Desigualdad • El concepto de desigualdad está asociado a las diferencias entre personas. • Identificación de existencia de desigualdad: trivial • El principio de las transferencias de Dalton-Pigou guía la medición del grado de desigualdad. • Dalton-Pigou: una transferencia de un individuo de mayor ingreso a otro de ingreso menor que no cambia sus posiciones relativas da origen a una distribución más igualitaria. Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 1 Dalton (Economic Journal, 1920) Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 2 • Las evaluaciones cualitativas de la desigualdad de problemas simples pueden hacerse por simple inspección de vectores x1 = (2, 4, 12) → x2 = (3, 6, 9) • Complicaciones o comparaciones ambiguas (ej. x2=(1, 8, 9)) o evaluaciones cuantitativas o número de observaciones grande En estos casos es útil acudir a medidas o índices de desigualdad I(x) I ( x): ℜ N → ℜ Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 3 INDICES • Sencillos: cociente de ingresos extremos, participaciones en el ingreso • Basados en la curva de Lorenz: Gini, Schutz • Estadísticos: coeficiente de variación, desvío medio relativo, varianza logarítmica • Entropía: Theil, entropía generalizada • Organización industrial: Herfindahl • Teoría del bienestar: Atkinson Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 4 Indices de desigualdad: propiedades 1. Principio de las transferencias de Dalton-Pigou Para todo par de vectores x1 , x2 y escalar δ tal que x2i=x1i+δ , x2j=x1j-δ , x2k=x1k para todo k≠i,j , x1i < x2i ≤ x2j < x1j ⇒ I(x2) ≤ I(x1) (en sentido estricto, I(x2)< I(x1)) 2. Invarianza a la escala I(kx) = I(x) donde k>0 3. Invarianza a las réplicas I(x…x) = I(x) Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 5 Indicadores simples (1) Cociente de ingresos extremos o ratio entre ingreso promedio de dos percentiles extremos o ej: decil 10/decil 1; quintil 5/quintil 1 o cumple con Dalton sólo en sentido débil o cumple con invarianza a la escala y a las réplicas o por problemas de medición suelen usarse percentiles no extremos (ej. percentil 90/percentil 10) → no respeta Dalton (ej. transferencia del percentil 95 al 90) (2) Participaciones en el ingreso de grupos extremos o share del percentil p más rico (ej. share del quintil 5) o share del percentil p más pobre → es un índice de igualdad o cumple con Dalton sólo en sentido débil o cumple con invarianza a la escala y a las réplicas Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 6 Indicadores basados en la curva de Lorenz 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 L(G,p) 0.6 L(F,p) 0.8 1 LPI • Una distribución es más igualitaria cuánto más se acerca su curva de Lorenz a la LPI. • Construir índices basados en la “cercanía” entre la curva de Lorenz y la LPI o área entre Lorenz y LPI → Gini o distancia vertical entre Lorenz y LPI → Schutz Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 7 Coeficiente de Gini Gini (Economic Journal, 1921) 1 L(p) LPI área A L(p) área B 0 G= p A = 2 A = 2(0.5 − B ) = 1 − 2 B , A+ B 1 G ∈ [0,1] En términos continuos 1 G = 1 − 2 ∫ L( p )dp 0 Resolviendo la integral por partes, operando y cambiando la variable de integración 1 ∞ G = −1 + 2 ∫ pL′( p )dp = −1 + 2 ∫ F ( y ). 0 0 y μ . f ( y )dy Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 8 En términos discretos, el Gini es una suma de rectángulos y triángulos. 1 0.8 0.6 0.4 T 0.2 R 0 0 0.2 0.4 LPI 0.6 0.8 1 Lorenz 1 G =1+ 1 2 − N μ. N 2 ∑ x ( N + 1 − i) i con x1 ≤ x 2 ≤ ... ≤ x N i 2 = − + G 1 Cuando N tiende a infinito, μ.N 2 i xi 1 μ N ∑ x i = −1 + 2 ∑ N i i i Esta ecuación es el equivalente discreto a la versión continua de G. Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 9 Fórmulas equivalentes G = −1 − 1 2 + N μ.N 2 ∑xi i i G = ∑∑ i j xi − x j 2N 2 μ Cambio en el Gini ante una transferencia igualadora dxj=-dxk >0; ΔG = − xj < xj + dxj ≤ xk +dxk < xk 2 [( N + 1 − j )dx j + ( N + 1 − k )dxk ] μN 2 ΔG = 2 [ j − k ]dx j μN 2 Dado que xj < xk, entonces j<k, por lo que ΔG<0. Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 10 Ejemplo hipotético de dos distribuciones Personas A B C D E t1 100 200 3000 4000 5000 t2 50 200 3100 4000 4950 Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 11 Frontera de posibilidades de desigualdad, tasa de extracción y Gini potencial • Milanovic, Lindert y Williamson (2000): nivel máximo de desigualdad alcanzable en una sociedad, otorgando a toda la población un mínimo de subsistencia s, con excepción de una pequeña elite (proporción ε) • Máximo ingreso medio de elite xe = μN − sN (1 − ε ) 1 = [ μ − s (1 − ε )] εN ε • Sin desigualdad interna en la elite, el máximo Gini alcanzable es G* = 1 μ ( x e − s )ε (1 − ε ) • Combinando ambas ecuaciones y definiendo α=μ/s≥1, G* = α −1 (1 − ε ) α • El máximo Gini es una función creciente y cóncava del grado de desarrollo del país, aproximado por α. • Tasa de extracción (TE): ratio entre Gini real y el Gini máximo • Milanovic et al. (2009) proponen la TE para realizar comparaciones de desigualdad entre economías con distinto grado de desarrollo. Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 12 Indice de Schutz Máxima distancia vertical entre la curva de Lorenz y la LPI 1 LPI L(p) b a L(p) 0 ps p 1 S = ab = p s b − p s a S = ps − L( ps ) = F( y s ) − L(F( y s )) s Máxima distancia se da donde L′( p ) = 1 . Luego, y / μ = 1 s S = F(μ) − L(F(μ)) μ μ 0 0 S = ∫ f ( x )dx − ∫ xf ( x )dx μ μ =∫ 0 ( μ − x ) f ( x )dx μ Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 13 Otros indicadores de desigualdad Estadísticos Varianza y desvío estándar: no cumplen con invarianza a la escala Coeficiente de variación CV = ( xi − μ ) 2 ∑i N μ ⎡ ( xi − μ )2 ⎤ 1 ⎢∑ ⎥ i dCV = ⎢ ⎥ Nμ N ⎢⎣ ⎥⎦ −1 / 2 [x j − xk ]dx j Ejemplo: x1={2, 8, 30}, x2={1, 10, 29} CV cae de 1.106 a 1.072 Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 14 Desvío medio relativo D=∑ i xi − μ 1 . μ N Sensible sólo a transferencias que cruzan la media Varianza logarítmica 1 VL1 = N ∑ (ln x i Varianza de los logaritmos − ln μ ) 1 VL2 = N 2 i 1⎞ ⎛ − x x ln ln . ⎜ ∑i ⎝ i ∑i i N ⎟⎠ 2 Estas dos varianzas no cumplen con el principio de las transferencias (Foster y Ok, 1999) Utiles para modelos lnwi=βei, VL2 ( w) = β 2Var ( e) Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 15 Indices de entropía • pi a la probabilidad de que ocurra un evento i • h(pi) al valor de saber que ocurrió i antes de que el resto de la gente lo sepa • h(pi) debe ser decreciente en pi, asumamos h( pi ) = − ln( pi ) • conjunto de N eventos= “sistema”. La información contenida en un sistema=”entropía” entropía= ∑ p h( p ) i i i • Theil: dos pasos para llegar a un índice de desigualdad (i) reinterpretar pi como la participación de la persona i en el ingreso total pi = s i = xi Nμ (ii) escribir el índice como la diferencia entre la máxima entropía y la real. T =∑ i 1 ⎛1⎞ h ⎜ ⎟ − ∑ si h ( si ) N ⎝N⎠ i Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 16 Usando h( pi ) = − ln( pi ) y operando T= 1 N ∑ i ⎛x ⎞ ln⎜⎜ i ⎟⎟ , μ ⎝μ⎠ xi T ∈ [0, ln N ] índice de Theil Diferenciando y haciendo dxj=-dxk>0 dT = 1 [ ln x j − ln xk ]dx j Nμ Indice de entropía generalizado c ⎡ ⎤ ⎛ xi ⎞ 1 E (c) = ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ ∑ N .c.(c − 1) i ⎢⎣⎝ μ ⎠ ⎥⎦ con c ≠ 0,1 Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 17 Indices derivados de la Organización Industrial Indice de Herfindahl H =∑ i xi Nμ No respeta la invarianza al tamaño de la población Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 18 Indices de Atkinson A = 1− x* μ * , donde x es tal que W ( x1 ,..., x N ) = W ( x * ,..., x * ) , con W simétrica y cóncava x* es el ingreso igualmente distribuido El índice de Atkinson x2 M N uM EN x*N W(N) EM x*M W(M) x*M x*N uM x1 Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 19 Asumiendo dxj=-dxk>0 y xj<xk (4.38) ⎤ ∂x * 1 ⎡ ∂x * 1 dA = − ⎢ dx j + dxk ⎥ = − ∂xk μ ⎢⎣ ∂x j μ ⎥⎦ ⎡ ∂x * ∂x * ⎤ − ⎢ ⎥ dx j ⎢⎣ ∂x j ∂xk ⎥⎦ De la definición de x*, (4.39) ∂W ∂x * ∂W = N. * . ∂x j ∂x ∂x j por lo que (4.40) ∂x * ∂W = ∂x j ∂x j N. ∂W ∂x * Reemplazando (4.40) en (4.38) y operando, (4.41) dA = − 1 1 . μN ∂W ∂x * ⎡ ∂W ∂W ⎤ − ⎢ ⎥ dx j ⎢⎣ ∂x j ∂xk ⎥⎦ Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 20 El índice de Atkinson con diferentes funciones de bienestar x2 M u x*(R) x*(I) u=x*(U) x1 Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 21 Función de bienestar propuesta 1 W = N ln W = 1−ε xi ∑i 1 − ε 1 N ∑ ln x i , con ε≠1, ε≥0 si ε=1 i x* surge de W(x1,…xN)= W(x*,…x*). 1 N 1−ε xi 1 = ∑i 1 − ε N 1−ε x* ∑i 1 − ε Despejando x* y aplicandolo a la fórmula de A, resulta ⎡1 ⎢N A =1− ⎣ ∑ xi i μ 1−ε ⎤ ⎥ ⎦ 1 1−ε Economía de la Distribución – Leonardo Gasparini - 22