APLICACIONES DEL ALGEBRA LINEAL 1. 2. 3. 4. COMERCIO INDUSTRIA TECNOLOGÍA CIENCIA a. BIOLOGIA b. COMPUTACIÓN c. FISICA d. DINAMICA • ALGEBRA VECTORIAL Este tipo del álgebra se aplica en dos y tres dimensiones, en el comercio se aplica para construir objetos como mesas, sillas y otros, aunque no veamos los vectores, los imaginamos y así construimos los objetos en planos. Por ejemplo Crear objetos tridimensionales encontrando puntos (x, y, z) • En la física se aplica para calcular el desplazamiento de los vehículos: por ejemplo: Hallar el desplazamiento resultante de un avión que recorre 200Km. Hacia el oeste y luego 150Km. Hacia el oeste 60º norte: Solución: módulo 304.1km. Dirección y sentido oeste 25º 17’ norte. • En la industria se aplica para poder conocer los módulos de los componentes tangencial y normal de la aceleración de las partículas que van a utilizarse para crear algún objeto, como por ejemplo los motores de los autos Por ejemplo: Una partícula se mueve a lo largo de la curva r= (t3 -4t)i + (t2 + 4t)j + (8t3 – 3t3)k, siendo t = 2 hallar los módulos tangencial y normal de su aceleración en el instante t=2. Solución: Tangencial 16, normal 17.1 • En la física el álgebra lineal tiene una aplicación importantísimo y de enorme empleo en: a. La teoría de la relatividad b. Geometría diferencial c. Mecánica teórica d. Elasticidad e. Hidrodinámica f. Teoría del electromagnetismo y otros. • Álgebra matricial Esta se aplica en la industria y la tecnología como el movimiento de los automóviles de entrada y salida en una cantidad de calles determinada. Este tipo de cálculo del álgebra matricial es de mucha importancia en la estadística. Ejemplo: El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como promedio de carros por hora. X4 + 200 = 300 + X1 X1 + 100 = 400 + X2 X3 + 750 = 250 + X4 X2 + 300 = 400 + X3 = = = = X4 - X1 = 100 - - - - - - A X1 - X2 = 300 - - - - - -B X4 – X3 = 500 - - - - - -C X3 – X2 = -100 - - - - - --D X1 X2 X3 X4 -1 1 0 0 0 -1 0 -1 0 0 -1 1 1 0 1 0 100 300 500 -100 Eliminación por el método Gauss Jordan X1 X2 X3 X4 -1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 1 1 0 100 400 500 0 -X1 + X4 = 100 -X2 + X4 = 400 -X3 + X4 = 500 X4 = X4 Tomamos algún valor de los tres para encontrar el mínimo tráfico que se podría permitir. X4 = 100 -X1 + 100 = 100 - X1 = 0 X1 = 0 -X2 + 100 = 400 - X2 = 300 X2 = -300 -X3 + 100 = 500 -X3 = 400 X3 = -400 X4 = 500 -X1 + 500 = 100 X1 = 400 -X2 + 500 = 400 X2 = 100 -X3 + 500 = 500 X3 = 0 • En la ciencia de la oceanología también se aplica el álgebra Matricial. Por ejemplo: El crecimiento de las generaciones de los tiburones. Para calcular las generaciones de los tiburones se utilizan matrices elevadas al cuadrado para la segunda generación, al cubo para la tercera, etc. A= 1 5 2 2 6 6 Donde A sea la matriz que represente la primera generación de tiburones A2 = A2 = A3 = 1 5 1 25 1 125 2 2 4 4 8 8 6 6 36 36 1 5 1 5 2 2 2 2 6 6 6 6 216 216 A2 representa la segunda generación A3 representa la tercera generación….. • En la tecnología la aplicación de los circuitos electrónicos para la computación y fabricación de otros tipos de artículos, calculando voltajes y resistencias. R1 + + 10v R2 - + + - i1 - + - i2 M1 M2 V10 - VR - V15 = 0 M1 V15 - VR - V25 = 0 M2 10 – i1 R1 - 15 = 0 - 5 = - i1R1 15 – i2 R2 - 25 = 0 - 10 = - i2R2 -5 . = i1 R1 -10 . = i2 R2 • Podemos aplicar la criptografía que es en arte de la escritura secreta por medio de códigos en una matriz. A B C D E F G H I J K L M 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 N O P Q 13 12 11 10 R 9 S 8 T 7 U 6 V 5 W 4 X 3 Y 2 Z 1 Convierta el mensaje “la nave aterrizó” en una matriz A = 4 x 6 Envíe el mensaje por medio de BA (encuentre BA), donde B es la matriz invertible dada. Descifre el mensaje multiplicando a la izquierda por la inversa de B. Los procedimientos para enviar un mensaje encriptado son: 1. Escribir una matriz A con los valores de cada letra de la palabra a encriptarse (esquema anterior) 2. Escoger una matriz B invertible de modo que se pueda multiplicar por la matriz formada por el mensaje a enviar. 3. Enviar el mensaje por medio del producto AB. 4. El receptor, quien tiene en su poder la matriz B-1 descifrará en mensaje calculando B-1(BA). Tal como se detalla a continuación. B= B-1 = A= B= 0 -2 0 3 -1 0 2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 0 3 0 -1 -1 0 -1 0 0 2 15 26 13 26 5 22 22 8 11 26 24 18 26 15 26 7 0 2 0 3 1 0 -2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 22 9 9 18 1 12 0 0 -130 -41 28 52 (BA) = -1 B (BA) = 0 1 2 0 1 0 0 3 R//= 0 -1 -1 0 15 26 13 26 -1 0 0 2 5 22 22 8 -68 -106 -51 -49 -59 -78 27 35 52 30 44 22 -130 -68 -106 -51 -41 -49 -59 -78 28 27 35 52 52 30 44 22 11 26 24 18 26 15 26 7 22 9 9 18 1 12 0 0 -72 -40 31 27 -72 -40 31 27 -24 -1 1 12 -24 -1 1 12