matemáticas b 4º e - Editorial Club Universitario

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Profesor de Matemáticas de Educación Secundaria.
Licenciado en Ciencias Matemáticas.
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Profesor de Matemáticas de Educación Secundaria.
Licenciado en Ciencias Químicas.
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Matemáticas. Unidades didácticas 4.º ESO
© Alfonso Luis Gallego García
Víctor José Fornés Grimalt
ISBN: 978–84–8454–881–2
Depósito legal: A–1032–2009
Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33
C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)
www.ecu.fm
Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87
C/ Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante)
www.gamma.fm
gamma@gamma.fm
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún
procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de
información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.
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30" WPKFCFGU"FKFEVKECU .............................................................. 5"
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UNIDAD 1: EL NÚMERO REAL .......................................................................5
x
UNIDAD 2: POLINOMIOS. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS.......................21
x
UNIDAD 3: ECUACIONES E INECUACIONES ..............................................39
x
UNIDAD 4: SISTEMAS DE ECUACIONES ....................................................59
x
UNIDAD 5: SEMEJANZA................................................................................77
x
UNIDAD 6: TRIGONOMETRÍA .......................................................................99
x
UNIDAD 7: COMBINATORIA .......................................................................119
x
UNIDAD 8: PROBABILIDAD.........................................................................135
40" DKDNKQITCH¯C .......................................................................... 157"
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1. UNIDADES DIDÁCTICAS
UNIDAD DIDÁCTICA 1: EL NÚMERO REAL
1. INTRODUCCIÓN
Esta unidad didáctica corresponde al bloque 2: Números del currículo de 4.º de
ESO del área de Matemáticas Opción B.
Al tratarse de la primera unidad del bloque, se imparte en primer lugar, al
principio del curso, precede a la unidad referida a las potencias y los radicales,
juntamente con la cual conforma su bloque.
En ella, a partir de los números racionales, ya conocidos de 2.º y 3.º de ESO,
se presentan los números reales como el conjunto formado por los racionales y los
irracionales. Se extiende la ya conocida relación de orden en los racionales, para dar
lugar a la relación de orden entre los números reales. Se refuerzan otros aspectos
estudiados en 3.º de ESO como son los relativos al trabajo con números aproximados y al cálculo de los errores absoluto y relativo cometidos en una aproximación.
En la parte final de la unidad se ilustran los métodos para representar en la
recta real números irracionales de forma exacta o aproximada. Sobre la recta real,
se estudian los conceptos de intervalo y semirrecta y por último, se introduce el
concepto de valor absoluto de un número real y su uso para expresar intervalos de
la recta. Estas últimas cuestiones son básicas para trabajar en unidades posteriores
la resolución de inecuaciones y la determinación del dominio de definición de
determinadas funciones.
2. CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para poder desarrollar satisfactoriamente esta unidad, resulta conveniente que
el alumno domine las siguientes cuestiones:
1) Conocer los distintos conjuntos numéricos N, Z y Q y la inclusión entre ellos.
2) Reconocer los números irracionales como aquéllos que poseen infinitas
cifras decimales no periódicas.
3) Clasificar un conjunto dado de números en naturales, enteros, racionales y
no racionales (irracionales).
4) Saber pasar a fracción un número decimal exacto o periódico.
5) Comparar y ordenar números racionales.
6) Saber operar correctamente con números racionales con y sin calculadora.
7) Aplicar las reglas del redondeo en aproximaciones de expresiones decimales.
8) Representar números naturales, enteros y racionales en la recta numérica.
9) Conocer y aplicar el Teorema de Pitágoras.
5
Alfonso Gallego / Víctor Fornés
3. OBJETIVOS DIDÁCTICOS
En este punto se presentan los objetivos didácticos que deberán alcanzar los
alumnos al finalizar la unidad:
1) Saber clasificar distintos tipos de números en naturales, enteros, racionales e
irracionales.
2) Entender los números reales como el conjunto de los números racionales e
irracionales.
3) Conocer la relación de orden en los números reales y entender que ésta
extiende la existente para los números racionales.
4) Conocer los conceptos de error y cota de error. Saber determinar y acotar el
error cometido en una aproximación.
5) Manejar con soltura la calculadora para realizar cálculos aproximados con
números reales. Comprender que en estos cálculos se producen errores.
6) Representar sobre la recta real números reales de forma exacta o aproximada
según el caso, y comprender que existe una correspondencia biyectiva entre
éstos y los puntos de la recta.
7) Conocer, interpretar y manejar los intervalos de la recta real como subconjuntos
de R .
8) Conocer y manejar el concepto de valor absoluto de un número real.
4. CONTENIDOS
4.1. Conceptos
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Los números irracionales.
Los números reales. La recta real.
Aproximación decimal de un número real. Truncamiento y redondeo.
Errores absoluto, relativo y porcentual. Acotación.
Representación de los números reales en la recta real.
Intervalos y semirrectas.
Valor absoluto de un número real.
4.2. Procedimientos
1) Interpretación y utilización de los números reales, y de las operaciones con
ellos, en diferentes contextos, eligiendo la notación más adecuada para cada
caso.
2) Distinción entre números racionales e irracionales.
3) Truncamiento y redondeo de números.
4) Determinación de los errores absoluto y relativo cometidos en una aproximación
decimal y de sus cotas.
5) Obtención de números entre dos números dados.
6) Comparación y ordenación de números reales.
7) Representación sobre la recta de los diferentes tipos de números.
8) Representación e interpretación de intervalos de la recta real de distinto tipo.
9) Determinación de la distancia entre dos números representados en la recta
real.
6
Matemáticas. Unidades didácticas 4.º ESO
4.3. Actitudes
1) Gusto por la precisión en los cálculos.
2) Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo o problema
numérico.
3) Interés por la exactitud que aportan los números irracionales y valoración de
la necesidad de utilizar aproximaciones.
4) Interés por la búsqueda de números reales en las matemáticas y en
problemas relacionados con la vida real.
5) Reconocimiento y valoración crítica de la calculadora como instrumento útil
para la realización de cálculos e investigaciones numéricas.
6) Disfrute por la presentación clara y ordenada de los trabajos realizados.
5. CRITERIOS DE EVALUACIÓN
En este punto se presentan los criterios de evaluación que especifican los criterios:
3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto a sus propiedades, para
recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la
vida diaria y otras materias del ámbito académico.
5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos
raíces cuadradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las
operaciones con números reales, expresados forma decimal o en notación científica
y aplicar las reglas y las técnicas de aproximación adecuadas a cada caso; valorar
los errores cometidos.
Que marca el decreto correspondiente (en la Comunidad Valenciana es el 112/2007).
1) Es consciente de la necesidad de crear otro tipo de números distintos de los
racionales, para expresar y resolver en su caso situaciones donde intervengan
todo tipo de medidas de longitudes, áreas o volúmenes.
2) Clasifica todo tipo de números en sus correspondientes conjuntos numéricos.
3) Redondea expresiones decimales de números irracionales hasta una cifra
dada, acotando y valorando el error cometido.
4) Efectúa operaciones con números reales, dados en forma decimal, de forma
manual y con calculadora.
5) Ordena a través de sus aproximaciones decimales un conjunto de números
reales dado.
6) Representa sobre la recta real los números reales de forma exacta o
aproximada.
7) Expresa analíticamente sobre la recta real y viceversa intervalos de números
reales.
8) Conoce, maneja y relaciona los conceptos de distancia y valor absoluto.
6. SECUENCIACIÓN Y DISTRIBUCIÓN TEMPORAL
La secuenciación de los conceptos en esta unidad se ha hecho en relación con
su grado de dificultad de forma que el alumno conocerá en primer lugar los
conceptos más elementales para pasar posteriormente a otros que se basen en los
anteriores, y así sucesivamente. Además éstos se van introduciendo siguiendo un
orden lógico y natural.
7
Alfonso Gallego / Víctor Fornés
Creo que es conveniente dedicarle a esta unidad didáctica un total de 8
sesiones, que se impartirán a lo largo del primer trimestre.
Estas sesiones se desarrollarán en función del nivel de conocimientos de que
parten los alumnos y del trabajo que realicen por ellos mismos.
7. METODOLOGÍA Y SECUENCIA DE ACTIVIDADES
7.1. Consideraciones generales
Al inicio de la unidad se realizará una prueba para comprobar el nivel de
conocimientos previos. Al final de la misma se dedicará una sesión para la
realización de una prueba objetiva sobre la unidad con objeto de comprobar si se
han alcanzado los objetivos.
El desarrollo de la unidad se llevará a cabo en el aula, dejando abierta la
posibilidad, si las circunstancias lo permitieran, de impartir una sesión en el aula de
informática, para que los alumnos conozcan y se introduzcan en el manejo del
asistente matemático Derive.
Todas las sesiones, excepto la primera dedicada a evaluar los conocimientos
previos de los alumnos, se iniciarán con la corrección de las actividades que se
hayan realizado en casa o en clase la sesión anterior. Con esto, se aclaran las
dudas y se sigue el avance o estancamiento del alumnado. En función de lo que se
observe en la corrección se tomarán las medidas pertinentes. A continuación, en un
segundo tercio de la sesión, se introducirán nuevos conceptos con la explicación
correspondiente. Por último, en el tercer tercio de la clase se plantearán nuevas
actividades con objeto de aclarar posibles dudas y cimentar lo explicado. De esta
forma las clases tendrán una estructura fija que el alumno conocerá desde el
principio.
7.2. Desarrollo de la unidad
Como ya he comentado, la sesión inicial de la unidad se dedicará a la
realización de una prueba escrita que nos permita evaluar los conocimientos previos
de los alumnos. En ella se plantearán actividades relativas a:
a) Clasificación de un conjunto de números en naturales, enteros, racionales y
no racionales (irracionales), teniendo en cuenta la inclusión entre los conjuntos
N, Z y Q .
b) Determinación de la fracción generatriz de diferentes números decimales
exactos o periódicos.
c) Cálculo de operaciones combinadas de números racionales con y sin
calculadora.
d) Ordenación de un conjunto de números racionales.
e) Obtención de varios números entre dos números racionales dados.
8
Matemáticas. Unidades didácticas 4.º ESO
f) Aproximación y redondeo de expresiones decimales racionales.
g) Representación de números enteros y racionales en la recta numérica.
h) Uso del teorema de Pitágoras para resolver cuestiones geométricas
sencillas.
El resultado de esta prueba nos dará el nivel inicial de conocimientos del
alumnado.
Acto seguido, con afán motivador, se plantearán diversos problemas geométricos
sencillos cuyo resultado es un número irracional, tales como:
a) Determina la diagonal de un cuadrado de 1 cm de lado. ¿Cómo es el
número obtenido?
b) Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 1 cm de lado.
c) Determina la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 1 y 2 cm
respectivamente. ¿Qué puedes decir sobre el resultado obtenido?
1. Los números racionales (1.ª mitad de la 2.ª sesión)
Una vez corregida la prueba inicial propuesta, supongamos que nuestros
alumnos poseen los conocimientos suficientes para poder seguir el desarrollo de la
unidad con normalidad, entonces en la primera parte de la segunda sesión se
introducirán los números irracionales (no racionales), cuya existencia el alumno ya
pudo intuir en el curso anterior.
Las actividades propuestas al final de la primera sesión ya han servido de
motivación para la introducción de este concepto, aunque en esta ocasión el
profesor justificará la existencia de los números irracionales demostrando por el
método de reducción al absurdo que 2 es irracional ya que no se puede escribir
como cociente de dos números enteros.
Se debe dejar claro que un número decimal con infinitas cifras no periódicas es
irracional, así como también lo son los números de la forma n a si a no es una
potencia n-ésima.
Para finalizar con este concepto, el profesor indicará algunos números
irracionales de especial relevancia: S , ) , e... , señalando sus diferentes aplicaciones.
2. Los números reales. La recta real (2.ª mitad de la 2.ª sesión)
En la segunda mitad de esta segunda sesión, se define por primera vez el
conjunto de los números reales y se hace como la unión de dos conjuntos conocidos
ya por el alumnado: los racionales y los irracionales. A este respecto, sería
conveniente remarcar, mediante la realización de diferentes ejercicios, la propiedad
de densidad que ambos conjuntos poseen, mostrando también la diferencia que hay
entre la recta numérica racional (con huecos) y la recta real (sin ellos).
9
Alfonso Gallego / Víctor Fornés
Se realizarán también en la pizarra actividades relativas a la ordenación de
diferentes números reales dados.
Al final de la sesión se propondrán actividades de consolidación de los tipos
siguientes:
a) Clasificación de un conjunto de números dados en racionales e
irracionales.
Act.1 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. ¿Alguno de
ellos es entero?
41
9
, 49 , 53,7 , 3 5 , 6,0343536..., 3 10 , S 2 ,
13
2
b) Resolución de problemas cuyo resultado es un número irracional.
Act.2 Determina la altura de un triángulo equilátero de 2 cm de lado. ¿Qué tipo
de número has obtenido?
Act.3 Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 10
cm. El número que has obtenido, ¿es racional o irracional?
c) Clasificación de distintos números dados según pertenezcan a los
conjuntos N , Z , Q y R .
Act.4 Clasifica estos números en N , Z , Q y R , teniendo en cuenta que pueden
pertenecer a más de un conjunto:
)2 ; 2;
11
25
12
; 6 ; 8,1 ; 1 2 ; 0 ; 3 1 ;
; 4 ; 1,918273...; ; 2S ; 3,24
3
4
6
Act.5 Indica el menor conjunto numérico al que pertenece cada uno de los
siguientes números:
a) 7,75767676...
b)
31
15
c) 16
d) 1,121221222...
e)
2 3 27
d) Determinación de números racionales e irracionales comprendidos
entre dos números dados.
Act.6 Escribe tres números comprendidos entre:
a)
10
3
13
y
4
13
b)
2
15
y
11
68
c) 0,765
y 0,766
d)
5
y
6
Matemáticas. Unidades didácticas 4.º ESO
e) Ordenación de un conjunto de números reales dados.
Act.7 Ordena de menor a mayor los siguientes números:
3
2 2 ; S ; 3,3 ; 4 ;
5
3. Aproximación decimal de un número real. Truncamiento y redondeo
(3.ª sesión)
En la tercera sesión de la unidad se repasan y refuerzan los conceptos
relativos a la estimación o aproximación de números decimales, que los alumnos ya
estudiaron en 3.º de ESO con números racionales.
Se introducirá mediante la siguiente actividad de motivación:
Act.1 Utilizando la calculadora, calcula el valor de las siguientes operaciones
con raíces cuadradas:
a)
2 3
b)
7 5
c) 3 10
d)
12
2
Con ella se pretende que los alumnos y alumnas vean la necesidad de tomar
aproximaciones cuando se realizan operaciones con números irracionales, debido a
lo incómodo que resulta el manejar muchas cifras decimales.
Apoyándose en el resultado de las operaciones anteriores, se recordará en que
consisten las aproximaciones por exceso y por defecto, así como también los
métodos de truncamiento y redondeo de números, que son ya conocidos, pues se
estudiaron en 3.º de ESO.
Posteriormente, se propondrán en la pizarra diferentes actividades donde los
alumnos, con la ayuda del profesor, pondrán de manifiesto sus conocimientos sobre
todas estas cuestiones. Es conveniente que algunas de estas actividades sean
cercanas al entorno del alumno, para que éste pueda comprender mejor la
necesidad y utilidad de las aproximaciones (sobre todo en situaciones prácticas de
medida).
Se debe indicar que el redondeo es la mejor aproximación de un número hasta
el orden decimal que queramos utilizar y la más usada en la práctica. Por otra parte,
también es importante que el alumno reflexione sobre la conveniencia de elegir un
número sensato de cifras significativas (2, 3 ó 4 como máximo) en función del
contexto en el que nos encontremos.
Al final de la sesión se propondrán las actividades siguientes que servirán para
afianzar los conceptos estudiados:
11
Alfonso Gallego / Víctor Fornés
f) Operaciones con números reales aproximando los resultados por
exceso y por defecto.
Act.8 Escribe tres aproximaciones por exceso y por defecto de:
8
2
Act.9 Indica si las siguientes aproximaciones de 2 7 lo son por exceso o por
defecto: a) 5,3
b) 5,29
c) 5,292
d) 5,2
g) Operaciones con números reales truncando y redondeando sus
resultados hasta un orden indicado.
Act.10 Determina el valor de 2 ˜
a) A las décimas
5 3 truncando:
b) A las milésimas
c) A las cienmilésimas
Act.11 Redondea a las décimas, a las centésimas y a las milésimas el valor
decimal de 0,5
h) Resolución de problemas donde aparezcan números reales aproximando el resultado de la forma indicada o más conveniente.
Act.12 La milla inglesa mide exactamente 1.609,34 m. Redondea a kilómetros
exactos las siguientes distancias expresadas en millas:
a) 24
b) 82
c) 125
Act.13 Calcula la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado y expresa el
resultado con dos cifras decimales exactas.
Act.14 Un reloj circular de cocina tiene de diámetro 26 cm. Determina su área y
aproxima convenientemente el resultado obtenido.
4. Errores absoluto, relativo y porcentual. Acotación (4.ª sesión)
Corregidas las actividades de la sesión anterior y aclaradas las posibles dudas,
los alumnos deben entender que al trabajar con valores aproximados, necesariamente se cometen errores; por este motivo en esta sesión se repasarán y
reforzarán los conceptos de error absoluto y error relativo, que fueron introducidos
en el curso anterior.
Las siguientes actividades de motivación servirán para ello:
Act.2 La estatura de Luís es 1,847 m. Ana dice que Luís mide 1,85 m y Eva
dice que mide 1,84 m. ¿Quién aproxima de forma más precisa?
Act.3 Nuria cree que la altura del edificio en el que vive es más o menos de
unos 14 m, aunque su altura real son 12 m. Carlos está convencido de que el
árbol que hay enfrente de su casa mide unos 3 m, pero su altura real es de 4 m.
¿Cuál de los dos ha realizado una aproximación más acertada?
12
Matemáticas. Unidades didácticas 4.º ESO
Con estas actividades el alumno diferenciará los dos tipos de errores,
determinando el más indicado según la situación. Es interesante también que
conozca el error porcentual, ya que suele ser más significativo que los anteriores.
Se realizarán en la pizarra distintos ejercicios de desarrollo de estos conceptos,
pidiendo a los alumnos y alumnas su participación.
La acotación de los errores absoluto y relativo se introducirá en la segunda
mitad de la sesión, para ello se mostrará mediante la realización de distintos
ejercicios en la pizarra que:
1) Cuando se aproxima un número por redondeo, la cota del error absoluto es
menor que media unidad del orden de la cifra a la que se redondea.
2) En situaciones de medida la cota del error absoluto es menor que la
precisión del aparato utilizado.
3) La cota del error relativo se obtiene dividiendo la cota del error absoluto por
el valor de la aproximación o medición.
Para finalizar se propondrán las siguientes actividades de consolidación:
i) Determinación de errores absolutos, relativos y porcentuales de
diferentes aproximaciones dadas.
Act.15 Calcula los errores absolutos, relativos y porcentuales de los resultados
aproximados obtenidos en las actividades 12, 13 y 14.
j) Comparación de la precisión de diferentes medidas.
Act.16 La longitud de una escalera medida con una cinta métrica que aprecia
hasta los centímetros, es de 4,56 m; por otro lado el peso de un elefante,
obtenido con una báscula que aprecia hasta los kilogramos, es de 4554 kg.
Determinar qué medida es más precisa y explicar por qué.
Act.17 Ordena de mayor a menor precisión las siguientes medidas:
a) La longitud de una carretera de 12,6 kms medida con el cuentakilómetros de un coche que aprecia hectómetros.
b) La masa de un camión de 3500 kg medida en una báscula que aprecia
kilogramos.
c) La duración de una carrera de 1 minuto y 16,5 s, medida con un
cronómetro que aprecia décimas de segundo.
d) El diámetro de una pista circular de 12,7 m medido con una cinta
métrica que aprecia decímetros.
13
Alfonso Gallego / Víctor Fornés
k) Cálculo de valores aproximados y determinación de sus cotas de error.
Act.18 Obtén el valor aproximado de 2S redondeando a las centésimas su
expresión decimal. Acota el error absoluto y relativo cometido.
Act.19 Acota el error absoluto y relativo cometido al redondear a las milésimas
50 .
5. Representación de los números reales en la recta real (5.ª sesión)
En la quinta sesión se estudiarán las representaciones en la recta real de los
distintos tipos de números.
Primeramente se recordarán y repasarán las representaciones de los números
enteros y fraccionarios, ya trabajadas en 3.º de ESO.
Se mostrará a los alumnos y alumnas que en general, los números decimales
(exactos, periódicos o irracionales) se sitúan en la recta real de forma aproximada,
utilizando el método de aproximaciones sucesivas, dejando claro en qué casos su
representación se puede hacer de manera exacta.
Se insistirá especialmente en la representación de los números irracionales
(radicales cuadráticos) mediante el uso del Teorema de Pitágoras, para la cual se
debe usar regla y compás.
Con el desarrollo de todas estas cuestiones, el alumno entenderá que todo
número real tiene un único punto que lo representa sobre la recta y viceversa.
El profesor propondrá la representación de diferentes números en la recta real,
que el alumnado realizará de forma exacta o aproximada según sea el caso.
Al final de la sesión se propondrán las siguientes actividades que servirán para
afianzar los conceptos y procedimientos desarrollados:
l) Representación de distintos números en la recta real de forma exacta.
Act.20 Representa en la recta real los números: 10 ; 0,6 ; 3,75 ; 2 ;
5
m) Representación de distintos números en la recta real de forma aproximada.
Act.21 Representa, mediante aproximaciones sucesivas, los números:
) ; e2 ; S
2
6. Intervalos y semirrectas (6.ª sesión)
En la sexta sesión de la unidad se introducen por primera vez los conceptos de
intervalo y semirrecta. Su introducción se realiza a partir de la siguiente actividad de
motivación:
14
Matemáticas. Unidades didácticas 4.º ESO
Act.4 ¿Qué valores puede tomar x para que
x exista?
Con esta actividad se pretende que el alumnado deduzca que cualquier valor
de x t 0 es válido, y también que vea la necesidad de buscar una notación que
incluya a todos los valores posibles.
Es importante que nuestros alumnos vayan dominando la nomenclatura
asociada a estos conceptos, que utilizarán posteriormente para dar las soluciones de
las inecuaciones y el dominio de algunas funciones.
A continuación el profesor expondrá en la pizarra una tabla donde se mostrarán
los distintos tipos de intervalos y semirrectas existentes, con su símbolo, significado
y representación en la recta real, proponiendo al alumnado que escriban al menos
dos ejemplos de cada tipo.
Asimismo, se realizarán actividades de desarrollo donde los alumnos y
alumnas pasen de la simbología de intervalo y semirrecta a su significado y
representación, y viceversa.
Finalmente, las actividades propuestas a continuación servirán para consolidar
los conceptos estudiados en esta sesión:
n) Representación en la recta real de intervalos y semirrectas dados.
Act.22 Representa sobre la recta real los siguientes intervalos:
a) > 4 , 10@
b) > 5 , 0 c) 3 , f d) f , 1@
ñ) Expresión simbólica de intervalos y semirrectas representados sobre la
recta real.
Act.23 Escribe simbólicamente los siguientes intervalos y semirrectas
representados:
a)
b)
c)
15