Teoría de Sistemas y Señales s K K

Teoría de Sistemas y Señales
Problemas Propuestos - Serie 6
Descripción: Diagrama de Bode y Estabilidad
1.
Dados los siguientes polinomios denominadores de Funciones Transferencias racionales, determine
si existen raíces en el eje imaginario o en el semiplano derecho.
a ( s ) = s 5 + 5s 4 + 11s 3 + 23s 2 + 28s + 12
7
6
5
4
3
2
b. a ( s ) = s + 8s + 21s + 10 s + 5s + 12 s + 6 s + 3
4
3
2
c. a ( s ) = s + 8s + 32 s + 80 s + 100
5
4
3
2
d. a ( s ) = s + 10 s + 30 s + 80 s + 344 s + 480
4
3
2
e. a ( s ) = s + 2 s + 7 s − 2 s + 8
3
2
f. a ( s ) = s + s + 20 s + 78
a.
2.
Hallar el rango de valores de K para el cual todas las raíces del siguiente polinomio están en el
semiplano izquierdo
a ( s ) = s 5 + 5s 4 + 10 s 3 + 10 s 2 + 5s + K
3.
Hallar el rango de valores de
K p y K I tal que el sistema con retroalimentación PI (Proporcional +
Integral) de la figura sea asintóticamente estable.
+
Kp +
KI
s
1
( s + 1)( s + 2)
_
4.
La ecuación diferencial que describe un motor de corriente continua con excitación independiente
constante, si se desprecia la inductancia de armadura, está dada por
ω ' (t ) +
Rb + k 2
k
1
ω (t ) =
u a (t ) − τ ( t )
RJ
RJ
J
(1)
ω (t ) , es la velocidad del motor, u a (t ) es la tensión de armadura, τ (t ) es el torque de carga,
R es la resistencia de armadura, J es el momento de inercia del rotor, k es la constante de
conversión electro-mecánica, y b es el coeficiente de rozamiento en el eje del motor.
Para regular la velocidad del motor respecto a una velocidad de referencia ω ref , se mide la
donde
velocidad del motor y se computa la tensión de armadura como una función del error
ε = ω ref − ω
de la siguiente forma
t
ua (t ) = k pε (t ) + k I ∫ ε (τ )dτ
0
a. Determinar el rango de valores de las ganancias
k p y k I para que el sistema con
retroalimentación sea asintóticamente estable. Suponga que los parámetros del motor asumen
valores tales que la ecuación diferencial (1) resulta
TeSyS
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ω ' (t ) + 60ω (t ) = 600ua (t ) − 1500τ (t )
b. Hallar la función transferencia entre la entrada
salida
ω.
c. Calcular los valores de las ganancias
ω ref y la salida ω , y entre la entrada τ y la
k p y k I para que el sistema en lazo cerrado tenga polos en
− 60 ± j 60 .
5.
6.
Trazar los Diagramas de Bode de Amplitud y Fase de los siguientes sistemas, y siempre que sea
posible determinar la frecuencia de cruce por cero, y la frecuencia para la cual la fase es -180°.
a.
G( s) =
b.
G( s) =
c.
G( s) =
d.
G( s) =
e.
G( s) =
f.
G( s) =
g.
G( s) =
h.
G( s) =
i.
G( s) =
j.
G( s) =
1
(s + 1) (s 2 + s + 4 )
s
(s + 1)(s + 10)(s 2 + 5s + 2500)
4 s (s + 10)
(s + 50)(4 s 2 + 5s + 4 )
10(s + 4 )
s (s + 1)(s 2 + 2 s + 5)
1000( s + 1)
s (s + 2 )(s 2 + 8s + 64 )
(s + 5)(s + 3)
s (s + 1)(s 2 + s + 4 )
4000
s (s + 40 )
100
s (1 + 0.1s )(1 + 0.5s )
1
s (1 + s )(1 + 0.02 s )
s −1
s (1 + s )(1 + 0.02 s )
2
La figura representa el Diagrama de Bode asintótico (de Amplitud) de un sistema lineal estacionario.
Determine y grafique la respuesta del sistema a un escalón unitario de entrada, asumiendo
condiciones iniciales nulas.
G ( jω )
10
1
0.1
1
7.
10
100
ω
1000
La función transferencia de un SLE es
G (s) =
A502 - TeSyS
ωn
2
s 2 + 2ξω n s + ω n
2
.
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Verificar que el Ancho de Banda
Bω del sistema se puede calcular como
Bω = ω n 1 − 2ξ 2 + 2 + 4ξ 4 − 4ξ 2 .
8.
La función transferencia de un SLE es
ωn s
2
G (s) =
s 2 + 2ξω n s + ω n
2
.
a. Determinar analíticamente la amplitud y fase de la transferencia armónica
función de la frecuencia normalizada
ω
ωn
, para
G ( jω ) , y graficarlas en
ξ = 0.1, 0.25 , 0.5 ,1 .
Bω como la distancia entre las frecuencias a ambos lados de ω n para
las cuales la amplitud cae 3 dB por debajo de su valor a la frecuencia ω n , mostrar que el ancho de
b. Si se define el ancho de banda
banda así definido está dado por
Bω =
9.
ξω n
.
π
En cada uno de los siguientes casos, trazar los Diagramas de Bode de amplitud y fase para K = 1 .
Determinar el rango de valores de K para que el sistema en lazo cerrado con retroalimentación
unitaria sea estable.
a.
KG ( s ) =
b.
KG ( s ) =
f.
KG ( s ) =
g.
KG ( s ) =
K ( s + 2)
s + 10
K
(s + 10)(s + 2 )2
K (s + 10 )(s + 1)
c. KG ( s ) =
(s + 100)(s + 2 )3
K (s + 1)
d. KG ( s ) = 2
s (s + 10 )
K (s + 1)
e. KG ( s ) =
s (s + 2 )
K
(s + 2 ) s 2 + 9
(
K (s + 1)
s 3 (s + 10 )
)
2
10. Trazar el Diagrama de Bode para el sistema de la figura, y determinar el rango de valores de
que el sistema sea estable, usando el criterio de Routh.
+
K para
1
s + 2s + 2
K
2
_
1
s +1
TeSyS
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11. La función transferencia en lazo abierto de un SLE es
 s

100 + 1
 10 
G (s) =

 s  s
s − 1
+ 1
 1  100 
a. Hacer un diagrama de Bode de amplitud y fase.
b. Indicar si el sistema en lazo cerrado con retroalimentación unitaria es estable.
12. Idem problema 11., para el sistema cuya FT en lazo abierto es
G (s) =
25(s + 1)
.
s (s + 2 ) s 2 + 2 s + 16
(
)
13. Dado el sistema representado en la figura
+
1
s −1
K
_
s+2
(s + 1)2 + 1
a. Determinar la estabilidad del sistema a lazo cerrado para todos los valores de
criterio de Routh.
b. Trazar el diagrama de Bode del sistema.
A502 - TeSyS
K , usando el
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