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4.- Se tiene un sistema de partículas formado por tres masas puntuales de
valores m1 = m, m2 = 3m y m3 = 2m. La posición de las masas
en el instante inicial y las fuerzas externas a las que se ven
sometidas (de módulo constante F) son las que se muestran en
la figura. El centro de masas (CM) se está trasladando con una
velocidad VCM = 3 i (m/s) con respecto a O.
a) ¿Puede el CM describir una trayectoria curva?. Calcular
el momento lineal del sistema con respecto a O, ¿es
contante?. ¿Se conserva el momento angular del
sistema con respecto a O?.
G
∑F
ext
G
= M aCM
G
∑F
ext
G
G
G
= F (− j ) + F j = 0 ⇒ aCM = 0
- El CM no puede describir una trayectoria curva (aceleración
normal no nula) porque se mueve sin aceleración.
G
G
G
G
- Momento lineal p = M vCM
M = m1 + m2 + m3 = 6m vCM = 3 i
G
G
G
G
G
G
p = 6m3i = 18 m i (kg m / s ) aCM = 0 ⇒ vCM cte ⇒ p cte
G
G
G
G
G G
dL
G
- ¿Momento angular L cte?
= ∑τ ext = F (− j ) × 3 j + Fj × 4 i ≠ 0
dt
G
L no se conseva porque los momentos de las fuerzas externas no se cancelan.
b) Si en un instante dado las velocidades de las masas m1 y m2 son
respectivamente v1 = - 12 j y v2 = 6 i + 8 j (en m/s), calcular la energía
cinética interna del sistema en ese instante.
Ec = Ecint + Ecorb
Ecorb =
1
1
2
= 27 m ; Ec = ∑ mi vi2
M vCM
2
2
G
G
v1 = −12 j
G
G
G
v2 = 6 i + 8 j
v1 = 12 v2 = 100 vCM = 3
G
G
Calculamos v3 a partir de la definición de vCM (cte)
G
G
G
G
G
G
G
G
m1v1 + m2 v2 + m3v3 m (−12 j ) + 3 m (6 i + 8 j ) + 2 m v3
G
vCM =
=
= 3i
6m
6m
G
G
G
G
G
G
G
G
G
−12 j + 18 i + 24 j + 2v3 = 18 i ⇒ 12 j + 2v3 = 0 ⇒ v3 = − 6 j
Ec =
1
1
1
m122 + 3m100 + 2m 62 = 258m
2
2
2
Ecint = Ec − Ecorb = 258m − 27 m = 231m ( J )
c) Calcular el vector posición del CM en función del tiempo.
G
G
G G
rCM = ∫ vCM dt = r0 + vCM t
G
G
G
ya que vCM es constante vCM = 3i .
G
r0 vector posición del CM en t = 0
G
G
G
G G
G
G
G
G m1r01 + m2 r02 + m3 r03 m 3 j + 3m (−2 j ) + 2m 4i 8i − 3 j 4 G 1 G
r0 =
=
=
= i− j
6m
6m
6
3
2
G ⎛4
4G 1 G
G
⎞G 1G
rCM = i − j + 3 t i = ⎜ + 3 t ⎟ i − j ( m)
3
2
2
⎝3
⎠
d) Si además actuáse sobre m2 otra fuerza externa de valor F= - 2 F i
calcular la aceleración del CM. Razonar si se conservan entonces el
momento lineal y el momento angular del sistema.
G
G
- ∑ Fext = M aCM
G
G
Fext −2 Fi − F G
G
i (m / s 2 )
⇒ aCM =
=
=
M
6m
3m
G
G
dp
G
= ∑ Fext ≠ 0 ⇒ p no se conserva
dt
G
G
G G
G
G
G
- ∑τ ext = 4i × Fj + ( −2 j × 2 F (−i ) ) = 4 F k − 4 F k = 0
G
G
dL
G
= ∑τ ext = 0 ⇒ L sí se conserva
dt
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