Programación con restricciones de igualdad

UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
Departamento de Análisis Económico
MATEMÁTICAS II
Tema 3
Programación con restricciones de igualdad
FORMULACIÓN
RESOLUCIÓN
1. Eliminación de variables:
⎧max ( min ) f (x )
⎨
⎩s.a: g(x ) = b
f :D →
, g:D →
m
, D⊂
Transformar el problema en uno
equivalente sin restricciones y con
menos variables. Aplicar técnicas
de resolución vistas en el Tema 2.
n
conjunto factible S = { x ∈ D g( x ) = b}
2. Multiplicadores de Lagrange
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
(se deben cumplir condiciones de regularidad)
Función lagrangiana
L(x , λ ) = f (x ) + ⟨ λ , g(x ) − b⟩
CONDICIONES NECESARIAS
f , g ∈ C (1
(condiciones de primer orden)
∇L(x, λ ) = 0
PUNTOS CRÍTICOS
(óptimo local o punto de silla)
x0 , λ0
CONDICIONES SUFICIENTES
f , g ∈ C (2
(condiciones de segundo orden)
Hx L(x0 , λ0 ) restringida a Jg(x0 )· h = 0 es:
DP ⇒ x0 mínimo local estricto
DN ⇒ x0 máximo local estricto
I ⇒ x0 punto de silla
1
UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
Departamento de Análisis Económico
MATEMÁTICAS II
Tema 3
PROGRAMAS CONVEXOS
S conjunto convexo y x0 ∈ S punto crítico del programa, se verifica:
f estrictamente convexa en S
f convexa en S
⇒ x0 mínimo global
f estrictamente cóncava en S
f cóncava en S
⇒ x0 mínimo global y único
⇒ x0 máximo global y único
⇒ x0 máximo global
INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Si x0 ∈ S
es óptimo local del programa con multiplicadores de Lagrange asociados
λ0 = ( λ01, λ02 ,… , λ0m ) ⇒
∂f ( x0 )
= −λ0j , j = 1,2, … m
∂bj
2