Apuntes Gráficas Archivo

Teoría de Gráficas
Unidad 4 Gráficas
Graficas Eulerianas y Unicursales
Un paseo cerrado posible de ser trazado sin repetir ninguna línea se llama L í n e a
E u l e r i a n a . Nota: Pueden repetirse vértices en los paseos cerrados.
Una gráfica formada por una Línea Euleriana, es una G r á f i c a E u l e r i a n a , esto es,
una gráfica en la que se pueden recorrer todas las líneas de la ésta en un solo trazo,
comenzando y terminando en el mismo vértice.
Teo: Una gráfica conectada es Euleriana si y solo si todos los vértices tienen grado par.
Teo: En una gráfica Euleriana el conjunto de líneas puede ser particionado en circuitos de
líneas disjuntas
Ejemplo: Las siguientes gráficas son Eulerianas ya todos los vértices de las gráficas son de
grado par.
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 47
Teoría de Gráficas
Si se tiene un paseo abierto donde no se repiten líneas, se tiene una L í n e a U n i c u r s a l
Una gráfica formada por una Línea Unicursal, es una G r á f i c a U n i c u r s a l , esto es,
una grafica en la que se pueden recorrer todas las líneas de la ésta en un solo trazo,
comenzando en un vértice y terminando en otro. Nota: Pueden repetirse vértices en el
paseo cerrado.
Teo: Una gráfica conectada es un Unicursal si y solo si todos los vértices son de grado par
excepto dos, el inicial y el final.
Ejemplo: Las siguientes gráficas son Unicursales ya todos los vértices de las gráficas son de
grado par menos dos el inicial y el final
Graficas trazadas arbitrariamente
Una G r á f i c a es T r a z a d a A r b i t r a r i a m e n t e desde un vértice V si el conjunto de
líneas puede particionarse en circuitos de líneas disjuntas y todos ellos contienen al
vértice V.
Ejemplo: Las siguientes gráficas son Trazadas Arbitrariamente ya que todas las gráficas se
pueden descomponer en circuitos y existe en ellos por lo menos un vértice en común.
Nota: No todas la gráficas eulerianas son trazadas arbitrariamente
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 48
Teoría de Gráficas
Contra Ejemplo: Esta es una gráfica que es euleriana y no es trazada arbitrariamente.
Cómo podemos ver es euleriana por que
todos sus vértices tienen grado par.
Sin embargo no es trazada arbitrariamente
por que casi todos los circuitos de la gráfica
contienen al vértice C menos dos de ellos el
de B,D y E,F
Digráficas Eulerianas y Unicursales
Una digráfica que contiene un paseo dirigido cerrado que incluye todas las líneas de la
gráfica se llama D i g r a f i c a E u l e r i a n a .
Teo: Una digráfica es euleriana si y sólo si es balanceada
Ejemplo: Las siguientes gráficas son eulerianas ya que son balanceadas
Una D i g r á f i c a es U n i c u r s a l si existe un paseo abierto que contenga todas las líneas
de a gráfica.
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 49
Teoría de Gráficas
Teo: Una digráfica es unicursal si y sólo si todos los vértices tiene grado interno y externo
igual, excepto dos el inicial y el final.
Ejemplo: Las siguientes graficas son unicursales ya que sólo dos de sus vértices están
desbalanceados.
Circuitos y Gráficas Hamiltonianas
Un C i r c u i t o H a m i l t o n i a n o es un circuito que pasa por todos los vértices de una
gráfica.
Una gráfica que contiene un Circuito Hamiltoniano, es una G r á f i c a H a m i l t o n i a .
Teo: Una condición suficiente pero no necesaria para que una gráfica simple sea
Hamiltoniana es que el grado de todos los vértices sea por lo menos n/2
Ejemplo: Las siguientes gráficas son hamiltonianas ya que contienen un circuito que recorre
todos los vértices el cuál esta marcado con rojo.
Contra ejemplo: La siguiente gráfica no contiene un circuito que contenga todos los vétices
de la gráfica
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 50
Teoría de Gráficas
Teo: Una gráfica completa siempre tiene un circuito hamiltoniano
⎛ n −1⎞
Teo: Una digráfica Kn tiene el Entero⎜
⎟ circuitos hamiltonianos de líneas disjuntas.
⎝ 2 ⎠
Teo: Una digráfica Kn tiene
(n − 1)! Circuitos hamiltonidanos de líneas disjuntas
2
Ejemplo: Los circuitos hamiltonianos de líneas disjuntas de K4 son 1 y los de línes disjuntas 3
Digráficas Hamiltonianas
Una D i g r á f i c a es H a m i l t o n i a n a si contiene un circuito dirigido que contiene todos
los vértices de la gráfica.
Ejemplo: Las siguientes digráficas son hamiltonianas
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 51
Teoría de Gráficas
Contra ejemplo: La siguiente digráfica no es hamiltoniana
En este caso el sentido de la flecha no nos permite que se realice
el circuito hamiltoniano
Elaboró: Lic. Anabel Moreno Baltazar
Página 52