Resumen

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Febrero 2008, versión 1.7
1. Desigualdades
2. Funciones monótonas
3. Valor absoluto
4. Extremos absolutos sobre intervalos cerrados
5. Extremos absolutos para funciones del tipo h(x) = |g(x)|
1
Desigualdades
• Definición
a ≤ b ⇔ 0 ≤ b − a.
• Interpretación geométrica eje horizontal:
a ≤ b ⇔ a está a la izquierda de b.
• Interpretación geométrica eje vertical:
a ≤ b ⇔ a está por debajo de b.
1.1
Propiedades de las desigualdades
En lo que sigue a, b, c, d son números reales.
1. Propiedad transitiva
a≤b
b≤c
¾
⇒ a ≤ c.
2. Compatibilidad con la adición
¾
a≤b
⇒ a + c ≤ b + c.
c∈R
1
Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares. 2
3. Suma de desigualdades
a≤b
c≤d
¾
⇒ a + c ≤ b + d.
4. Compatibilidad con el producto por números no negativos
¾
a≤b
⇒ a c ≤ b c.
c>0
5. Inversión en el producto por números negativos
¾
a≤b
⇒ a c ≥ b c.
c<0
El punto más delicado es la propiedad 5, cuando multiplicamos una desigualdad por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
Por ejemplo, si tenemos 2 < 3 y multiplicamos por −4, resulta −8 > −12.
Los errores suelen producirse cuando resolvemos desigualdades como la que
aparece en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 1.1 Determina el menor entero n que cumple la siguiente desigualdad:
1
(0.85)n ≤ × 10−3 .
2
Tomamos logaritmos y obtenemos
1
n ln(0.85) ≤ ln( × 10−3 )
2
Observemos que como ln(x) es una función creciente, el signo de la desigualdad se conserva. Como ln(0.85) = −0. 16251 9, al pasarlo dividiendo,
debemos invertir el signo de la desigualdad.
n≥
ln( 12 × 10−3 )
= 46. 7693
ln(0.85)
Finalmente, como n es entero, el resultado es n = 47. 2
1.2
Inecuaciones ax + b ≤ 0
Las inecuaciones del tipo ax + b ≤ 0 pueden resolverse usando las reglas
habituales de manipulación de ecuaciones, con una excepción: si pasamos
dividiendo o multiplicando un número negativo debemos invertir el signo de
la desigualdad.
Ejemplo 1.2 Resuelve la inecuación 2x − 3 ≤ 1.
Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares. 3
Aplicando las propiedades de las desigualdades, resulta
2x − 3 ≤ 1
2x ≤ 4
x ≤ 2
la solución es x ∈ (−∞, 2]. ¤
1.3
Inecuaciones f (x) ≤ 0
Para resolver inecuaciones más generales, usamos la siguiente propiedad:
una función sólo puede cambiar de signo cuando se anula o en los puntos
de discontinuidad. Por lo tanto, si
x1 < x2 < · · · < xn
son todos los ceros y discontinuidades de f (x), la función debe tener signo
constante en los intervalos
(−∞, x1 ), (x1 , x2 ) , . . . , (xn−1 , xn ) , (xn , +∞) .
Ejemplo 1.3 Resuelve la desigualdad
2x − 1
< x − 2.
x
En primer lugar escribimos la desigualdad en la forma f (x) < 0
2x − 1
−x+2<0
x
y definimos
2x − 1
−x+2
x
El problema se reduce a determinar los intervalos dónde f es negativa. Escribimos f (x) en la forma
f (x) =
f (x) =
4x − 1 − x2
.
x
La función tiene una discontinuidad en x1 = 0, además tiene dos ceros que
son las soluciones de la ecuación
4x − 1 − x2 = 0.
Escribimos la ecuación en forma estándar
x2 − 4x + 1 = 0
Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares. 4
y resolvemos
x=
4±
√
√
√
4 ± 12
4±2 3
16 − 4
=
=
,
2
2
2
resultan las raíces
x2 = 2 −
√
3 = 0.26794 9,
x3 = 2 +
√
3 = 3.73205.
Si disponemos de forma creciente los ceros y discontinuidades de f
√
√
x1 = 0 < x2 = 2 − 3 < x3 = 2 + 3,
obtenemos que f (x) tiene signo constante en los intervalos determinados por
el conjunto de ceros y discontinuidades de f
³
³
³
´
√ ´
√
√ ´
√
I1 = (−∞, 0) , I2 = 0, 2 − 3 , I3 = 2 − 3, 2 + 3 , I4 = 2 + 3, +∞ .
Para determinar qué signo toma
f (x) en cada intervalo, tomamos un punto
³ ´
∗
∗
de prueba xj y calculamos f xj
Ij
x∗j
(−∞, 0)
√ ¢
0, 2 − 3
√ ¢
√
¡
2 − 3, 2 + 3
√
¡
¢
2 + 3, +∞
−1
¡
0.1
1
4
³ ´
f x∗j
6
−6.1
2
−1/4
⊕
ª
⊕
ª
por lo tanto, la solución es
³
´
√ ´ ³
√
I2 ∪ I4 = 0, 2 − 3 ∪ 2 + 3, +∞ . 2
2
Funciones monótonas
2.1
Definiciones
• f (x) creciente en un intervalo I si para todo x, x0 ∈ I con x < x0 , se
cumple f (x) < f(x0 ).
• f (x) decreciente en un intervalo I si para todo x, x0 ∈ I con x < x0 , se
cumple f (x) > f (x0 ).
½
— creciente
• Función monótona
— decreciente
Vemos que las funciones crecientes conservan el sentido de las desigualdades,
en tanto que las funciones decrecientes invierten el sentido de las desigualdades.
Resumen y ejemplos
2.2
Tema 1: Preliminares. 5
Criterio de monotonía
• Si una función f (x) es continua en un intervalo [a, b] y tiene derivada
positiva en cada punto interior, esto es, si f 0 (x) > 0 para x ∈ (a, b),
entonces la función es creciente en [a, b].
• Análogamente, si una función es continua en un intervalo [a, b] y tiene
derivada negativa en cada punto interior, esto es, si la derivada es
negativa, f 0 (x) < 0 para x ∈ (a, b), entonces la función es decreciente
en [a, b].
Observa que para usar los criterios de monotonía necesitamos resolver desigualdades del tipo
f 0 (x) < 0, f 0 (x) > 0.
2.3
Extremos de funciones monótonas
• Si f (x) es creciente en [a, b] ⇒
⎧
M = max f (x) = f (b)
⎪
⎪
⎨
x∈[a,b]
⎪
⎪
⎩ m = min f (x) = f (a)
x∈[a,b]
• Si f (x) es decreciente en [a, b] ⇒
⎧
M = max f (x) = f (a)
⎪
⎪
x∈[a,b]
⎨
⎪
⎪
⎩ m = min f (x) = f (b)
x∈[a,b]
Ejemplo 2.1 Dada f (x) = x2 ln(x), calcular
M = max f 00 (x).
x∈[2,3]
Tenemos
f (x) = x2 ln(x),
f 0 (x) = 2x ln x + x,
f 00 (x) = 2 ln x + 3.
La función objetivo es
h(x) = 2 ln x + 3.
Estudiamos la monotonía de h(x), para ello calculamos su derivada
h0 (x) =
2
,
x
como h0 (x) > 0 en [2, 3], tenemos h % en el intervalo. Por lo tanto
M = max h(x) = h(3) = 2 ln 3 + 3 = 5. 19722 ¤
x∈[2,3]
Resumen y ejemplos
3
Tema 1: Preliminares. 6
Valor absoluto
Dado un número real a, se define el valor absoluto como sigue:
½
−a si a < 0,
|a| =
a si a ≥ 0.
Otra forma de definir el valor absoluto es
√
|a| = a2 .
3.1
Propiedades del valor absoluto
En lo que sigue a, b son números reales.
1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 si y solo si a = 0
3. |a b| = |a| |b|
¯ a ¯ |a|
¯ ¯
(b 6= 0)
4. ¯ ¯ =
b
|b|
5. |an | = |a|n
6. |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdad triangular)
7. ||a| − |b|| ≤ |a − b|
8. d(a, b) = |a − b| (distancia)
9. |x − a| ≤ δ equivale a x ∈ [a − δ, a + δ]
En este curso, emplearemos frecuentemente las propiedades del valor absoluto para obtener cotas superiores de error.
Ejemplo 3.1 Determina una cota superior de
¯
¯
¯
¡ 2¢
5 ¯¯
2
¯
,
h(x) = ¯23x + sin (x) cos x − 3
x + 2¯
x ∈ [0, 1].
Aplicando la desigualdad triangular, resulta
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ¯
¯
¯ ¯
¡ ¢
¡ ¢¯ ¯
¯23x2 + sin (x) cos x2 − 5 ¯ ≤ ¯23x2 ¯ + ¯sin (x) cos x2 ¯ + ¯− 5 ¯
¯
¯
¯
3
3
x +2
x + 2¯
Como x ∈ [0, 1],
¯
¯
¯23x2 ¯ = 23x2 ≤ 23
Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares. 7
Por otra parte, tanto sin x , como cos x2 toman valores entre −1 y 1, por lo
tanto
¯
¯ ¡ ¢¯
¡ ¢¯
¯sin (x) cos x2 ¯ = |sin (x) | ¯cos x2 ¯ ≤ 1
Para el tercer término, como x ∈ [0, 1] obtenemos
¯
¯
¯
¯
5
5
¯
¯−
¯ x3 + 2 ¯ = x3 + 2
y teniendo en cuenta que
5
x3 +2
es decreciente en [0, 1], tenemos
x3
En resumen
¯
¯
¡ ¢
¯23x2 + sin (x) cos x2 −
¯
4
5
5
≤
+2
2
¯
5
5 ¯¯
≤ 23 + 1 + = 26.5 ¤
¯
3
x +2
2
Extremos absolutos sobre intervalos cerrados
Sabemos que si la función f es continua en [a, b], entonces f (x) toma un
valor máximo y un valor mínimo en [a, b] (Teorema de Weierstrass).
Un c ∈ (a, b) es un punto crítico de la función f cuando
• o bien f 0 (c) = 0,
• o bien no existe f 0 (c).
Supongamos que c1 , c2 , . . . , cn son todos los puntos críticos de f en (a, b),
entonces
M
=
m =
max f (x) = max{f (a), f (c1 ), f (c2 ), . . . , f(cn ), f (b)},
x∈[a,b]
min f (x) = min{f (a), f (c1 ), f (c2 ), . . . , f (cn ), f (b)}.
x∈[a,b]
Es decir, los extremos absolutos de una función continua en un intervalo
cerrado se producen en los puntos frontera del intervalo o en los puntos
críticos.
Ejemplo 4.1 Calcula los extremos absolutos de f (x) = x2 − 4x + 3 en el
intervalo [0, 3].
La función f es continua en [0, 3]. Determinamos los puntos críticos de f en
(0, 3) (puntos críticos interiores).
f 0 (x) = 2x − 4
Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares. 8
2x − 4 = 0
⇒
x = 2 ∈ (0, 3)
tenemos un punto estacionario interior, no hay puntos de no derivabilidad.
Calculamos
f (0) = 3, f (2) = −1, f (3) = 0
y resulta
M = max f (x) = max{f (0), f (2), f (3)} = f (0) = 3
x∈[0,3]
m = min f (x) = min{f (0), f (2), f (3)} = f (2) = −1. ¤
x∈[0,3]
5
Extremos absolutos sobre intervalos cerrados para
funciones del tipo h(x) = |g(x)|
En los temas siguientes necesitaremos calcular extremos de funciones del
tipo
h(x) = |g(x)|
en este caso, podemos calcular los puntos críticos de h determinando los
ceros y los puntos críticos de g. En efecto, si escribimos h(x) en la forma
q
h(x) = (g(x))2
y derivamos
g(x) g 0 (x)
h0 (x) = q
(g(x))2
vemos que los puntos críticos de h están incluidos en el conjunto formado
por:
• Puntos de no derivabilidad de g(x).
• Ceros de g 0 (x) (puntos estacionarios de g(x)).
• Ceros de g(x).
Ejemplo 5.1 Calcula los extremos de h(x) = |x ln x| en el intervalo [ 12 , 3]
La función h es continua en el intervalo cerrado [ 12 , 3]. Por lo tanto, tiene
extremos absolutos en el intervalo. Observamos que la función es del tipo
h(x) = |g(x)| , con g(x) = x ln x, resulta
g 0 (x) = ln x + 1
por lo tanto, los puntos críticos de h deben aparecer en uno de los siguientes
casos:
Resumen y ejemplos
Tema 1: Preliminares. 9
• Puntos de no derivabilidad de g(x). La función g(x) no es derivable en
los puntos x ≤ 0, por lo tanto no hay puntos de no derivabilidad en el
intervalo (1/2, 3).
• Puntos estacionarios de g(x):
ln x + 1 = 0
⇒
x = e−1 = 0. 3679
observamos que el punto estacionario obtenido no pertenece al intervalo [ 12 , 3].
• Ceros de g(x) :
x ln x = 0
⇒
ln x = 0
⇒
x = 1.
El conjunto de ceros y puntos críticos de g(x) en (1/2, 3) sólo tienen el
elemento x = 1. Finalmente calculamos los valores
h(1/2) = 0. 3466 , h(1) = 0,
h(3) = 3. 2958.
En definitiva,
max h(x) = h(3) = 3. 2958,
x∈[1/2,3]
min h(x) = h(1) = 0. ¤
x∈[1/2,3]
Nota. Observemos que si únicamente estamos interesados en determinar el
máximo de la función
h(x) = |g(x)|
en [a, b], podemos prescindir de los ceros de g(x) (¿por qué?)