1 TERCER PERIODO RECORDAR QUE EN ESTE GRADO NO SE

INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA
“EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO UNDÉCIMO - 2014
TERCER PERIODO
RECORDAR QUE EN ESTE GRADO NO SE USARÁ CALCULADORA
TALLER PEDAGÓGICO: Definición de función.
PENSAMIENTO MATEMÀTICO: Numérico y sistemas numéricos (Eje temático: concepto de número).
ESTANDAR: Concepto de función y graficación.
Áreas que integra: Español (análisis de lectura, inferencia, redacción, narración), informática (las TICs) y
valores humanos.
Docente: Esp. Manuel Quiroga Herrera.
RELACIÓN
Actividad de inducción:
Si A = {3, 14, 25, 81} y B = {2, 5, 7, 9, 10}, establecer la relación “ser divisible entre” del conjunto A en B en
diagrama sagital o de flechas.
IMAGEN: Se dice que “5 es imagen de 25”, “2 es imagen de 14”.
DEFINICIÓN: Una relación de un conjunto “A” en un conjunto “B”, es el conjunto “R” de pares ordenados que
satisfacen una propiedad y tal es que el primer elemento pertenece al conjunto “A” y el segundo elemento
pertenece al conjunto “B”.
CONJUNTO DE PARTIDA Y LLEGADA
Al conjunto de donde salen las flechas se le llama “conjunto de partida” y donde llegan las flechas se le llama
“conjunto de llegada”.
DOMINIO Y RANGO
Conjunto dominio: El dominio de una relación es el conjunto formado por los elementos del conjunto de
partida que están relacionados con el conjunto de llegada.
Dom = {
}
Conjunto rango: El rango de una relación es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada
que son imagen del conjunto de partida.
Rango = {
}
EJERCICIOS: En cada una de las siguientes relaciones:
a) Determinar el conjunto de partida y llegada.
b) Hallar: El conjunto de parejas ordenadas de la relación, el conjunto dominio y rango de la relación.
1
MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS
“MAQUIHE”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA
“EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO UNDÉCIMO - 2014
Relación en el plano cartesiano: Se llama relación a todo subconjunto de un producto cartesiano formado por
parejas ordenadas.
Ejemplo: Dados los conjuntos C = {2, 3, 4} y D = {3, 4} construir la relación R: D → C (se lee relación de D en C)
definida por la función proposicional “x es menor o igual que y”.
Solución: Podemos hallar primero DxC (aquí el conjunto “D” representa el eje “x” y el conjunto “C” representa el
eje “y”).
DxC = {(3,2), (3,3), (2,4), (4,2), (4,3), (4,4)}
Luego, seleccionamos las parejas que hacen verdadera la función proposicional dada.
R = {(2,4), (3,3), (4,4)}
EJERCICIOS:
1. Dados los conjuntos B = {0,1, 2} y C = {1, 2} construya una relación de B en C que cumpla con x + 1 = y
FUNCIÓN
Actividad de inducción:
1. Si A = {6, 14, 25, 81} y D = {6, 5, 7, 9} establecer la relación “ser divisible entre” del conjunto A en D.
a) En diagrama sagital.
b) Identificar el conjunto dominio y rango.
2. Establecer la relación “ser la raíz cuadrada de” del conjunto X en Y, siendo:
x = {- 4, - 3, - 2, 2, 3} y y = {16, 4, 9, 5}
2
MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS
“MAQUIHE”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA
“EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO UNDÉCIMO - 2014
a) En diagrama sagital.
b) Identificar el conjunto dominio.
3. Establecer la relación “ser el cuadrado de” del conjunto D en C, siendo:
C = {2, 4, 5, 3} y D = {9, 16, 10, 25, 4}
a) En diagrama sagital.
b) Identificar el conjunto dominio.
4. Si A = {3, 5, 7} y B = {9, 28, 8, 20} establecer la relación “es divisor de” del conjunto A en B.
a) En diagrama sagital.
b) Identificar el conjunto dominio.
Análisis: ¿Qué observa de común y especial en estas relaciones?
DEFINICIÓN: Una relación del conjunto A en B es función si:


El dominio de la relación es todo el conjunto A (condición de existencia).
Cada elemento del conjunto A tiene una y solamente una imagen (condición de unidad).
En otras palabras, una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto “A” uno y solo un
elemento de un conjunto “B”.
Al conjunto “A” se le denomina “Dominio de la función” y a conjunto formado por los elementos del conjunto
“B” que son imagen se le llama Codominio o imagen.
Generalmente se usan las letras f, g, h como símbolos adecuados para función, pero se puede utilizar otro
símbolo.
También se usa la notación de flechas para definir la función. Ej: f: A → B
ACTIVIDAD ESTUDIANTES
Decir si en las siguientes relaciones hay función o no y explicar por qué. Si hay función, expresarla con la
notación de flechas y determinar el conjunto dominio y codominio.
3
MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS
“MAQUIHE”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA
“EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO UNDÉCIMO - 2014
Actividad de inducción: Miremos cuando la relación se presenta en forma de ecuación.
1. Resolver las siguientes relaciones:
b) y = x2 +1
a) y = 2x + 3
d) y = x2 + 2x +1
c) y = -3x + 10
Nota: les propongo la siguiente tabla de valores para todos los ejercicios.
X
y
... - 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4…
Análisis: ¿Qué observa de común y especial en las parejas ordenadas de estas relaciones?
En este caso podemos expresar la definición de función así: “una relación del conjunto “x” en “y” es función si:
 El dominio de la relación es todo el conjunto “x”.
 Cada elemento del conjunto “x” está relacionado con un y solo un elemento del conjunto “y”. (también
se puede decir que cada elemento del conjunto “x” aparece en una y solamente en una pareja de la
relación como primer elemento).
En este caso también decimos que al conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente “x” se
le llama “Domino” y al conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente “y” se le llama
“Codominio”.
Es muy común utilizar la notación y = f (x) para representar una función. La expresión f(x) se lee “f de x”. f(x) se
utiliza únicamente cuando se comprueba que hay función.
Ejemplos:
a) f(x) = 2x + 3
b) g(x) = x2 +1
Actividad de inducción: decir si la siguiente relación es una función 𝑦 = √𝑥
Nota: les propongo la siguiente tabla de valores para el ejercicio.
Análisis:
X
y
1
4
9
…
…
¿Hay función? Explique
FUNCIÓN (en gráficas)
Para saber si hay función o no en una gráfica, aplicamos la “prueba de la recta vertical”.
Si una recta vertical intercepta la gráfica de una relación en dos o más puntos a la vez, entonces, la gráfica no
representa una función.
ACTIVIDAD ESTUDIANTES
Dígase si las siguientes gráficas corresponden a una función o no y explique, claramente, por qué.
4
MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS
“MAQUIHE”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA
“EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO UNDÉCIMO - 2014
MÉTODO PARA HALLAR EL DOMINIO Y CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN
NOTA: Cuando una relación está definida mediante una ecuación, los valores de “x” corresponden al Dominio
(para esto despejamos “y”) y los valores de “y” corresponden al Rango (para esto despejamos x).
Para hallar el dominio (valores de x): Para esto se despeja la “Y”, y se pueden presentar tres casos:
•Primer caso: Si la “x” no hace parte de un radical de índice par ni de un denominador de una fracción. En
este caso el dominio es el conjunto de los números reales.
Ej: Hallar el dominio en la siguiente función: y = 7x – 4 definida en los números reales.
Miramos que la “y” ya está despejada y que la “x” puede tomar cualquier valor desde - ∞ hasta + ∞. Entonces el
dominio es: D = {- ∞ , + ∞ } o también decimos que el “dominio es todo el conjunto de los números reales”
•Segundo caso: Si la “x” hace parte de un radical de índice par, entonces el dominio no son todos los números
reales. Para determinar cuál es conjunto dominio, la cantidad subradical se hace mayor o igual cero y en dicha
expresión se despeja la “x”.
Ej: Hallar el dominio de la función x = 3 – y2 definida en los números reales.
Al despejar “y” queda: y = ±
o igual a cero., por lo tanto:
√3 − 𝑥 , recordamos que un radical sólo será real cuando su radicando sea positivo
3–x≥0
X≤3
Entonces el dominio es: D = {x/x € R ʌ x ≤ 3} ó D = (- ∞ , 3]
•Tercer caso: Si la “x” hace parte del denominador de una fracción, entonces el dominio no son todos los
números reales. Para determinar cuál es conjunto dominio, se hace el denominador diferente de cero y se
despeja la “x”.
Ej: Hallar el dominio de la siguiente función 5xy + 4y = 6 definida en los números reales.
Al despejar “y” queda: y
=
6
5x+4
Por lo tanto 5x + 4 ≠ 0, entonces, despejando “x” tenemos que x ≠ - 4/5
El dominio es: D = {x/x € R ʌ x ≠ - 4/5 } ó D = R – {- 4/5}
Para hallar el rango o codominio (valores de y): Para esto se despeja la “X”, y se pueden presentar tres
casos:
•Primer caso: Si la “y” no hace parte de un radical de índice par ni de un denominador de una fracción. En
este caso el codominio es el conjunto de los números reales.
Ej: Hallar el rango en la siguiente función: y = 7x – 4 definida en los números reales.
•Segundo caso: Si la “y” hace parte de un radical de índice par, entonces el codominio no son todos los
números reales. Para determinar cuál es conjunto codominio, la cantidad subradical se hace mayor o igual cero
y en dicha expresión se despeja la “y”.
Ej: Hallar el rango de la función y = 3 – x2 definida en los números reales.
5
MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS
“MAQUIHE”
INSTITUCIÓN EDUCATIVA GONZALO MEJIA
“EDUCAMOS EN LA VIDA Y PARA LA VIDA”
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS – GRADO UNDÉCIMO - 2014
•Tercer caso: Si la “y” hace parte del denominador de una fracción, entonces el codominio no son todos los
números reales. Para determinar cuál es conjunto codominio, se hace el denominador diferente de cero y se
despeja la “y”.
Ej: Hallar el rango de la siguiente función 5xy + 4y = 6 definida en los números reales.
NOTA: Como puede observarse, son casos similares a los del “Dominio”.
ACTIVIDAD ESTUDIANTES
Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones definidas en los números reales:
a) 2xy – 3y + 5 = 0
b) x = 8y + 5
c) x2 = 7 + y
FUNCIÓN REAL
Para que una función sea real, su dominio (valores de “x”) y codominio (valores de “y”) deben ser el conjunto de
los números reales. Se debe tener presente que:
Para hallar el dominio de la función, o sea, los valores de “x”, despejamos “y” y si la “x” no hace parte de un
radical de índice par, ni de un denominador, el dominio es todo el conjunto de los números reales.
Para hallar el codominio de la función, o sea, los valores de “y”, despejamos “x” y si la “y” no hace parte de un
radical de índice par, ni de un denominador, el codominio es todo el conjunto de los números reales.
ACTIVIDAD ESTUDIANTES
Decir si las siguientes funciones son de R en R (reales) y explicar, claramente, el por qué.
a) 2x2 – y = 3
b) 2y – 3x = 5
c) 7 + 3xy = 2
d) 5y – 8x2 = 1
e) 4x + 3y = 2
f) 3 + 5xy = 4
SUPERACIÓN:
El futuro tiene muchos nombres:
Para los débiles es lo inalcanzable.
Para los temerosos, lo desconocido.
Para los valientes es la oportunidad.
6
MATEMATICAS DE TODOS Y PARA TODOS
“MAQUIHE”