Unidad 6 GEOMETRIA ANALITICA

Matemática I. Ciclo técnico profesional. ITSA Atlántico
Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 2.0
Unidad 6
GEOMETRIA ANALITICA
Competencias a desarrollar:
•
Determinar distancia y el punto medio de entre dos puntos dados
•
Encontrar la ecuación de una recta si se conocen un punto y la pendiente o
dos puntos de ella.
•
Determinar el radio y el centro de un círculo, si se conoce su ecuación.
•
Determinar la ecuación de un círculo, dados su centro y su radio.
•
Identificar vértices y focos de una elipse. de la que se conoce la ecuación y
viceversa.
•
Hallar vértices, foco y directriz de una parábola, de la que se conoce la
ecuación y viceversa.
•
Identificar vértices, focos y asíntotas de de una hipérbola, de la que se
conoce la ecuación y viceversa.
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Unidad 6
Elementos de Geometría Analítica
Distancia entre 2 puntos:
Se puede demostrar con facilidad que la distancia d entre los puntos P1 ( x1 , y1 ) y
P2 ( x2 , y 2 ) , es :
d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
Punto medio:
Además el punto medio entre los puntos P1 y P2 es el punto M, determinado por:
M =(
x1 + x2 y1 + y2
,
)
2
2
Ejercicios:
1)
En cada uno de los ejercicios del 1 al 5 realiza lo siguiente:
a) Encuentra la distancia d(A,B) entre los puntos A y B.
b) Halla el punto medio del segmento AB
1) A(4,-3) ; B(6,2)
2) A(-5,0) ; B(-2,-2)
3) A(7,-3) ; B(3,-3)
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4) A(-1,5) ; B(3,-5)
5) A(2,-3) ; B(-4,5)
PENDIENTE DE UNA RECTA
Definición:
Sea L una recta que no es paralela al eje y ; y sean p1 ( x1 , y1 ) y p1 ( x2 , y2 ) puntos
diferentes de L . Entonces la pendiente m de la recta L se define así:
y − y1
m= 2
x2 − x1
Si L es una recta paralela al eje Y, la pendiente no está definida.
Ejercicios: Traza la recta para cada par de puntos y encuentra la pendiente.
1)
2)
3)
4)
5)
A(2,3) ; B(4,8)
A(-6,0) ; B(0,6)
A(1,3) ; B(10,3)
A(1,7) ; B(1,-1)
A(-3,2) ; B(-3,-3)
FORMA PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DE LA RECTA
Consideremos una recta que pasa por los puntos P1 ( x1 , y1 ) y un punto P( x, y ) cuya
pendiente es m
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Por la fórmula de la pendiente tenemos que:
y − y1
o y − y1 = m( x − x1 )
x − x1
Esta última ecuación nos permite determinar la ecuación de una recta de
pendiente m que pasa por un punto fijo ( x1 , y1 )
m=
A la expresión y − y1 = m( x − x1 ) se le conoce como Ecuación de la forma Punto
Pendiente.
Ejercicios:
I.
En cada uno de los siguientes ejercicios halla la ecuación de la recta que
pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada (Bosqueja un gráfico
en cada caso)
1) (-1,2); m=3
5) (-5,1); m=0
II.
4) (0,-3); m=1/4
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 :
1) P1(5,-1); P2(0,3)
III.
IV.
2) (2,-3); m=-2
3) (4,0); m=2/3
6) (-5,1); m=indefinida
2) P1(3,4); P2(3,6)
3) P1(-2,3); P2(4,3)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es paralela al eje Y
Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es paralela al eje X
FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN O
PENDIENTE-INTERSECCION
La ecuación de la recta puede expresarse de distintas maneras. Supongamos que
la pendiente de una recta es m y su intersección con el eje Y es (0, b).
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Si elegimos (0, b). como P1 ( x1 , y1 ) y aplicamos la fórmula punto pendiente,
obtenemos:
y − b = m( x − 0) o sea y = mx + b ;
esta última expresión se llama ecuación de la recta en forma Punto-Ordenada al
Origen o Punto-Intersección.
Ejercicios:
I.
Encuentre la pendiente de cada recta y su intersección con el eje Y.
1) Y=3X+5
2) 3Y=2X-4
3) Y+2=-4(X-1)
4) 4X+5Y=-20
II.
Encuentre la ecuación de la recta si se conoce su pendiente m y su
ordenada al origen (0,b)
1) m=-1; b=-4
2) m=3; b=1
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA:
La gráfica de una ecuación lineal de la forma ax + by = c es una recta ;
y recíprocamente toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
A la expresión ax + by = c se le conoce como ecuación general de la recta (siempre
que a y b no sean ambos cero).
RECTAS PARALELAS:
Teorema: Dos rectas (no verticales) son
paralelas si y sólo si tienen la misma
pendiente.
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Si L1 || L2 entonces m1 = m2 . ( L1 || L2 : se lee L1 paralela a L2)
RECTAS PERPENDICULARES:
Teorema: Dos rectas con pendientes m1
y m2 son perpendiculares si y sólo si
m1.m2=-1
Si L1⊥L2 entonces m1.m2=-1ó m1 = − 1 .
m2
( L 1 ⊥ L2 : Se lee L1 perpendicular a L2 )
Ejercicios:
Determinación de la ecuación de una mediatríz.
Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une a (−4,3)
con (1,0) . La mediatriz debe pasar por el punto medio del segmento, entonces lo
primero será calcular el punto medio entre los puntos.
 x + x y + y2   − 4 + 1 3 + 0 
M = 1 2 , 1
,
=

2   2
2 
 2
M = − 3 , 3 = (− 1.5,1.5)
2 2
(
)
La pendiente de la recta que une los puntos (-4,3) y (1,0) es:
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y 2 − y1 0 − 3 − 3
; esta recta es perpendicular a la mediatriz; por lo tanto la
=
=
5
x 2 − x1 1 + 4
5
3 5
3
pendiente de la mediatriz será m1 = y su ecuación será y − =  x +  ; que
2 3
2
3
5
simplificada será y = x + 4 ó 5 x − 3 y + 12 = 0
3
m=
En la gráfica se ilustran el segmento y su mediatriz.
Ejercicios diversos:
I.
Escribe una ecuación para la recta que satisface las condiciones dadas:
a)
b)
c)
d)
La recta L tiene pendiente 4 y pasa por el punto (-3,4).
La recta L tiene pendiente 3 y pasa por el punto (-2,-1).
La recta T pasa por el origen y tiene pendiente 4.
La recta L tiene pendiente 1 y ordenada al origen 4
4
La recta L tiene pendiente –1 y corta al eje Y en (0,-3).
La recta R tiene pendiente 1 e intersección con el eje X es –2
4
La recta R tiene una intersección con el eje X de 5 y una intersección con el eje
Y de –1.
La recta V es vertical y pasa por el punto (-3,4).
La recta H es horizontal y pasa por el punto (-3,4).
e)
f)
g)
h)
i)
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II.
¿Qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos
cosas?.
a) Y=3X-2; 6X-2Y=0
d) 2X+5Y=3; 10X-4Y=7
III.
a)
b)
c)
d)
IV.
V.
VI.
b) X=-2; Y=4
c) X=2(Y-2); Y=-1/2(X-1)
Encuentre la recta que pasa por (2,-1) y que:
pasa por (-3,5)
es paralela a 2X-3Y=5
es perpendicular a X+2Y=3
es perpendicular al eje Y
Encuéntrese la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
X+2Y=1 y 3X+2Y=5 y que es paralela ala recta 3X-2Y=4
La recta L es perpendicular a la recta 2X+3Y=6 y pasa por el punto (−3,1) .
¿Dónde corta al eje Y?
Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une los
puntos donde la recta 5Y-3X=2, intercepta a los ejes.
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El Círculo:
Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos de un plano cuya
distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama el centro, C, y la
distancia constante al centro del círculo se llama el radio, r (donde r>0).
Coloquemos un círculo de radio r en el plano cartesiano, con el centro en el punto
(h, k ) , elijamos un punto en el plano y llamémosle ( x, y ) . Véase en la siguiente
figura:
Círculo con centro en (h, k) y radio r
La definición de un círculo nos dice que para que ( x, y ) esté en el circulo la
distancia del centro (h, k ) a ( x, y ) debe ser r .
Por la fórmula de la distancia, tenemos:
(x
− h) + ( y − k )
2
= r
2
Si eliminamos el radical, elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación se
obtiene lo siguiente:
(x
− h) + ( y − k ) = r 2
2
2
A esta fórmula se le conoce como la forma canónica o forma estándar de la
ecuación de un círculo con centro (h, k ) y radio r .
El centro y el radio son todo lo que se necesita para describir o graficar un círculo.
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Ejemplo 1 Determinar la ecuación de un círculo con:
(a) Centro (2, 5) y radio 6
1

(b) Centro  ,−3  y radio
2

Solución
2
(a) Si observamos la forma canónica, puesto que el centro es (2, 5), tenemos
h = 2 y k = 5; como el radio es 6, r = 6.
(x − h )2 +( y − k )2 = r 2 Sustituimos
( x − 2 )2 + ( y − 5 ) 2 = 6 2
h = 2 , k = 5, y r = 6
x 2 − 4 x + 4 + y 2 − 10 y + 25 = 36 , ordenando y reduciendo términos
semejantes nos queda:
x 2 + y 2 − 4 x − 10 y − 7 = 0
1

(b) Puesto que el centro es  ,−3  , y el radios
2

1
h = , k = −3 y r = 2 ,
2
( x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
2
1

2
 x −  + ( y − (− 3)) =
2


2 , tenemos que:
( 2)
2
2
1

2
 x −  + ( y + 3) = 2
2


Por lo tanto, la ecuación del círculos es
2
1

2
 x −  + ( y + 3) = 2 si desarrollamos los binomios, queda:
2


29
x2 + y2 − x + 6y +
= 0
4
Aunque ambas formas de la respuesta son aceptables, la forma canónica de la
ecuación tiene la ventana significativa de facilitar el reconocimiento del centro y del
radio.
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Ejemplo 2 Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:
(a) ( x + 3) + ( y − 4 ) = 8
2
(b) x 2 + y 2 = 9
2
Solución
(a) Reconocemos que la ecuación dada está en la forma canónica para la
2
2
ecuación de un círculo, ( x − h ) + ( y − k ) = r 2 de modo que podemos leer
los valores h, k y r , teniendo cuidado con los signos.
x −h = x +3
y −k = y − 4
−h = 3
k = 4
r =
r = 8
h = -3
8 = 2 2
Así, el centro del círculo es (-3, 4); el radio es 2 2 ≈ 2.8. Con esta
información, podemos trazar fácilmente la gráfica del círculo, como aparece
en la figura siguiente:
(x
+ 3) + ( y − 4 ) = 8
2
2
(b) La ecuación x 2 + y 2 = 9 también está en forma canónica.(Se puede
pensar como ( x − 0 ) + ( y − 0) = 3 2. ) En consecuencia, el centro es (0,0)
y el radio es 3. La gráfica se muestra a continuación
2
2
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Ejemplo 3 Determinar el centro y el radio de x 2 + y 2 − 4 x + 8 y = 5
Solución Determinados el centro y el radio completando el cuadrado.
x2 + y 2 − 4 x + 8 y = 5
(x
2
− 4x +
) + (y
2
+ 8y +
)= 5
Sumamos 4 y 16 a los dos lados de la ecuación.
(x
2
) (
)
− 4 x + 4 + y 2 + 8 y + 16 = 5 + 4 + 16
Reescribimos las expresiones cuadráticas en forma factorizada.
(x − 2)2 + ( y + 4)2 = 25
Así, tenemos un círculo con centro (2,−4 ) y radio
25 = 5 .
Ejercicios
En los ejercicios 1-3, escriba una ecuación del círculo con el centro C y el radio r
dados.
1. C = (2,3);
1 
2. C =  ,4  ;
2 
 3

3. C =  − ,−2  ;
 2

r=3
r=6
r=
7
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En los siguientes ejercicios, identifique el centro y el radio del círculo dado.
4.
(x
− 3) + ( y − 2) = 16
2
2
5. x 2 + y 2 = 16
6. x 2 + ( y + 2) = 72
2
7. x 2 + y 2 + 6 y = 0
8. x 2 − 4 x + y 2 = 1
9. Trace la gráfica de cada uno de los siguientes círculos:
a.
(x
− 2 ) + ( y + 3) = 4
2
2
b. x 2 + y 2 + 6 x − 10 y + 33 = 0 .
c. x 2 + y 2 − 4 x + 12 y − 9 = 0
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La Parábola:
Una parábola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo
es igual a su distancia a una recta fija. El punto fijo es el foco y la recta fija es la
directriz. Véase la figura siguiente:
Figura 1
La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de
simetría, y el punto donde la parábola interseca a su eje de simetría es el vértice.
Véase la figura siguiente:
Figura 2
Analizaremos las parábolas que tienen su eje de simetría horizontal o vertical.
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La parábola con vértice (0,0)
Llamaremos p a la distancia entre el foco y el origen (p>0), de modo que la
distancia entre el origen y la directriz también es p. Por lo tanto, las coordenadas
del foco F son (0, p ) y la ecuación de la directriz es y = − p . Véase la figura 3
Figura 3
Por definición de una parábola, si elegimos cualquier punto P ( x, y ) de la parábola,
la distancia de P( x, y ) al foco F (0, p) , es igual a la distancia del punto P( x, y ) al
punto L( x,− p ) . (Observe que L( x,− p ) es el punto que se utiliza para determinar la
distancia perpendicular a la directriz que es la recta y = -p.)
PF = PL
(x
− 0) + ( y − p )
(x
2
=
2
(x
Utilizamos la formula de la distancia
− x) + ( y + p)
− 0) + ( y − p ) = ( y + p )
2
2
2
2
elevamos al cuadrado a ambos
lados para obtener
2
x 2 + (y − p) = (y + p)
x 2 + y 2 − 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p 2 , Lo que implica
2
2
x 2 = 4 py
A esta fórmula se le conoce como la forma canónica de la ecuación de una
parábola con foco (0, p ) y directriz y = − p .
Ésta es una parábola con vértice en el origen y que tiene al eje y como su eje de
simetría.
Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola y = −
95
1 2
x .
3
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Solución Para una parábola dada en la forma x 2 = 4 py , sabemos que la
ecuación de la directriz es y = − p y el foco es (0, p ) , por lo que necesitamos
identificar p.
1
Podemos escribir la ecuación y = − x 2 en la forma x 2 = 4 py , despejando x 2 :
3
1 2
y = − x ⇒ x 2 = −3 y
3
Comparamos esto con la forma canónica para identificar p:
x 2 = 4 py
3
Vemos que 4 p = −3 ⇒ p = − .
x 2 = −3 y
4
3
3

Por lo tanto, el foco es  0,−  y la directriz es y = . Véase la figura 4.
4
4

Figura 4.
Ahora analizaremos la parábola con vértice en el origen pero simétrica con
respecto del eje x. El foco es F ( p,0) y la directriz x = − p , como vemos en la
figura siguiente (fig 5)7:
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Figura 5
Como en el caso de la parábola simétrica con respecto al eje y , podemos deducir
la ecuación de la parábola simétrica con respecto al eje x utilizando la fórmula de
la distancia.
Obtenemos lo siguiente: y 2 = 4 px , ésta es la parábola con vértice en el origen y
que tiene como eje de simetría al eje x
Luego: la forma canónica para la ecuación de una parábola con foco F ( p,0) y
directriz x = − p es:
y 2 = 4 px
Observemos más de cerca las diferencias entre las dos formas canónicas: El
elemento clave para determinar si la parábola abre hacia arriba (abajo) o hacia la
derecha (izquierda) es el término de segundo grado (al cuadrado). Sólo existe un
término de segundo grado en al ecuación de la parábola; si existe un término x 2 ,
la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (simetría con respecto del eje y), pero
si existe un término y 2 , la parábola abra hacia la derecha o hacia la izquierda
(simetría con respecto del eje x).
Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola x = 2 y 2 .
Solución: Observemos que como existe término y 2 (y no existe x 2 ), tenemos una
parábola simétrica con respecto del eje x y utilizamos la forma y 2 = 4 px .
97
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1
x.
2
Comparamos esto con la forma canónica de la parábola, con vértice en el origen y
simétrica con respecto al eje x para identificar p:
y 2 = 4 px
1
1
1
tenemos 4 p =
y2 =
x
⇒ p =
2
2
8
1
1


El foco  ,0  y la directriz es x = − . Véase la figura 6
8
8


Despejamos y 2 , en x = 2 y 2 ⇒ y 2 =
Figura 6
Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si su foco
es (0, -3).
Solución Como el foco (0,-3) está sobre el eje y , la parábola es simétrica con
respecto del eje y, su ecuación será de la forma x 2 = 4 py . Como tenemos que el
foco es (0, -3), entonces p = −3 . Por lo tanto, la ecuación es x 2 = 4(− 3) y , o sea
x 2 = −12 y
EJERCICIOS
PROPUESTOS
Encuentra el vértice, foco y directriz de la parábola. Traza su gráfica, mostrando el
foco y la directriz.
1. 8 y = x 2
3. ( x + 2 ) = −8( y − 1)
2. 2 y 2 = −3 x
2
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4. ( y − 2) = 14 ( x − 3)
2
5. y = x 2 − 4 x + 2
6. x 2 + 20 y = 10
Encuentra una ecuación para la parábola de la figura:
7.
8.
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LA ELIPSE:
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de
sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos) sea una constante
positiva.
La elipse es muy útil para proporcionar un modelo matemático de varios
fenómenos físicos, como las órbitas de los planetas.
Podemos construir una elipse en papel así: clava dos tachuelas en el papel en dos
puntos cualesquiera F y F ' y sujeta los extremos de un trozo de hilo a las
tachuelas. Tras enrollar el hilo alrededor de un lápiz y tensarlo, igual que en el
punto P de la figura siguiente:
Figura 7
Mueve el lápiz de modo que el hilo se mantenga tenso, La suma de las distancias
d (F , P ) y d (F ' , P ) es la longitud del hilo y, por lo tanto, es constante; así, el lápiz
trazará una elipse con focos en F y F `. El punto medio del segmento F`F se
llama centro de elipse. Si cambiamos las posiciones de F y F ' pero mantenemos
fija la longitud del hilo, podemos variar considerablemente la forma de la elipse. Si
F y F ' están a una distancia tal que d (F , F ') sea casi la misma que la longitud del
hilo, la elipse es plana. Si d (F , F ') está cercana a cero, la elipse es casi circular. Si
F = F ' , obtendremos un círculo con centro F .
A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, escojamos el eje x como
la recta que pasa por los focos F y F ' , con el centro de la elipse en el origen. Si
F tiene coordenadas (c,0 ) con c > 0, entonces, como en la figura 8,
F ' Tiene coordenadas (− c,0) ; por lo tanto, la distancia entre F y F ' es 2c.
La suma constante de las distancias de P desde F y F ' se denotará con 2a.
Para obtener puntos fuera del eje x , debemos tener 2a > 2c; esto es, a > c . Por
definición, P( x, y ) está en la elipse si y sólo si
d (P, F ) + D (P, F ') = 2 a
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Figura 8.
Si usamos la fórmula de la distancia y eliminamos radicales, llegamos a la
siguiente ecuación:
x2 y2
+
= 1 , en donde b 2 = a 2 − c 2 .
a2 b2
Dado que c > 0 y b 2 = a 2 − c 2 , se deduce que a 2 > b 2 y, por lo tanto, a > b.
Podemos encontrar las intersecciones en x de la elipse, haciendo y = 0 en la
ecuación, de manera que obtendremos x 2 / a 2 = 1 o bien x 2 = a 2 ; en
consecuencia, las intersecciones x son a y − a. Los puntos correspondientes
V (a,0 ) y V (− a,0 ) de la gráfica se llaman vértices de la elipse (fig. 9).
El segmento de recta V 'V es el eje mayor. De igual forma, si hacemos x = 0 en la
ecuación obtenemos: y 2 / b 2 = 1, ó y 2 = b 2 . Por lo tanto, las intersecciones en y
son b y − b. El segmento entre M ' (0,−b ) y M (0, b ) se denomina eje menor de la
elipse.
Figura 9.
101
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Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje y, obtenemos la ecuación
x2 y2
+
= 1.
b2 a2
En este caso, los vértices de la elipse son (0,± a ) y los puntos extremos del eje
menor son (± b,0 ) según se expone en la figura 10.
Figura 10
Ejemplo: Graficar las siguiente elipse e identificar los focos :
x2
y2
+
= 1.
16
9
Solución
(a) Para graficar una elipse con el centro en el origen, comparamos nuestra
x2
02
ecuación con la forma canónica de la elipse 2 + 2 = 1. y obtenemos
a
b
2
2
(Recuerde que a y b son
a = 16 ⇒ a = 4 y b = 9 ⇒ b = 3 .
positivos)
Graficamos los vértices (± 4,0 ) y los extremos del eje menor, (0,±3) y
graficamos la elipse, como se muestra en la figura 11.
102
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Figura 11.
Observe que a > b y c 2 = a 2 − b 2 = 16 − 9 = 7 ⇒ c =
los focos son ± 7 ,0 .
(
)
7 . Por lo tanto,
Ejemplo: Graficar 16 x 2 + 4 y 2 = 16 Identificar sus focos
Solución Primero escribiremos la ecuación en forma canónica. Para obtener un 1
del lado derecho, debemos dividir entre16.
16 x 2 + 4 y 2 = 16
Dividimos ambos lados entre 16
16 x 2
4y2
16
+
=
16
16
16
Simplificamos.
x2
y2
+
= 1
1
4
canónica.
La ecuación está ahora en forma
Si comparamos nuestra ecuación con ambas formas canónicas de la elipse,
observamos que el denominador de y 2 es mayor que el denominador de x 2 ; por
lo tanto, como a debe ser mayor que b, utilizamos la segunda forma
x2 y2
+
= 1 una elipse con foco en el eje y. Por lo tanto,
b2 a2
a2 = 4 ⇒ a = 2 y b2 = 1 ⇒ b = 1
Graficamos los vértices (0,±2) y los extremos del eje menor (± 1,0 ) y trazamos la
gráfica de la elipse, Véase la figura 12.
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Observe que a > b y c 2 = a 2 − b 2 = 4 − 1 = 3 ⇒ c =
0,± 3 .
(
)
3 .Los focos son
Figura 12
Ejercicios
En los ejercicios 1-5, identifique los vértices y los focos de la elipse.
1.
2.
3.
4.
5.
x2
y2
+
=
49
9
x2
y2
+
=
12
18
x2
y2
+
=
24
9
25 x 2 + 9 y 2
2 y 2 + 30 x 2
1
1
1
= 225
= 30
En los ejercicios 6-8, grafique la elipse e identifique los vértices y los focos.
x2
y2
+
= 1
49
9
7. 12 x 2 + y 2 = 24
8. 3x 2 + 8 y 2 = 12
6.
En los ejercicios 9-11, escriba la ecuación de la elipse utilizando la información
dada.
9. La elipse tiene focos en (2, 0) y (-2, 0) y vértices en (4, 0) y (-4, 0)
10. La elipse tiene focos en (0, 3) y (0, -3) y vértices en (0, 5) y (0, -5)
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11. La elipse tiene centro en el origen; su eje mayor es horizontal, con longitud
8; la longitud del eje menor es 4.
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La hipérbola
Una hipérbola es el conjunto de puntos en el plano tales que el valor absoluto de
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es una constante positiva.
Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. Vea figura siguiente:
Obtengamos una ecuación de
esta hipérbola.
Escojamos un sistema de
coordenadas con focos F1 (c,0) y
F2 (−c,0)
Por la definición de la hipérbola,
si
elegimos
cualquier
punto P( x, y ) sobre ella, el valor
absoluto de la diferencia de las
distancias de P( x, y ) a F1 (c,0) y
F2 (−C ,0)
es constante.
a
Llamemos a esta distancia
constante 2a :
O sea d ( P, F1 ) − d ( P, F2 ) = 2a
Utilizamos la fórmula de la distancia:
(x − c )2 + ( y − 0)2 − (x + c )2 + ( y − 0)2
= 2a
Si trabajamos con esta ecuación como hicimos en el caso de la elipse, obtenemos
x2 y2
−
=1
siendo b 2 = c 2 − a 2
a2 b2
Las intersecciones de la gráfica de esta ecuación con el eje x quedan
determinadas al hacer y = 0 :
x2
y2
reemplazamos y = 0 ; despejamos x .
−
= 1.
a2
b2
x2
02
−
= 1.
a2
b2
x2
= 1 ⇒ x 2 = a 2 ⇒ x = ± a , Las intersecciones con el eje x son ± a
a2
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Los puntos V1 (a,0 ) y V2 (− a,0 ) son los vértices de esta hipérbola, y el segmento
de recta V1V2 es el eje transversal (ver figura página siguiente).
El segmento de recta que une los puntos W1 (0, b ) y W2 (0,−b ) es el eje conjugado
de la hipérbola.
Lo anterior lo podemos resumir así:
La gráfica de la ecuación
x2 y2
−
= 1 , es una hipérbola con
a2 b2
centro en (0,0) y vértices en
(± a,0) . Los focos son (±c,0) ,
donde c 2 = a 2 + b 2 . Los extremos
del eje conjugado son (0,±b) . La
longitud del eje transversal es
2a , la longitud del eje conjugado
es 2b y las asíntotas de la
b
hipérbola son y = ± x
a
Ejemplo:
En la figura siguiente se muestra la gráfica de la hipérbola
x2
y2
−
= 1.
16
9
Como a 2 = 16 ⇒ a = 4 , los
vértice son (± 4,0) . Además,
b 2 = 9 ⇒ b = 3 y como
c 2 = a 2 + b 2 , tenemos que
c 2 = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5 .
Por lo tanto, los focos son
(± 5,0) .
Las asíntotas son:
3
3
y = x y la otra y = − x
4
4
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Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje y , obtenemos la ecuación
y2 x2
− =1
a2 b2
siendo b 2 = c 2 − a 2 ,
Los elementos de esta hipérbola se pueden resumir como sigue:
La gráfica de la ecuación
y2 x2
− = 1 , es una hipérbola con centro en
a 2 b2
(0,0) y vértices en (0,± a ) .
Los focos son (0,±c ) , donde c 2 = a 2 + b 2 .
Los extremos del eje conjugado son
(±b,0) .
La longitud del eje transversal es 2a , la
longitud del eje conjugado es 2b y las
a
asíntotas de la hipérbola son y = ± x
b
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1-3, identifique los vértices, los focos, y las ecuaciones de las
asíntotas de la hipérbola.
x2
y2
−
= 1
9
16
y2
x2
2.
−
= 1
12
18
3. 25 x 2 − 9 y 2 = 225
1.
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En los ejercicios 4-5, grafique la hipérbola e identifique los vértices, los focos y las
ecuaciones de las asíntotas.
x2
y2
4.
−
= 1
9
49
5. 8 x 2 − y 2 = 24
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