CURSO 2013/2014 FICHA BLOQUE 2. VECTORES 1. Dos vectores u y v cumplen que u 5, v 2 y u, v 45. Calcula: v 2u 3v u a) u b) Solución: a) u v u v u v cos u, v 5 2 cos 45 10 b) 2u 3v u 2u 3v 2u 2 5 2 2 2 u 6u v 2u u 6 5 2 2 u cos 0 1 30 2 2 5 30 2 50 92,43 2 2. Dados los vectores a 4, 1 y b 2, 3 calcula un vector u perpendicular a b tal que a u 10. Solución: Llamamos x, y a las coordenadas del vector u. Por ser u y b perpendiculares, su producto escalar es cero: u b 0 x, y 2, 3 0 2x 3y 0 Además a u 10 4, 1 x, y 10 4x y 10 Resolvemos el sistema: 2x 3y 0 4 x 6y 0 4 x y 10 4 x y 10 5 y 10 y 2 4x y 10 4x 2 10 4x 12 x 3 El vector u tiene como coordenadas x 3, y 2 u 3, 2. José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 1 CURSO 2013/2014 3. Dados los vectores a 3, 5 y b 4, 2 calcula un vector de la misma dirección que b y cuyo módulo sea igual a la proyección de a sobre b. Solución: Un vector de la misma dirección que b 4, 2 será de la forma v b 4 , 2 siendo 0. Calculamos la proyección de a sobre b : proy b a a b b 3, 5 4, 2 12 10 2 20 42 2 2 20 2 2 5 1 5 5 5 Entonces: v proy b a 4 2 2 16 2 4 2 20 2 2 5 5 1 2 5 2 5 5 10 4 2 2 1 Así: v1 , v1 , 10 10 5 5 4 2 2 1 v2 , v2 5 , 5 10 10 4. Resuelve a) Calcula m de modo que el producto escalar de a 3, 2 y b m, 5 sea igual a 5. b) Calcula la proyección de a sobre c , siendo c 1, 3 . Solución: a) a b 5 3, 2 m, 5 5 3m 2 5 5 3m 10 5 3m 15 m 5 b) proy c a a c 3, 2 1, 3 3 1 2 3 3 6 9 9 10 c 10 1 9 10 10 10 José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 2 CURSO 2013/2014 5. 1 Si a , 3 y b 4, 2 , calcula: 4 a) Un vector unitario con la misma dirección y sentido que b. b) El ángulo formado por a y b. Solución: a) Hallamos el módulo de b : b 42 22 16 4 20 El vector unitario con la misma dirección y sentido que b será: 4 2 4 2 2 1 , , , 20 20 2 5 2 5 5 5 1 4 , 3 4, 2 a b b) cos a , b 1 ab 9 20 16 6. 5 5 29 2 2 29 1 6 145 20 16 5 145 2 5 4 5 52 29 2 0,371 a, b 111,8 Considera dos vectores x a, 3 e y 1, b . Halla los valores de a y b para que x e y sean perpendiculares y que x 5. Solución: 1.) Para que x e y sean perpendiculares, su producto escalar ha de ser cero, es decir : x y a, 3 1, b a 3b 0 b a 3 2.) Hallamos el módulo de x e igualamos a 5 : x a2 32 a2 9 5 a 25 9 16 2 a2 9 25 4 a4 b 3 a 16 a 4 b 4 3 Por tanto, hay dos posibilidades: a1 4, b1 4 4 ; a2 4, b2 3 3 José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 3 CURSO 2013/2014 Sabiendo que u 3 y u 5v calcula u v . (Recuerda que el ángulo entre u y v es de 180º) 7. Solución: Puesto que u 5v , u y v son vectores que tienen la misma dirección pero sentido opuesto u, v 180 u v u v cos 180 u v 3 v 1 3 v 5 v 2 u 5v u v 5v v 5 v 2 5 v 3 v 0 v 5 v 3 0 5 v 3 0 v 2 3 5 v 0 puesto que u 3 0 y u 5v Por tanto: u v 3 v 3 8. 3 9 5 5 2 2 2 Prueba que si a es perpendicular a b entonces a b a b . Solución: 2 ab ab a b a 2 a 2a b b b a 2a b b 2 Por ser a b, el producto escalar de a y b es cero a b 0 2 2 2 2 2 Por tanto, a b a 2 0 b a b . 9. 4 Dados los vectores u 1, y v 2, 3 , calcula u , v y 3 u, v . Solución: u 1 2 2 16 4 1 3 9 25 5 9 3 v 22 3 4 9 13 2 Para calcular el ángulo que forman u y v aplicamos la definición de producto escalar: u v u v cos u, v 4 1, 3 2, 3 u v cos u, v 5 u v 13 3 José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 4 CURSO 2013/2014 4 3 2 4 6 18 18 13 18 13 3 0,998 5 5 5 5 13 65 5 13 13 13 13 3 3 3 1 2 u, v 176,82. Luego Dados los vectores a y b tales que a 2, b 6 y el ángulo que forman a y b es de 10. 60. Halla a b y a b . Solución: 2 ab ab a b a a b a b cos 60 2 6 2 a 2a b b b a 2a b b 2 1 6 2 Luego: 2 a b 22 2 6 62 4 12 36 52 a b 52 Análogamente: 2 ab ab a b a 2 2 a 2a b b b a 2a b b 22 2 6 62 4 12 36 28 a b 28 2 7 José Aurelio Pina Romero. www.pinae.es 5