Aplicaciones del álgebra lineal

APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL
1. AUTORES
2. ALGEBRA VECTORIAL
3. APLICACIONES DEL ALGEBRA EN:
•
LA INDUSTRIA
•
LA TECNOLOGÍA
• EL TRANSPORTE
• CIENCIA
a. FISICA
b. CIENCIA OCEÁNICA
• COMUNICACIÓN
a. CRIPTOGRAFIA
INGENIERÍA EN SISTEMAS
SEDE COBÁN ALTA VERAPAZ
GUATEMALA, C.A
AUTORES
Celso Manuel Armando Caal Tox
Carné 902-01-06192
Email: arma28081981@hotmail.com
celsotox@yahoo.com
María Elena Chinchilla Quim
Carné 902-02-09030
• ALGEBRA VECTORIAL
Este tipo del álgebra se aplica en dos y tres dimensiones, en el comercio
se aplica para construir objetos como mesas, sillas y otros, aunque no
veamos los vectores, los imaginamos y así construimos los objetos en
planos.
Por ejemplo
Crear objetos tridimensionales encontrando puntos (x, y, z)
APLICACIONES DEL ÁLGEBRA
El álgebra lineal tiene diferentes aplicaciones en la vida, para organizar de mejor
forma los sistemas económicos de una empresa, industria, ciudad, etc. A
continuación algunas de éstas aplicaciones:
Aplicaciones del álgebra en el campo de la industria:
En la industria se aplica para poder conocer los módulos de los
componentes tangencial y normal de la aceleración de las partículas que
van a utilizarse para crear algún objeto, como por ejemplo los motores de
los autos
Por ejemplo:
Una partícula se mueve a lo largo de la curva r= (t3 -4t)i + (t2 + 4t)j +
(8t3 – 3t3)k, siendo t = 2 hallar los módulos tangencial y normal de su
aceleración en el instante t=2.
Solución: Tangencial 16, normal 17.1
Aplicaciones del álgebra en el campo de la tecnología:
En la tecnología la aplicación de los circuitos electrónicos para la computación y
fabricación de otros tipos de artículos, calculando voltajes y resistencias.
R1
+
+
10v
R2
-
i1
M1
+
+
-
-
+
-
i2
M2
V10 - VR - V15 = 0 M1
V15 - VR - V25 = 0 M2
10 – i1 R1 - 15 = 0
- 5 = - i1R1
-5 . = i1
R1
15 – i2 R2 - 25 = 0
- 10 = - i2R2
-10 . = i2
R2
Aplicaciones del álgebra en el campo del Transporte:
Álgebra matricial
Esta se aplica en la industria y la tecnología como el movimiento de los
automóviles de entrada y salida en una cantidad de calles determinada.
Este tipo de cálculo del álgebra matricial es de mucha importancia en la
estadística.
Ejemplo:
El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con
el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está
dado como promedio de carros por hora.
X4 + 200 = 300 + X1
X1 + 100 = 400 + X2
X3 + 750 = 250 + X4
X2 + 300 = 400 + X3
=
=
=
=
X4 - X1 = 100 - - - - - - A
X1 - X2 = 300 - - - - - -B
X4 – X3 = 500 - - - - - -C
X3 – X2 = -100 - - - - - --D
X1 X2 X3 X4
-1
1
0
0
0
-1
0
-1
0
0
-1
1
1
0
1
0
100
300
500
-100
Eliminación por el método Gauss Jordan
X1 X2 X3 X4
-1
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1
1
1
0
100
400
500
0
-X1 + X4 = 100
-X2 + X4 = 400
-X3 + X4 = 500
X4 = X4
Tomamos algún valor de los tres para encontrar el mínimo tráfico que se podría
permitir.
X4 = 100
-X1 + 100 = 100
- X1 = 0
X1 = 0
-X3 + 100 = 500
-X3 = 400
X3 = -400
X4 = 500
-X1 + 500 = 100
X1 = 400
-X2 + 100 = 400
- X2 = 300
X2 = -300
-X2 + 500 = 400
X2 = 100
-X3 + 500 = 500
X3 = 0
APLICACIONES DEL ALGEBRA EN LA CIENCIA
Especialmente las diferentes ciencias se apoyan en el álgebra lineal a través de vectores,
matrices, etc. para realizar cálculos exactos. A continuación algunas ciencias que se apoyan
en el álgebra lineal:
Aplicaciones del álgebra en el campo de la física:
1. En la física se aplica para calcular el desplazamiento de los vehículos:
por ejemplo:
Hallar el desplazamiento resultante de un avión que recorre 200Km.
Hacia el oeste y luego 150Km. Hacia el oeste 60º norte:
Solución: módulo 304.1km. Dirección y sentido oeste 25º 17’ norte.
2. En la física el álgebra lineal tiene una aplicación importantísimo y de
enorme empleo en:
a. La teoría de la relatividad
b. Geometría diferencial
c. Mecánica teórica
d. Elasticidad
e. Hidrodinámica
f. Teoría del electromagnetismo y otros.
Aplicaciones del álgebra en el campo de la Ciencia
oceánica
En la ciencia de la oceanología también se aplica el álgebra Matricial.
Por ejemplo:
El crecimiento de las generaciones de los tiburones.
Para calcular las generaciones de los tiburones se utilizan matrices elevadas al
cuadrado para la segunda generación, al cubo para la tercera, etc.
1
5
A=
2
2
6
6
Donde A sea la matriz que represente la primera generación de tiburones
A2 =
A2 =
A3 =
1
5
1
25
1
125
2
2
4
4
8
8
6
6
36
36
1
5
1
5
216
216
A2 representa la segunda generación
A3 representa la tercera generación…..
2
2
2
2
6
6
6
6
COMUNICACIÓN
La comunicación también se apoya en el álgebra lineal, a través de matrices.
CRIPTOGRAFÍA
Podemos aplicar la criptografía que es en arte de la escritura secreta por medio de
códigos en una matriz.
A B C D E F G H
I
J K L M
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
N O P Q
13 12 11 10
R
9
S
8
T
7
U
6
V
5
W
4
X
3
Y
2
Z
1
Convierta el mensaje “la nave aterrizó” en una matriz A = 4 x 6
Envíe el mensaje por medio de BA (encuentre BA), donde B es la matriz invertible
dada. Descifre el mensaje multiplicando a la izquierda por la inversa de B.
Los procedimientos para enviar un mensaje encriptado son:
1. Escribir una matriz A con los valores de cada letra de la palabra a encriptarse
(esquema anterior)
2. Escoger una matriz B invertible de modo que se pueda multiplicar por la matriz
formada por el mensaje a enviar.
3. Enviar el mensaje por medio del producto AB.
4. El receptor, quien tiene en su poder la matriz B-1 descifrará en mensaje calculando
B-1(BA). Tal como se detalla a continuación.
B=
B-1 =
A=
B=
(BA) =
0
-2
0
3
-1
0
2
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
2
0
1
0
0
3
0
-1
-1
0
-1
0
0
2
15
26
13
26
5
22
22
8
11
26
24
18
26
15
26
7
0
2
0
3
1
0
-2
0
1
0
1
0
0
1
0
1
-130
-41
28
52
22
9
9
18
-68 -106 -51
-49
-59 -78
27
35 52
30
44 22
1
12
0
0
-72
-40
31
27
-24
-1
1
12
-1
B (BA) =
0
1
2
0
1
0
0
3
R//=
0
-1
-1
0
15
26
13
26
-1
0
0
2
5
22
22
8
-130 -68 -106 -51
-41 -49
-59 -78
28 27
35 52
52 30
44 22
11
26
24
18
26
15
26
7
22
9
9
18
1
12
0
0
IR AL NICIO
-72
-40
31
27
-24
-1
1
12