La programación lineal es una herramienta de la investigación de

Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
La programación lineal es una herramienta de la investigación de operaciones y muy útil
para la toma de decisiones. Esta es una herramienta genérica que sirve para resolver
problemas lineales. De acuerdo a los valores que pueden tomar las variables que
intervienen en un problema de programación lineal, se utiliza, la programación lineal
propiamente dicha, cuando los valores están en los números reales y la programación
entera, en donde la variable asume solamente números enteros. La solución de un
problema con variables enteras es mucho más complicada que un problema de números
reales y no es nuestro objeto de estudio.
En las empresa, muchas de las decisiones que se toman tienen están dirigidas a optimizar
sus recursos, como puede ser el uso de la maquinaria, capital, materias primas, etc. Estos
recursos son utilizados en la producción de bienes que a final de cuentas representan
ingresos para la empresa. La Programación Lineal es una técnica matemática diseñada
para asistir y a los tomadores de decisión de la empresa en la planificación y uso racional
de los recursos con que cuenta. Existen muchos ejemplos exitosos en la literatura de
aplicaciones de programación lineal, los ejemplos clásicos son, el problema de la dieta y el
de transporte.
El problema de la dieta, fue uno de los primeros problemas sobre optimización, motivado
por el deseo del ejército americano de asegurar unos requerimientos nutricionales al
menor coste. El problema fue analizado y resuelto por George Stigler usando la
programación lineal en 1947. La formulación general de este problema es:
Para que una dieta sea equilibrada deben ingerirse n elementos nutritivos básicos en
cantidades mínimas b1, b2,..., bs. Estos elementos se encuentran en m alimentos.
Conocemos cuál es la cantidad de cada elemento en cada unidad de cada uno de los
alimentos y el coste de la unidad de cada alimento. Se debe minimizar el coste de la dieta
pero cubriendo las necesidades nutritivas mínimas. Por ejemplo;
Un especialista en nutrición, elabora un plan para determinado tipo de pacientes basado
en tres grupos de alimentos; verduras, carne y pescado y harinas, trigo y maíz. Estos se
deben combinar para que cumplan con ciertos requisitos nutritivos mínimos de proteínas
y calorías de 2600 calorías y 60 g de proteína por día. El contenido de cada alimento por
cada 100gr es el siguiente. Las verduras tienen 100 calorías y 2 gr de proteína, la carne y el
pescado en promedio 500 calorías y 35 gr de proteína; las harinas combinadas ofrecen en
promedio 120 calorías y 8 gr de proteína. Si los precios por cada 100 gr de verdura,
proteína y harinas son de $ 8.0, $25.0 y $3.0 respectivamente ¿Cuál debe ser la
combinación de alimentos de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan las
condiciones de nutrición por día?
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Podemos resumir el problema en el siguiente cuadro:
Verduras
Calorías
Proteínas
Precios por
100 gramos
100 cal
2 gr
$ 8.0
Carne y
pescado
500 cal
35 gr
$ 25.0
Harinas
120 cal
8 gr
$ 3.0
Requisitos
mínimos
2600 cal
60 gr
La formulación general del Problema del transporte es que un cierto producto se elabora
en varios centros, n, y en su producción intervienen los productos a1,a2,...,as. Este
producto debe ser enviado a m destinos cuyo coste por envío desde cada planta a cada
destino son conocidos. Además se deben enviar en cantidades b1,b2,...,bs. El objetivo es
minimizar el coste total del transporte. Por ejemplo,
Una empresa tiene dos plantas de producción en la ciudad de México, una en el norte y
otra en el sur. El nivel de producción de la planta del sur es de 1500 unidades y la del
norte de 3500. Las ventas de la empresa se distribuyen en las ciudades de Cuernavaca 850
unidades, Guadalajara 4000 unidades, Monterrey 3500 unidades. El costo de transporte se
por unidad se muestra en la siguiente tabla.
Planta Sur
Planta Norte
Cuernavaca
30
32
Guadalajara
240
235
Monterrey
320
315
La pregunta es ¿determinar el número de unidades que debe enviar desde cada planta a
cada ciudad para que los costos sean mínimos?
La programación lineal.
Los problemas de programación tienen como objetivo principal la asignación óptima de
los recursos con que cuenta una empresa, la mayoría de las veces muy limitados, para
alcanzar objetivos específicos. Por esta razón los recursos, definidos en forma de
restricciones, pueden ser de distintos orígenes. Estas van desde las restricciones de
producción como las impuestas por el mercado. También, pueden ser resultado de las
limitaciones de material en almacén o en reserva.
Al final, el objetivo es maximizar o minimizar una función de beneficio, como podrían ser
el la máxima utilidad ó el mínimo costo. Trataremos de determinar la mejor solución
posible bajo ciertas restricciones, tales como el trabajo, maquinaria y la existencia de
insumos necesarios para la fabricación de los productos de la empresa.
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Notas de clase. Método Simplex.
La primera fase para emprender la solución a un problema de Programación Lineal es
formular y obtener el modelo. Considerada esta etapa la más importante del proceso de
aplicación, en la cual se necesita definir claramente el problema y conceptualizar de una
manera correcta el problema que presente el sistema sobre el cual se pretende realizar la
aplicación. La etapa siguiente en el proceso es alcanzar la solución del modelo.
Modelado de un programa lineal.
La formulación del programa lineal es fundamental para obtener una buena solución a
nuestros problemas. Este proceso comprende los siguientes pasos,
1. La formulación del problema y la identificación de las variables de decisión, las que
representan el interés fundamental del problema a resolver.
2. Formular la función económica, o función objetivo.
3. Formular en forma de inecuaciones las restricciones del modelo, pueden ser de
producción, de presupuesto, etc.
Ejemplos.
Problema de la dieta, propuesto al inicio. El especialista en nutrición desea formular una dieta
basado en tres tipos de alimentos; verduras, carne y pescado, y harinas. El objetivo es encontrar la
combinación de alimentos de manera que el costo sea mínimo y se satisfagan las
condiciones de nutrición por día.
La formulación del programa lineal sería el siguiente
Las variables de decisión son; 𝑥1 verdura, 𝑥2 proteína, 𝑥3 harinas.
programa de minimización de los costos.
Se trata de un
a) Función objetivo. Donde Z es una función económica a minimizar
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 8𝑥1 + 25𝑥2 + 3𝑥3
b) Sujeta a las restricciones. Hipótesis de linealidad del modelo; es decir para obtener
2600 calorías diarias se requiere una combinación 100𝑥1 de verdura, 500𝑥2
calorías obtenidas de carne y pescado y 12𝑥3 de harinas de trigo y maíz. La misma
consideración se hace para las proteínas.
100𝑥1 + 500𝑥2 + 12𝑥3 ≥ 2600
2𝑥1 + 35𝑥2 + 8𝑥3 ≥ 60
Restricción de calorías
Restricción de proteínas
c) No negatividad de las variables
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
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Notas de clase. Método Simplex.
Una organización cafetalera indígena desea comercializar 2 tipos de productos orgánicos;
café y pimienta. El café orgánico cuesta $80 pesos/kilo y la pimienta $160 pesos/kilo. Para
transportar los productos a la ciudad más cercana cuenta con un camión que solo puede
transportar 20,000 kg y un volumen de 1200 𝑚3 . Si el café ocupa 0.025 𝑚3 y la pimienta
0.01 𝑚3 por cada kg, ¿cuántos kilos de cada producto debe cargar en el camión para
maximizar su ganancia?
Las variables de decisión son; 𝑥1 café y 𝑥2 pimienta. Se trata de un programa de
maximizar las utilidades de la organización.
De esta manera la función a maximizar es.
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 80𝑥1 + 160𝑥2
a) Sujeta a las restricciones. Hipótesis de linealidad del modelo; por un lado el camión
solo puede transportar una combinación de 𝑥1 de café y 𝑥2 de pimienta que no
deben rebasar un peso de 20,000 kg. Por otro lado, el volumen de 0.025𝑥1 de café
y 0.01𝑥2 de pimienta pueden ocupar un volumen no mayor a 1200 𝑚3 .
𝑥1 +
𝑥2 ≤ 20,000
0.025𝑥1 + 0.01𝑥2 ≤ 1200
Restricción de capacidad
Restricción de volumen
b) No negatividad de las variables
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
Como hemos visto, un programa lineal pone en juego cuatro categorías de elementos; las
actividades, las constantes económicas, las restricciones y los coeficientes técnicos.
a) Las actividades son las variables de decisión del modelo en estudio. Se trata de
seleccionar aquellas que correspondan a la función a optimizar. Usualmente
utilizamos letras como 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , …. O bien 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡, …
b) Las constantes económicas miden el nivel de realización asociado al beneficio de
cada recurso de la organización, o de la empresa. De esta manera a cada 𝑥𝑗 le
asociamos un beneficio 𝑐𝑗 .
c) Las restricciones del problema. Estas pueden ser de naturaleza muy diversa,
dependen del problema. Son los elementos que limitan el problema, las
restricciones. Estas pueden ser las limitaciones de producción, de presupuesto, etc.
d) Los coeficientes técnicos, son las cantidades de cada recurso que son necesarios
para producir una unidad de producto. Al recurso i y a la actividad j le
corresponderá el coeficiente técnico 𝑎𝑖𝑗
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Si las variables son continuas y los coeficientes técnicos y económicos son independientes
de los valores de las variables, el problema de programación lineal se puede presentar de
la siguiente manera.
Un programa lineal en la forma canónica se escribe de la siguiente manera,
Maximizar
sujeto a:
𝑍 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛
≤
𝑎𝑖1 𝑥1 + 𝑎𝑖2 2𝑥2 + ⋯ ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑛 � 𝑏𝑖
≥
𝑥𝑗 ≥ 0
𝑖 = 1,2,3, … . , 𝑛
En términos económicos,
𝑥𝑗
𝑐𝑗
𝑎𝑖𝑗
𝑏𝑖
Z
Cantidad de producto j a producir.
Beneficio asociado a una unidad de producción
del producto j
Cantidad del recurso i requerido para producir
una unidad del producto j
Cantidad del recurso i disponible.
Beneficio total o función económica
Para resolver el programa lineal, deberemos buscar los valores de las variables de decisión
como 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , …., que optimizan la función económica 𝑍, o si así fuera el caso demostrar
que el modelo no tiene solución.
Para establecer un lenguaje común damos las siguientes definiciones;
•
•
•
Llamaremos solución factible, cualquier grupo de valores de las variables de
decisión como 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , …. Que verifican el sistema de inecuaciones anterior.
Solución óptima toda solución que optimiza la función Z.
El conjunto de todas las soluciones factibles de un programa lineal le llamaremos
dominio de soluciones factibles
Todo problema de programación lineal debe cumplir con lo siguiente;
a) Las soluciones del problema serán, en general, números reales. Para aquellos
problemas en los cuales sólo tenga sentido obtener soluciones enteras, se tendrá que
aplicar los métodos de solución de la Programación Lineal Entera.
b) No negatividad. Las variables de nuestro modelo tomarán siempre valores positivos,
esto es muy útil para las aplicaciones económicas ya que no tiene sentido hablar de
cantidades negativas de objetos físicos.
c) Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones.
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d) La parte derecha de una restricción no puede ser negativa
Desde el momento en que George Dantzig desarrolla el método simplex para obtener la
solución a un modelo de programación lineal, éste método ha sido considerado el único
método útil y aplicable a la gran mayoría de problemas de programación lineal. Sin
embargo para poder alcanzar una fuerte comprensión del método simplex se hace
necesario estudiar inicialmente el método de solución gráfica.
Resolución gráfica de un problema de Programación Lineal
El método gráfico de resolución es útil cuando trabajamos programas lineales de dos
variables. Para aquellos casos en que el número de variables del problema sea superior a
dos, es complicado encontrar la solución a partir de un gráfico bidimensional y, por tanto,
tendremos que usar métodos de resolución más complejos. Aun así, el método gráfico es
de un gran valor pedagógico dado que nos permite vislumbrar de una forma intuitiva las
ideas básicas de la Programación Lineal.
Ejemplo. Una empresa electrónica fabrica dos tipos de memoria para computadora, 𝑚1 y
𝑚2 . En el proceso de producción se requiere pasar por dos máquinas distintas, A y B. La
máquina A requiere de 75 minutos para la memoria 𝑚1 y 25 para la memoria 𝑚2 . La
máquina B necesita de 20 y 12 minutos respectivamente. Además, por razones de
mantenimiento, la máquina A solo puede trabajar 30 horas por semana y la B 13 horas. Si
el beneficio por unidad de la memoria 𝑚1 es de $60 pesos y el de la memoria 𝑚2 es de
$45. ¿Cuánto debemos producir de cada tipo de memoria para obtener el máximo
beneficio?
Para simplificar nuestro problema denotamos por 𝑥1 : el número de unidades producidas
por semana de la memoria 𝑚1 y por 𝑥2 al número de memorias producidas de 𝑚2
El programa lineal será entonces;
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 60𝑥1 + 45𝑥2
Sujeto a: 75𝑥1 + 25𝑥2 ≤ 1800
20𝑥1 + 12𝑥2 ≤ 780
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
(30 ∗ 60) 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐴
(13 ∗ 60) 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐵
𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
Si graficamos estas dos restricciones lineales en el plano real, la intersección de estas
líneas forman lo que se conoce como región factible, o poliedro convexo 1.
La teoría matemática establece que, dado un problema de Programación Lineal que tenga
solución, ésta vendrá dada por uno de los vértices (o puntos extremos) del polígono que
1
Un poliedro convexo es una figura geométrica en la que al trazar un segmento que une dos puntos, estos
puntos están contenidos dentro del poliedro.
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Notas de clase. Método Simplex.
configura la región factible. Por tanto, será suficiente hallar las coordenadas de dichos
vértices (intersecciones de rectas) y determinar (sustituyendo en la función objetivo) cuál
de ellos es la solución óptima. En nuestro ejemplo, tendríamos sólo cuatro puntos
candidatos a ser solución del problema (los cuatro vértices del polígono), sustituyendo sus
coordenadas en la función objetivo obtenemos:
𝑍(0,0) = 0;
21 225
𝑍(24,0) = 1440; 𝑍 � 4 ,
4
� = 2846.25; 𝑍(0, 65) = 2925
Como en este caso buscábamos maximizar 𝑍(𝑋, 𝑌), concluiremos que el punto óptimo es
el (0,65), dado que con él obtenemos el valor máximo de la función objetivo.
Ejemplo. Una cooperativa rural produce tres tipos de muebles de madera; bancos, mesas
y sillas. Cuenta con dos talleres ubicados en el norte y en el sur de la localidad donde se
encuentran. En cada una de ellas produce los muebles en las siguientes cantidades por
hora,
Bancos
Mesas
Sillas
Taller norte
1
1
6
Taller sur
2
4
3
La cooperativa recibe un pedido de 90 bancos, 120 mesas y 180 trompos. El costo de
operación del taller sur es de $450 pesos y del taller norte $600 pesos por hora. ¿Cuál es
el programa de producción para minimizar los costos del pedido?
Solución. Sean 𝑥1 y 𝑥2 el numero de horas que funcionan los talleres Norte y Sur para
surtir el pedido. El programa lineal es,
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Notas de clase. Método Simplex.
Minimizar
sujeto a:
Solución gráfica del programa lineal.
𝑍 = 450𝑥1 + 600𝑥2
𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 90
𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 120
6𝑥1 + 3𝑥2 ≥ 180
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
Este ejemplo de producción puede ser representado gráficamente porque no tiene más de
dos variables. Antes de buscar la solución del problema, definamos en la gráfica la región y
los puntos que satisfacen las cuatro restricciones. La restricción de no negatividad de las
variables nos indica que esta región solo incluirá aquellos valores que sean positivos.
El beneficio para cada punto extremo, A, B y C es el siguiente;
𝐴(0,60) Los costos son 𝑍 = 450(0) + 600(60) = $36,000
𝐵(10,40) Este punto se obtiene al resolver el sistema de ecuaciones siguiente
𝑥1 + 2𝑥2 = 90 ⇒
6𝑥1 + 3𝑥2 = 180 ⇒
𝑥1 = 90 − 2𝑥2
𝑥1 = 180 − 3𝑥2
90 − 2𝑥2 = 180 − 3𝑥2
𝑥2 = 40 y 𝑥1 = 10
Los costos son de 𝑍 = 450(10) + 600(40) = $28,500
𝐶(60,15) Para obtener este punto resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones,
𝑥1 + 2𝑥2 = 90 ⇒
𝑥1 + 4𝑥2 = 120 ⇒
𝑥1 = 90 − 2𝑥2
𝑥1 = 120 − 4𝑥2
90 − 2𝑥2 = 120 − 4𝑥2
𝑥2 = 15 y 𝑥1 = 60
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Notas de clase. Método Simplex.
Los costos son de 𝑍 = 450(60) + 600(15) = $36,000
𝐷(120,0) 𝑍 = 450(120) = $54,000
La solución óptima es 𝒙𝟏 = 𝟏𝟎 y 𝒙𝟐 = 𝟒𝟎. El costo de producción es de $28,500
Casos especiales
Hasta ahora, los problemas resueltos gráficamente tienen una solución óptima, lo que no
siempre sucede. A la hora de resolver un problema de Programación Lineal, nos
podríamos encontrar con cualquiera de estas tres situaciones especiales que conviene
conocer:
•
•
•
•
No Factibilidad: Podría ocurrir que el problema propuesto no tuviese solución. Éste
sería el caso en que las restricciones fuesen incompatibles, i.e., que ningún punto
del plano (o, en general, del espacio real n-dimensional) puede cumplir
simultáneamente todas las limitaciones a las que estamos sometidos, es decir, la
región factible es un conjunto vacío.
No Acotación: En ocasiones, podemos encontrarnos con problemas que no tengan
una solución finita; así por ejemplo, en un problema de maximización podríamos
tener alguna variable que pudiese incrementarse indefinidamente sin violar
ninguna de las restricciones, permitiendo a la función objetivo tomar valores tan
grandes como se desee. Gráficamente, tendríamos una región factible no acotada.
Redundancia: Algunas restricciones pueden “estar de más” por no aportar nada
nuevo a la “forma” de la región factible, ya que hay otras que resultan ser más
restrictivas (esto suele ocurrir en problemas extensos, donde resulta difícil
reconocer restricciones redundantes).
Soluciones Múltiples: Un problema de Programación Lineal puede tener más de
una solución óptima (e incluso infinita). En el caso gráfico de dos variables, si dos
vértices consecutivos de la región factible son solución óptima del problema,
entonces todos los puntos del segmento comprendido entre ellos también serán
óptimos.
Método SIMPLEX
El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación
lineal en los que intervienen tres o más variables. La base del método es el álgebra
matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan.
Un programa lineal es un sistema de ecuaciones o de inecuaciones llamadas
“restricciones” que son lineales (es decir, que las variables no están elevadas a una
potencia superior a uno y no están multiplicadas entre ellas). Es a partir de estas
restricciones que debemos optimizar una función lineal llamada función objetivo.
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Notas de clase. Método Simplex.
Formulación del problema.
Este método, debido a George B. Dantzing, es un procedimiento iterativo que permite
realizar una exploración dirigida del conjunto de puntos extremos de la región factible. El
proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
El método Simplex, tiene como punto de partida el origen siendo este la solución inicial
del sistema. De esta manera, el valor de la función objetivo es de cero al inicio. El método
consiste en buscar sucesivamente otro punto extremo que mejore al anterior. La
búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro,
si el número de variables es mayor). Cómo el número de puntos extremos es finito,
siempre se podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma
su valor máximo en el punto extremo A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo
de la cual 𝑍 aumenta.
Forma canónica y forma estándar
Cualquier programa lineal se puede representar 2 dos formas equivalentes llamadas
forma estándar y canónica. La forma canónica es de utilidad principalmente para explorar
el programa dual, es la forma inicial de representación de nuestro problema. En forma
matricial,
Maximizar
( o Minimizar)
sujeto a:
𝑍 = 𝑐𝑥
≤
𝐴𝑥 �≥� 𝑏
=
𝑥≥0
Donde 𝑥 𝑦 𝑐, son vectores columna con 𝑛
componentes, 𝑏 es un vector columna de 𝑚
componentes y 𝐴 es una matriz de 𝑚 𝑥 𝑛
Un programa lineal esta en forma canónica, si las
variables son no negativas y las restricciones son ≤
para la maximización ó ≥ para la minimización.
Sin embargo, el método Simplex esta diseñado para ser utilizado únicamente con
problemas en la forma estándar. Es decir,
a) Todas las restricciones son igualdades.
b) Todas las variables son no negativas
c) Los componentes del vector 𝑏 de las restricciones son todos positivos.
Para transformar un programa lineal en forma canónica a la forma estándar, las
inecuaciones deben ser transformadas a ecuaciones mediante la incorporación de las
siguientes variables.
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Raúl Urbán Ruiz
•
Si la desigualdad es del tipo≤, agregamos una variable de holgura positiva del lado
izquierdo de la inecuación. Para igualar el lado izquierdo con el derecho.
� 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑏𝑖
•
Se agrega una variable con
signo positivo 𝑠𝑖 , donde 𝑖,
representa el número de
restricción.
� 𝑎𝑖𝑗 + 𝑠𝑖 ≤ 𝑏𝑖
𝑠𝑖 ≥ 0
En el caso de que la inecuación tenga signo ≥ se agrega una variable de holgura
negativa del lado izquierdo de la restricción.
� 𝑎𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑖
•
Notas de clase. Método Simplex.
Se agrega una variable con
signo positivo 𝑠𝑖 , donde 𝑖,
representa el número de
restricción.
� 𝑎𝑖𝑗 − 𝑠𝑖 ≥ 𝑏𝑖
𝑠𝑖 ≥ 0
Asimismo, las igualdades pueden ser transformadas en dos desigualdades.
� 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖
∑ 𝑎𝑖𝑗 ≤ 𝑏𝑖
∑ 𝑎𝑖𝑗 ≥ 𝑏𝑖
y
El método Simplex se basa en dos teoremas fundamentales
− Si un programa lineal tiene una solución factible, entonces existe al menos una
solución básica.
− Si el programa lineal tiene una solución óptima, entonces existe al menos una
solución básica que es óptima.
La solución óptima es una solución básica, el método Simplex consiste en:
1. Determinar una solución básica. Es decir, que variables deben entrar a la base.
2. Probar si esta solución de las variables que están en la base es, o no, una solución
óptima
a. Si la solución es óptima el problema se termina
b. En caso contrario pasamos al siguiente punto.
3. Cambiar la solución de la base y retomar el proceso a partir del punto 1 hasta
encontrar la solución óptima. Cada cambio de base es una iteración diferente del
método
En muchos problemas prácticos, las restricciones pueden ser una combinación de los tipos
anteriores por lo que es necesario explicar la metodología del Simplex con la ayuda de
algunos ejemplos.
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Notas de clase. Método Simplex.
Ejemplos de Maximización. Sea el programa lineal siguiente:
Maximizar 𝑍 = 3𝑥 + 4𝑦
sujeto a:
2𝑥 + 3𝑦
2𝑥 + 𝑦
𝑥 + 3𝑦
180
𝑥 0 ,𝑦
120
150
0
Los pasos a seguir para resolver un programa lineal por el método Simplex son los
siguientes;
1. Pasar el programa lineal a la forma estándar. Se trata de convertir las desigualdades en
igualdades. Para cada restricción, se incluye una variable de holgura, para convertirlas en
igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 3y + S1
2x + y +
x + 3y +
= 180
S2
= 120
S3 = 150
𝑥, 𝑦, 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 ≥ 0
2. Igualar la función objetivo a cero, e incluimos las variables de holgura anteriores
−3𝑥 − 4𝑦 − 0𝑆1 − 0𝑆2 − 0𝑆3 + 𝑍 = 0
3. Escribir la tabla inicial simplex. El proceso de cálculo iterativo del algoritmo del simplex
es más ordenado si el modelo lineal se rescribe en una arreglo de datos que llamaremos
Tabla del Simplex. En esta tabla se muestran con mucha claridad y en forma estructurada
las variables y coeficientes del modelo. Además, cada tabla muestra una solución para un
punto extremo del modelo lineal. En las columnas aparecerán todas las variables del
problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada
restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:
Tabla inicial del simplex
Variables
Base
Variable de decisión Variable de holgura
Valor
x
Y
S1
S2
S3
S1
2
3
1
0
0
180
S2
2
1
0
1
0
120
S3
1
3
0
0
1
150
Z
-3
-4
0
0
0
0
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Notas de clase. Método Simplex.
4. Elegir la variable básica y la variable de holgura que sale de la base, elección del pivote.
Para escoger la variable de decisión que entra en la base, realizamos los siguientes pasos,
a) Escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto) de la
función objetivo, última línea del arreglo del simplex. En nuestro ejemplo, la
columna de la variable y que tiene el coeficiente – 4, segunda columna.
i.
ii.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición
anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se
ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final
del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila
no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote
b) Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada
término de la columna resultado por el coeficiente correspondiente de la columna
pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso:
180
120
150
= 60, 1 = 120 𝑦 3 = 50. El menor cociente positivo, indicará la fila de la
3
variable de holgura que sale de la base. En nuestro caso es S3, ya que es el menor
cociente, 50. Esta fila se llama fila pivote, y el valor 3 es entonces el pivote.
i.
ii.
Si algún valor, de la última columna, es menor o igual que cero no se
considera. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales
a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y el proceso de
cálculo se detiene.
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de
las variables correspondientes puede salir de la base.
c) En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el pivote, para
nuestro ejercicio esta en el renglón 3 y columna 2; el valor del pivote es 3.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. En primer lugar cambiamos la variable de la
base del renglón pivote por la variable de decisión que corresponda a la columna pivote.
En nuestro ejercicio, sale la variable S3 y entra a la base la variable de decisión y.
Los nuevos coeficientes del renglón y se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la
fila pivote S3 por el pivote, 3, que es el que hay que convertir en 1. Por reducción
gaussiana el resto de coeficientes de la columna son cero, incluso los de la función
objetivo.
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Notas de clase. Método Simplex.
1ª. Iteración del simplex
Variables
Base
Variable de decisión
X
Y
S1
0
S2
0
y
Z
Variable de holgura
S1
S2
S3
0
0
1⁄3
1
1⁄3
Valor
0
50
El siguiente paso es completar la nueva tabla. Para el recalculo vamos a utilizar la tabla
anterior. Los valores de las celdas vacías se obtienen de la siguiente forma:
Si 𝑎𝑖𝑗 es el coeficiente del renglón 𝑖 y la columna 𝑗.
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 −
𝑎𝑖𝑘
𝑎 𝑖≠𝑟
𝑎𝑟𝑘 𝑟𝑗
Donde 𝑎𝑟𝑘 es la posición del pivote; es decir, el renglón pivote r y la columna pivote k.
En nuestro ejemplo, para calcular el coeficiente 𝑎11 , primer renglón de la primera
columna. El pivote está en 𝑎𝑟𝑘 = 𝑎32 = 3.
𝑎11 = 𝑎11 −
𝑎12
3
𝑎31 = 2 − (1) = 1
𝑎32
3
1ª. Iteración del simplex
Variables
Base
Variable de decisión
X
S1
𝑎11 = 𝑎11 −
S2
𝑎21 = 𝑎21 −
Y
Z
𝑎41 = 𝑎41 −
𝑎12
3
𝑎 = 2 − (1) = 𝟏
𝑎32 31
3
𝑎22
1
𝟓
𝑎31 = 2 − (1) =
𝑎32
3
𝟑
1⁄3
𝑎42
−4
𝟓
(1) = −
𝑎31 = −3 −
𝑎32
3
𝟑
Variable de holgura
Y
S1
S2
S3
0
0
1⁄3
Valor
0
0
1
0
50
El resto de los coeficientes se recalculan de la misma manera.
14
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
2ª. Iteración del simplex
Variables
Base
Variable de
decisión
Variable de holgura
Valor
x
Y
S1
S2
S3
S1
1
0
1
0
-1
30
S2
5⁄3
0
0
1
70
1
0
0
−1/3
1/3
50
−5⁄3
0
0
0
4/3
200
𝑦
Z
1⁄3
30
� 1 = 30�
70
�5⁄3 = 42�
50
�1⁄3 = 150�
Como en la fila Z, aún tenemos coeficientes negativos, −5⁄3, significa que no hemos
llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
a) La variable que entra en la base es x, por ser la variable que corresponde al
coeficiente −5⁄3
b) Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna
entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote y como el menor
cociente positivo es 30, la variable de holgura que sale de la base es S1.
c) El elemento pivote, ya tiene el valor de 1.
Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la nueva tabla:
3ª. Iteración del simplex
Variables Variable de
Base
decisión
Variable de holgura
Valor
X
Y
S1
S2
S3
𝑥
1
0
1
0
-1
S2
0
0
1
𝑦
0
1
−5⁄3
4⁄3
0
0
5⁄3
0
Z
−1⁄3
0
2⁄3
−1⁄3
30
30 �−1 = −30�
20
20 �4⁄3 = 15�
40
40 �2⁄3 = 60�
250
Nuevamente tenemos un valor negativo, en la fila de Z, por lo tanto continuamos el
proceso de búsqueda de solución óptima.
a) La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al
coeficiente −1⁄3
15
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
b) Dividimos los coeficientes de la última columna entre los términos
correspondientes de la nueva columna pivote y como el menor cociente positivo
es 15, tenemos que la variable de holgura que sale es S2.
c) El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es −1⁄3.
Obtenemos la tabla:
Solución óptima
Variables
Variable de decisión
Base
Variable de holgura
Valores solución
X
Y
S1
S2
S3
1
0
45
0
0
1
15
𝑦
0
1
3⁄4
0
S2
−1⁄4
0
30
0
0
1⁄4
0
255
𝑥
Z
−5⁄4
1⁄2
5⁄4
3⁄4
− 1⁄2
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a
la solución óptima.
La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en
nuestro caso: 255. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza,
observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la
base: 𝒙 = 𝟒𝟓, 𝒚 = 𝟑𝟎
Interpretación geométrica del método simplex.
El proceso iterativo del simplex nos ha llevado a construir diferentes tablas de datos. En
cada una de ellas calculamos el valor de la función objetivo en los distintos vértices,
puntos extremos, en cada caso se realizó un procedimiento de prueba para saber si se
encontró el óptimo.
El proceso iterativo del Simplex
inicia en el punto 𝐼(0,0) con un
valor de la función objetivo 𝑍 = 0.
Posteriormente, el simplex nos
lleva a probar el punto 𝐴(0,50). En
esta iteración la función objetivo
se recalcula al valor de 𝑍 = 200.
16
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
El tercer paso, nos lleva al punto 𝐵(30,40), los datos se pueden verificar en la tabla que
corresponde a la esta tercera iteración. El valor de la función objetivo nuevamente se
calcula y nos entrega el valor de 𝑍 = 250.
El proceso iterativo termina al llegar al punto C(45,30) que es el punto óptimo. El valor
que corresponde a la función objetivo es el máximo Z=255.
Aún tendríamos un último punto en D(60,0). Su valor no supera el encontrado en el punto
anterior.
En el ejercicio anterior el Método Simplex hace uso de la propiedad de que la solución
óptima de un problema de Programación Lineal se encuentra en un punto extremo del
dominio de puntos factible, por lo cual, la búsqueda secuencial del algoritmo se basa en la
evaluación progresiva de estos vértices hasta encontrar el óptimo. Cabe destacar que para
aplicar el Método Simplex a un modelo lineal, este debe estar en un formato especial
conocido como forma canónica.
Entonces un programa lineal esta en forma canónica si todas sus restricciones son del tipo
‘menor o igual’, como en el siguiente ejemplo.
Maximizar 𝑍 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + 𝑐3 𝑥3
sujeto a: 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 ≤ 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 ≤ 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 ≤ 𝑏3
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
Sin embargo no todos los problemas se presentan de esta forma, como el caso de la
minimización o más aún cuando tenemos restricciones diferentes, como de igualdad o de
mayor o igual. En estos casos tendremos que utilizar una transformación mediante la
incorporación de variables artificiales.
Variables artificiales.
No siempre es posible en la tabla del Simplex disponer de un conjunto de vectores que,
convenientemente ordenados, formen la matriz identidad. Una transformación adecuada
es mediante la incorporación de nuevas variables al problema que se conocen como
variables artificiales. En primer lugar pasamos nuestro programa lineal a su forma
canónica, introduciendo de ser necesario variables de holgura; después, incluimos las
variables artificiales a las restricciones necesarias para poder obtener una matriz básica
igual a la identidad. Lógicamente para que estas variables introducidas no afecten a la
solución del problema, lo deseable es que dejen de ser básicas rápidamente y de esta
manera se anulen. La forma de conseguirlo es añadiéndolas a la función objetivo con un
17
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
coeficiente muy alto positivo, que lo representamos con la variable M. De esta manera,
para minimizar la función objetivo deben anularse estas variables, con lo que en alguna de
las iteraciones del método Simplex las variables artificiales dejan de ser básicas y a partir
de ese momento puede prescindirse de ellas.
El siguiente ejemplo ilustra la forma de utilizar las variables artificiales para obtener una
solución óptima
Encontrar la solución óptima para el siguiente programa lineal.
Maximizar
sujeto a:
𝑍 = 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≤ 6
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 ≥ 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 2
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
De acuerdo a las condiciones para resolver un programa lineal se requiere que,
a) No negatividad. Las variables de nuestro modelo tomarán siempre valores positivos
b) Todas las restricciones deben formularse como ecuaciones.
c) La parte derecha de una restricción no puede ser negativa
De esta manera, necesitamos pasar de un programa en forma canónica a un sistema de
ecuaciones ordinarias. Así,
i.
ii.
iii.
Como en el ejercicio anterior, para restricciones del tipo ≤ se añade una variable de
holgura, en la restricción.
Por cada restricción del tipo ≥, se resta una variable de holgura negativa
A las restricciones de = y ≥, se les añade una variable artificial.
Para nuestro ejemplo, las restricciones se modifican
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 𝑆1 = 6
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 − 𝑆2 + 𝑤2 = 5
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑆3 + 𝑤3 = 2
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑆3 , 𝑤1 , 𝑤2 ≥ 0
En primer lugar introducimos
variables de holgura positivas, para
las restricciones ≤ (𝑆1 ) y negativas
para las restricciones ≥ (−𝑆2 𝑦 −𝑆3 ).
Finalmente incorporamos variables
artificiales para compensar estas
variables negativas (𝑤2 𝑦 𝑤3 .
Finalmente, tendremos que incluir las variables artificiales en la función de beneficio, para
esto utilizaremos el método de la M grande. El método de la M grande permite la
eliminación de las variables negativas, hasta donde sea posible. El método utiliza la letra
18
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
M para representar un número muy grande, requiere de un valor de M suficientemente
grande para que todas las variables artificiales salgan de la base.
Si la función es de maximizar la función objetivo original se transforma así:
Maximizar 𝑆 = 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 0𝑆3 − 𝑀𝑤2 − 𝑀𝑤3
La transformación de la función que se incluirá en la tabla requiere que se despejen las
variables artificiales de las restricciones y sustituir y agrupar términos en la función
objetivo.
𝑤2 = 5 − 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑆2
𝑦 𝑤3 = 2 − 𝑥1 − 2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑆3
Sustituimos en la función objetivo y tendremos,
𝑍 = 3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑀(5 − 2𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑆2 ) − 𝑀(2 − 𝑥1 − 2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑆3 )
Agrupando términos nos queda la transformación.
𝑍 = (3 + 3𝑀)𝑥1 + (2 + 𝑀)𝑥2 + (1 + 3𝑀)𝑥3 − 𝑀𝑆2 − 𝑀𝑆3 − 7𝑀
La tabla inicial del simplex queda entonces,
Base
𝑆1
𝑤2
𝑤3
Z
𝑥1
1
2
1
-3-3M
𝑥2
2
-1
2
-2-M
𝑥3
3
1
2
-1-3M
𝑆1
1
0
0
0
𝑤2
0
1
0
0
𝑤3
0
0
1
0
𝑆2
0
-1
0
M
𝑆3
0
0
-1
M
Valores
6
5
2
-7M
La columna pivote, es la primera columna, el coeficiente mas negativo de Z y para
5
encontrar el renglón pivote obtenemos los cocientes, 6, 2 , 2; corresponde a el tercer
renglón; por lo tanto el pivote es el elemento 𝑎1,3 = 1. La variable de decisión 𝑥1 , entra a
la base
Base
𝑆1
𝑤2
𝑥1
Z
𝑥1
0
0
1
0
𝑥2
0
-5
2
4+5M
𝑥3
1
-3
2
5+3M
𝑆1
1
0
0
0
𝑤2
0
1
0
0
𝑤3
-1
-2
1
3+3M
𝑆2
0
-1
0
M
𝑆3
1
2
-1
-3-2M
Valores
4
1
2
6-M
Entra a la base la variable 𝑆3 , que es la columna pivote, y el renglón pivote de acuerdo a
los cocientes, 4, 1⁄2; por lo tanto, sale de la base la variable artificial 𝑊2 , que corresponde
19
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
al segundo renglón. El pivote es el elemento 𝑎2,6 = 2. En este caso entra a la base una
variable de holgura.
Base
𝑆1
𝑆3
𝑥1
Z
𝑥1
0
0
1
0
𝑥2
𝑥3
5⁄2
5⁄2
−5⁄2
−1⁄2
−3⁄2
1⁄2
−7
1
2
2
𝑆1
1
𝑤2
−1⁄2
1⁄2
1⁄2
0
0
0
3
2
+𝑀
𝑤3
0
𝑆2
1�
2
⁄
−1 2
−1⁄2
-1
0
M
3
−2
𝑆3
0
1
0
0
Valores
7⁄2
1⁄2
5⁄2
15
2
Ahora el pivote es el elemento 𝑎1,2 = 2.5. La variable de decisión 𝑥2 entra a la base.
Base
𝑥2
𝑆3
𝑥1
Z
𝑥1
0
0
1
0
𝑥2
1
0
0
0
𝑥3
1
1
1
4
𝑆1
2⁄5
1
1⁄5
7
5
𝑤2
−1⁄5
0
2⁄5
4
5
𝑤3
0
-1
0
M
+𝑀
𝑆2
1⁄5
0
−2⁄5
−
Valores
7⁄5
4
16⁄5
𝑆3
0
1
0
0
4
5
62
5
Ahora el pivote es el elemento 𝑎1,4 = 0.2. Deja la base la variable de decisión 𝑥2 y entra
la variable de holgura 𝑆2 .
Base
𝑆2
𝑆3
𝑥1
Z
𝑥1
0
0
1
0
𝑥2
5
0
2
4
𝑥3
5
1
3
8
𝑆1
2
1
1
3
𝑤2
-1
0
0
M
𝑤3
0
-1
0
M
𝑆2
1
0
0
0
𝑆3
0
1
0
0
Valores
7
4
6
18
Finalmente el algoritmo del Simplex se detiene, no tenemos coeficientes negativos en la
función objetivo el máximo beneficio y la solución es 𝑥1 = 6; 𝑥2 = 0; 𝑥3 = 0, para
𝑍 = 18
Una consideración final sobre las variables artificiales. Si en la tabla final del simplex; en la
base, tenemos al menos una variable artificial no negativa, el problema no tiene solución.
No existe un área de soluciones factible.
Caso Minimización
En un problema de minimización, a diferencia de la maximización, para que una variable
entre a la base, se elige la variable cuyo valor, en la función objetivo, es la que tiene el
coeficiente positivo más grande, la consideración del renglón pivote no cambia. Tenemos
una solución óptima cuando todos los coeficientes del renglón Z son todos menores o
iguales a cero.
20
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Ejemplo. Sea el siguiente programa lineal;
Minimizar 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3
sujeto a:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ≥ 5
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 6
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
Las restricciones del tipo ≥ nos obliga a trasformar el problema para utilizar variables
artificiales. De esta forma el programa lineal trasformado será el siguiente:
Minimizar
sujeto a:
𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑆1 + 𝑤1 = 5
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑆2 + 𝑤2 = 6
Minimizar
sujeto a:
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑤1 , 𝑤2 ≥ 0
𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑀𝑤1 + 𝑀𝑤2
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑆1 + 𝑤1 = 5
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑆2 + 𝑤2 = 6
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑤1 , 𝑤2 ≥ 0
agrupan términos en la función objetivo.
𝑤1 = 5 − 𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑆1
Sustituir en la función objetivo
Ajustamos el modelo, con la
incorporación de variables de
holgura negativa y para compensar
variables artificiales.
Se incluyen con signo positivo la
constante M en la función objetivo.
Se despejan las variables artificiales
de las restricciones y se sustituyen y
𝑦 𝑤2 = 6 − 2𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑆2
𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 + 5𝑥3 + 𝑀(5 − 𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑆1 ) + 𝑀(6 − 2𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑆2 )
Agrupando términos y finalmente
𝑍 = (3 − 3𝑀)𝑥1 + (4 − 3𝑀)𝑥2 + (5 − 5𝑀)𝑥3 + 𝑀𝑆1 + 𝑀𝑆2 + 11𝑀
El arreglo Simplex será el siguiente:
Base
𝑤1
𝑤2
Z
𝑥1
1
2
-3+3M
𝑥2
2
1
-4+3M
𝑥3
3
2
-5+5M
𝑠1
-1
0
-M
𝑠2
0
-1
-M
𝑤1
1
0
0
𝑤2
0
1
0
Valores
5
6
11M
21
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Para elegir la columna pivote, seleccionamos el coeficiente de 𝑍 más grande. Partiendo de
que M tiene un valor positivo suficientemente grande, entonces la columna de 𝑥2 es la
que entra a la base. Por otro lado, para elegir la variable que sale de la base, dividimos la
columna de valores por su correspondiente coeficiente de la columna pivote. En nuestro
5
6
caso tenemos los valores de: 3 = 1.66 𝑦 𝑑𝑒 2 = 3. Por lo tanto el pivote será el primer
elemento de la columna base, 3. Así, entra a la base la variable 𝑥3 y sale la variable
artificial 𝐴1 . El nuevo arreglo del simplex, de acuerdo al procedimiento de cálculo
anteriormente expuesto, es el siguiente:
Base
𝑥3
𝑤2
Z
𝑥1
1�
3
4/3
−4
4
+ 𝑀
3
3
𝑥2
2/3
-1/3
−2 𝑀
−
3
3
1ª, Iteración del simplex
𝑥3
𝑆1
𝑆2
-1/3
0
1
𝑤1
1⁄3
0
2/3
-1
-2/3
0
−5 2
+ 𝑀
3
3
-M
5 5
− 𝑀
3 3
𝑤2
0
Valores
5/3
0
25 8
+ 𝑀
3 3
1
8/3
Para la elección del nuevo pivote repetimos el procedimiento, el más positivo del
coeficiente de Z. La variable 𝑥1 es candidata a entrar a la base y sale la variable artificial
𝐴2 . Finalmente tendremos un nuevo arreglo.
Base
𝑥3
𝑥1
Z
𝑥1
0
1
0
𝑥2
¾
-1/4
-1
𝑥3
1
0
0
2ª, Iteración del simplex
𝑆1
𝑆2
𝑤1
-1/2
1/4
½
1/2
-3/4
-1/2
-1
-1
1-M
𝑤2
1/4
3/4
1-M
Valores
1
2
11
Hemos encontrado el óptimo, todos los coeficientes del renglón Z son negativos. Los
valores para este punto óptimo son 𝑍 = 11 y 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 0 𝑦 𝑥3 = 1.
Un último ejercicio nos muestra cómo utilizar variables artificiales, cuando tenemos
restricciones de diferentes tipos. El procedimiento es similar ya sea se trata de un
programa de maximización o de minimización.
Ejemplo. Una empresa que fabrica alimento para aves, produce y empaca dos tipos de
comida para patos y pollos, en empaques de 20 kilos. El costo semanal de fabricar un saco
de comida para pollos es de $5 pesos y de $7 para patos. La empresa va a comercializar un
alimento mixto que sirva para los dos tipos de aves. Al alimento para pollos se le añade un
máximo de 200 unidades de vitaminas mientras que la comida para patos deberá tener un
mínimo de 100 unidades. El total de unidades de vitaminas para la mezcla deberá ser
exactamente 800 unidades.
La formulación del programa es el siguiente.
22
Raúl Urbán Ruiz
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 5𝑥1 + 7𝑥2
𝑆. 𝐴. 𝑥1 ≤ 200
𝑥2 ≥ 100
𝑥1 + 𝑥2 = 800
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
Notas de clase. Método Simplex.
(Vitaminas para pollos)
(Vitaminas para patos)
(Total de vitaminas)
Donde
𝑥1 = Vitaminas para pollos.
𝑥2 = Vitaminas para patos.
Al igual que en el caso de maximización, se comienza aumentando las restricciones y luego
la función objetivo. La primera restricción, 𝑥1 ≤ 200 tiene un signo ≤ por lo tanto se le
asigna una variable de holgura positiva.
La segunda restricción, 𝑥2 ≥ 100 tiene un signo mayor e igual. Para igualar la restricción
habrá que restar una variable de holgura. Esta variable se conoce como una variable de
holgura negativa o de excedente o superflua.
𝑥2 − 𝑆2 = 100
Como el método simplex comienza en el origen, esto significa desafortunadamente que en
el punto inicial (0,0) el valor de la variable 𝑆2 será de -100.
No es permitido un valor negativo para la variable de holgura. Este valor negativo
representa la falta de recurso. No se puede asignar una cantidad negativa de vitaminas.
Para remediar esta situación se le asignará una variable “artificial” a la restricción al lado
izquierdo en adición a la variable de holgura negativa. La variable artificial absorberá la
negatividad de la variable de holgura.
𝑥2 − 𝑆2 + 𝑤2 = 100
La variable artificial posee un subíndice de 2 porque pertenece a la segunda restricción. Su
interpretación, es de una variable de holgura negativa que demuestra por cuántas
unidades la solución final violenta la segunda restricción. Cuando se encuentra una
solución que no violente la restricción, w2 será cero y se quedará con ese valor. Su único
propósito es el proveer una solución inicial con valores no negativos.
La tercera restricción, 𝑥1 + 𝑥2 = 800 (total de unidades de vitaminas), se le añadirá una
variable artificial para no violentar la restricción. A menos que la restricción pase por el
origen, de lo contrario existirá una diferencia entre el origen y la igualad de la restricción.
La variable artificial absorberá esta diferencia.
𝑥1 + 𝑥2 = 800
Siempre que se incorpore una variable de holgura o artificial a una restricción, habrá que
agregarlas en las demás restricciones y en la función objetivo. En una solución óptima, las
23
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
variables artificiales no pueden ser variables básicas. La razón para que estas se excluyan
en la solución óptima es que estas absorben la negatividad de la variable de holgura.
También representan por cuantas unidades no se ha cumplido con la restricción. Para
eliminar estas variables artificiales se le asigna un costo extremadamente alto para los
casos de minimización y una reducción grande en las ganancias para los casos de
maximización. En problemas de minimización las variables con costos bajos son deseables
y son las primeras en entrar a la solución y las variables con costos altos serán
rápidamente eliminadas.
Para lograr esto utilizaremos el método de la M grande. El método utiliza la letra M en vez
de unidades monetarias para representar un número muy grande. Le asigna un
coeficiente de M, costo muy alto en casos de minimización y -M, reducción de ganancias
para maximización. Las variables de holgura negativa tienen un costo de cero.
Acomodamos las restricciones y la función objetivo con sus nuevas variables de holgura y
artificiales.
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 5𝑥1 + 7𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2
𝑆. 𝐴.
𝑥1
Función de costos
+ 𝑆1
= 200
𝑥2
− 𝑆2 = 100
= 800
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑆1 , 𝑆2 ≥ 0
Al incorporar las variables artificiales el programa lineal queda:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 5𝑥1 + 7𝑥2 + 0𝑆1 + 0𝑆2 + 𝑀𝑤2 + 𝑀𝑤3
𝑆. 𝐴.
Función de costos
𝑥1
+ 𝑆1
= 200
− 𝑆2 + 𝑤2
= 100
𝑥2
𝑥1 + 𝑥2
+ 𝑤3 = 800
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑆1 , 𝑆2 , 𝑤1 , 𝑤2 ≥ 0
Despejamos las variables artificiales.
𝑤2 = 100 − 𝑥2 + 𝑆2
𝑦 𝑤3 = 800 − 𝑥1 − 𝑥2
Sustituimos en la función objetivo y tendremos,
𝑍 = 5𝑥1 + 7𝑥2 + 𝑀(100 − 𝑥2 + 𝑆2 ) + 𝑀(800 − 𝑥1 − 𝑥2 ) )
Agrupando términos nos queda la transformación.
𝑍 = (5 − 𝑀)𝑥1 + (7 − 2𝑀)𝑥2 + 𝑀𝑆2 + 900𝑀
24
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
El arreglo Simplex será el siguiente:
Base
𝑆1
𝑤2
𝑤3
Z
𝑥1
1
0
𝑥2
0
1
𝑆1
1
0
𝑆2
0
-1
𝑤2
0
1
𝑤3
0
0
Valores
200
100
1
1
0
0
0
1
800
-5+M
-7+2M
0
-M
0
0
900M
Las variables básicas son 𝑆1 , 𝑤2 𝑦 𝑤3 , mientras que 𝑥1 , 𝑥2 𝑦 𝑆2 son variables no básicas,
porque tienen cambios positivos y sus valores son cero. El valor de la variable básica 𝑆1 es
de 200 lo que indica la existencia de 200 unidades de vitaminas para pollos. Las variables
artificiales significan que no se ha cumplido con la restricción. El valor de 𝑤2 = 100,
indique que se agreguen por lo menos 100 unidades a la restricción de alimento para
patos y su incumplimiento se debe a que la solución inicial está en el punto (0,0). Lo
mismo sucede con la variable 𝑤3 .
La variable que entra a la base es 𝑥2 , es la más positiva de 𝑍. La elección de la variable que
sale de la base es 𝑤2 , la que tiene el menor cociente. El nuevo arreglo del simplex, es el
siguiente:
Base
𝑆1
𝑋2
𝑤3
Z
𝑥1
1
0
𝑥2
0
1
𝑆1
1
0
𝑆2
0
-1
𝑤2
0
1
𝑤3
0
0
Valores
200
100
1
0
0
1
-1
1
700
-5+M
0
0
-7+M
7-2M
0
700+700M
El análisis del cuadro anterior nos indica que el costo para la mezcla es de 700 + 700𝑀,
que es alto. El punto extremo (0,100) indica una combinación de 0 unidades de
vitaminas para pollos y 100 para patos. La variable de holgura 𝑠1 =200. Esto indica una
disponibilidad de 200 unidades. En el caso de la variable básica 𝑤3 , el valor de 700, al
sustituir en la restricción aumentada incumple la condición ya que 𝑥1 + 𝑥2 + 700 = 800
Base
𝑥1
𝑥2
𝑤3
Z
𝑥1
1
0
𝑥2
0
1
𝑆1
1
0
𝑆2
0
-1
𝑤2
0
1
𝑤3
0
0
Valores
200
100
0
0
-1
1
-1
1
500
0
0
5-M
-7+M
7-2M
0
1700+500M
En esta tercera iteración del simplex, las variables básicas son 𝑥1 con valor de 200, 𝑥2 que
vale 100 y 𝑤3 con 500. El costo para esta solución sigue siendo muy alto, $1700 + $500M,
25
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
esto se debe a que la variable artificial 𝑤3 está en la base. No se detiene el proceso
iterativo hasta que en el renglón de Z todos los coeficientes sean negativos.
De esta manera, la variable que entra a la base es 𝑆2 ya que es la única con un coeficiente
positivo, −7 + 𝑀, y el único cociente que está definido es el de 𝑤3 . Así el nuevo programa
lineal es,
Base
𝑋1
𝑋2
𝑆2
Z
𝑥1
1
0
𝑥2
0
1
𝑆1
1
-1
𝑆2
0
0
𝑤2
0
0
𝑤3
0
1
Valores
200
600
0
0
-1
1
-1
1
500
0
0
-2
0
-M
7-M
5200
Los valores de los 𝑍𝑗 , de 0 y negativos indican que la solución es óptima. Las variables
básicas son: 𝑥1 con un valor de 200 unidades, 𝑥2 con 600 y 𝑆2 con 500 unidades. La
variable 𝑆1 al igual que las artificiales, son variables no básicas. Se puede apreciar en el
arreglo anterior, que la matriz identidad pasó al lado izquierdo de la tabla.
El costo para la solución final es de 𝑍 = $5,200. De esta manera se utilizarán 200
unidades de vitaminas para pollos y 600 para patos a un costo semanal de $5,200. La
variable 𝑆2 = 500 representa un exceso de 500 unidades de las vitaminas para patos sobre
el mínimo necesario de 100 unidades.
Método Dual
El concepto de dualidad fue desarrollado por Von Neumann en 1947. Tiene una
interpretación económica muy importante en tanto que nos introduce al concepto de
precios sombra. También llamados precios de referencia. Los precios sombra vienen
dados por los valores de las variables en el óptimo del programa dual de un problema de
programación lineal. Son precios de equilibrio que responden al aprovechamiento más
eficiente de los recursos productivos; una especie de precios naturales o precios justos;
los precios que deberían regir en el mercado si el modelo de competencia funcionara
correctamente. Vamos a explicar este procedimiento mediante un ejercicio.
Una sociedad agrícola produce 2 cultivos, frijol y maíz, representados por las variables
𝑥1 𝑦 𝑥2 . Estos cultivos tienen un precio de venta de $4 y $8 pesos por kilo. En la
producción utilizan entre otros 2 insumos; fertilizante y semilla. Las cantidades de cada
insumo necesarias para obtener un kilo de cada cultivo son las siguientes:
26
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Entradas
𝑥1
Fertilizante
Semilla
𝑥2
1
1
1
4
Cantidad
disponible
10
20
a) Encontrar el plan de producción que maximiza la utilidad
b) Se desea asegurar los cultivos contra una pérdida eventual, helada, baja en
producción, etc. Por lo tanto, se desea encontrar el pago de prima de seguro
mínimo para cada cultivo, conservando la utilidad y nivel de producción.
c) Una interpretación económica de b)
Regresando a nuestro ejercicio, el programa lineal es;
Maximizar
sujeto a:
Para dibujar las restricciones,
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
𝑍 = 4𝑥1 + 8𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 10
𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 20
𝑥2 = 10 − 𝑥1 ;
si 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 10
𝑥1 = 10, 𝑥2 = 0
𝑥2 = 5 − 14𝑥1 ;
si 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 5
𝑥1 = 20, 𝑥2 = 0
Si sustituimos los puntos extremos en Z.
𝑍(0,0) = 0; 𝑍(10,0) = 40;
𝑍(0, 5) = 40
El beneficio óptimo ocurre cuando
20 10
𝑍 � 3 , 3 � = 53.33
Para encontrar las primas de seguro más bajas, para cubrir completamente las pérdidas;
es decir, remplazar el ingreso por ventas en caso de siniestro.
Hagamos 𝑢1 y 𝑢2 las primas de seguro para el fertilizante y la semilla de manera que la
prima total para cada insumo es 𝑏1 𝑢1 y 𝑏2 𝑢2 respectivamente. Además, la prima
asegurada no puede ser negativa.
𝑢1 , 𝑢2 ≥ 0
27
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Si el costo del aseguramiento es la suma de las primas por la fertilización y la semilla,
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 ∗ = 𝑏1 𝑢1 + 𝑏2 𝑢2
No importa cuales sean los valores individuales de los diferentes insumos es evidente que
el aseguro combinado de todos los insumos necesarios para producir una unidad del
primer cultivo deben ser iguales a 𝑐1; esta condición se puede representar así,
𝑎11 𝑢1 + 𝑎12 𝑢2 ≥ 𝑐1
𝑎21 𝑢1 + 𝑎22 𝑢2 ≥ 𝑐2
Por lo tanto, para obtener la prima de seguro más adecuada, es necesario asegurar que la
prima total de todos los insumos requeridos para producir un kg de cada cultivo sea igual
a los kg de cultivo vendidos.
De acuerdo a lo anterior, para nuestro ejemplo, obtenemos el programa lineal siguiente:
𝑀𝑖𝑛 𝑍 ∗ = 10𝑢1 + 20𝑢2
𝑢1 + 𝑢2 ≥ 4
𝑢1 + 4𝑢2 ≥ 8
𝑢1 , 𝑢2 ≥ 0
Utilizamos el método gráfico para encontrar su solución.
𝑢1 + 𝑢2 = 4 ;
𝑢1 + 4𝑢2 = 8 ;
si 𝑢1 = 0, 𝑢2 = 4 𝑢1 = 4, 𝑢2 = 0
si 𝑢1 = 0, 𝑢2 = 2 𝑢1 = 8, 𝑢2 = 0
Los valores de 𝑍 ∗ para los
puntos extremos son los
siguientes;
𝑍 ∗ (8,0) = 80;
8 4
𝑍 ∗ �3 , 3� = 53.33;
𝑍 ∗ (0, 4) = 80
El beneficio óptimo, costo de
la prima menor, ocurre cuando
8 4
𝑍 �3 , 3� = 53.33
A fin de darle sentido económico a las variables duales, aumentamos el recurso 2 en una
unidad. El programa lineal primal, maximización, se modifica en la restricción 2.
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 4𝑥1 + 8𝑥2
28
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 10
𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 21
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
Resolvemos las restricciones como un sistema de ecuaciones.
𝑥1 + 𝑥2 = 10 (-1)
𝑥1 + 4𝑥2 = 21
_____________________
11
3𝑥2 = 11 → 𝑥2 = 3 ;
𝑥1 = 10 −
La variación en el beneficio es
19
11
𝑍 = 4�3� + 8�3� =
76
3
+
88
3
=
164
3
Como puede verificarse, la cantidad
programa dual.
=
4
3
160
3
11
3
=
19
3
4
+3
representa el valor de 𝑢2 en la solución óptima del
Es evidente que el sentido económico de las variables duales varía en función del sentido
económico del vector 𝐶, que es el beneficio asociado a una unidad de producción del
producto. Así, si 𝐶 expresa los beneficios unitarios, entonces 𝑢 representa los beneficios
marginales imputables al aumento de la cantidad disponible de un recurso.
Método Simplex-Dual
Como hemos visto antes, un programa lineal se puede presentar de dos formas
diferentes: en la forma canónica y en la estándar.
Forma canónica:
Forma dual:
Maximizar 𝑍 = 𝑐𝑥
Sujeto a:
𝐴𝑥 ≤ 𝑏
𝑥≥0
Minimizar 𝑧 ∗ = 𝑏𝑢
Sujeto a:
𝐴𝑢 ≥ 𝑐
𝑢≥0
Estos dos programas lineales se denominan comúnmente el primal y el dual. El problema
consiste en encontrar el programa dual a partir del primal, Como se muestra en el
esquema anterior. Se trata de pasar de un problema de maximización a uno de
minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión
son mayores o iguales a cero.
29
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Las variables no son las mismas, pasamos de la variables 𝑥`𝑠 a 𝑢´𝑠. Los precios o valores de
estas nuevas variables en la función objetivo a minimizar son las constantes de las
restricciones del programa primal. A cada restricción del primal corresponde una variable
dual. Las nuevas constantes de las restricciones del programa dual corresponden a los
valores de la función objetivo del primal. Finalmente se cambia el sentido de las
inecuaciones de las restricciones.
El cuadro siguiente resume la forma de encontrar el programa dual a partir del primal.
Primal
Dual
Variable
Restricción
Max
Beneficio unitario
Término de la derecha
Línea
Columna
Restricción ≤
Restricción
Variable
Min
Término de la derecha
Costo unitario
Columna
Línea
Restricción ≥
Ejemplo: Sea el programa lineal siguiente, considerado como el primal.
𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 4𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3
𝑠. 𝑎 2𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 ≤ 8
𝑥1 − 5𝑥3 ≤ 4
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ≥ 0
El programa dual que corresponde es el siguiente,
𝑀𝑖𝑛 𝑧 ∗ = 8𝑢1 + 4𝑢2
𝑠. 𝑎 2𝑢1 + 𝑢2 ≥ 4
4𝑢1 ≥ 3
𝑢1 − 5𝑢2 ≥ 5
𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ≥ 0
Si representamos es primal en forma matricial, el dual correspondería a la transpuesta de
esta matriz,
2 4
�1 0
4 3
1 8
−5 4�
5 0
y su transpuesta
2
4
�
1
8
1
0
−5
4
4
3
�
5
0
Que corresponde
al programa dual
anterior
El método simplex-dual es útil para resolver problemas en los que la forma estándar es
compleja, restricciones negativas o la aplicación del método simplex no es inmediata. Es
decir, si en un problema lineal, después de igualar a cero la función objetivo y pasar a su
30
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
forma estándar, utilizando las variables de holgura, al menos una restricción, cualquiera
de las constantes del vector de disponibilidades 𝑏 es negativa y se asegura que se tiene
solución óptima.
Si tenemos el problema de programación lineal siguiente,
𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑥1 + 4𝑥2
𝑠. 𝑎 3𝑥1 − 𝑥2 ≤ 12
𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 6
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
Si hacemos 𝑥1 = 0, el valor de 𝑥2 puede crecer sin limite y las restricciones se satisfacen,
entonces tenemos una solución óptima infinita. Su programa dual es,
𝑀𝑖𝑛 𝑧 ∗ = 12𝑢1 + 6𝑢2
𝑠. 𝑎 3𝑢1 + 𝑢2 ≥ 1
−𝑢1 − 3𝑢2 ≥ 4
𝑢1 , 𝑢2 ≥ 0
En el caso del dual, la segunda inecuación no satisface el criterio de no negatividad, ni el
primal ni el dual tienen soluciones realizables.
Teorema. Si en un programa lineal, primal o dual, tiene óptimo finito, también lo tiene el
otro y los valores óptimos de la función objetivo son iguales; es decir la solución en uno de
los programas es la misma en el otro. Si un problema no tiene una solución limitada,
entonces el otro no tiene solución factible.
De lo anterior nos lleva a los siguientes teoremas
a) Si uno de los dos problemas tiene solución optima finita, entonces el otro también la
tiene.
b) Si el problema primal tiene solución no acotada, entonces el dual no tiene solución
óptima factible (el recíproco no es cierto).
Algoritmo Simplex-Dual.
Este algoritmo inicia, de la misma manera que el simplex, eligiendo una primera base que
es el origen. La única diferencia entre ellos es el criterio para elegir las variables que
entran y salen y la regla para detener el algoritmo.
El primer paso es pasar el programa primal al programa dual. Se introducen las variables
de holgura necesarias. Si al menos uno de los valores de la parte derecha es negativo y se
31
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
satisface la condición de optimalidad, el problema puede resolverse por el algoritmo del
simplex-dual. Se construye la tabla del simplex y para seleccionar las variables que entran
y salen de la base seguimos el siguiente procedimiento,
a) La variable que sale de la base es aquella variable básica que tiene el valor más
negativo. Si todas las variables básicas son positivas, todos los elementos del
vector de las 𝑏𝑗 son positivos, el proceso se detiene y se cuanta con una solución
final óptima. Criterio de factibilidad.
b) La variable que entra a la base se elige entre las variables no básicas como sigue;
dividir los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes
correspondientes de la ecuación asociada con la variable que sale de la base, se
ignoran los cocientes asociados a denominadores cero y/o positivos. La variable
entrante es la del menor cociente, si el caso es de minimización y el de menor valor
absoluto en caso de maximización. Si todos los denominadores son ceros o
positivos, no hay solución factible. Criterio de optimalidad.
Ejemplo: Una organización de productores produce tres productos artesanales, collares y
aretes que indicaremos como 𝑥1, , 𝑥2 . Estos productos tienen un precio de venta de 14 y
12 pesos, respectivamente. Para la elaboración de estos productos se utilizan los
siguientes ingredientes, madera, hilo y semillas, que indicaremos como 𝑏1, , 𝑏2 , 𝑏3 en
kilogramos. Estas relaciones se representan en la siguiente tabla.
Insumos
𝑥1
2
3
1
𝑏1
𝑏2
𝑏3
Disponible
𝑥2
3
2
1
20
25
15
a) Encontrar el plan de producción que maximiza las utilidades, utilizando el
programa dual.
b) ¿Cuál es el máximo beneficio? ¿Cuánto aumentaría este beneficio si se dispusiera de un
kilogramo adicional de semillas?
El programa
siguiente:
Programa dual
de
maximización
es
el
𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 14𝑥1 + 12𝑥2
𝑠. 𝑎 2𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 20
3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 25
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 15
𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0
𝑀𝑖𝑛 𝑧 ∗ = 20𝑢1 + 25𝑢2 + 15𝑢3
𝑠. 𝑎 2𝑢1 + 3𝑢2 + 𝑢3 ≥ 14
3𝑢1 + 2𝑢2 + 𝑢3 ≥ 12
𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ≥ 0
32
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Primera tabla del Simplex.
Variables
básicas
𝑠1
𝑠2
𝑧∗
𝑢1
𝑢2
-2
-3
20
𝑢3
-3
-2
25
-1
-1
15
𝑠1
1
0
0
𝑠2
0
1
0
Valor
-14
-12
0
La columna del lado derecho de las restricciones tiene valores negativos; por lo tanto
aplicamos el algoritmo dual del Simplex. El valor más negativo es −14; por lo tanto la
variable que sale de la base es 𝑠1 . Para encontrar la que sale de la base obtenemos los
cocientes
Mínimo �−
20
2
,−
25
3
15
,− 1� = −
Luego la tabla queda;
Variables
básicas
𝑢2
𝑠2
𝑧∗
25
3
𝑢1
Entra la variable 𝑢2 a la base, el pivote se ubica en -2
𝑢2
2/3
-5/3
10/3
𝑢3
1
0
0
1/3
-1/3
20/3
𝑠1
-1/3
-2/3
25/3
𝑠2
0
1
0
Valor
14/3
-8/3
-350/3
8
El valor más negativo es − 3; por lo tanto la variable que sale de la base es 𝑠2 . Para
encontrar la que sale de la base obtenemos los cocientes
Mínimo �−
-2
10⁄3
20⁄3
25⁄3
, − 1⁄3 , − 2⁄3 �
5⁄3
= −2 Entra la variable 𝑢1 a la base, el pivote se ubica en
La nueva tabla queda;
Variables
básicas
𝑢2
𝑢1
𝑧∗
𝑢1
0
1
0
𝑢2
𝑢3
1
0
0
1/5
1/5
6
8
𝑠1
-3/5
2/5
7
𝑠2
2/5
-3/5
2
Valor
18/15
8/5
-122
18
a) La solución es óptima con 𝑢1 = 5 , 𝑢2 = 15 y 𝑢3 = 0. Estos valores corresponden al
beneficio marginal que se obtendría al aumentar un kilogramo de madera, de hilo
y de semilla respectivamente. El óptimo es 122.
b) Los valores de 𝑧 ∗ (𝑠1 , 𝑠2 ) = (7,2) corresponden a los valores de 𝑥1 = 7 𝑦 𝑥2 = 2 del
programa primal. El máximo beneficio es de 122,
33
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Si sustituimos en la función objetivo, del primal tendremos.
𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 14(7) + 12(2) = 122
Otro ejercicio
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
1
-2000
-1000
0
0
0
S1
0
-3
-1
1
1
-40
S2
0
-2
-2
0
0
-60
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
Z
1
-1000
0
0
-500
30000
S1
0
-2
0
1
-1/2
-10
X2
0
1
1
0
-1/2
30
V. Básica
Z
X1
X2
S1
S2
Solución
34
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
Z
1
0
-1000
-500
-250
35000
S1
0
1
-1
-1/2
1/ 4
5
S2
0
0
-2
1/ 2
-5/4
25
Resumen del método simplex para problemas de maximización.
Para solucionar un problema de maximización estándar por el método simplex, seguimos
los siguientes pasos:
1. Podemos convertir un problema de minimización, se multiplicamos la función
objetivo por menos uno. Es decir,
𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 3𝑥 + 4𝑦 − 8𝑡
→
2. Convierta las desigualdades en igualdades.
𝑀𝑎𝑥 𝑍 = −3𝑥 − 4𝑦 + 8𝑡
• Cada restricción del tipo <= puede ser llevada a una ecuación de igualdad
usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con coeficiente nulo en la
función objetivo.
• Cada restricción del tipo >= puede ser llevada a una ecuación de igualdad
usando una variable de exceso no negativa, con coeficiente nulo en la función
objetivo, para compensar el efecto de la variable de holgura negativa en la
restricción completamos con una variable artificial.
• Las restricciones del tipo “=”, Se les añade una variable artificial para no
violentar la restricción. A menos que la restricción pase por el origen, de lo
contrario existirá una diferencia entre el origen y la igualad de la restricción. La
variable artificial absorberá esta diferencia.
En una solución óptima, las variables artificiales no pueden ser variables básicas. La
razón para que estas se excluyan en la solución óptima es que estas absorben la
negatividad de la variable de holgura.
3𝑥 − 4𝑦
≤ 12
𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 ≥ 4
4𝑥 − 2𝑦 + 5𝑡 = 12
3𝑥 − 4𝑦 + 𝑆1
= 12
𝑥 + 2𝑦 − 𝑆2 + 𝐴2 = 4
4𝑥 − 2𝑦 + 5𝑡 + 𝐴3 = 12
35
Raúl Urbán Ruiz
Notas de clase. Método Simplex.
3. Escriba la tabla inicial simplex.
4. Elegir la columna pivote. Encuentre el número negativo mayor (en valor absoluto)
en el último renglón, Z. Su columna es la columna pivote. (Si hay más que una
candidata, escoja alguna.) Si no hay números negativo en último renglón, solo
existen valores positivos o cero, entonces hemos encontrado el punto óptimo. Es
decir, la solución básica que maximiza la función objetivo.
5. Escoja el pivote en la columna pivote: El pivote debe ser una entrada positiva. Para
cada entrada positiva b en la columna pivote, calcule la razón a/b, donde a es la
entrada de la última columna (valores solución) del renglón. De estos cocientes,
elegir el valor positivo menor. La entrada correspondiente b es el pivote.
6. Use el pivote para recalcular la tabla del simplex, de acuerdo al método descrito
antes. Sustituya la variable que sale de la base por la nueva variable básica.
𝑎𝑖𝑘
𝑎 𝑖≠𝑟
𝑎𝑟𝑘 𝑟𝑗
Donde 𝑎𝑟𝑘 es la posición del pivote; k es la columna pivote y r el renglón pivote.
7. Repetir pasos 3 al 5 hasta encontrar el óptimo.
𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 −
Referencias Bibliográficas
Alpha C. Chiang Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Ed. McGraw-Hill,
1987.USA
Hillier, F.S. y Liebermann, G.J. Introducción a la Investigación de Operaciones. Ed.
McGraw-Hill. 2001.
Hammond P.J. y Sydsaeter Knut. Matemáticas para el Análisis Económico. ED. Prentice
Hall, 1998. México.
Simonnard M. Programation Linéaire. Ed Dunond, 1972. Francia.
36