Programa del Diploma Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas Para su uso durante el curso y en los exámenes Primeros exámenes: 2014 Edición de 2015 (2.a versión) © Organización del Bachillerato Internacional, 2012 5050 Índice Conocimientos previos 2 Tronco común 3 Unidad 1: Álgebra 3 Unidad 2: Funciones y ecuaciones 4 Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría 4 Unidad 4: Vectores 5 Unidad 5: Estadística y probabilidad 6 Unidad 6: Análisis 8 Unidades opcionales 10 Unidad 7: Estadística y probabilidad 10 Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 3 Unidad 8: Conjuntos, relaciones y grupos 11 Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 4 Unidad 9: Análisis 11 Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 5 Unidad 10: Matemática discreta 12 Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 6 Fórmulas para las distribuciones 13 Unidades 5.6, 5.7 y 7.1, y unidad 3.1 de Ampliación de Matemáticas NS Distribuciones discretas 13 Distribuciones continuas 13 Ampliación de Matemáticas 14 Unidad 1: Álgebra lineal 14 Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 1 Fórmulas Conocimientos previos Área del paralelogramo A= b × h , siendo b la base y h la altura Área del triángulo = A 1 (b × h) , siendo b la base y h la altura 2 Área del trapecio = A 1 (a + b) h , siendo a y b los lados paralelos y h la altura 2 Área del círculo A = πr 2 , siendo r el radio Longitud de la circunferencia C = 2πr , siendo r el radio Volumen de la pirámide = V 1 ( área de la base × altura ) 3 Volumen del ortoedro V = l × a × h , siendo l el largo, a el ancho y h la altura Volumen del cilindro V = πr 2 h , siendo r el radio y h la altura Área lateral del cilindro A= 2πrh , siendo r el radio y h la altura Volumen de la esfera V= 4 3 πr , siendo r el radio 3 Volumen del cono V= 1 2 πr h , siendo r el radio y h la altura 3 Distancia entre dos puntos ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) d= Coordenadas del punto medio de un segmento de recta que tiene por extremos ( x1 , y1 ) y x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 ( x2 , y2 ) Soluciones de la ecuación cuadrática Las soluciones de ax 2 + bx + c = 0 son x = Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas −b ± b 2 − 4ac . 2a 2 Tronco común Unidad 1: Álgebra 1.1 Término enésimo de una progresión aritmética un = u1 + (n − 1) d Suma de n términos de una progresión aritmética S n= Término enésimo de una progresión geométrica un = u1r n −1 n n ( 2u1 + (n − 1) d )= (u1 + un ) 2 2 Suma de los n términos u1 (r n − 1) u1 (1 − r n ) , r ≠1 = S = de una progresión n r −1 1− r geométrica finita 1.2 Suma de una progresión geométrica infinita S∞ = Potencias y logaritmos a x = b ⇔ x = log a b , donde a > 0, b > 0, a ≠ 1 u1 , r <1 1− r a x = e x ln a log a a x= x= a loga x log b a = log c a log c b Combinaciones n n! = r r !(n − r )! Permutaciones n P = n! r (n − r )! Teorema del binomio n n (a + b) n = a n + a n −1b + + a n − r b r + + b n 1 r 1.5 Números complejos z =a + ib =r (cos θ + isenθ ) =reiθ =r cisθ 1.7 Teorema de de Moivre [ r (cosθ + isenθ )] 1.3 n = r n (cos nθ + isen nθ ) = r n einθ = r n cis nθ Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 3 Unidad 2: Funciones y ecuaciones 2.5 Eje de simetría del gráfico de una función cuadrática f ( x) =ax 2 + bx + c ⇒ eje de simetría x =− 2.6 Discriminante ∆= b 2 − 4ac b 2a Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría 3.1 3.2 Longitud del arco l = θ r , siendo θ el ángulo medido en radianes y r el radio Área del sector circular 1 A = θ r 2 , siendo θ el ángulo medido en radianes y r el radio 2 Identidades Relación fundamental tanθ = senθ cos θ secθ = 1 cos θ cscθ = 1 senθ sen 2θ + cos 2 θ = 1 1 + tan 2θ = sec 2 θ 1 + cotan 2θ = csc 2θ 3.3 Fórmulas de la suma y diferencia de dos ángulos sen ( = A ± B ) sen A cos B ± cos A sen B cos ( A ± B ) = cos A cos B sen Asen B tanA ± tanB tan ( A ± B ) = 1 tanA tanB Fórmulas del ángulo doble sen2θ = 2senθ cos θ cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ tan2θ = 2tanθ 1 − tan 2θ Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 4 3.7 Teorema del coseno c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C = Teorema del seno a b c = = sen A sen B sen C Área del triángulo 1 A = ab sen C 2 a 2 + b2 − c2 2ab Unidad 4: Vectores v1 v + v2 + v3 , siendo v = v2 v 3 4.1 Módulo de un vector v = 2 1 2 2 Distancia entre dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 ) d= Coordenadas del punto medio de un segmento de recta que tiene por extremos ( x1 , y1 , z1 ) y x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 , , 2 2 2 ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2 ( x2 , y2 , z2 ) 4.2 Producto escalar v⋅w = v w cos θ , siendo θ el ángulo formado por v y w w1 v1 v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3 , siendo v = v2 , w = w2 w v 3 3 4.3 v1w1 + v2 w2 + v3 w3 v w Ángulo entre dos vectores cos θ = Ecuación vectorial de una recta r = a + λb Forma paramétrica de la ecuación de una recta x =+ x0 λ l , y =+ y0 λ m, z =+ z0 λ n Ecuaciones cartesianas de una recta x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 5 v2 w3 − v3 w2 w1 v1 v ×= w v3 w1 − v1w3 , siendo v = v2 , w = w2 v w −v w v w 1 2 2 1 3 3 4.5 Producto vectorial v×w = v w senθ , siendo θ el ángulo formado por v y w = A Área del triángulo 4.6 1 v × w donde v y w forman dos lados del triángulo 2 Ecuación vectorial de un plano r = a + λb + µ c Ecuación de un plano (usando el vector normal) r ⋅n =a⋅n Ecuación cartesiana de un plano ax + by + cz = d Unidad 5: Estadística y probabilidad 5.1 Parámetros de población Sea n = k ∑f i =1 i k Media µ µ= ∑fx i i i =1 n k Varianza σ 2 k 2 i i 2 = i 1 =i 1 = σ ∑ f (x − µ) = n k 5.2 5.3 ∑ f (x i i − µ) ∑fx i i n 2 − µ2 2 Desviación típica σ σ= Probabilidad de un suceso A P( A) = Sucesos complementarios P( A) + P( A′) = 1 Sucesos compuestos P( A ∪ B )= P( A) + P( B ) − P( A ∩ B ) Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes P( A ∪ B )= P( A) + P( B ) i =1 n n( A) n(U ) Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 6 5.4 5.5 P ( A B) = Sucesos independientes P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B) Teorema de Bayes P ( B | A) = P ( B) P ( A | B) P ( B ) P ( A | B ) + P ( B′) P ( A | B′) P ( Bi | A) = P ( Bi ) P ( A | Bi ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B2 ) + P ( B3 ) P ( A | B3 ) Valor esperado de una variable aleatoria discreta X E(X = ) µ= ∑ x P ( X= Valor esperado de una variable aleatoria continua X E(X = ) µ= ∫ ∞ −∞ x) x f ( x) dx Varianza Var ( X ) = E ( X − µ ) 2 = E ( X 2 ) − [ E (X ) ] Varianza de una variable aleatoria discreta X Var ( X ) = x) = x) − µ 2 ∑ ( x − µ )2 P ( X = ∑ x2 P ( X = 2 ∞ ∞ −∞ −∞ Varianza de una variable aleatoria continua X 2 2 2 Var ( X ) = ∫ ( x − µ ) f ( x) dx = ∫ x f ( x) dx − µ Distribución binomial n X ~ B (n , p ) ⇒ P ( X == x) p x (1 − p ) n − x , x = 0,1, , n x Media E ( X ) = np Varianza Var (= X ) np (1 − p ) Distribución de Poisson m x e− m X ~ Po (m) ⇒ P( X == x) , x= 0,1, 2, x! Media E(X ) = m Varianza Var ( X ) = m Variable normal tipificada o estandarizada z= 5.6 5.7 P ( A ∩ B) P ( B) Probabilidad condicionada x−µ σ Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 7 Unidad 6: Análisis 6.1 6.2 dy f ( x + h) − f ( x ) = f ′( x)= lim 0 h → dx h Derivada de f ( x) y = f ( x) ⇒ Derivada de x n f ( x) = x n ⇒ f ′( x) = nx n −1 Derivada de sen x f ( x) =sen x ⇒ f ′( x) =cos x Derivada de cos x f ( x) =⇒ cos x f ′( x) = −sen x Derivada de tan x f ( x) =tan x ⇒ f ′( x) =sec 2 x Derivada de e x f ( x) = e x ⇒ f ′( x) = ex Derivada de ln x 1 f ( x) = ln x ⇒ f ′( x) = x Derivada de sec x f ( x) =sec x ⇒ f ′( x) =sec x tan x Derivada de csc x −csc x cotan x f ( x) =⇒ f ′( x) = csc x Derivada de cotan x f ( x) = cotan x ⇒ f ′( x) = −csc 2 x Derivada de a x f ( x) = a x ⇒ f ′( x) = a x (ln a ) Derivada de log a x f ( x) = log a x ⇒ f ′( x) = 1 x ln a Derivada de arcsen x f ( x)= arcsen x ⇒ f ′( x)= 1 Derivada de arccos x 1 f ( x) = arccos x ⇒ f ′( x) = − 1 − x2 Derivada de arctan x f ( x)= arctan x ⇒ f ′( x)= Regla de la cadena y = g (u ) , siendo u = f ( x) ⇒ Regla del producto y =uv ⇒ Regla del cociente du dv v −u u dy y= ⇒ = dx 2 dx v dx v 1 − x2 1 1 + x2 dy dy du = × dx du dx dy dv du =u + v dx dx dx Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 8 6.4 Integrales inmediatas x n +1 + C , n ≠ −1 n +1 n dx ∫x= 1 dx ∫ x= ln x + C − cos x + C ∫ sen x dx = x dx ∫ cos = ∫e sen x + C d= x ex + C x a dx ∫= x 1 x a +C ln a 1 1 x = ∫ a 2 + x 2 dx a arctan a + C ∫ 6.5 6.7 x dx= arcsen + C , a a −x 1 2 2 b b a a Área bajo una curva A = ∫ y dx o bien A = ∫ x dy Volumen de revolución (rotación) V = ∫ πy 2 dx o bien V = ∫ πx 2 dy Integración por partes ∫ u dx d=x b b a a dv uv − ∫ v x <a du dx o bien ∫ u d= v uv − ∫ v du dx Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 9 Unidades opcionales Unidad 7: Estadística y probabilidad Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 3 7.1 (3.1) Función generatriz de probabilidad para una variable aleatoria discreta X (X ∑ P= G = (t ) E= (t x ) x )t x x E ( X ) = G ′(1) Var ( X ) = G ′′(1) + G ′(1) − ( G ′(1) ) 7.2 (3.2) Combinaciones lineales de dos variables aleatorias independientes X 1 , X 2 7.3 (3.3) Estadísticos muestrales 2 E ( a1 X 1 ± a2 X 2 )= a1E ( X 1 ) ± a2 E ( X 2 ) X 2 ) a12 Var ( X 1 ) + a2 2 Var ( X 2 ) Var ( a1 X 1 ± a2 = k ∑fx x= Media x i i i =1 n k Varianza sn2 k 2 i i 2 i 1 =i 1 = n ∑ f (x = s − x) = n k sn = Desviación típica sn Estimación sin sesgo de la varianza de la población sn2−1 7.5 (3.5) 7.6 (3.6) ∑ f (x i i =1 i ∑fx i i n 2 − x2 − x )2 n k k 2 i i 2= 2 i 1 =i 1 n −1 n n = = s s n −1 ∑ f (x − x) = n −1 ∑fx i i n −1 2 − n 2 x n −1 Intervalos de confianza Media, con varianza conocida x ± z× Media, con varianza desconocida x ±t× σ n sn −1 n Estadísticos de contraste Media, con varianza conocida z= x −µ σ/ n Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 10 Media, con varianza desconocida 7.7 (3.7) t= x −µ sn −1 / n n Coeficiente de correlación momento-producto de Pearson r= Estadístico de contraste para H0: ρ = 0 t=r ∑x y i =1 i i − nx y n n 2 2 2 2 − x nx ∑ ∑ i yi − n y 1 i −1 i = n−2 1− r2 n xi yi − nx y ∑ Ecuación de la recta de ( y − y) = x − x i =1n regresión de x sobre y 2 2 ∑ yi − n y i =1 n xi yi − nx y ∑ Ecuación de la recta de (x − x ) = y − y i =1n regresión de y sobre x 2 2 ∑ xi − nx i =1 Unidad 8: Conjuntos, relaciones y grupos Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 4 8.1 (4.1) Leyes de de Morgan ( A ∪ B )′ =A′ ∩ B′ ( A ∩ B )′ =A′ ∪ B′ Unidad 9: Análisis Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 5 9.5 (5.5) Método de Euler xn + h , siendo h una constante yn += yn + h × f ( xn , yn ) ; xn += 1 1 (tamaño de paso) Factor integrante para y ′ + P ( x) y = Q( x) e∫ P ( x )dx Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 11 9.6 (5.6) x2 f ′′(0) + 2! Serie de Maclaurin f ( x) =f (0) + x f ′(0) + Serie de Taylor f ( x)= f (a ) + ( x − a ) f ′(a ) + Aproximaciones de Taylor (con término complementario Rn ( x) ) f ( x= ) f (a ) + ( x − a ) f ′(a ) + ... + Rn ( x) Expresión de Lagrange = Serie de Maclaurin para funciones especiales ( x − a ) 2 ′′ f (a ) + ... 2! ( x − a)n ( n ) f (a ) + Rn ( x) n! f ( n +1) (c) ( x − a ) n +1 , donde c se encuentra entre a y x (n + 1)! e x =1 + x + x2 + ... 2! ln (1 + x) =x − x 2 x3 + − ... 2 3 sen x =x − x3 x5 + − ... 3! 5! cos x =− 1 x2 x4 + − ... 2! 4! arctan x =x − x3 x5 + − ... 3 5 Unidad 10: Matemática discreta Ampliación de Matemáticas NS: Unidad 6 10.7 (6.7) Fórmula de Euler para grafos planarios conexos v−e+ f = 2 , siendo v el número de vértices, e el número de aristas y f el número de caras Grafos conexos, grafos simples, grafos planarios e ≤ 3v − 6 para v ≥ 3 e ≤ 2v − 4 si el grafo no tiene triángulos Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 12 Fórmulas para las distribuciones Unidades 5.6, 5.7 y 7.1, y unidad 3.1 de Ampliación de Matemáticas NS Distribuciones discretas Distribución Notación Función general de probabilidad Media Varianza Geométrica X ~ Geo ( p ) pq x −1 1 p q p2 r p rq p2 Media Varianza µ σ2 para x = 1, 2, ... Binomial negativa X ~ NB(r , p ) x − 1 r x − r p q r − 1 para= x r , r + 1,... Distribuciones continuas Distribución Normal Notación X ~ N (µ , σ 2 ) Función densidad de probabilidad 1 x−µ σ 2 − 1 e 2 σ 2π Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas 13 Ampliación de Matemáticas Unidad 1: Álgebra lineal 1.2 Determinante de una matriz de orden 2 × 2 a b A= A = ad − bc ⇒ det A = c d Inversa de una matriz de orden 2 × 2 a b 1 d −1 A = ⇒ A= det A −c c d −b , ad ≠ bc a Determinante de una matriz de orden 3 × 3 a A= d g f d −b k g b e h c e f ⇒ det A= a h k Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de formulas f d +c k g e h 14