3+ \Í2) )X4-10X3+32X2-34X+?
9.16 T E O R E M A :
Sea f(X)=a.+a,X+.. . + a n X n , a « ^ 0 , u n p o l i n o m i o cuyos coefic i e n t e s son e n t e r o s . S i p/q es raíz r a c i o n a l
(reducida
a su m í n i m a e x p r e s i ó n ) e n t o n c e s p es un d i v i s o r de
q es un d i v i s o r de a n . ( p , q
aoy
enteros)
D e m o s t r a c i ó n : Como p/q es raíz, de f(X) , t e n e m o s que
+ a 0 ( p / q ) n = 0; m u l t i p l i c a n d o
a+a^(p/q)+
igualdad por q
n
n
11
esta
y simplificando obtenemos :
1
a„q +a1pq "
+ azp2qn~2 +
a n p n =0 (*),sumando
en a m b o s m i e m b r o s de la i g u a l d a d en (*) - a 0 q n y
- 30 -
d i v i d i e n d o por p o b t e n e m o s :
n-1
n-1
„ n-1
a ^ q
+aapq
+ ...+a n P
= -a
Como a^ , a 2 , . . . , 3 n
q u i e r d o de
es otro
(**)
e
n ,
q /p
/„„\
V"*).
son e n t e r o s , e n t o n c e s
el lado
es un e n t e r o , luego el lado
iz-
derecho
entero.
Como p y q no t i e n e n f a c t o r e s c o m u n e s excepto 1 y - 1
p no es un factor de q n , luego p d e b e ser factor
ao .
En forma s i m i l a r se d e m u e s t r a que q
de
es un fac-
n
tor de a n ; pues en l u g a r de sumar - a 0 q
y dividir
n
. .
por p , s u m a m o s -acv P y d i v i d i m o s por q la m i s m a
igualdad.
Ejemplo
9.16.1
r
2
o
H a l l a r las raices de la e c u a c i ó n 2X - 9X + 10X-3=0=-- f (X )
Si p/q es raíz de f ( x ) , e n t o n c e s p es un d i v i s o r o
f a c t o r de a o = - 3 ; p o s i b l e s v a l o r e s de p = - l , - 3 y q
es u n d i v i s o r de a n = ? ( n = 3 ) ; p o s i b l e s v a l o r e s de q=
+ 1 , - 2 ; las p o s i b i l i d a d e s p/q son: l / l , l / - l , l / 2 , l / - 2 ,
- 1 / 1 , - 1 / - 1 , - 1 / 2 , - 1 / - 2 , 3/1, 3/-1, 3/2, 3/-2, - 3/l,
-3/-1, -3/2, -3/-2.
E s t a lista c o n t i e n e
ocho n ú m e r o s d i s t i n t o s :
solamente
- 1 , - 1 / 2 , - 3, - 3 / 2 , de
e s t o s ú n i c a m e n t e 1 , 1 / 2 y 3 son r a i c e s de f ( X ) .
En
efecto
2
2
-9
10
-3
2
- 7
3
-7
3
0
ii
R
- 31 -
L l
2
2
-9
10
-3
6
- 9
3
-3
1
0
n
R
2
2
9
10
-3
1
- 4
3
8
6
0
i'
R
¡1/2
El r e s i d u o es cero en los tres c a s o s y a s í 1 , 3 , 1 / 2
son
las raices de f (x)
T ambi en p o d e m o s v e r i f i c a r l o
2
2
-9
10
2
-7
-7
3
"
de la form a s i g u i e n t e :
-7
3
3
6
-3
O
2 - 1
3
11
j
2
J3
-1
I
2
O
ftsi la e c u a c i ó n p o l i n ó m i c a 2X 3 - 9 X 2 + l 0 X - 3 =0 la podem o s f a c t o r i z a r como:
Ejemplo
(X-l) (X-3) (X-1/2) =0=2X 3 ~ 9 X 2 + 1 0 X - 3
9.16.2
H a l l a r l a s r a i c e s de la e c u a c i ó n X 4 - X 3 - 7X 2 - l 4 X- 24 = 0
Si p/q es raiz de F(X) e n t o n c e s p es un d i v i s o r o
f a c t o r de a^= - 2 4
a 0 =1
y q es un factor o d i v i s o r de
(n=4); p o s i b l e s v a l o r e s de P= - 1 , - 2, -
3,
- 4 , - 6 , - 8 , - 1 2 , - 24} p o s i b l e s v a l o r e s de q= - 1 .
L a s p o s i b i l i d a d e s p/q son:
- 8 , - 1 2 , - 24.
- 1 , - 2, - 3,
- 4 , - 6 ,
De estos ú n i c a m e n t e 4 y - 2 son
raíces
r e a l e s , l a s o t r a s d o s son c o m p l e j a s .
1
10.
efecto
-1
-7
-14
-24
4
12
20
24
1
3
5
6
0
Y asi
X - X 3 - 7 X 2 - 1 4 X - 24 = 0=(x + 2 ) ( X - 4 ) ( X2 + X + 3)
EJERCICIOS
10.1
En
1 A
1
}
3
5
6
-2
•- 2
-6
1
3
0
1
A
ADICIONALES:
Hallar
2 X 2 + bX-8
el v a l o r de b tal que f ( X) = 3X
divisible por X - 2 .
En
Utilizando
el t e o r e m a
f (2) = 0
decir:
es
3(2)3 - 2 ( 2 ) 2 + 2 b - 8 = 0
sea
efecto:
del r e s i d u o , t e n e m o s ,
que
24-8 + 2b-8 = 0¿=? 2b+8 = 0 < M > 2 b = - 8
b= - 4 .
Utilizando
3
-2
b
-8
6
8
1 6 + 2b
4
8+b
3
Utilizando
escribir
división sintética
3Xi-2X2+bX-8=
2
b= - 4
indeterminados
podemos
como:
(X-2) ( A X 2 + B X + C ) =
L u e g o A = 3; B - 2 A = - 2 < = ; B - b = - 2
C=2x4+b=
|
8 + 2 b = 0 y asi
coeficientes
a f(x)
tenemos:
AX 3 + ( B - 2 A ) X2 + ( C - 2 B ) X - 2 C
B=4; C-2B = b<-7
8+b; - 2 C = -8<^> C= 4; l u e g o b = C - 8 y asi
b= - 4
- 33 -
10.2
H a l l a r el v/alor de las c o n s t a n t e s a , b , c , tal que
3
2
f ( x ) = X +aX + b X + c
sea d i v i s i b l e por X + l , X + 2 , y
que al d i v i d i r l o por X + 3
su residuo sea 20.
En
efecto:
Utilizando
el t e o r e m a del r e s i d u o t e n e m o s
que:
( - l ) 3 + a ( - l ) 2 + b ( - l ) + c = O í = i - 1 + a- b + c = 0 .
f(-l)=
f(-2) = (-2)3+a(-2)2-^b(-2)+c = 0
- 8 + 4 a - 2 b + c^0
f(-3)= ( - 3 ) 3 + a ( - 3 ) 2 + b ( - 3 ) + c = 2 0 ^ -27+9a-3b+c=20
La s o l u c i ó n d e l a n t e r i o r s i s t e m a es a = 1 6 , b = 4 1 ,
C = 26.
Utilizando
1
división sintética
a
b
- I - a+1
a-1
c
tenemos:
I -1
- b + a-1
b-a+1 c-b+a-l = 0
a
b
c
-2
-2a+4
- 2b+4 a- 8
a-2
b- 2a+4
] -2
c-2b+4a-8=0
a
b
-3
- 3a + 9
a- 3
b-3a+9
e
- 3b + 9a- 27
c-3b+9a-27=20
Y asi c - b + a - 1 = 0 , c - 2 b + 4 a - 8 = 0 , c - 3 b + 9 a - 2 7 = 2 0
C u y a s o l u c i ó n es a = 1 6 , b = 4 l , c = 2 6 .
-3
10.3
H a l l a r el v/alor de las c o n s t a n t e s a,b para que
f ( x ) = X 3 - 2 X 2 + a X + b sea d i v i s i b l e por
X2+X-2=(X-1)(X+2)
U t i l i z a n d o el t e o r e m a del r e s i d u o t e n e m o s
3
que:
2
f (l) = ( l ) - 2 ( l ) + a(l)+b=0<=> 1 - 2 + a+b = 0
f (-2) = (-2)3-2(-2)2+a(-2)+b=0«-8-8-2a+b=0
La s o l u c i ó n del s i s t e m a a n t e r i o r es:
Utilizando división sintética
"1
-2
a
b
1
-1
a-1
I
a-1
-2
I
a=-5 y b=6
tenemos:
| 1
a+b^UcT
6
-3
a+5=0
L u e g o t e n e m o s el s i s t e m a a + b - l = 0 y a + 5 = 0 , cuya
c i ó n es a = - 5 y b=6
Utilizando
3
coeficientes indeterminados
2
X - 2 X + aX+b=
2
3
solu-
tenemos:
2
(X +X-2) (AX+B)=AX +(A+B)X +(8-2A)X-2B
L u e g o A=l; A + 9 = - 2 ; B - 2 A = a ; - 2 B = b y así
este sistema obtenemos:
resolviendo
a = - 5 , b=6
10.4 D a d a la e c u a c i ó n p o l i n ó m i c a X 6 - 2 X J - 4 X 4 - 8 X 3 -77X'" +
9 0 X + 3 6 Q = 0 , s a b i e n d o que V ?
las
y 3i son r a i c e s , h a l l a r
demás.
En e f e c t o corno ÍS 1 es raíz
mo - 3 i ; luego
t a m b i é n lo es; asi
co-
(X-f5)(X + V 5 ) ( X - 3 i ) ( X + 3i) son f a c t o r e s
la e c u a c i ó n es d e c i r , p o d e m o s e s c r i b i r
6
X -2X^-4X -8X3-
77X2+90X+360=(X-f5)(X+/5)(X-3i)(X+3i)xq(X)
- 35 -
de
4
donde
Q(X)
*
ó
5
A
3
de g r a d o dos; m a s aún X - 2 X - 4 X - 8 X -
es un p o l i n o m i o
2
2
2
4
2
7 7 X + 9 0 X + 3 6 0 = ( X - 5 ) ( X + 9) xU (X) = ( X + 4 X - 4 5) xQ (X) , l u e go p o d e m o s h a l l a r Q ( x ) d e la forma
X
6
-2X
5
_x6
0
- 2X
2X
5
-4X
4
-4X
4
-8X4
-QX
-8X
8X
-8X4
8X
-77X2
45X
5
0
3
3
- 32X
siguiente:
4
+90X + 3 6 0
2
2
3
2
|x +4X -45
Z
X -2X-8
+ 90X + 360
-90X
0
- 32X
4
32X
0
2
2
0
+ 360
-360
0
0
Y a s í Q ( X ) = X 2 - 2 X - 8 = ( X - 4 ) ( X + 2 ) y las d e m á s r a i c e s
son
4 y -2
E s t e p r o b l e m a se p u e d e
resolver
sintética o coeficientes
utilizando
división
indeterminados.
A N A L I S I S DI A L G U N A S . F U N C I O N E S P O L I fJOÍ'il AL LS Y SUS
11.1
GRAULO
F u n c i ó n p o l i n o m i a l de g r a d o c e r o :
f(X) = a, a¿0
a número
r e a l e s y re-
real; dominio los números
corrido
es [a^j
Ejemplo
11.1.1
f(X)=2
Ejemplo
11.1.2
f(x)=-3
Ejemplo
f (x) =
11.1.3
Í T
- 36 -
L a s g r a f i c a s de l a s f u n c i o n e s a n t e r i o r e s se
en las f i g u r a s
observan
siguiuntes:
V
f(0 = 2
Jl
""^(xjsVÉ1
¥
-i
11.2 Función polinomial
una linea
¿L
de p r i m e r g r a d o :
a,b números reales.
X
f(x)=ax+b,
a¿0
Su r a í z es - b / a y su g r á f i c a
r e c t a , el c o e f i c i e n t e
p e n d i e n t e de la r e c t a .
de la X se l l a m a
es
la
A n a l i c e m o s los s i g u i e n t e s
ca-
sos:
11.2.1
a=l, b=0,
f(x)=x, llamada también
función
idéntica.
11.2.2
a^O, b=0,
f ( x ) = a x , r e c t a s que p a s a n por
a¿0, b^Q,
f(x)=ax+b,
el
origen.
11.2.3
rectas.
S u s g r á f i c a s p a r a a l g u n o s c a s o s p a r t i c u l a r e s se observ a n en la f i g u r a
siguiente:
- 37 -
Y=
X+s
Y = - x1- 5
11.3
F u n c i ó n p o l i n o m i a l de g r a d o dos o f u n c i ó n
f(x)=ax +bX+c, a/Q, a , b , c números
cuadrática:
reales.
Su
es una p a r á b o l a que se a b r e h a c i a a r r i ü a , si
h a c i a a b a j o si a < 0 .
S u s r a i c e s se e n c u e n t r a n
zancio la f o r m u l a ,
-b i ^ b ^ a c
< s i
b
2_
gráfico
a y 0
4 a c < 0
y
utiliL a s
X =
raices
2a
son i m a g i n a r i a s y su g r á f i c o
no corta al eje X;
si b " - 4 a c = Q , las r a i c e s son r e a l e s e i g u a l e s y su grar
2
fico t i e n e su v é r t i c e en el eje X; si b " - 4 a c 7 Q , las
r a i c e s son r e a l e s y d i s t i n t a s y su g r á f i c o c o r t a al
X en d o s
eje
puntos.
El d o m i n i o da la f u n c i ó n c a d r á t i c a es el c o n j u n t o
n ú m e r o s r e a l e s y el r e c o r r i d o
- 38 -
es;
de los
v
^ ^ac - b
'
4a
v <
N
*
- b
2
si
a> O
si
a < O
4a
En efecto p a r a h a l l a r el r e c o r r i d o lo h a c e m o s de la
siguiente
y así
X =
:
Y = aX
2
+ bX + c<—-> a X
2
+ bX + c -
forma
Y = 0
—b-*Y b - 4 a ( c - Y ) '
—-—^a
;luego p a r a que X esté d e f i n i d a
2
d e b e t e n e r s e que b -¿+a( c-Y)>y
l+aY} i+ac-b 2 y a s í
y
?
2
, es d e c i r , b -¿+ac+¿faY ^ o
">
2
2
¿+ac
"b,
si a > &
y Y
si a < ü
4a
ka
0
A n a l i c e m o s los s i g u i e n t e s casos :
o
11.3.1
b=c=0 , f ( X ) = a X , llamada f u n c i ó n P o t e n c i a l .Un bosq u e j o de su g r á f i c o para a l g u n o s v a l o r e s de a se m u e s t r a
la f i g u r a s i g u i e n t e :
Y
- 39 -
en
11.3.2
b=o,c¿o, f (X^aX'+C.Su
gráfico p a r a algunos caso:
p a r t i c u l a r e s se o b s e r v a n en la figura
siguiente
Y
2
11.3.3
b ^ o , c = o , f(X)=aX + b X . S u g r á f i c o se o b s e r v a en la
f i g u r a s i g u i e n t e para a l g u n o s v a l o r e s de a y b
Y
- bo -
2
1 1 . 3 . 4 b¿o, c?ío,f(x) = a X + b X + c . S u g r á f i c o para
v/alores de a , b , c se o b s e r v a n en la figura
algunos
siguiente
11.4 Funcio'n p o l i n o m i a l de grado t r e s . E s una e x p r e s i ó n
3
de
2
la forma f ( X ) = a X +bX + c X + d , a / o , a , b , c , n ú m e r o s
S u g r á f i c o para a l g u n o s v a l o r e s de a , b , c , d
- Z+1 -
reales.
se o b s e r v a n
Y
1 1 . b F u n c i ó n p o l i n o m i a l de g r a o o c u a t r o . Es una
a
3
2
expresión
de la forma f(*)=aX +bX +cX +d X + e , a¡to , a , b, c, d , e son
c o n s t a n t e s . Su g r á f i c o para a l g u n o s v a l o r e s de
c , d , e se o b s e r v a n en las f i g u r a s
- 42 -
siguientes:
a,b,
Y
Y
1 1 . 6 F u n c i ó n p o l i n o m i a l de graoo c i n c o . Es una
de la forma f ( X ) = a X 5 + b X 4 + c X 3 + d X 2 + e X + q , a ? o
expresión
a,b,c,d,e,
q son n ú m e r o s r e a l e s . Su g r á f i c o para a l g u n o s
se o b s e r v a n
en las f i g u r a s
siguientes:
valeres
-
-
F u n c i o n e s R a c i o n a l e s . Son f u n c i o n e s d e f i n i d a s por
expresión
mios
f(A)s
p
(x|
» d o n d e P ( X ) y Q ( x ) son
la
polino-
.
f ( x ) es el c o n j u n t o de loa. n ú m e r o s
El d o m i n i o de
rea-
les t a l e s que Q (X)j¿0.
P a r a h a c e r las g r á f i c a s de a l g u n a s f u n c i o n e s
es c o n v e n i e n t e d e f i n i r l a s
racionales
asíntotas.
S e d i c e que la r e c t a X = a es una a s í n t o t a v e r t i c a l
la g r a f i c a de f ( x ) si por lo m e n o s uno de los
dos s i g u i e n t e s
es
ue
enuncia-
verdadero:
lim f ( x ) = + a > , l i m f (X) = -a) ,lim f ( x ) = * a > , l i m r ( x ) = - a >
X-*a +
X-aX-a"
X-a*
Se d i c e que la r e c t a Y = d es una a s í n t o t a h o r i z o n t a l
la g r a f i c a de f ( x ) si por lo m e n o s uno de los
siguientes
es
de
enunciados
verdadro:
lim f ( X ) = b y p a r a a l g ú n n ú m e r o N , f ( X ) ^ b s i e m p r e que
X>N
X-9 +00
lim
f ( x ) = b y p a r a a l g ú n n ú m e r o N,f(x)<¿b s i e m p r e que
- CO
Si lim
=a y lim
( f ( x ) - a x ) = b e x i s t e n , d e c i m o s q u e la
r e c t a Y = a X + b es una a s í n t o t a
Ejemplo
X<N
oblicua.
12.1
f ( x ) = ~ , lim f ( x ) = + « , l i m f ( X ) = - ® , l i m
X-0
+
X-0"
- 45 -
X—+CO
f(X)»Oflim
X-»-®
f(X)= 0
y así X = 0 es una a s í n t o t a vertí cal y Y=-0 es una
asíntota
horizontal.
El D f
gura
= (-a>, 0)ü(0,+co)=R f . Su g r á f i c o se o b s e r v a en la fisiguiente:
Y
E j eniplo
» f(X)=
12.2
lim
f(X)»co
lim
f ( x ) = «•<*> , l i m
x-^-0-
f(x)=
X-^i®
y así X = 0 es a s i n t o t a v e r t i c a l , Y = 0 a s i n t o t a
El D f
gura
=(-©,0)U(0,+®)
.Su g r á f i c o
siguiente;
-
b6
O
horizontal.
se o b s e r v a en la fi-
Y
f(X)= yi , a s í n t o t a v e r t i c a l X ^ o , a s í n t o t a
Df
=(~®,0)U(0,+©)=RSu
Ejemplo
f v(X)- ^
horizontal
g r á f i c o se o b s e r v a en la
Y=o
figura
12.4
-
1
rx-i)(x+i).
-
W?
T i e n e como a s i n t o t a s
-
verticales
X = i 1 y corno a s í n t o t a s
horizontales
Y = 0.
El
dominio
es el c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s d i f e r e n t e s
y p a r a h a l l a r el r e c o r r i d o h a c e m o s lo
2
Y=
2
siguiente:
2
Y X - Y = 1 < = 7 YX =Y+1<==? X =
X -1
V
Y+1
l u e
to s o l u c i ó n
9°
es:
-p-?
— — — _ _
la
figura
»
—<==•">
Y (Y+l ) £ O . c u y o
siguiente:
.
+ +
En
i
|+
conjun-
efecto,
-f. + +
— --I-4--K-V-4-
..
..
i
de los d o s
señalados.
4- -4--+.-i-
——
1
El p r o d u c t o
0
(-<D,~Í}U (0, +<D) =R
i
— - - 4-
n|+i
terualos
Y
Y+l
—Y—»
Y
deíl,
El
f a c t o r e s es p o s i t i v o
en los
g r á f i c o de f (X) se o o s e r v a
inen
Ejemplo
12.5
= 1
»
1+ X
t i e n a a s í n t o t a s v e r t i c a l e s ; Y = 0 es una
2
asíntota horizontal.
les y R f -
(0,1]
al e j e m p l o
D^ es el c o n j u n t o de números
, el cual se c a l c u l a en forma
a n t e r i o r . Su g r á f i c o se o b s e r v a en la
siguiente
v Ejemplo
rea-
analoga
figura
y
12.6
2
X
f(X)=—~
X +1
.
no t i e n e a s í n t o t a s v e r t i c a l e s , su asírito-
ta h o r i z o n t a l es Y = l .
D ^ es el c o n j u n t o de los
reales y R^ =
Su g r á f i c o se o b s e r v a en la fi-
[[0,1).
- 49 -
números
Ejemplo
f(X) -
12.7
X
a s í n t o t a s v e r t i c a l e s X » l , X= - 2
(X-l)(X+2)
es el c o n j u n t o de los n ú m e r o s r e a l e s d i f e r e n t e s de 1 y
- 2 ; Rp los n ú m e r o s r e a l e s .
figura
Su g r á f i c o se o b s e r v a en la
v
siguiente:
-y X
Ejemplo
f(x) =
12.8
X2-9
No T i e n e como a s í n t o t a v e r t i c a l X = 3 , no
X- 3
tiene asíntotas horizontales.
Dp el c o n j u n t o de los
ros r e a l e s d i f e r e n t e s de 3 y R p el c o n j u n t o de los
r e a l e s d i f e r e n t e s de 6 . Su g r á f i c o se o b s e r v a en la
siguiente;
»
- 50 -
X
núme-
números
figura
v Ejemplo
12.9
(X2+3X-4)
(X2-9)
(X+4) (X-l)
(X
+ 3) (X-3)
f(X) =
X-L,
2
( X + x - 1 2 ) (X + 3)
- 4 , 3, - 3 .
(X+4) (X-3) (X + 3)
D ^ es el c o n j u n t o de los n ú m e r o s reales di-
f e r e n t e s de - 4 , 3 , - 3 . y R ^ es el c o n j u n t o de los
r e a l a s d i f e r e n t e s de 2, - 4 , - b .
13.
Funciones
Su g r á f i c o se o b s e r v a
Irracionales:
U n a f u n c i ó n Y= f(X)
un n ú m e r o
para la cual se e x p r e s a
finito de o p e r a c i o n e s a l g e b r a i c a s
tes r a c i o n a l e s no e n t e r o s , se llama F u n c i ó n
Ejemplo
f (x) =
números
mediante
con exponenIrracional.
13.1
nHT,
D
la r i g u r a
f~
R
f=[°,+C0)
siguiente:
- 51 -
s u
f
J r áFico se o b s e r v a en
X/
Ejemplo
13.2
f ( x ) = XV 3 .
Ejemplo
0^=
los números reales.
Su g r á f i c o
se
13.3
2/3
f (X) = X
.
R
•
f=
D „ es el c o n j u n t o de los n ú m e r o s r e a l e s , y
S u
9
r a f i c o
s
e o b s e r v a en la fiqura
Y
- 52 -
siguiente:'
¿jemplo
13.4
f ( X ) = \/X(X-in
. £ l d o m i n i o es el c o n j u n t o s o l u c i ó n de
la d e s i g u a l d a d X ( X - 2 ) 7 , 0 que es ( - » , 0 ) U ( 2 , +<»; ; y el
r e c o r r i d o es el i n t e r v a l o
. U n b o s q u e j o de su grá-
f i c o se observa en la f i g u r a s i g u i e n t e :
1
¿jemplo
13.5
2
X
f(X)= r~j==i
• A s í n t o t a s v e r t i c a l e s X»±l,tiene
x
Y
-1
o b l i c u a s que se c a l c u l a n a s í :
/x\
f
lim - ^
asíntotas
y
2
- = lim Z\1
> =1
2 - , - xvi) = n lim
x ^ - x ^ T 1
¡ „
y lim (f(X)-XJ= lin/vffe~7
+e0
X-^+TO
/
V-» v FX —
3 T
2
2
X
¿^ Zf
lim (XA" -X
-Ï+X
../) „ » V ».
—-.=0 y a s í
+X—)
» l lim
im
— ~/ —" —
«
*
Y=X es a s í n t o t a o b l i c u a
.De forma a n á l o g a se demuestra
Y = - X es t a m b i é n a s í n t o t a oblicua
se o b s e r v a en la f i g u r a
siguiente
- 53 -
que
.Un b o s q u e j o de su g r á f i c o
14.
F u n c i ó n p a r t e e n t e r a de
X.
S e d e f i n e c o m o el m a y o r e n t e r o m e n o r o i n u a l que
S e n o t a por [ x ] , V e a m o s a l g u n a s
ilustraciones:
[2.23] = [2.45] =
[2.57]
= ( 2 . 999] = 2
Lo. 2 5 ]
[0.47J
=
=
[0.36]
=
t-l.l] =
1-1.4") =
14.1 Alnunas
gráficas
14.1.1
(-1.8] =
f(x)=[x].
[0. 956]
=
f u n c i o n e s de
c l a s e h a c e m o s s i e m p r e el s i g u i e n t e
S i 2í X v3 e n t o n c e s
entonces
[ x ] = 2 ; si 3 S <X<4 e n t o n c e s
Si ~1$X<0 entonces
[x]=n; n C
C x ] = - 1 ; si - 2 < X < 1
Si - 3 ¿ X < - 2 entonces
esta
análisis:
[x"] = 0 ; S i U X < 2
si n ^ X ^ n + 1 e n t o n c e s
(,X]=-(n+l);
0
t-1.99] = - 2
Para graficar
Si 0 $ X < 1 . entonces
^.x]=l;
[x] = 3;
T
entonces
t.X]=-3; . . . s i - ( n + l )%< X < - n
Hx]=-2;
entonces
nel; l u e g o el d o m i n i o de f ( x ) es al
to de los n ú m e r o s r e a l e s y el r e c o r r i d o
-
-
X.
los
conjun-
enteros.
Un b o s q u e j o de su g r a f i c a se o b s e r v a en la
figura
siguiente:
-l
-9 *
f(x) = Jjj. 5 i
< L » e s d e c i r , si 0 ,< X < 2
r x~\
x
e n t o n c e s \ — 1 = 0; si 1 ¿ — < 2 , es d e c i r , si 2 £ X < 4 enrxl
x
tonces
=1; si 2 ¿ j < 3, es d e c i r , si 4 ^ X < 6 enton-
14.1.2
ces
í f
si 3^.- < 4 , es d e c i r , si 6 ^ X < 8
entonces
3 • • •> •
x
fxl
si - 1 ¿ — < 0 , e s , d e c i r , si - 2 ¿ X < 0 e n t o n c e s | - | = - 1 ;
e s
si
si
X
d e c i r , si - 4 ¿ X < - 2
< - 2 , es d e c i r , si - 6 ¿ X < - 4
entoncesj^j=-2;
entonces
T i e n e por d o m i n i o los n ú m e r o s reales y por
los
fX1
l-l=-3..
recorrido
enteros.
Un b o s q u e j o de la g r á f i c a se o b s e r v a en la figura
siguiente:
- 55 -
14.1.3
f(X)=ÍM
Si O ^ X < 1 e n t o n c e s \¡ [x] = f 7 = 0 ;
si 1 < X < 2 e n t o n c e s
= f T =1} si 2 < X i 3 e n t o n c e s f [ x y
=\T?; si 3 ¿ X 4 4
e n t o n c e s ^ I X T =V~3; si 4 < X < 5 entonces^J^xf =\Í¿T. .. si
n U
Df
< n + l e n t o n c e s ^ [X]' =fn;
=[Q,+OD);
RF
ncZ*.
= {yñ»/n € NJ-
Un b o s q u e j o de su g r á f i c a se o b s e r v a en la figura
guiente:
5
3
-
%
-
si-
14.1.4
.
5i 0<fT<l,
es d e c i r , si 0 ¿ X < 1
,
l í í r x < 2 , es d e c i r , si 1 4 X < 4
es d e c i r , si 4 ¿ X < 9
1
3 < f X < 4 , es d e c i r , si 9 ¿ X < 1 6
D^,
ento nces \ p } } =0;
entonces^]
=1;
si
e n t o n c e s [VT] =2;
si
entonces [H?)
Rp es el c o n j u n t o de los e n t e r o s
y el
si
=3...
positivos
cero.
Un b o s q u e j o
de su g r á f i c o
se o b s e r v a en la f i g u r a
si-
guiente:
14.L5
f(x)=
si D < . H 1
ces
X-[X]
entonces
[ X ] = 0 y a s í f (X) = X ; si 1 < X ¿ 2
[x~\ =1 y así f ( X ) = X - l ;
si 2 ¿ X < 3
f ( x ) = X - 2 . . . si n ^ X < n+1 e n t o n c e s
si - 1 $ X < 0 e n t o n c e s
entonces
entonces
[x]=n y así
[x] =2 y a s í
f(x)=x-n.
[X] = - 1 y a s í f ( X ) = X + 1 ; si - 2 $ X < - 1
[ x ] = - 2 y a s í f ( x ) = X + 2; si - 3 < . X < - 2
[_X"J=-3 y a s í f ( x ) = x * 3 y a s í s u c e s i v a m e n t e .
entonces
Dp es el
j u n t o de los n ú m e r o s r e a l e s y R = [ 0 , Q . Su g r á f i c o
s e r v a en la f i g u r a
enton-
siguiente:
- 57 -
con-
se ob-
Y
Función Valor Absoluto
de X
S e nota p o r lX t y e s t á d e f i n i d a
como:
fx si X > 0
f (x) = \xl = | 0 si X = 0
(j-X si X < 0
por ejemplo:
estudiemos
15.1
[- 51 = 5 p u e s
\-5| = - ( - 5 ) = 5 ; | 2\ =2
a l g u n a s de sus p r o p i e d a d e s m a s
jX|;j,0.
Esto
importantes.
se d e d u c e d e l brecho de que si XfeR
entonces X < 0 o X ? 0 o X = 0
15.2
|X\2=X2
en e f e c t o :
.
X x X = Xw 2 si X 7 0
| x l 2 = l x \ l x l = {0x0=0
si X = 0
(-X)(-X)=X2
si X < 0
Luego
en los tres c a s o s se c u m p l e la
15.2
\/x
2
=Jx| .
do r a í z c u a d r a d a
igualdad.
En e f e c t o s a b e m o s que/x| 2 =x'~ y sacanobtenemos:
15.4
Ejemplo 15.3.1
V42
Ejemplo 15.3.2
\Z(~5)¿
- |X 1 N< X N< |X | .
D e m o s t r e m o s que X v< |X| y que - 1X1 < X .
En e f e c t o , s i
tonces
=U|=4
-l-5|-5
X>Q,[Xl=X
y así X $ | X h X
jX | =-X > 0 , pero X < 0
el o t r o caso h a c e r l o como
< - X = | Xl y a s í X <1 \ X | j
ejercicio
Ejemplo 15.4.1
- |6l s< 6 < \6l
Ejemplo
- \ r S \ <¡ - 5
15.4.2
\-5\.
»
15.5
; si X < 0 en-
.
P a r a c u a l q u i e r a de l o s n ú m e r o s r e a l e s X y b , d o n d e
jX^b
<.b
En e f e c t o :
Demostremos primero
entonces -b £ X $ b.
Además, - b ^ -
Como x^.|xl
que si b ^ O y
y
En s e g u n d o
lX|y - j Xj <. X , por lo que - b
En e f e c t o , si X
15.5
lX1 =-X y como - b ^ X , t e n e m o s que -X
con-
y
- b <» X ¿ b
IXI=X y
Si X < 0 enb; por
0.
Ejemplo 15.5.1
[X | < 5 ^ - 5 < X <
Ejemplo 15.5.2
\X-4l~4
\X+ Y | < j \ X \ + \ Y \
X^-b.
<« X . P o r
0 entonces
c o m o X < b t e n e m o s que l X ] < 4 b p a r a X y / 0 .
s i g u i e n t e , 1 X | < b para X <
b
b.
t é r m i n o d e m o s t r a m o s q u e si b >/ 0
entonces [Xl $ b,
l X |
< b, entonces
s i g u i e n t e si l X l ^ b e n t o n c e s - b < X £
tonces
b£0;
5
- 1 i X-4 ^ 1
L L a m a d a d e s i g u a l d a d triangular', d o n d e
X y Y son n ú m e r o s r e a l e s
cualquiera.
P a r a h a c e r la d e m o s t r a c i ó n s u m a m o s las
- 59 -
desigualdades,
con-
-1X1 < X < l x l ,
- \Y\ i Y < \Y\ y u t i l i z a m o s la p r o p i e d a d
d e m o s t r a d a en el n u m e r a l
E j e m p l o 15.6*1
Ejemplo
15.7
15.5.
\ 2— 3 \ <121 + 1-31
15.6.2
\ - 4 - 5 ) ¿ |-4[ + \-5 \
\XxY \ =lXj\Y\ , X f Y n ú m e r o s r e a l e s
En e f e c t o :
Por la p r o p i e d a d del numeral 1 5 . 2 t e n e m o s
\XxY\=\/ ( X x Y ) 2 - V F ^ - V ^ V T
15.9
cualquiera.
\ X-Y | = \X + -Y\
7
"
l * I M
-ÓT(X1+1y| X y Y n ú m e r o s reales
p a r a su d e m o s t r a c i ó n u t i l i z a m o s la d e s i g u a l d a d
En e f e c t o , \ X-Y \ « 1 X + ( - Y ) 1 4 |x\ + \ — V1 =\X\
15.10
G r á f i c a s de a l g u n a s F u n c i o n e s en V a l o r
15.10.1
f(x)=
1x1.
r e a l e s y R = ^0, -veo).
s e r v a en la figura
que
cualquiera
triangular
+ \Y|
Absoluto.
D f es el c o n j u n t o de los
números
Un b o s q u e j o de su g r á f i c o se ob-
siguiente.
Y
- 60 -
15.10.2
f(X) =|X-l|
x-l
f(X)=|X-l¡
0
si x - l > 0
si
-(X-l)
X= 1
-
<
si X - l < 0
D ^ es el conjunto de los números reales y R f = [^0, + cO).
Un bosquejo se observa en la figura siguiente :
15.10.3
f ( X ) = | X | -l
[X-l
f ( X ) =|X | - l
Df
= 1 -i
si
X7 0
si
X =0
l - X - 1 si
X< 0
,los n ú m e r o s reales y
). Un bosquejo de
su g r á f i c o se observa en la figura siguiente :
- 61 -
15.10.4
f ( X ) = |X-2|+ 3
fX-2 +3
f(x)=J
3
si
X-2 > 0
si
X =
[-(X-2) +3
Df
si
2
x+l
si
X 7 2
3
si
X =2
-
X-2 < 0
V.-X + 5
si
X< 2
es el conjunto de los números reales y R f = [ 3 , + C 0 )
Su g r á f i c o se o b s e r v a en la figura
siguiente.
Y
Z'1
X-
15.1Q.5
1-X'
f ( X ) = | l - X 2 j «<
f
r.1-X
si
si
X
< 1
si
X
= 1
si
X
71
o
si
X -1
si
1-X¿ 4 0
si
X £(-1,1)
si
X =11
si
X € (-0D , - l ) U (1, + CD)
1-X
2
s.X - 1
x
=1 z
- 62 -
X -1
—
D p es el c o n j u n t o de los n ú m e r o s r e a l e s y R
Un b o s q u e j o de su g r á f i c o
= ( 0 , + C0).
se o b s e r v a en la f i g u r a
siguien-
t e.
r
-t'-V
\
¡
¡M-*1
0
r -
t
U
V
Í
-l
>
15.10.6
f ( x ) = |X + H + X
=
X+l+X
si
X +17 0
X
si
X = -1
-(X+l)+X
Df
si
2X+1
z
X+l < 0
X
-1
si
X 7 -1
si
X=-l
si
X < -1
es el c o n j u n t o de los n ú m e r o s r e a l a s y R = [ - 1 , +co ).
U n b o s q u e j o de su g r á f i c o se p u e d e o b s e r v a r
ra s i g u i e n t e .
Y
T = IIT+L
-
6.5
-
en la
figu-
15.10.7
f(X)=|X+|X+l||
f|X + X + ll
si
X+ 1 > 0
IX |
si
X=-l
UX-(X+1)|
si
X+l < 0
f(x) =
|2*+1| si x ) - i
-
1X1
si X = - l
l-H
si X
I2X + 1I si
V.
pero;
f
si
2X + 1
si
12 X+l| =
1
Q
L - 2 X - I1
2X+170
2X+1
X =-1/
1
si
si
si X > - 1 / 2
0
si.2X+l<0
1
si X = - l / 2
-2X-1
si X 4.-1/2
1 uego
r
f(X)=
\2X+11
2 X + 1 si X > - l / 2
1
(
1
si X ( - 1
es el c o n j u n t o
Un b o s q u e j o
1
si
X—1
1
si
X <-1
de l o s n ú m e r o s
de su g r á f i c o
15.10.3
|x2-x | =
r e a l e s y R ,„= [f], + C O ) .
se o b s e r v a en la f i g u r a
-vT
f(X)-
r ( X?- l^f|(x 7, - l / ? ^
| X ( X - 1 ) | - \ X | Ix-il
- 6 i» -
siguiente.
si
|X|=<¡
l-X
X >/ O
X-1
y
si
si
X 7 1
| X-11 =
X<
si X < 1
V -(X-L)
S o b r e una recta m a r q u e m o s los p u n t o s d o n d e cada valor
absoluto
se anula y e s t u d i é m o s l o s
en cada i n t e r v a l o
.
P a r a n u e s t r o e j e m p l o t e n e m o s que se a n u l a n en X = 0 , X = 1
y
así;
i
-
I a-il =
1
t
3 = |x| |*-i|s*í*-0
>
i
X- y} s¿
X <0
1
X u* ¥ ¿ *
luego,
si
f(x) =
si
si
X < 0
X < 1
x?/ir
D ^ es el c o n j u n t o de los n ú m e r o s reales y R = [ü, + ¿o). Su
gráfico
se o b s e r v a en la figura
r
- 65 -
siguiente.