UNIDAD 7 Vectores 4. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto 1 8 8 Se consideran los vectores u(–2, 6) y v(1, –2). 8 8 Calcula u + 2 v y 18 8 u – 3v gráficamente y utilizando coordenadas. 2 Resolución 8 8 8 u + 2 v = (–2, 6) + 2(1, –2) = 2v = (–2, 6) + (2, –4) = 8 u 8 8 = (0, 2) u + 2v 18 1 8 u – 3v = (–2, 6) – 3(1, –2) = 2 2 8 –3v 8 = (–1, 3) – (3, –6) = 8 (1/2)u – 3v 8 = (–4, 9) (1/2)u 2 8 8 Sean u y v dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60°. Calcula: 8 8 a) u · v 8 8 b) (3u ) · (–2 v ) 8 8 c) proy u8 (u + v ) Resolución 8 8 8 8 a) u · v = |u||v| cos 60° = 1 · 1 · 8 8 8 1 1 = 2 2 8 b) 3 u · (–2 v ) = –6( u · v ) = –3 8 8 8 8 8 8 8 u · ( u + v) u· u+u· v 1 3 8 8 8 c) proy 8u ( u + v ) = = = |u|2 + u · v = 1 + = 8 2 2 |u| 1 8 3 8 8 Expresa el vector a(–1, –9) como combinación lineal de la base B = { (–2, 3), (–1, 5)}. Resolución (–1, –9) = k (–2, 3) + s (–1, 5) = (–2k – s, 3k + 5s ) –1 = –2k – s ° s = 1 – 2k ¢ –9 = 3k + 5s £ –9 = 3k + 5(1 – 2k ) 8 –9 = –7k + 5 8 k = 2 s = 1 – 4 = –3 Por tanto: (–1, –9) = 2(–2, 3) – 3(–1, 5) 8 8 8 a = 2u – 3 v Pág. 1 de 3 UNIDAD 7 Vectores 4. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto 4 8 8 Consideramos los vectores u (0, 2) y v (1, √3 ). Calcula: a) Su producto escalar. b) El módulo de ambos vectores. c) El ángulo que forman. Resolución 8 8 a) u · v = (0, 2) · (1, √3 ) = 0 · 1 + 2 · √3 = 2√3 8 b) | u | = √02 + 22 = 2 8 |v | = — √12 + √3 2 8 ì 8 8 c) cos ( u, v ) = 8 u·v 2 √3 √3 = = 8 8 2 |u| ·| v| 2 · 2 ( ) ì √3 8 8 ( u, v ) = arc cos 5 =2 2 = 30° 8 Sea u(–3, k), calcula k de forma que: 8 8 a) u sea ortogonal a v(4, – 6). 8 b) El módulo de u sea igual a 5. Resolución a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0. 8 8 8 8 u2v ï u·v =0 8 8 u · v = (–3, k ) · (4, –6) = –12 – 6k = 0 8 k = –2 8 b) | u | = √9 + k 2 = 5 8 9 + k 2 = 25 8 k = ±4 6 8 8 Determina las coordenadas de un vector a (x, y) que forme con el vector v (–1, 0) un ángulo de 60° y cuyo módulo sea 2. Resolución ì 8 8 cos ( a, v ) = cos 60° = 8 8 a·v 1 –x = 8 8 = 8 x = –1 2 2·1 |a| ·| v| 8 | a | = √x 2 + y 2 = √1 + y 2 = 2 8 1 + y 2 = 4 8 y 2 = 3 8 y = ± √3 8 — ° a (–1, √ 3 ) — Hay dos soluciones para el vector a : ¢ 8 £ a (–1, –√ 3 ) 8 Pág. 2 de 3 UNIDAD 7 Vectores 4. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto 7 8 8 8 Obtén un vector u(x, y) ortogonal a v(8, 6) y cuyo módulo sea la mitad del de v. Resolución 8 8 8 8 u2v ï u·v =0 8 8 | u | = √x 2 + y 2 | v | = √64 + 36 = 10 (x, y) · (8, 6) = 8x + 6y = 0 1 8 | v | 8 √x 2 + y 2 = 5 8 x 2 + y 2 = 25 2 8 |u | = Resolvemos el sistema: 3 –— 8x + 6y = 0 ° x = 4 y ¢ 25 x 2 + y 2 = 25 £ 9 2 — y + y 2 = 25 8 — y 2 = 25 8 y 2 = 16 8 y = ±4 16 16 y = 4 8 x = –3 y = –4 8 x = 3 8 8 8 Hay dos soluciones para u : u (–3, 4); u (3, –4) 8 8 8 8 8 Calcula la proyección de v sobre u, siendo u(2, 0) y v(–3, –1). Resolución 8 8 proy 8u v = 9 Pág. 3 de 3 8 8 u·v –6 + 0 = = –3 8 2 |u| 8 Sean a y b dos vectores unitarios que forman un ángulo de 120°. 8 8 8 8 Calcula |a + b| y |a – b|. Resolución 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 | a + b |2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + 2 a · b + b · b = 8 ì ( ) 8 8 8 = | a |2 + 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 + 2 · – 1 +1= 2 8 8 = 1 – 1 + 1 = 1 8 | a + b| = 1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 | a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – 2 a · b + b · b = 8 ì 8 8 8 ( ) = | a |2 – 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 – 2 · – 8 8 = 1 + 1 + 1 = 3 8 | a – b | = √3 1 +1= 2