Cálculo de momentos de inercia Cuando el cuerpo es homogéneo y uniforme el cálculo de momento de inercia es una integral - Dividimos el cuerpo en elementos de masa infinitesimal dm , todos a la misma distancia r del eje de rotación: (1) I = ∫ r 2 dm Necesitamos determinar r y dm en términos de la misma variable de integración Para un objeto en 3D homogéneo es más fácil expresar dm en términos de un elemento de volumen dV y de la densidad (constante) ρ (2) I = ρ ∫ r 2 dV El elemento de volumen puede ser exprimido en términos de las variables de integración y los límites de integración son determinados por la forma y dimensión del cuerpo 1 Ejemplo #1 Barra delgada uniforme Sección de masa dm de longitud dx a una distancia x de O Densidad uniforme: dm dx = M L ⇒ dm = M dx L Usando I = ∫ r 2 dm : M I = ∫ x dm = L 2 ∫ L −h −h L−h M x3 1 x dx ⇒ I = = M L2 − 3Lh + 3h2 L 3 −h 3 2 ( ) 1 Para h = 0 (extremo izquierda) I = ML2 , la misma respuesta para h = L 3 L 1 ⇒ I = ML2 , mucho mas bajo (de hecho un mínima) : 2 12 2 dI L d I = − 3L + 6h = 0 ⇒ h = , y = +6 > 0 dh 2 dh 2 Si el eje pasa por el centro: h = 2 Ejemplo #2 Cilindro hueco o relleno Escogemos como elemento de volumen una capa cilíndrica delgada de radio r y espesor dr con longitud L El volumen es similar a una lámina plana de espesor dr longitud L y anchura 2π r . ⇒ dm = ρ dV = ρ 2π rLdr I = ∫ r 2 dm = ∫ r 2 ρ 2π rLdr R2 R1 R2 ⇒ I = 2πρ L∫ r 3dr = R1 2πρ L 4 πρ L 2 R2 − R14 = R2 − R12 4 2 ( ) ( )( R 2 2 + R12 ) Como el volumen esta dado por: V = π L ( R22 − R12 ) La masa es igual a: M = ρV = ρπ L ( R22 − R12 ) ⇒ I = Si el cilindro no es hueco: R1 = 0 y R2 = R ⇒ I = ( 1 M R22 + R12 2 ) 1 MR 2 2 Si la pared es muy delgada: R1 ≈ R2 = R ⇒ I = MR 2 Podríamos haber predicho este último resultado, porque en un cilindro de pared delgada, toda la masa está a la misma distancia r = R ⇒ I = ∫ r 2 dm = R 2 ∫ dm = MR 2 Observe que el momento de inercia depende solamente de la distribución radial de la masa no de su distribución a la largo del eje 3 Ejemplo #3 Esfera uniforme de radio R Dividimos la esfera en discos delgados de espesor dx con radio r = R 2 − x 2 El volumen: dV = π r 2 dx = π ( R 2 − x 2 ) dx ; Del Ej. 9.12: dI = 1 2 1 r dm = 2 2 ( R 2 − x2 La masa: dm = ρ dV = ρπ ( R 2 − x 2 ) dx ) πρ ( R − x ) dx ⇒ dI = 2 2 πρ 2 R − x2 2 ( 2 ) 2 dx Integrando de x = 0 a x = R , obtenemos el momento de inercia del hemisferio derecho Por simetría, el momento de inercia total debe ser el doble: I =2 πρ 2 ∫ (R R 0 2 ) 2 − x 2 dx ⇒ I = 8πρ 5 R 15 4 Como M = ρV = ρ π R3 3 ⇒I = 2 MR 2 5 Observe que el momento de inercia de una esfera sólido de masa M y radio R es menor que el de un cilindro sólido con misma masa y radio La razón es que una proporción mayor de la masa de la esfera es cerca del eje è distribución simétrica tiene menos inercia 4 Traslación y rotación combinadas: relación de energía En el espacio-tiempo los objetos rígidos tiene al mismo tiempo movimiento de traslación y rotación è la energía es la suma de de la energía de los dos movimientos (equipartición de energía) Cada movimiento de un cuerpo rígido puede representarse como una combinación de un movimiento de traslación del centro de masa y un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo (referencial relativo) La energía cinética de un cuerpo rígido con movimiento de traslación y rotación es la suma 1 1 2 de una parte Mvcm asociado al centro de masa y una parte I cmω 2 asociada al movimiento 2 2 de las partículas en torno de un eje pasando por el centro de masa K= (3) 1 1 2 Mvcm + I cmω 2 2 2 Demostración Consideramos el movimiento de una partícula de masa mi : r r r vi = vcm + v′i r Donde v′i es la velocidad de rotación relativa al centro de 1 r r masa – su energía cinética Ki = mi ( vi ⋅ vi ) se decompone en 2 Ki = 1 r r r r 1 r r r r r r mi ( vcm + vi′ ) ⋅ ( vcm + vi′ ) = [vcm ⋅ vcm + 2vcm ⋅ vi′ + vi′ ⋅ vi′] 2 2 = 1 2 r r v + 2vcm ⋅v i′ + vi′2 cm 2 5 La energía cinemática total es la suma sobre todas las partículas (4) 1 r r 1 2 K = ∑ Ki = ∑ mivcm + vcm ⋅ ∑ mi v 'i + ∑ mi v′i 2 i i 2 i i 2 En el segundo términos la expresión r ∑mv' i i = 0 porque es la velocidad del centro de masa i relativo al centro de masa En el primero término ∑m i = M y como por definición vi′ = rω ⇒ vi′2 = ri2ω 2 i i (5) K= 1 2 1 1 1 2 mi vcm + ∑ miri2 ω 2 = Mvcm + I cmω 2 ∑ 2 i 2i 2 2 Un caso particular importante = rodar sin deslizar En cualquier instante podemos pensar que la rueda gira alrededor de un eje de rotación instantáneo que pasa por el punto de contacto en el suelo Como el punto que toca el suelo debe ser momentáneamente en reposo: r r r r r r v1 = 0 , ⇒ v1′ + vc m = 0 o v1′ = −vcm ⇒ v1′ = Rω La condición para rodar sin deslizar (6) vcm = Rω 6 En torno del eje de rotación en contacto con el suelo ⇒ K = 1 I1ω 2 2 Pero por el teorema de los ejes paralelos: I1 = I cm + MR 2 ⇒K= ( ) 1 1 1 1 1 1 2 I1ω 2 = I cm + MR 2 ω 2 = I cmω 2 + MR 2ω 2 = I cmω 2 + Mvcm 2 2 2 2 2 2 Ejemplo #4 - Casco cilíndrico hueco que rueda El cilindro tiene una masa M un radio R y rapidez vcm I cm = MR 2 y por la condición vcm = Rω ⇒ ω = vcm R 2 1 1 v 2 2 La energía cinética: K = Mvcm + MR2 cm = Mvcm 2 2 R ( ) La mitad de la energía es traslacional y la otra es rotacional Si el cuerpo cambia de altura, debemos incluir el potencial gravitacional U = Mgycm Demostración: Para un cuerpo rígido la energía potencial de un elemento de masa mi es mi gyi La energía potencial gravitacional total es: U = ∑ mig yi = g ∑ mi yi i ∑m y ∑ m y = M ∑m i Por definición del centro de masa: i i i i i i i = ycm ⇒ ∑ mi yi = Mycm i i Donde ycm es la coordenada vertical del centro de masa del sistema De modo que para un cuerpo de masa total M, la energía potencial gravitatoria es (7) U = Mgycm La inercia es solamente la suma de las masas, no depende de su distribución en el espació – todo se pasa como si la masa total estaba concentrada en un punto = centro de masa del sistema 7 Ejemplo #5 - Cuerpos rodantes Consideramos diversos cuerpos rígidos de misma masa M rolando sobre un plano inclinado. ¿Cual cuerpo llegara a bajo del plano el primero? Asumimos que los cuerpos no resbalan y que no hay fricción Como cada cuerpo parte del reposo a altura h Arriba: K1 = 0 y U1 = Mgh Abajo: U 2 = 0 y K2 = Sin resbalar ⇒ ω = 1 1 2 Mvcm + I cmω 2 2 2 vcm R Los momentos de inercia puede se escribir como I cm = cMR 2 donde 0 < c < 1 depende de la geometría del cuerpo Aplicamos el principio de la conservación de la energía:U1 + K 1 = U2 + K2 2 1 1 v 1 2 2 Mgh = Mvcm + cMR2 cm2 = (1 + c ) Mvcm 2 2 R 2 2 gh (1 + c ) ⇒ vcm = 8 La velocidad lineal no depende de la masa o del radio Depende de la distribución de masa en torno de un eje pasando por el centro de masa • Un cuerpo con c menos tienes mayores velocidades lineal • Por orden de velocidad lineal creciente I cm = cMR 2 1. cilindro hueco con pared delgada ( c = 1 ⇒ v cm = gh ) 2 ⇒ vcm = 3 2. esfera hueca con pared delgada ( c = 3. cilindro sólido ( c = 4. esfera sólida ( c = 1 ⇒ vcm = 2 4 gh ) 3 2 10 gh ⇒ vcm = ) 5 7 9 6 gh ) 5 r Por un cuerpo rígido con masa M , la aceleración linear acm es la misma que si toda la masa estaba concentrada en un punto (8) r ∑F ext r = Macm Similarmente, para el movimiento de rotación alrededor del centro de masa (9) ∑τ ext = Icmα La relación es valida aunque el eje de rotación se mueve si : 1. El eje que pasa por el centro de masa es un eje de simetría 2. El eje no debe cambiar de dirección Cabe señalar que en general este eje de rotación móvil no esta en reposo en un marco de referencia inercial Si el cuerpo tiene movimiento de traslación y rotación necesitamos dos ecuaciones independientes para resolver los problemas dinámicamente 10 Ejemplo #6 - Esfera rodante Una bola de bolos sólido rueda sin resbalar por la rampa de retorno La rampa hace un ángulo β con el piso - buscamos la aceleración acm La ecuación del movimiento de traslación: ∑F x = Mgsenβ + ( − f ) = Mac m El momento de inercia de la bola: I cm = 2 MR 2 5 Solo la fuerza de fricción produce un momento de torsión La ecuación del movimiento de rotación: ∑ τ = fR = I cmα = Sin resbalar ⇒ acm = Rα deducimos que f = 2 MR 2α 5 2 Macm 5 2 Despejamos f en la ecuación de traslación Mgsenβ − Macm = Macm 5 ⇒ acm = 5 gsenβ 7 Substituimos en la expresión por la fricción: f = La aceleración es 2 5 2 M gsenβ = Mgsenβ 5 7 7 5 de su valor si la bola pudiera deslizarse sin fricción 7 11 Como f es la fuerza de fricción estática, podemos deducir cual seré el coeficiente de fricción µ s mínimo necesario para evitar el deslizamiento La fuerza normal η = Mg cos β è La fuerza máxima de fricción estática es µsη 2 f 7 Mg senβ 2 ⇒ µs = = = tan β η Mg cos β 7 Al aumentar el ángulo µ s debe ser mayor Cuando la bola comienza a resbalar vcm ≠ Rω y acm ≠ Rα Tenemos dos ecuaciones por tres incógnitas acm , f y α Necesitamos considerar la fricción cinemática Si la bola desciende una distancia h al bajar la rampa su desplazamiento es La rapidez de la bola en la basa vcm = h senβ 10 2 gh esto es el mismo resultado que antes con c = 7 5 12 Fricción por rodamiento Si la superficie y el cuerpo son rígidos no hay fricción por rodamiento Pero si la superficie es amontona delante de la esfera, por estas deformaciones la fuerza de contactos sobre la esfera actúan en un área y la fuerza normal ejerce un momento de torsión que se opone a la rotación Además hay cierto deslizamiento debido a la deformación causando una perdida de energía Esto es la fricción por rodamiento (otro ejemplo es un cuerpo deformable como un neumático) 13