Bioestadistica 2016.PRACTICA 4: Variables aleatorias. Parte II

Bioestadística 2016.PRACTICA 4: Variables aleatorias.
Parte II
1. Obtenga explícitamente la distribución de probabilidades de:
(a) X
b (3; 0:25)
(b) X
P (3)
(c) X
G(0:2)
2. Calcule la esperanza y la varianza de las variables del ejercicio1.
3. Consideremos una distribución B(10; 0:3)
(a) Gra…que la función de densidad de probabilidad y la función de
distribución acumulada
(b) Determine la media y el desvío estándar de cada distribución.
(c) Encuentre la probabilidad de que la variable sea menor a 4.
4. Suponga que el 30% de una población tiene grupo sanguíneo B. A partir
de una muestra de tamaño 20, encuentre la probabilidad de que tengan
sangre tipo B:
(a) exactamente tres personas
(b) tres o más personas
(c) menos de tres personas
(d) exactamente cinco personas
(e) como máximo nueve personas
5. Suponga que en cierta área de una gran ciudad, el número promedio
de ratas por cuadra es de 5 y asuma que el número de ratas sigue
una distribución de Poisson. Encuentre la probabilidad de que en una
cuadra seleccionada aleatoriamente haya:
(a) exactamente cinco ratas
(b) menos de cinco ratas
(c) entre cinco y siete ratas inclusive
6. Consideremos una variable aleatoria que sigue una distribución B (15,0.33):
1
(a) calcular la probabilidad de que la variable sea mayor que 3 y menos
o igual que 7,
(b) calcular la probabilidad de que sea mayor que 5,
(c) ¿qué valor de la variable deja por debajo de sí el 75% de la probabilidad?
(d) calcular el percentil 95% de la distribución,
(e) obtener una muestra de tamaño 1000 de esta distribución, representarla grá…camente mediante un diagrama de barras y comparar
éste con las frecuencias esperadas según el modelo que genera los
datos.
7. Consideremos una variable aleatoria que sigue una distribución P (7.2):
(a) Calcular la probabilidad de que sea mayor o igual que 10.
(b) Calcular la probabilidad de sus valores mayores o iguales a 2 y
menores o iguales a 8.
(c) Obtener el percentil 75 de la distribución.
(d) ¿Qué valor es el que deja por debajo de sí el 5% de los valores más
bajos de la variable?
(e) Obtener una muestra de tamaño 500 de la distribución, representarla grá…camente mediante un diagrama de barras y comparar
éste con las frecuencias esperadas según el modelo que genera los
datos.
8. Sea X una variable aleatoria con distribución Geo(0.56):
(a) Calcular P (X < 2).
(b) Calcular P (3 < X < 9).
(c) Obtener el percentil 50, es decir, la mediana.
(d) ¿Cuál es el valor de la variable por debajo del cual queda el 25%
de los valores más bajos?
(e) Obtener dos muestras de tamaño 100 y los diagramas de barras
de ambas muestras. ¿Son iguales? ¿Por qué?
9. Se sabe que el 10% de una especie acuática está parasitada. Se desea extraer un individuo parasitado para su estudio, por lo tanto se
comienza a extraer de a uno hasta lograrlo.
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(a) Calcule la distribución de la variable ”cantidad de intentos necesarios para obtener un individuo con parásitos”
(b) Calcule la cantidad media de intentos necesarios para obtener un
individuo con parásitos
10. Dados los siguientes fenómenos, qué distribución de probabilidades usaría para modelizarlos?
(a) número de ratones examinados hasta llegar a 5 infectados
(b) número de árboles en un área dada
(c) estado de un ratón (infectado o no)
(d) número de ratones examinados hasta encontrar el primero infectado
(e) número de ratones infectados por cada 10 examinados
11. Sea Z una variable aleatoria distribuida normalmente con media cero
y varianza 1 calcule
(a) P (0
Z
1:2)
(b) P ( 0:68
Z
0)
(c) P ( 0:46
Z
2:21)
(d) P (0:81
Z
(e) P (z
0:6)
(f) P (Z
1:28)
(g) P (jZj
0:44)
(h) P (jZj
1:96)
1:94)
12. Siendo Z una variable aleatoria normal con E (Z) = 0 y
la abscisa a sabiendo que:
(a) P (Z
a) = 0:7764
(b) P (Z
a) = 0:8621
(c) P ( 1:5
Z
a) = 0:6247
(d) P ( 1:5
Z
a) = 0:0217
(e) P (jZj
a) = 95%
(f) P (jZj
a) = 99%
3
= 1, hallar
(g) P ( 1:5
Z
a) = 0:1234
13. Consideremos una distribución N (10; 0:3)
(a) Gra…que la función de densidad de probabilidad y la función de
distribución acumulada
(b) Determine la media y el desvío estándar de cada distribución.
(c) Encontrar la probabilidad de que la variable sea menor a 4.
14. Consideremos una variable aleatoria W con distribución N (250; 13).,
obtener:
(a) P (240 < W
(b) P (W
245.5)
256)
(c) Si queremos desechar el 5% de valores más altos de la distribución
y el 5% de valores más bajos, ¿con qué intervalo de valores nos
quedaremos?
(d) Obtener una muestra de tamaño 1000 de la distribución.
(e) Representar la función de densidad de esta distribución y compararla con el histograma de la muestra obtenida en el apartado
anterior.
15. Dada la variable aleatoria X distribuida normalmente, con una media
de 100 y una desviación estándar de 15, calcular el valor de k, tal que:
(a) P (X
k) = 0:0094
(b) P (X
k) = 0:1093
0
(c) P (k
X
media.
k) = 0:0966; donde k’ y k son equidistantes de la
16. Sabiendo que la v.a. X se distribuye normalmente con media 3 y varianza 4, determine el valor de las siguientes probabilidades:
(a) P (X < 6)
(b) P (X > 4:6)
(c) P (jXj
1:2)
17. Sea una variable aleatoria Y con distribución Gamma cuyo parámetro
de forma es 1.5 y cuyo parámetro de escala es 5.2.
4
(a) P (X = 5, 6, 7)
(b) P (X < 5)
(c) El percentil 5 y el percentil 95.
(d) ¿Qué valor de la variable deja por encima de sí el 15% de los
valores más altos de la variable?
(e) Obtener una muestra de tamaño 1000 de la distribución.
(f) Representar la función de densidad de esta distribución y compararla con el histograma de la muestra obtenida en el apartado
anterior.
18. Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con
P (X 50) = 0:9904; calcular :
= 15 y
19. Dada una variable aleatoria X distribuida normalmente, con
P (X 50) = 0:9772; calcular :
= 30 y
20. En una población de coleópteros adultos bajo estudio, la variable peso
responde a una ley de distribución normal con media de 4,5 gramos y
dispersión 0.5 gramos. Si se selecciona un individuo al azar:
(a) ¿cuál es la probabilidad de que pese entre 5 y 5,5 gramos?
(b) ¿cuál es la probabilidad de que pese entre 3 y 6 gramos?
(c) ¿cuál es la probabilidad de que pese exactamente 4,5 gramos?
(d) ¿cuál es la probabilidad de que su peso no se diferencie en más de
2 desvíos estándar de la media?
21. El peso de los cuerpos de los ratones de Noruega se distribuye normalmente con una media de 63,5 gramos y una dispersión de 12,2 gramos.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un ratón con un peso igual
o mayor a 78 gramos?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un ratón con un peso menor
o igual a 78 gramos?
(c) Si la población tuviera 1000 individuos, ¿cuántos se espera que
pesen más de 78 gramos?
(d) ¿Cuál es la probabilidad de escoger un individuo con un peso
menor de 41 gramos?
5
22. Para cada una de las siguientes distribuciones B(100,0.3) y N(30,21),
encontrar la probabilidad de que la variable sea menor a 35 y mayor a
27. Compare los resultados basados en cada una de las dos distribuciones.
23. ¿Cuál es la distribución de probabilidades más apropiada para modelar
cada una de las siguientes variables aleatorias:
(a) Tumor benigno o maligno
(b) Número de personas con tumor maligno de 10 pacientes con tumor
(c) Tamaño del tumor
(d) Número de gente diagnosticada con tumor maligno en una ciudad
Algunas respuestas
2.a) 0.75; 0.56
b) 3; 3
c) 5; 20
4. a) 0.072
b) 0.9645
c) 0.0354
d) 0.1788
e) 0.9520
5. a) 0.1754
b) 0.44
c) 0.426
11. a) 0.3849; b) 0.2517; c) 0.6636; d) 0.1828; e) 0.2743; f) 0.8997; g)
0.34; h) 0.05
12. a) 0.76; b) 1.09; c) 0.5; d) -1.35; e) 1.96; f) 2.58; g) -0.87
15. a) 64.75; b) 118.45; c) k’= 98.2, k = 101.8
16. a) 0.9332; b) 0.2119; c) 0.1662
18. 14.9
19. 10
20. a) 0.1359; b) 0.9974; c) 0; d) 0.9544
21. a) 0.117; b) 0.883; c) 117; d) 0.0329
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