matemáticas financieras

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
MÓDULO EN REVISIÓN
CORPORACION U N IVERSITARIA
DEL CARIBE.CECAR
DIVISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA
üffiüAR
l1
ruóouuo
MATEMATICAS
FINANCIERAS
PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINISTRACIÓN
PUBLICA
SINCELEJO
-
SUCRE
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. .
IJNIDAD
I.
Pá9.
INTRODUCCION
UNIDAD 1
EVALUAcTóN tNtctAL
1. CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES
1.1 INTERES SIMPLE.
1.1.1 El valor Futuro a interés Simple.
1 . 1 .2 El valor futuro a interés simple.
1.1 .2 Cálculo del valor presente.
'l .1 .3 Cálculo de la tasa de interés.
1.1.4 Cálculo del número de periodos (N).
1 .1 .5 Descuento simple o racional
1.1.6 Cálculo de la tasa de interés de un descuento.
1.1 .7 Tasa de interés real de un crédito.
1 .1 .8 Resumen de formulas.
TALLLER.
RESUMEN.
UNIDAD 2.
EVALUACIÓN INICIAL.
2. INTERES COMPUESIO
2.1 VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERÉS COMPUESTO.
2.2 COMPARACIÓN ENTRE EL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO.
2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS.
2.4 CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS.
2,5 TASA DE INTERÉS NOMINALES Y EFECTIVAS
2.6 CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS.
2.6.1 Equivalencia entre una tasa de interés nominal vencida
y una tasa de interés efectiva.
2.6.2 Equivalenc¡a de tasas nominales con diferente periodo
de caoitalización.
2.7 TASAS DE INTERÉS ANTICIPADAS.
RESUMEN DE FORMULAS.
RESUMEN.
AUTOEVALUACIÓN.
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAclóN uNtvERSlrARlA
DEL cARIBE
5
B
11
12
14
14
14
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38
42
43
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51
52
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. . I.JNIDAD 1.
UNIDAD 3
EVALUACION INICIAL.
3. ANUALIDADES.
3.1 ANUALIDADES ORDINARIAS VENCIDAS.
3.1 .1 Valor futuro de una anualidad vencida.
3.1.2 Cálculo de la anualidad.
3.1.3 Cálculo del número de períodos.
3.1 .4 Cálculo de la tasa de ¡nterés.
3.1 .5 Valor presente de una anualidad vencida.
3,'1 .6 Cálculo del número de períodos.
3.1.7 Cálculo de la anualidad.
3.1 .8 Cálculo de la tasa de interés.
3-2 ANUALIDAD ORDINARIA ANTICIPADA.
3.2.1 Yalor futuro para anualidades anticipadas.
3.2.2 Cálculo del valor presente para anualidades anticipadas.
3.2.3 Cálculo de la cuota periódica para anualidades antic¡padas.
3.2.4 Cálculo de la tasa de interés para anualidades anticipadas.
3.2.5 Cálculo del número de períodos para anualidades anticipadas.
3.3 ANUALIDADES DIFERIDAS.
3.3.1 Anualidades diferidas vencidas.
3.3.2 Anualidades diferidas anticipadas.
RESUMEN DE FORMULAS.
RESUMEN.
AUTOEVALUACIÓN
UNIDAD 4.
EVALUACIÓN INICIAL.
4. LOS GRADIENTES.
4.1 GRADIENTE LINEAL CRECIENTE.
4. 1 .1 Cómo de terminar el valor presente equ¡valente aun
Gradiente lineal creciente.
4.1 .2 Cómo determinar el valor futuro equivalente aun gradiente lineal
Creciente .
4.2.1 Cómo calcular el valor futuro equivalente a un grad¡ente
Lineal decreciente.
Como
calcular la anualidad "a" equivalente a un gradiente lineal
4.2.2
Decreciente.
4.3 GRADIENTE EXPONENCIAL.
4.3.1 Cómo determinar el valor futuro equivalente a un
Gradiente exponencial.
4.3.2 Cómo determinar el valor presente equivalente a un
Gradiente exponencial.
RESUMEN DE FORMULAS.
RESUMEN.
AUTOEVALUACIÓN.
LECTURA: Amortizaciones.
MATEMÁTlcAs FINANctERAS - coRpoRAcróN
uNtvERStrARrA DEr cARTBE
54
57
5B
58
58
60
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OJ
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B1
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BB
YO
103
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108
108
109
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111
114
116
4
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES..
UNIDAD 1.
El
presente módulo de matemáticas financieras está expuesto en una forma
muy didáctica para el estudiante y contiene un buen conjunto de ejercicios de
aolicación.
Las matemáticas financieras han llegado a ser una herramienta imprescindible
para la toma de decisiones tanto económicas como financieras; de ahí que es vital
darlas a conocei en un formato metódico y esquemático que cualquier persona
con conocimientos básicos pueda entender.
Esta área del conocimiento juega un importante rol en el mercado financiero no
solamente nacional sino también a nivel internacional. El costo del dinero, la
elección de fuentes de financiación, los cálculos de dividendos, el ¡nterés real
efectivo cobrado en un crédito etc., son fundamentos que el ingeniero industrial'
administrador de empresas, economista y cualquier otro profesional o también una
persona del común, deben manejar junto con las herramientas que nos brindan las
matemáticas financieras.
Saber decidir con certeza qué posibilidad es más beneficiosa para una
organizac¡ón, exige indispensablemente de las matemáticas financieras. La
inversión del dinero en su mejor uso alternativo, los proyectos, las utilidades, entre
otros, beneficiará a las empresas, en la med¡da en que sus CEOS y
Administradores .manejen acertadamente las herramientas matemático financieras
básicas para que sus gestiones sean por siempre exitosas
n¡latguÁr¡c¡s FINANcIERAS '
coRPoRAclÓN uNMERslrARlA DEL cARIBE'
DINAMICA PARA CONSTRUIR EL
Amigo(a) Estudiante:
Para facilitar
el
buen manejo del módulo, es recomendable que sigas
las
siguientes instrucciones de manejo:
/
La temática ha sido previamente organizada en orden lógico; por lo tanto inicie
su lectura y estudio en el orden en que aparecen las secciones y contenidos
aunque ya tenga algunas nociones de que tratan.
r'
Es conveniente que usted realice una lectura de forma analítica de cada
Unidad, trate de comprender los contenidos, reflexione sobre los alcances e
interrelaciones de las temática tratadas.
Desarrolle las diferentes pruebas, ejercicios, actividades, y consultas, participe
en los conversatorios, discusiones y exposiciones que le ayudarán a adquirir
experiencia y a saber expresar sus ideas en público.
No olvide que el aprendizaje se puede lograr en forma individual y colectiva; si
usted logra una buena integración con sus compañeros de equipo, si logra
aclarar las dudas, si estudia de manera cuidadosa el presente módulo.
alcanzará el éxito deseado por el diseñador del presente módulo de
Matemáticas F¡nancieras.
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoMcróN uNrvERsrrARia
DEL cARtBE
El presente módulo,
es un tefo especializado dentro del pensum académico
de todo administrador de empresas, y llega en el momento correcto, cuando el
estudiante tiene las bases suficientes para comprenderlo y para profundizar en
esta rama de las matemáticas y las f¡nanzas.
Está apoyado en diversos autores tales como, Gómez Ceballos Alberto,
lyncoyan portus govinden, Baca Guillermo y diferentes especialistas que han
tratando siempre de dar a conocer lo más relevante de las matemáticas
financieras.
Este texto destaca varias características que lo hacen interesante, como son la
evaluación en cada uno de los cuatro capítulos que contiene. Se puede identificar
fácilmente cada uno de los temas en sus cuatro unidades básicas.
En el contexto de este módulo se busca promover el conocimiento esencial y
fundamental de las técnicas básicas de las matemáticas financieras, para que
nuestros administradores puedan sortear cualquier situación que amerite este
saber.
MATE ÁTlcAS FINANCIERAS
- coRPoRAcróN uNlvERsrrARlA DEL CARIBE
Conceptos Generales y
Definiciones.
Unidad 1
MATEMATICAS FINANCIERAS . coRPoRAcIÓN
UNIVERsITARIA DEL cARIBE
CORPORACION U N IVERSITARIA
DEL CARIBE.CECAR
DIVISION DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA
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MODULO
MATEMATICAS FINANCIERAS
CAROLINA DEL PILAR RAMIREZ
Administradora de Empresas
Especialista en F¡nanzas
PROGRAMA A DISTANCIA DE ADMINISTRACION
PUBLICA
SINCELEJO _ SUCRE
CONCEPfOS GENERALES Y DEFINICIONES. . UNIDAD 1.
MATEM:ATICAS
FINANCIERAS
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRPoRActÓN uNlvERSrrARlA
DEL cARIBF
COt.¡CEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. .
UNIDAD 'I.
Al
in¡ciar el estudio de las Matemáticas Financieras, es pertinente comenzar por
los conceptos básicos, tales como Tasa de Interés, Valor presente, Diagrama de
Flujo, los cuáles se van a utilizar durante la mayor parte del módulo y sin ellos
sería prácticamente imposible un perfecto entendimiento de la materia.
Se explica de una forma puntual y exacta cada una de las definiciones para que
el alumno no se confunda y asimile más rápido el conocimiento.
En esta unidad se determinan en forma secuencial los conceptos básicos que
sirven de eje fundamental en las unidades posteriores
¡Al terminar de estudiar la presente unidad usted debe estar en capacidad de:
>
Definir los conceptos de tasa de interés, interés simple
e
interés
compuesro.
Diferenciar los periodos de pago y los periodos de capitalización.
Determinar
lo que es un diagrama de Flujo y tener nociones
equivalencias financieras.
Distinguir entre el Valor Presente y el Valor Futuro.
MATEMÁTlcAs FINANCIERAS - coRpoRAcróN
uNrvERSrrARrA DEr- cARTBE
de
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.,
UNIDAD 1.
DINAMICA PARA CONSTRUR
UNIDAD 1.
Para el desarrollo exitoso de esta unidad se recomienda lo siouiente:
ACTIVIDADES.
Lea detenidamente la Unidad N"
1.
Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación".
Desarrolle los ejercicios que aparecen como Autoevaluación.
Realice un resumen de toda la unidad
I
el cual será debatido Reunidos en los
Unidad 1 y socialicen los ejercicios
correspondientes a la Autoevaluación; Formulen, analicen y resuelvan todos los
Cipas, discutan
el
resumen
de la
ejercicios.
En los Cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la Unidad 1.
Todos los ejercicios realizados individualmente y en los Cipas, se deben socializar
en la sesión presencial en el aula.
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEr-
cARTBE
t0
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. .
UNIDAD
I.
¿ Qué entiendes por Matemáticas financieras?
¿ Qué es una tasa de interés?
¿ Cuál es la diferencia entre valor presente y valor futuro?
MATEMÁTICAS FINANCIERAS - coRPoRAcIÓN
UNIVERSITARIA DEL cARIBE
'l'l
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES..
UNIDAD 1.
UNIDAD 1.
1.
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.
Al
iguat que se paga por una casa un alquiler en un periodo de tiempo
determinado, por el uso del dinero también paga un precio o "arriendo'' llamado
interés. De ahi, que sea apenas lógico, que el sector financiero, ya sean Bancos o
Corporaciones Financieras se caracterice por cobrar interés cuando presta o
alquila una suma de dinero específica.
Es por eso que resulta prácticamente imposible concebir un sistema financiero
de cualquier país independiente de sus ingresos, que son precisamente los
intereses que pagan todos y cada uno de los usuarios del sistema bancar¡o por el
uso del capital en un determinado tiempo. Son precisamente estos ingresos por
concepto de alquiler del dinero, los que permiten y hacen que las empresas se
consoliden fi nancieramente.
!nterés.
Es el pago que se hace por el uso del dinero.
Tasa de interés.
Es la cantidad de dinero que se paga por cada $100 en un tiempo determinado.
Matemáticamente lo podemos definir como el cociente que resulta de dividir el
interés acumulado en la unidad de tiempo, entre el capital inicial, orig¡nal o valor
presente (VP)
Interés simple.
Es aquel interés que se paga únicamente sobre el capital originalmente
invertido o prestado; es decir los intereses acumulados no pagan interés, no se
capitalizan.
Tiempo (N).
Es la duración de un préstamo. Tal duración puede ser en dÍas, meses,
bimestres, trimestre, semestres o años. De ahí que sea la unidad de tiempo
MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRpoRAcróN
uNrvERsrrARiA DEL
CARTBE
12
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.
. UNIDAD
I.
Períodos de capitalización.
Son aquellos periodos en los cuales los intereses se liquidan o se capitalizan
para acumularse. Los periodos de capitalización pueden ser diarios, semanales,
quincenales, mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, semestrales, anuales o de
otra duración.
Capital.
Es el dinero que se recibe o entrega en calidad de préstamo. También lo
llamamos capital inicial, valor presente o valor actual y lo denotaremos con las
letras VP.
Valor futuro.
Es el dinero al final de los N periodos e igual al valor presente más el interés.
Diagrama de flujo de caja.
Los diagramas de flujo son una descripción gráfica que nos permite visualizar
como se comporta el dinero a través del tiempo. Un diagrama de flujo consiste en
una línea horizontal dividida en secciones iguales para los periodos entre los
cuáles se aplica la tasa de interés. Los diagramas de flujo de caja definen los
ingresos y egresos que los representaremos sobre la línea de tiempo. Los
ingresos los representaremos con flechas hacia arriba y los egresos con flechas
hacia abajo.
vP= $100.000
1 mes
vF= gf02_000
Diagrame de fluio.
Gráfico
'l .1
El anterior gráf¡co nos muestra que una persona obtuvo un ingreso de $100.000,
ya sea por un préstamo de un banco o de un amigo, y al finalizar el mes, tuvo un
egreso de $102.000. para la entidad financiera o para el prestamista amigo el
dinero creció en el mes a una tasa del 2o/ol. En otras palabras, $100.000 iniciales
son equivalentes a $102.000 cuando ha pasado ya un mes a una tasa del
mensual. Esto también equivale
a
decir que $100.000
y
2o/o
$102.000 son
equivalencias financieras.
MATEMÁTICAS FTNANCIERAS -
CORPORACIÓN UNIVERSIfARIA OEL CARIBE.
13
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES..
UNIDAD
I.
Principios de equivalencia entre sumas de dinero.
Unas sumas de dinero, en diferentes momentos del tiempo. se definen como
equivalentes cuando son indiferentes entre ellas para un inversionista dada una
tasa de interés. Las equivalencias más comunes se definen entre:
.
.
.
Una suma presente y una suma futura
Una suma presente y una serie uniforme
Una suma futura y una serie uniforme
Principios de equivalencias financieras entre tasa de interés.
Las equivalencias financieras entre sumas presentes y futuras y ser¡es
uniformes son funciones de una tasa de interés efectiva (vencida). como tal,
tenemos que poder contar con mecanismos que nos permitan expresar cualquier
tasa de interés (nominal, anticipada, etc.) con su equivalencia efectiva (vencida).
Las equivalencias más comunes se definen entre:
.
o
.
Una tasa de interés nominal vencida y una tasa de interés efectiva.
Una tasa de interés nominal anticipada y una tasa de interés efectiva.
Una tasa de interés nominal vencida y una tasa de interés nominal
anticipada.
Más adelante en los siguientes capítulos, se profundizará en
equivalencias para conocer su forma de calcularlas.
estas
I.1 EL INTERÉS SIMPLE.
Es aquel interés que se paga
únicamente sobre el capital originalmente
invertido o prestado, es decir el principal. Los intereses acumulados no pagan
interés, no se "capitalizan".
El interés simple cumple con tres caracteristicas especiales:
¡
.
¡
La tasa de interés debe aplicarse solamente sobre el Vp.
El VP no sufre ninguna variación en el tiempo que dura la transacción.
El interés es igual para cada periodo de transacción.
(N) y la tasa de
interés (ip) se encuentran expresadas en la m¡sma unidad
Observe deten¡damente s¡ el periodo de pago
antes de apl¡car alguna fórmula. La estructura de la matemática
financiera descansa sobre las variables Interés (l), tasa de
interés (ip), valor presente, valor futuro y periodo de pago (N).
MATEMÁT|cAS FINANctERAs - coRpoRAcróN uNrvÉRstrAR¡A
DEL cARraE
14
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. -
UNIDAD 'I.
1.1.1 El valor Futuro a ¡nterés Simple.
Si un capital (VP), colocado a una tasa de interés (ip), al cabo de N periodos
será igual a la suma del capital (VP) con sus respectivos intereses devengados.
Definición que se puede expresar matemáticamente asi:
VF= VP (1+ip)
Siendo la anterior fórmula la utilizada para calcular el valor futuro
a
interés
simple. Veamos el siguiente ejemplo:
''''-*'.-"--.", .,.11]-,,q"¡;-'*#
".3**r*i,"'*
Ejemplo 1.f .
Luisa recibe un créd¡to por $1000.000 a una tasa de interés simple del 20%
anual. El plazo del créd¡to es de 2 años pagaderos junto con los intereses al final
del crédito. ¿Cuánto deberá pagar Luisa al cabo de los 24 meses?.
Solución:
Observemos que tanto El número de periodos (N) como la tasa de interés (ip)
están ambos en años.
Como VF = Vp (j+ip -N)
VF= 1'000.000 (1 +0.2O'2)
VF=1'a00.000
Significa
lo anterior que el Valor Futuro de $1'000.000 dentro de 2
años,
cofocados a una tasa del 2oo/o de interés simple, será de $1'400.000
-----"-.- *
:-;,<i:_".--
*.'"'*-*.
-=dff
=é-
Ejemplo 1.2.
Si Luisa recibe el crédito de $1'000.000
¿Cuánto deberá pagar al caco de 18 meses?
al
24o/o anual
de interés simple,
Solución:
Como la tasa de interés (ip) se encuentra en años y el número de periodos (N)
o tiempo, se encuentra en meses, entonces:
241'l0O =
0.24 v
0.24112= 0.Q2
MATEMÁTICAS FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERstrARrA
oEL cARTBE
15
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. -
UNIDAD 1.
Es decir:
ip = O.OZ mensual
N = '18 meses
VP= $1'000.000
Entonces, aplicamos la fórmula de Valor futuro (VF)
VF=Vp(1+ip.N)
VF = 1'000.000 (1 + 0.018 " 20)
VF = 1'360.000
:,i;'*x*¿:
l'**s ;l*ffi".u';'.,,¡ip*'**'.r"+.,",*;*""¿lSS¡'e
1.1.2 Cálculo del Valor presente.
El valor presente se define como el valor actual del dinero, es decir a precios de
hoy. También en este texto lo vamos a identificar como el capital inicial, como
valor presente o como valor actual y se va a denotar con las s¡glas VP.
Para calcular el valor presente, partimos de la fórmula de Valor Futuro y la
obtenemos como se muestra a continuación:
VF --VP(l + ip* N)
VF
(1
+rp+N)
VF
(l+rp*N)
Quedando la fórmula de Valor Presente de este modo.
Yr =-
VF
(l+rpüN)
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNlvERs¡rARrA
DEr cARtBE
16
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIOIIES. - UNIDAO 1.
Ejemplo 1.3.
Juan Carlos recibió un total de $30.000 por un dinero que invirtió hace 12 meses
y le rentó al 20¿ mensual ¿Cuánto ¡nvirtió hace un año?
Solución:
t/p -
30.000
(l + 0.02 t 12)
vr=-(130.000
+0.24)
L'P
-24.193.54
Quiere decir que Juan Carlos invirtió-931193
haclyn
r-¡¿
añ9,
;.'ttn
-*
",*
,*.---.,.d**
.F- i:ñ_
f .1.3 Calculo de la tasa de interés (ip).
Para calcular la tasa de interés (ip), partimos de la fórmula de Valor Futuro (VF)
y la despejamos de la siguiente manera:
VF =VP
(l+ip*N)
VF
(l+iD+ N)=
.VP '
VF
iD+N=----l
t/D
'
in*
.VPN
.
ID ='
(VF 'VP
=
)
(vF -vP)
VP*N
Quedando de esta manera la fórmula para calcular la tasa de ¡nterés'
(vF -vP)
(VP* N)
Veamos el siguiente ejemPlo.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS -
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE
17
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. -
''''*"-
'*'-
UNIDAO
',''i:'''r';; '*"'
I.
-;;-""i¡d;:'**
Ejemplo 1.4.
Un inversionista compra bonos por $1 00.000 para venderlos en 10 meses con
el fin de obtener un acumulado de 9120.000. ¿Cuál es la tasa de interés que
reconocen estos t¡tulos de deuda?
Solución:
(vF -vP)
(VP* N)
,-
'
.
'
_ (120.000- l00.oo0)
(r00.000*10)
20.000
I1,,,
ip
-
l'000.000
:0.02
-
Lo anterior significa que estos titulos de deuda deben reconocer un interés del
2% mensual.
-
,.:;;**"r.-
:::::-.o-j¡J "!--*.*--
-*-,o.,,.i
,*
*;:,,"-.;*'*"*
1.1.4 Cálculo del número de periodos (N).
Para el cálculo del número de periodos partimos de la fórmula ya despejada en
la de tasa de interés y sabemos que:
tl.'F
ip+N=
^,
-
V
,.p
P\
',Enronct.t
-vP)
-(l/F
(VP *
ip)
Quedando de este modo la fórmula para calcular el número de periodos:
(vF -vP)
(VP* ip)
Para comprender mejor a continuación veamos el siguiente ejemplo:
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARrA
oEL cAR¡aE
18
CONCEPÍOS GEI'¡ERALES Y DEFINICIONES. - UNIDAD 1.
:.;''.*d':111""'e-*i..:'e'Y:,''"-*"---,i#"*.,.---=*>"
.J;**s'-"'
Ejemplo 1.5.
¿Cuánto tiempo en años deberá un ahorrador colocar $2'000.000 a una tasa de
interés def 15o/o anual para lograr un acumulado de $10'000.000?
Solución:
(l 0'000.000
2'000.000)
(2',000.000 * 0.15)
-
8',000.000
N_
300.000
N =26.64ños
Significa que $2'000.000
a
una tasa del 15ok anual, se convertirán en
$10'000.000 al cabo de los 26.6 años.
.
"..;-'n'*.*r.'-
all.-"'¡ *r*,e - **'
-r:&,{;,¡¿t:t"trry ,'.,-S*"*¡g***
1.1.5 Descuento Simple o rac¡onal.
Es la diferencia que existe entre el valor futuro (VF) a pagar y el valor presente
(VP), así:
a) Descuento = Valor futuro
-
valor presente
D=VF-VP
b) Sabemos también que: VF = VP +
c) Al despejar "1" tenemos
:
| = VF
-
d) Por a y c podemos deducir que:
|
VP
D=l
El descuento se emplea para títulos que se utilizan en el mercado financiero y
se colocan por un valor más bajo que tiene en el título. En otras palabras, lo que
se hace es un descuento sobre el valor que tendrá el título en la fecha de
reintegrar el dinero más su ganancia.
,i.-.-..*"¡;- 11i1",o.t"'"''"*"''-',*.,* ;**.*'"*
;ñr¡f¡gs'
.
E¡emplo 1.6.
Una corporación financiera ofrece títulos de deuda a $9000, para ser pagados,
un tr¡mestre más tarde por un valor de $10.000, ¿Cuál es el descuento del título y
qué sign¡ficado tiene esta transacción?
MATEMÁTICAS FINANCIERAS . coRPoRAcIÓN
UNTERSITARIA DEL CARIBE.
't9
-
CONCEPfOS GENERALES Y DEFINICIONES., UNIDAD 1.
D=VF-1,'P
D=$10.000-$9.000
D = l.000es..decir
1=
1.000
Sabemos que:
1=VP*ip'x N
I
.'-_
'
(vP* N)
1.000
'
(9.000
+
l)
¡p = O.t t I l.e.s..decir
ip = | l.l lYotrimestrcll
Quiere decir lo anterior, que al colocar $9.000, al 11.11o/o trimestral, habrá un
acumulado de $10.000 al cabo de los tres meses.
Verifiquemos lo anterior:
VF -- VP(l + ip + N)
I/F = $9.000(l + 0.1I I I * l)
',F
La tasa de descuento es de 1 I
= $10.000
.1
1%
#¡}-
'r'_-l--
.!:4#
1.1.6 Cálculo de la tasa de interés de un descuento.
Para el anterior ejemplo:
Descuento=$1 .000
Valor Neto=$9.000
Tasa de interés del descuento = (1 000/9.000) 100 = 11.11ok
1.1.7 Tasa de interés real en un crédito.
El verdadero ¡nterés que cobra el sector financiero por otorgar un crédito se
evidencia al cobrar el interés por antic¡pado, percibiendo ingresos superiores a los
que recib¡ría s¡ cobrara los intereses vencidos.
Según lo estudiado anteriormente, la fórmula será:
MATEMÁTtcAs FINANctERAS - coRpoRActóN
uNrvERsrrARrA DEL cARtBE.
20
CONCEPTOS GENERALES Y OEFINICIONES. .
¡,
UNIDAD 1.
=f.2)-roo
\r,'N
)
Donde:
D= Descuento
VN= Valor Neto
ie= interés realmente cobrado
t:,--.,.".¡*Á'Yr'"-r,¡r,'Y._-"" "**;*X'.:e
. .,.***ror:*
Ejemplo 1.7.
Juan Pérez solicita un crédito a una corporación financiera por un monto de g
95.000 a un interés del 2B%o trimestre anticipado. Recibe un valor neto de $87.875
ya que se le descontó también un 0.5% por gastos de administración. ¿Cuál es la
tasa de interés realmente cobrada por el crédito?:
a) S¡n costos de administración
b) Con costos de administración
Solución:
Determinemos el descuento (D) sin costos de administrac¡ón y con costos de
administración.
En el sistema bancario se determina el descuento así:
9= 1/p.N.d, donde:
D = Descuento que se hace del valor original.
N = Períodos.
Vp=Valor nominal del pagaré.
d= Tasa de interés cobrada por anticipado.
De este modo el descuento seria:
a) Sin costos de administración
D = $ 95.000-1 "(O.2814) por se un trimestre y el año tiene 4 trimestres.
D=$6.650
MATEMÁncAs FINANcIERAS - coRpoRAcróN
uNrvERSrrARrA DEL cARTBE
2'l
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES. .
UNIDAD 1.
b) Con costos de administración
D= $6.650 +475
D= $7.125
o Tasa realmente cobrada sin costo de administración:
roo
' =f,2)\r'N )
¡,
¡. =f66650.]*loo
'
i,
( 87.87s
/
=7'57Y0'
Cuya tasa anual seria: i"= 7.57%o *4 = 30.28o/o.
La tasa efectiva equivalente cobrada en el año será:
=(t+ir)" -t
," =(l+o.o7s7)'-l
;,.
1.
= 0.3389
Que es la tasa efectiva y está 5,89 puntos por encima de la tasa inicial del28o/o.
.
Tasa realmente cobrada con costos de administración:
' =f.2'l-roo
\w)
¡-
,' =l7l2s
l-roo
\87.87s )
i
n=
8'l
lo/o
Cuya tasa anual es: ia= 8.11o/o(41 = 32,44To
La tasa efectiva equivalente cobrada en el año será:
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN
uNtvERstTARtA DEL cARtBE.
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES.,
¡.
.
I'
liv _t
_\r+r¡l
.
¡..
L
^ ^^..\4 _l
=(l+u.uó
,
UNIDAO'I.
i" = 0.3660
Es decir, 36.6% efectiva anual y está en 8.6 puntos superior a la tasa inicial del
28o/o.
''*
.----*
_.
a4iF
'lj^?a¡f,.
IMPORTANTE:
En capítulos poster¡ores profund¡zaremos acerca de la fórmu¡a de tasa electivas anuales.
1.1.8. Resumen de fórmulas.
.
Valor futuro a interés simple.
VF= VP (l+ip)
.
Valor presente.
VF
ll+in*A/\
.
Tasa de interés.
(vF
-
(VP *
o
vP)
N)
Cálculo número de períodos.
(vF -vP)
(VP * ip)
MATEMÁTICAS FINANCIERAS .
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE
23
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICTONES. .
.
UNIDAD 1.
Descuento simple o racional.
D=VF-VP
o
Tasa de interés de un descuento.
¡"=l?)-roo
\VN )
o
Tasa efectiva anual.
i" = (r + i,)"
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uNrvERsrrARtA
-r
DEr cARTBE
24
CONCEPTOS GENERALES Y OEFINICIONES. -
1.
UNIDAD ,I.
Andrés presta a un primo $2.000 000 al 30% anual de interés simple. ¿Cuál
será el acumulado que recibe al cabo de un año?
2. Erich presta d¡nero al 5% mensual de interés simple. Si al cabo
meses recibe $4.500.000, ¿cuál fue la cantidad de dinero prestada?
de
10
¿Cuánto dinero se debe prestar hoy para que al 5% de interés simple
mensual durante año y medio produzca una utilidad de $36.000?
4. ¿Cuántos centavos de utilidad produce un dólar
simole durante 3 meses?
al
24o/o anual
de interés
de interés trimestral se debe colocar $1.000.000 para que al
produzca una utilidad de $90.000?
meses
cabo de tres
5. ¿A qué tasa
6. ¿Durante cuántos trimestres se deben colocar $2.000.000
18o/o anual para que produzcan una utilidad de $720.000?
a una tasa del
¿Cuánto recibirá un prestamista que presta $200.000 al 48o/o anual durante
5 meses?
8.
¿Cuál es el precio de una letra de cambio hoy, sabiendo que dentro de 74
días valdrá $2.000.000 y es comprada hoy al27o/o de interés simple?
9. Si hoy se compra una letra de cambio por $243.200 al 33oA de interés
simple, ¿cuál será el valor de este título si es cobrado dentro de 93 dias?
televisor cuesta $2.500.000, si se da una cuota inicial del 20% y el saldo
a 120 días con un recargo del 2.5% sobre el precio de contado, ¿cuál es la
tasa de interés simple pagada al año?
10. Un
MATEi,IÁTICAS FINANCIERAS .
CORPORACIÓN UNTVERSTTARIA OEL CARIBE'
25
CONCEPTOS GENERALES Y DEFINICIONES- -
UNIDAD 1.
Se
manejaron conceptos básicos como tasa de interés, períodos de
capitalización, tiempo, número de periodos y Valor Futuro. Más adelante se
introdujo al tema de los Diagramas de flujos de caja, que consiste en una línea
horizontal dividida en secciones iguales para los periodos entre los cuáles se
aplica la tasa de interés. Poster¡ormente se revisaron conceptos como interés
s¡mple, el cual es aquel interés que se paga únicamente sobre el capital
originalmente invertido o prestado, es decir Los intereses acumulados no pagan
interés, no se "capitalizan. Junto con el interés simple se presentaron las fórmulas
para calcular el valor presente y el valor futuro a interés simple, se enseñó a
calcular el número de periodos, la tasa de interés, cuyas fórmulas se encuentran
resumidas en páginas anteriores. se trató el tema de los descuentos simole o
racional el cual se define como la diferencia que existe entre el valor futuro (VF) a
pagar y el valor presente (VP).
MATEMATICAS FINANCf ERAS - coRpoRAcróN
uNrvERSrrARtA DEL cARTBE
lnterés Coffipuesto.
Unidad 2
MATEMÁTlcas FINANcIERAS - coRPoMcÉN
uNrvÉRsrrARlA DEL cARlBE.
27
INTERÉS COMPUESTO, - UNIDAD 2.
PRESENTACION
''",¿:';';;4;***i*rri*;t,,,,|,,-,,,,.,',;;ii;.i:,-'i,-.,,ril,,,.,,¡:gá,:.;l;],, ;.', "
En la unidad anterior cuando nos encontrábamos resolviendo problemas de
interés simple, veíamos que el capital permanecía invariable o constante durante
todo el tiempo que duraba la transacción y que los intereses se retiraban
oeriódicamente.
En esta unidad de Interés Compuesto el capital se va incrementando en cada
período por cuanto el interés se va integrando al capital para luego calcular
intereses sobre un nuevo monto en cada periodo de tiempo. De ahí que es muy
frecuente que se escuche decir que en el Interés Compuesto se gana "intereses
sobre intereses".
Al terminar de estudiar la presente unidad usted debe estar en capac¡dad
Definir la fórmula
de
de:
Interés Compuesto.
Calcular Valor Futuro y Valor presente a Interés Compuesto.
Resolver problemas y situaciones equivalentes a Interés Compuesto.
Convertir tasas Nominales a Efectivas y viceversa.
MATEMÁTlcAS FINANcIERAS - coRpoRAcróN
uNrvERstrARtA oEL cARTBE
28
1,.*d.r.,-1'
! 'q
r
INTERES COMPUESTO. -
D¡NAMICA PARA CONSTRUR
,;,,:; .a:.'::,,-&99$,.9W-*Hffi".a"u,*j;
¡.
1,.
UNIDAD 2,
.
..:-.$ #$
UNIDAD 2.
Para el desarrollo exitoso de esta unidad se recomienda lo siouiente:
ACTIVIDADES.
r'
r'
r'
r'
Lea detenidamente la Unidad N' 2.
Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación".
Desarrolle los ejercicios que aparecen como Autoevaluación.
Realice un resumen de toda la unidad 2 el cual será debatido Reunidos en
los Cipas, discutan el resumen de la Unidad 2 y socialicen los ejercicios
correspondientes
a la Autoevaluación;
Formulen, analicen
y
resuelvan
todos los ejercicios.
r'
En los Cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la
Unidad 2.
r'
Todos los ejercicios real¡zados individualmente y en los Cipas, se deben
socializar en la sesión Dresencial en el aula.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS . coRPoMcIÓN
UNIvERSITARIA oEL cARIBE
29
INfERES COMPUESTO. - UNIDAD 2.
EVALUACION INICIAL
!:,,.
!.:::::.:
j,-
...-
.ir
i i.:.i',.i
r.i
L,;.,."¡,i; .,; ,
,.,.
.-
¿ Qué ent¡endes por Interés Compuesto?.
¿ Qué es una tasa de interés efectiva anual?.
¿ Cuál es la diferencia entre tasa nominal y tasa efectiva?
MATEfvtÁTlcAs FINANctERAS - coRpoRActóN uNtvERstrARtA oEr
cARrsE.
30
INTERES COMPUESTO. , UNIDAD 2.
UNID.AD 2.
2.INTERES COMPUESTO
2.1 VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN ]NTERÉS
COMPUESTO.
Conkario con la tasa de lnterés Simple, la compuesta significa que los intereses
no se pagan ún¡camente sobre el capital principal, sino también sobre
los
intereses acumulados. llustremos lo anterior con un eiemolo:
Ejemplo 2.1.
Si depositamos $ 1 0.000 a interés compuesto en una corporación financiera
donde capitalizan el interés trimestralmente a una tasa del 10% trimeshal, ¿Cuál
será el valor al final del año?
Solución:
Valor Presente (VP)
Periodo
t1
Intereses tr¡mestrales
Valor Futuro
10.000
10.000(0.10) = 1000
$11 .000
1.odd
t.ooo(o.loj =- tto
11.110(0.10)= 111.1
sii.¡o
1
3
:4
:
,
11.11O
ll.ZZ'l
.'t
t
11
.221 .'t (o.1O)='t 12.21
$1',t.221
.1
$11.333.31
Vamos a mostrar ahora los nuevos montos para cada período, es decir,
integrando el ¡nterés al capital (capitalización), en un gráfico de línea del tiempo:
MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRpoRAcróN
uNrvERsrrARrA DEL
CARTBE
INTERÉS CO|I,PUESTO, - UNIDAD 2.
VF='t4.641
VF-13.310
VF=12. 100
La situación anter¡or la podemos representar gráficamente, mostrando el valor
presente y el valor futuro así:
VF=14.641
VP= 10.000
Con la tasa compuesta, al invertir ($P) en el año 0, se puede ret¡rar al final del
año I la cantidad $P(1+i¡; al mantener tanto el principal ($P) como los intereses
del primer año ($ip) en el fondo de inversión durante el segundo año, los intereses
se acumulan sobre ambos ^y, por lo tanto, al final del año 2, podría retirar
$(P+|PX1+i) o sea, $P(1+i)'. Esto es, el inversionista habrá ganado en ese
segundo año, intereses sobre el capital y, además, sobre los intereses
devengados el primer año.
De igual manera, dejand^o tanto el capital como los ¡ntereses invertidos, al final
del año 3 se tendrá $P(1+¡)'(1+¡)=$P(1+¡)'
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARtA
DEL cARTBE
32
INTERES COMPUESTO. - UNIDAD 2.
En forma general, se tiene que al final del
concepto se expone en la siguiente ecuación:
año
N, habrá $P(1+i¡N este mismo
VF=VP(1+i)N
De este modo para el caso en el que se conoce la suma (VF) que se desea cibir
en el futuro y se necesita conocer la suma presente (VP), que será necesario
invertir (o pedir) en el presente, se tiene:
VF
I/D _
(l + l)"
Veamos el siguiente ejemplo para valor presente:
Ejemplo 2.2.
Una persona recibe dentro de 60 meses un pago por la suma de $241.171.4
por un monto de dinero X que prestó al 4.5o/o trimestral a interés compuesto
capitalizando intéreses cada tres meses, ¿Qué cantidad de dinero prestó?
Solución:
VP =?
vF
It
N
=9241.171.4
= 4.5o/o
= 60/3 = 20 trimestres
Como vimos anteriormente aplicamos la fórmula de valor presente así:
VF
/lt, r;, ,p,\/'
241 .17 |
"
- rt,Í
(r
/P
= $ 100.000
MATEMÁT|CAS FINANCIERAS - CORPOMCIÓN
n
n¡<tlo
v.viJ.,
UNIVERSITARIA DEL CARIBE
INTERÉS COMPUESTO.. UNIDAO 2.
Significa que $100.000 colocados
al
4.5o/o trimestral, se acumularán en
$241.171.4 al cabo de 60 meses, capilalizando intereses cada trimestre.
...
.'!,rr!ir[|¡¡L"
2.2
.,....,::
rrb:-
COMPARACIÓN ENTRE
¡s¿-
EL
_.,,
¡¡i.-
INTERÉS SIMPLE Y
COMPUESTO.
La tasa compuesta genera más retorno que la tasa simple, ya que paga interés
sobre una cantidad que va aumentando con el tiempo.
Para la tasa compuesta, se mostró que al invertir $10.000 a una tasa de interés
del 10% trimestral, se obtendrá $14.641; es decir aplicando la fórmula de Valor
Futuro (VF) se tiene:
VF
=Vp(t+ip)''
ZF = 10.000(l +0.10)a
VF =14.641
Para la tasa simple se obtendría:
VF = VP(l + ipx N)
VF =VP(l +0.10*4)
vF =14.000
Observamos que el rendimiento con el interés compuesto es mayor que el que
se obtenía con la tasa de interés simple, ya que la introducción de la acumulación
de intereses sobre intereses ha incrementado el fruto de la inversión.
2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS.
Para una mejor comprensión ilustremos este tema con un ejemplo:
" :.;*""#,-
:Y;***-.:.**?".ry1
.c;k,-€j¡É=*
_;ffi,.-E€"ñÉ.
Ejemplo 2.3.
¿A que tasa de Interés Compuesto, se colocaron $50.000 para que en 2 años
capitaf izando trimestralmente, se acumulen en $21 2.392,55?
Procederemos a despejar la fórmula de Valor Futuro así:
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN
uNrvERSrrARrA oEL cARTBE
34
INTERES COMPUESTO. . UNIOAD 2.
VF -, VP(l + i¡t)'
VF
:-=(l+rp)\
VP
(l
.VF
'=
.VP
+ rp)
. ( VF\,,,
tP=l-l
-l
'
\VP)
Quedando la fórmula para calcular el ¡nterés así:
Una vez despejada reemplazamos de este modo:
VF = $ 212.392.55
VP =
50.000
N = 20 (porque hay 4 trimestres en el año y son 5 años)
$
ip =?
Entonces:
I
¡l/-l
212.392,55 -l l0
50.000
ip = (4.24785)005
-)
-l
-1
iP=l-075-t
ip = 0.075
ip = l.5Yo
ip=7.5*4
iP =lo%
La cual es la tasa de interés compuesto.
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrq
DEL cARrBE.
35
INTERES COMPUESTO. - UNIDAD 2.
2.4 CALCULO DEL NUMERO DE PERIODOS.
Ejemplo 2.4.
¿trn que t¡empo se duplica un capital colocado al
18o/o
de interés Compuesto
capitalizando trimestralmente?
Solución:
Procederemos a despejar la fórmula de Valor Futuro de la siguiente manera,
hasta despejar la variable "N".
Nlogfl +rn)
I
L/D
="rl;)
\
, (VF\
-.-
lost
^¡
"\vP )
|
- log(l +
1,,
)
Quedando la Fórmula de Número de oer¡odos así:
.tost(VF\
'\VP
- )
l"g(t -)
|
Replanteando tenemos:
N =?
VP= lVP
VF= 2VF
ip =18o/o=0.18 l4 =0.045
m = 4 capitalizaciones
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNvERstrARtA
DEL cARtBE.
36
TNTERÉS
,,
/v =-
^,
/v =-
coMPUEsTo. . UNIDAD 2.
.ropt(?rP\
--l
"\lvP )
log(1 + 0.04s)
log2
log 1.045
0.3010299957
0.019t 1629045
N -15.74730184
Significa que cualquier capital colocado
al 18% de
interés compuesto
cap¡talizando trimestralmente, en 15.74730184 trimestres se duplicará. Es decrr
en 15 trimestres, 2 meses y 7 días.
2.5 TASAS DE INTERES NOMINALES Y EFECTIVAS.
La tasa Nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con
periodos de capitalización mensual, bimestral, trimestral, semestral, etc. Esto
quiere decir que la tasa Nominal es igual a la tasa de interés del periodo
multiplicada por el número de períodos al año. La tasa Efectiva, es aquella que
nos determ¡na la ganancia que realmente se adiciona al capital en el instante que
se liquida el interés.
Cuando la tasa Nominal se capitaliza una sola vez al año, entonces decimos
que la tasa Nominal es ¡gual a la tasa Efectiva Anual
Las equivalencias financieras entre sumas presentes y futuras y series
uniformes son funciones de una tasa de interés efectiva (vencida).como tar ,
tenemos que poder contar con mecanismos que nos permitan expresar cualquier
tasa de interés (nominal, anticipada e.tc.) con su equivalente efectiva (vencida).
Las equivalencias más comunes se definen entre:
.
.
Una tasa de interés Nominal Vencida y una Tasa de lnterés Efectiva.
Una tasa de interés Nominal Anticipada y una Tasa de Interés Efectiva.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS -
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE.
37
INÍERES COMPUESTO. - UNIDAD 2.
.
Una tasa de interés Nominal Vencida V una Tasa de Interés Nominal
Anticipada.
La tasa de interés nominal es la que se pacta en la mayoría de las inversiones
financieras. Se debe especificar el periodo de capitalización, y la forma de pago y,
por lo general, su monto se presenta en forma anual a no ser que se especifique lo
contrario.
De otra parte, la tasa de interés efectiva se definió como la Tasa que refleja el
rendimiento de una inversión, cuando se asume capitalización de los intereses
generados a lo largo de un periodo de inversión.
2.6 CONVERSIÓN DE TASAS DE INTERÉS.
2.6.1 Equivalencia entre una tasa de interés Nominal Vencida y una Tasa
de Interés Efectiva.
Es posible calcular la tasa de interés efectiva equivalente a una Tasa de lnterés
Nominal Vencida, o viceversa.
Consideremos una inversión de $100 que devenga el 1Oo/o Anual de interés
(Nominal), capitalizado Anualmente. Al final del año se liquidan los intereses de
$10, para un rendimiento efectivo del 10%. En este caso, el per¡odo de inversión y
el de capitalización son los mismos y la tasa Efectiva es igual a la Nominal.
Cuando el periodo de capitalización es más corto que el de inversión, la Tasa
Efectiva es mayor que la nominal, como se observa en el s¡guiente ejemplo.
'*:=+'4rd'ñ?&.¡";kñg¡'r!- il;"".¡x.
-t,ll;5¡ff
Ejemplo 2.5.
Considere ahora que los 9100 se invierten al 10o/o de interés (Nominal) anuar,
capitalizado mensualmente. Esto implica que cada mes se liquida la parte de
¡ntereses que corresponden a un mes (una doceava parte del año) y estos
Intereses se agregan al cap¡tal que está ganando ¡ntereses. Cada mes se paga
una tasa Nominal mensual igual a la doceava parte de la tasa Nominal, (ip) =
0.10112 = 0.0083. Entonces, al final del primer mes se liquidan intereses de $0.93
($100-0.0083), y el capital que entra a ganar intereses durante el segundo mes no
es ya de $100, sino de $100.83. este capital genera $0.84 de intereses
(100.83"0.0083) en el mes 2, los cuáles se suman al monto de capital. haciendo
que este sea, al comienzo del tercer mes de $101.67
Este proceso sigue así durante los próximos 12 meses, hasta que, al final del
doceavo mes, el capital acumulado será de $110.47. En tal caso, el retorno anual
sobre fos $100 invertidos en un comienzo será de $10.47, arrojando una tasa oe
rendimiento efectiva del 10.47%. Consideremos otro Ejemplo:
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARrA
oEL cARtaE
INTERÉs coMPUEsTo.. UNIDAo 2.
*,'-..
. ..t,'..**r* .i"":.-.5"'':'"'1--r*,,,;&d€¡r;*.'ry:,, .--.;i;
Ejemplo 2.6.
se invierten $2000 a una tasa anual de 2oo/o, capítalizada trimestralmente.
cada trimestre se liquida una cuarta parte del 20o/o, o sea, un 5% de los intereses.
Este 5%, que es la tasa por periodo de capitarización, funciona como una tasa
compuesta que se paga cuatro veces al año. como consecuencia, el capital
acumulado al terminar el año es igual al capital originalmente inveri¡do,
multiplicado por (1.05)4, o sea, por 1,2iss. la tasa de interés anual efectiva es,
entonces, 21 .55o/o.
En general, se define m como el número de veces en el año (o, en general, el
per¡odo de inversión) que se capitalizan los intereses: m= 12 para la cafitalización
mensuaf ; m=4 para la capitalización trimestral; m= 365 para la capitalización
diaria.
se denomina io a la tasa de interés por período de
liquidación; i es la tasa Nominal anual.
capitalización o
Se tiene:
m
La tasa efectiva anual, que se denominará iu, sencillamente es la
compuesta de esa tasa periódica:
tasa
i"=(1+io)m-1
Nótese que si m=1, ino,n =io=i" Es decir, si el período de capitalización y el
período de inversión coinciden, la tasa Nominal y la Tasa Efectiva son iguales.
En cambio, s¡ la tasa de interés nominal anual
liquidación de intereses es de un mes, se tiene:
es de 36% y el período de
= 0.36
m
=12
i
= 0.36/12 = 0.03
La tasa de interés liquidada mensualmente es de 3%. Se capitalizan estos
intereses, se calcula la tasa de interés efectiva:
i" = (1+Q Ql)
MATEMÁncAs FINANCIERAS - coRpoRAcróN
''
-
'l
= 42.58%
uNn/ERsrrARrA DEL cARraE.
INTERES COMPU€SÍO, - UNIDAD 2.
....,1.'
...,*,,
'
',.,,...";¿r:,'..:¡*-
Ejemplo 2.7.
una tasa Nominal Anual del 12ok capitalizada mensualmente, llevarla a efectrva
anual
Solución:
Capitalizada mensualmente, entonces divido
periódica.
la nominal en 12 y obtengo
la
ip= 12 I 12 = 0.O1 que es el interés periódico; ahora reemplazo en la fórmula oe
interés efectivo anual así:
ie=
(1+0.01)12
i"= 0.1268
-
1
Quiere decir que una tasa Nominal anual del 12o/o capitalizada mensualmente,
es equ¡valente a una del 12.68% efectivo anual.
Ya vimos ejemplos de llevar tasas nominares anuares a periódicas y ruego a
efectivas anuales. Ahora miremos lo contrario, llevar tasas efectivas a peiiódic-a" y
luego a nominales
.'-;:-dr'l¡d "Y:'1"r:É|:'$ary ll,*-s- .;;&r¡r¡tdA;1r¡sry.
'-
"
-:r'
-..- :,.:"ü1i;!*¡¡s!Éee¡.e¡¡e-
t'-'
Ejemplo 2.8.
una tasa Efectiva anual del
z6.2so/o llevarla
cap¡tal¡zable trimestralmente
a una tasa nominal
anuar
Solución:
El primer paso es llevarlo de efectiva anual a periódica a través de la siguiente
fórmula:
io= ('1+i")]/m -1
Entonces,
ie=(+0.2625)1t4 - 1
0.060 que es el interés periódico.
¡e =
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN
uN|VERS¡TARIA oEL cARraE
40
NTERES
CO PUESTO.. UNIDAD
2.
Como:
i
¡
_!.!!!!L
t-m
0.06 =',,',"'
4
i,,,,,,, = o.o6* 4
i,,,,,,,
=24%
significa que colocar un cap¡tar a una tasa Efectiva
Anuar der 26.28o/o, es iqual
que colocarlo al 24oA de interés compuesto
capiütüano;
tr¡'";ir"ñ";
A continuación mostraremos una síntesis para convert¡r
tasas
Efectivas Anuales y Viceversa.
']:i".,,.r**&a 'iñ,,.-Fi¡i'""..¡-.-*,*,*..".
,iffiw**¡e=¡aq
Nominares a
-:,:.:,,:
-..|::*.üe*,e
REGLAS DE ORO
De Tasa Efectiva Anual a..lnterés periódico
tl
VV
ip
= (i +¡e)1h
- i
++
De Interés periódico a.. Nominal Anual
++
in
in
MATEMÁT|cAs FINANcIERAs - coRpoMctóN
= ip.nr
= Nominal Anual
uNtvERsrrARtA DEL cARrsE.
4'l
TNIERÉS COMPUESTO.. UNIDAD 2,
Ahora veamos lo contrario, es decir de Nominal anual a Efectivo Anual
De Nominal Anual a... Interés Periódico
VV
'
t1l
VV
De interés Periódico a.. Efectivo Anual
VV
t,.
=(t+i/,)"'-I
i" = Efectivo Anual
2.6.2 Equivalencia
de Tasas Nominales con diferente Periodo
de
CaPitalización.
a otra Tasa Nominal' lo
Cuando queremos saber cual es la tasa equivalente
a la Tasa
á"i"-¡ntt la fasa Efectiva correspondiente
primero que hacemos
que deseamos a partir de la
""
Nominal dada y luego caicular la Tasa Nominal
exoresión:
;" = (t +;")"
-
t
Ejemplo 2.9.
unaTasadel24%capitalizableb¡mestralmente,¿AquéTasacapitalizable
Trimestralmente es Equivalente?
cap¡talizan' siendo esta la
Lo primero que podemos decir es que ambas Tasas
se trata de Tasas
pr¡""¡|.i ."L"turiiti"" de una Tasa Nominal; por lo tantoque
es prec¡so tener
si). Lo otro
ñominates (conversión de Tasa Nominales entre
que la tasa es anual'
claro, es que al no especificarse el tiempo' asumimos
Veamos el Proceso de conversión:
1.
a
convertimos la Tasa conocida (24o/o capitalizable b¡mestralmente)
oro):
de
(aplicar reglas
interés periódico y tuugo a Tasa Efectiva anual asi
m¡tgruÁttces FINANcIERAS - coRPoRAoÓN
uNrvERslrARIA DEL cARIBE
INfERES COMPUESTO. - UNIDAD 2.
Como es capitalizada bimestralmente entonces se entiende que es cada 2
meses, por lo tanto hay 6 bimestres en el año.
.
,o
-
0.24
.
o
; =fin4
2.
Teniendo la Tasa periódica la llevamos a Efectiva Anual
así:
1. =
(l + 0.04)6 - l
¡" = 26.53%
J.
Ahora hallamos la tasa de interés capitalizable trimestralmente
(Nominal
anual) que es equivalente a la efectiva anual ya
calculada. Procederemos
a llevar la Efectiva anual a la periódica que se capitaliza
trimestralmente
siguiendo los pasos de las reglas de oro.
in =(1+0.2653)1/a -1
t/, = 0.06059
Nótese que se eleva a la
4.
T¿
debido a que en un año hay 4 trimestres.
Finalmente con este interés periódico y apricando ras regras
de oro
anteriormente procederemos a multiplicar el interés periódico por vistas
cuatio
(debido a que existen 4 trimestres en er año) y u"i
obt.nuros ra tasa
nominal anual capitalizable trimestralmente.
i,,,,, = 0.06059* 4
i,,,,,,
=0.2424
i,,,,,,
=24.24%
MATEMATICAS FINANCIERAS . coRpoRAdóN uNlvERslrARtA
DEL cARTBE
43
INTERES COMPUESTO..
UNIDAD 2.
Quiere decir que una tasa del 24o/o capilalizable bimestralmente, equivale
a una tasa del 24.24% capitalizable trimestralmente; y que estas dos tasas
equivalen a una tasa del 26.53% efectivo anual.
2.7 TASAS DE INTERES ANTICIPADAS.
El ¡nterés anticipado se paga en el momento de iniciar el período de causación
de intereses. Por ejemplo, el pago de ¡ntereses correspondientes al período de un
oréstamo se realiza en el momento de desembolsar el capital del préstamo; como
consecuencia. el prestatario efectivamente recibe el monto que ha pedido
prestado menos el monto de interés correspondiente al primer período
El interés anticipado se entrega al dueño del dinero antes de transcurrir el
tiempo durante el cual va a sacrificar sus usos alternativos. como tal, cuenta con
los intereses desde el comienzo del período, en el que los puede reinvertir o
algún beneficio, sin necesidad de esperar hasta que termlne
ulilizar para generar
el interés antic¡pado
el periodo. En consecuencia, se esperaría que
que
su equivalente vencido'
corráspondiente a un determinado período sea menor
que eS
Cuando se dice que e| interés sobre un préstamo es anticipado, Significa
por
una suma
como si no se hubiera sacado un préstamo por todo el capital, sino
préstamo
es
período
del
menor. No obstante, el valor a ser repagado al final del
efectivamente el capital acordado sin los intereses, por ser anticipado
De este modo, el costo verdadero de un crédito cuyo interés se paga en forma
en lorma
anticipada es superior al costo para el caso que se pagara la m¡sma tasa
vencida. Veamos el siguiente ejemplo:
..:.:....,.r.¿l
.i
.
*,:.-...,j1,.,:'¡e"-r+;j-
.,..,.'_i:.
.,#,.j n}ry-
t. :,.;:;*',*d'-*
EjemPlo 2.10.
plazo a una tasa del
Sí ¿oy en calidad de préstamo $100 pagaderos a un año de
15% aniicipada, ¿Cuál será la Tasa de Interés Vencida?
'15%,
si fos $100 los presto al mismo plazo y a una Tasa de Interés Vencida del
gráfico.
significa que dentio de un año debo recibir $1 15, según el siguiente
¡u¡tguÁTtc¡s
FINANcIERAS - coRPoRAclÓN uNlvERslrARlA
DEL
cARlEt
44
INT€RES COfIIPUESTO. . UNIOAO 2.
VF= $ 115
VP= $ 100
Comprobando.lo anterior tenemos:
VF =VP11*¡r¡x
Zr' = l¡611
ZF = 9115
*¡.ttr'
Ahora miremos que ocurre si la tasa
de interés es anticipada:
Gráficamente tenemos:
VF=$100
VP= $ 85
Observe que:
VP = 100 - 100 (1.jS)
VP = 100 (1 - 0.15)
VP=85
MATEMATICAS FINANGIEMS - coRPoMcIÓx
UNIVERSITARIq oE[ oARIBE,
45
IÑT€RES COMPUESTO, . UNIDAD 2.
Significa que por los $100 que presto retengo $15 por interés y entrego $100 $15= $85, para que al cabo de un año recibir $100, es decir:
VP = $85
VF = $100
= 1Año
\
i
=?
siendo esta la Tasa de Interés Vencida o Efectiva Anual (Porque se capitaliza
una vez al año).
como VF = vP(1+i)N
Reemplazando tenemos:
100=85(1 +,)l
100
85
1.1765-l=i
i = 0.1765
i =17.65%
QuieredecirqueunaTasade|'|5o/oanua|Anticipadaesequiva|enteaunatasa
del 17.650/o Efectivo Anual (vencida).
TraduciendoelanteriorprocesoenfuncióndelasvariablesVP'VF'N'¡a
ia.100. de
(interés Anticipado), tenemós que: por $'100 que presto hoy' retengo
i¡n"io v entr.io lStoo-ia-Srooj pará posteriormente al año vencido recibir $100,
es decir:
VP = $100(1- ¡a)
yp = gl00
N
=1año
valor Futuro:
Ahora reemplazamos las anteriores variables en la Formula de
MATEMÁT|cAs FINANCIERAS - coRPoRAclÓN
uNlvERsrrARrA oEL cARIBE
46
INTERÉS COMPUESTO. . UNIDAD 2.
VF=VP(l+¡)''
$t 00 = $100(l
$r00
$ 100
=ll-t
-,,,XI
+ t)l
lll+¡l
-l=(l-1,)(l+Í)
I
1-
i,,
l,
1- i.
.1
l:
Es decir
:
¡= I -l
t-i,,
La anterior exÉresión matemática encontrada nos servtrá para determinar
Tasas
de Interés venc¡das conoc¡endo Tasas Anticioadas.
ATENCIÓN.
cuando neces¡temos conveñ¡r Tasas Antic¡padas a rasas EfecüVas necesariamente
,
debemoi
pr¡mero conveftirlas a lasas Vencidas haciendo uso de la anterior
ecuac¡ón.
Sometamos a prueba la ecuación
antic¡pada del 15%.
el ejemplo 2.10, el cual tenía una Tasa
.l
.l
,=--l
I
-
0.15
i =1.1765_l
i = 17.65%
Dicho valor fue el encontrado anter¡ormente.
MATEMÁTICAS FINANCIERAs - coRPoRAcIoN
uNIVERSITARIq DE! cARIBE,
47
INTERÉS COMPUESIO, " UNIDAD 2.
Aclaremos
la observación anterior teniendo en cuenta cuando hay varias
capitalizaciones al año y cuando solo se capitalizan los ¡ntereses una vez al año
,
ni'¡ad'
. j ..é.^
Ejemplo 2.11.
El Banco Hispano está cobrando el 34o/o anual Trimestre Anticipado (para
créditos ordinarios a 2 años de plazo). Necesitamos saber:
y
la tasa Efectiva Anual
¿cuát es la Tasa de lnterés trimestral vencida cuál es
Cobrada en Dicha modalidad de crédito?
Solución.
por tanto:
Tenemos tasa anticipada con 4 periodos de capitalización'
ia= 0.3414 = 0.085 que es la Tasa trimestral anticipada
Ahora llevémosla a vencida:
;
-
--
:- -1
I
-
l-i"
.l
l-+-l
0.085
i =9.29%o
tasa de interés del 8'5%
Entonces tenemos una equivalencia financiera: Una
trimestra|ant¡cipadaesequiva|enteaunatasade|9.29o/otrimestralvencida.
AhoraelsiguientepasoesconvertirlatrimestralvencidaenEfectivaAnual:
ie=?
n = 4 Períodos que hay
en el tiempo para el que calcularemos la Tasa Efectiva'
en este caso para año.
io--9.29o/o
',,
= (l +t/,),,_1
¡. =(l+0.0929)o
i,.
42.660/o
-l
=0.4266
es la Tasa efectiva anual cobrada por el banco'
MATEiNÁTICAS FINANCIERAS -
CORPOhACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE.
48
INIERÉS COIIiPUESTO. . UNIDAD 2.
o
Valor Futuro a interÉs compuesto,
VF = VP(I+¡)N
o
Valor Presente a Interés Compuesto.
VP
o
=(l +I/Fj¡
Formulá para Calcular el inteÉs,
.
I
(vF\ñ
"=l*)
r
)/y
-'
Cálculo del Número de periodos.
-\vP )
",s(y!\
logQ +
1)
r
De Noniinal a pe¡iódica.
m
IUATEMANCAS
FI
ANCTERAS . CORPORACION UNIVERSITARIA
D€L
CARIBE.
49
INTERÉS COMPUESTO, -
.
UNIDAD 2.
De periódica a Efectivo Anual.
l,-(l+l,,)"'-I
.
De Efectivo Anual a Periódica.
it,=(1 +i,.);
.
-l
De interés Periódico a Nominal.
i,,,,,,,=in'm
o
De interés anticipado a Interés Vencido'
I
t-t
MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRPoMclóN
uNlvERslrARrA
DEL
cARIBE
50
INTERES COMPUESTO.. UNIDAD 2,
Contrario con la tasa de Interés simple, la compuesta s¡gn¡f¡ca que los intereses
no se pagan únicamente sobre el capital principal, sino también sobre ros
Intefeses acumulados, de este modo la tasa compuesta genera más retorno que
Ia
tasa simple, ya que paga interés sobre una cantidao que va aumentando
con er
Iremoo.
La tasa Nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con
periodos de capitarización mensuar, bimestrar, trimestrar, semestrar,
quiere decir que ra tasa Nominar es iguar a ra tasa de interés etc. Esto
áer periodo
multiplicada por er número de períodos a-r año. La tasa Efectiva,
es aquertá que
nos determlna ra ganancia que rearmente se adiciona ar capitar
en er instante que
se liquida el interés.
cuando ra tasa Nominar se capitariza una sora vez al año, entonces decimos
que la tasa Nominal es igual a la tasa Efectiva Anual
El interés anticipado se paga en er momento de iniciar er periodo
de causación
,
de_ intereses.
Por ejempro, er pago de intereses correspondientes ar período
de un
préstamo se realiza en er momento de desemborsar ei capitar
prestamo:
uer
cámo
consecuencra, er prestatario efectivamente recibe er monto que ha pedioo
prestado menos el monto de interés correspondiente al primer período.
MATEMÁTICAS FINANCIERAs - coRpoRAcróN
uNrvERSrrARrA oEL cARTBE
5'1
I¡'TERES COMPUESTO-. UNIDAD 2.
1. Defina: lnterés compuesto, interés Nominal, Interés Efectivo'
2.¿En cuanto se convierten $450.000 al 24% de interés compuesto capitalizando
irimestralmente, al cabo de dos años y medio?
3.¿Cuántodebodepositarhoyene|bancosipaga2lo/odeinteréscompuesto,
de
dentro
cápitalizando trimestralmente, para lograr un acumulado de $600.000
cuatro años?
que paga el
4. una persona deposita $5'000.000 en una corporación financiera
31.9%anua|.S¡|apersonaaspiraadup|icarsudinero,¿Porcuántotiempodebe
colocarlo?
que reconoce un 32ok
5. Si depositamos $1',000.000 en una corporación financiera
anua|capita|izab|etrimestra|mente.¿Quécantidaddedinerohabrádisponib|eal
cabo de tres años?.
por un
6. Una entidad financiera paga el 32o/o anual, capitalizable trimestralmente,
el interés
deoósito a término de $1'¡50.000 pactado a 6 meses.¿Cuánto será
oue recibe?.
del
7. Si nos ofrecen un crédito a una tasa de interés compuesto
oferta?
30%,
capitalizable trimestralmente o al 35% efectivo' ¿cuál será la mejor
8.Quéesmejorparaunprestam¡sta:prestar-al20"Adeinteréscompuesto
o/o
capitalizando trimestralmente o prestar al
21
efectivo de interés compuesto?
9.¿AquétasadeinterésEfectivaanua|,equiva|eunatasanomina|de|30%
capitalizable semestralmente?
10. Una tasa de| 42o/o E,fectiva anua|,
a que tasa de interés compuesto
capitalizable mensualmente equivale?
m¡remÁttces FINANcIERAS
- coRPoRAclÓN uNlvERSlrARlA DEL cARlEE
52
INTERÉS coMPUESTO. - UNIDAO 2.
11. ¿Qué es más rentable para usted; invertir en un negocio que renta a una tasa
Efectiva anual del 37.99o/o o depositar el dinero en un banco que le reconoce er
35.1Ook anual capitalizable trimestralmente?
12. Determine las tasas efectivas anuales de:
.
¡
.
.
Una
Una
Una
Una
tasa de interés
tasa de interés
tasa de interés
tasa de ¡nterés
del 48o/o
del 34o/o
del 3oo/o
del 38oA
capilalizable
aapital¡zable
capitalizable
capitalizable
tr¡mestralmente
mensualmente
trimestralmente
mensualmente
'13. convierta una tasa
de interés efect¡va anual del 5g% a una tasa de interés
anual capitalizable trimestralmente y a una tasa de interés anual capitalizabte
bimestralmente.
MAIEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uNtvERsrraRA
DEL cARTBE
5J
Anualidades.
Unidad 3
MATEMÁflcAs FINANcIERAS - coRPo'lAa
ÓN uñ vLRSiTARTA oÉ- cARrLlt
ANUALIOADES. - UNIDAD 3.
Normalmente las personas vincuradas a ra actividad f¡nanciera reciben pagan
o
cantidades iguales de dinero a intervalos iguales de irempo,
a una tasa de interés
compuesto y ocasionarmente a interés continuo. Tares pagos
o recibos fijos oe
cap¡tal
interés
compuesto
o
cont¡nuo
ros
denomrnamos
ANUALTDADES en el
.a
mercado financiero. por ejemplo el pago de las cuotas
oe una vivienda o
apanamento cada mes, el. pago mensual de cuotas de
un crédito a una entidad
financiera, etc. son ejempros de anuaridades. Er hecho
de [amarse anuaridaoes
no significa que ros pagos o rec¡bos fijos se rearicen anuarmente.
Las anuaridaoes
pueden ocurrir cada quince días, cad-a mes, cada
trimestre, ."r"iti", .*"f","_
Lo importante es que rogvarores sean fijos a intervaros iguares
de tiempo v á un"
tasa de .interés compuesto. Lo anterior nos permite resumir
el concepto oe
anual¡dad
así:
una anuaridad es un varor fijo de dinero que se paga o se recrbe
a intervaros
rguales de tiempo a una tasa de interés
J continuo.
"ornpr".io
Las anualidades de mayor apricación y uso son: anuaridad
ordinaria vencida,
anualidad ordinaria anticipada, anuaridad diferida vencida y
diferidas anticipaJás
OBJETIVOS ESPEGíFICOS
Al
terminar Oe estuOlar la presente unidad usted debe estar en capacidad
de:
Definir el concepto de anualidad.
Calcular el Valor de una anualidad ordinaria vencida y antrc¡pada.
Resolver problemas
diferidas.
y
situaciones equivalentes
MAfEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARrA
DEL cARtBE
a
Anualidades
55
ANUALIDAD€S. . UI{IDAD 3.
uNlCIAD 3.
Para el desarrollo ex¡toso de esta unidad se recomienda lo siguiente:
ACTIVIDADES.
r'
/
/
/
Lea detenidamente la Unidad N' 3.
Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación"'
Desanolld los elereicios que aparecen como Autoevaluación'
Realice un resu{nen de toda la unidad 3 el cual sefá debatido Reunidos en
los cipas, discutan el resumen de la unidad 3 y socialicen los ejercicios
corresoondientesa|aAutoeva|uaeión;Formulen,ana|icenyresue|van
todos los ejercicios.
/
En los cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de la
Unidad 3.
/
Todos los ejercicios realizados individualmente y en los cipas, se deben
socializa¡.en la sesión presencial en el aula'
MATÉfilÁn€As Fll¡ANclERAs '
coRPoRAc¡ÓN uNlvERslrARlA DEL cARlEE
co
ANUALIDAOES. . IJN¡DAD 3.
EVALUActóru
rrulcnt
¿ Qué entiendes por Anualidad?.
¿ Qué es una Anualidad ordinaria vencida y anticipada?.
¿ Que es anualidad diferida vencida?
MATEMATiCAS FINANcIERAS . coRPoRACIÓN
UNIVERSITARIA DEL CARIaF
UNIDAD 3.
3.
ANUALIDADES
3.1 ANUALIDADES ORDINARIAS VENCIDAS.
Gráficamente podemos ilustrarlas asi:
Vencida'
3.1.1 Valor Futuro de una Anualidad
.*4.
'_ j: ei;3s'
Ejemplo 3'1'
fin de
, ..- ^r:^^+^ ¡^
iñ frañ.n debe
dphé pagar
oaoar cada fin
de ,un^banco
Consideremos por e1emplo, que un cliente
que cobra el
+ r"."r. Si.la tasa de interés
mes una cuota fija ¿e SSOO.bó'ó'dLii"ntu
gy" anual' ¿Cuál será el valor total de las cuotas al
banco a sus cl¡entes u, o" ¿ó
finalizar el cuarto mes?
Gráficamente podemos ilustrarlas asi:
.
T,NITEUÁTICAS FINANCIERAS CORPORACIÓN
UNIVERSITARIA DEL CARIBE
58
ANUALIDADES, . UNIDAD 3.
$300
$300
Llevemos cada cuota al mes cuarto calculando valor Futuro así:
Para los $300.000 det primer mes:
VF= Vp(1+ip)N
.,3,
VF = 300.000(1+O.4}gn2)3 = 331.652,19 ( Et exponente 3.se
debe a
que entre el período 1 y el 4 hay 3 meses).
Para los $300.000 del segundo mes:
,,F = 3oo.ooo(r
.
ry)'
=320.746,6
Para los $300.000 del tercer mes:
¡/F =
3oo.oo0(r.#)
= 3ro.2oo
Entonces el valor de tas cuotas en el mes cuarto será:
0:4:08)'
0.4,0s)'
vr =ns.s6{'t* o-.ltl' + too.ooofr
+'--¡oo.oooll
+
---'---(.' +
+ Jw'w,
300.009
---(''
12
12 )
\
/
t2 ) '
VF = 33t.652,19 +320.746,8 +310.200 + 300.000 $l'262.598,99
=
como queremos encontrar una expresión matemática que me permita determinar
dicho monto en el mes cuarto, entonces utilizaremos la siguienté fórmula:
m¡rgmÁ¡tc¡S
¡¡NANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERstrARtA oEr
cARtBE.
CY
ANUALIDADES.. UNIDAO 3.
,o
-
okt
*
¡pl"
-tf
tp
vencida'
Siendo esta la fórmula para calcular el VF de una anualidad
Paraconfrontar|aanteriorfórmu|acone|resu|tadoobtenidoene|ejemp|o3.1,
el cuarto mes haciendo
o"io.inuro"
de nuevo el válor de las cuotas al finalizar
uso de ella, veamos:
olh*¡")"
I¡F='
.,.." -
'
-rl
ln
;oo.ooo[(t +0.+og¡tz)'
0.408 /
-tl
l2
VF =$1'262.s98'9
son iguales'
Con esto se concluYe que los resultados
-
-"
'
"''
':**" "+":-;"''"'
;'-"""'*
3.1.2 Cálculo de la Anualidad'
de una anualidad vencida'
,VF
Una vez conocida ru to'ñuüi"t" determinar 9l "a"
oara ello utilizaremos los
podemos a partir de ella áftpó"t- r" 'nualidad
veracidad de
on¡"tol=J[i"itÑui r"i rásultados y mostrar la
mismos datos con
"r
los procesos.
Ejemplo 3'2'
¡^^^óiiár ¡arra
.le
en.' tun
en
cliente debe depositar cada fin de mes
que
un
valor
el
es
¿Cuánto
tutut consecutivos para acumular $1'262 598'99; si la
banco durante
"rat,opor el banco es de 40 8% Anual?
i;;¡" interés pagada
Replanteando tenemos:
a
N
= 4 meses
VF
= 1'262.598,99
= 40.8% anual
=0408112=O034
I
ip
m¡teuÁttcls
FINANcIERAs - coRPoRAcrÓN
uNrvERslrARlA DEL cARIBE
60
ANUALIDAOES. . I,JNIOAD 3.
Sabemos que:
f/tr -
oftt*;,;" -t]
tn
t'262.598,99 =
t'262.598,9s(0.0:+) = a[r + o.O;+)'
42.928,37 = a(0. | 4309 45 52)
-
r]
a = 42.928.37 10.143094552
r¿
= $300.000
El cliente deberá depositar cuatro cuotas de $30Q.00_0 durante 4 meses
consecutivos vencidos a una tasa del 3.4o/o para poder acumular al final
$1',262.598,99
'
'f¡tlrlj,i3'*
3.1.3 Cálculo del Número de períodos.
,
::,,.
..j,"i
"-,,i:..-:.:.,._.,r^,*.
*.^. .,Jl-:...,",g,,,|uu**-
.
,,1'::,*;.,;,¡.,-r.*
Ejemplo 3.3.
Durante cuanto tiempo deberá un ahorrador depositar en una corporac¡ón
$300.000 al final de cada mes para lograr un acumulado de $1'262.59g,gg: s¡ la
tasa que reconoce la corporación es del 40,8% anual
Replanteando tenemos:
N =?
'VF=$1'262.598,99
a = $300.000 cada mes
i = 40.8% anual
NOTA:
No olvidar que
si utilizamos la tasa anual entonces N nos dará en años; si
utilizamos la tasa mensual N nos dará en meses. Lo anterior porque en
matemáticas financieras lp vs N deben estar en la misma unidad (ambae .en
meses, en años€tc).
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvFRSrrARta
DEL
cARiBr
61
ANUALIDAOES. . UNIDAO 3.
ollr*¡-)'-rl
uf='"
t" '
1n
*in:o[l +irl' -ll
l'262.s9S,9e(0.034) = 300.000k1.034)'
:
l'262.598.99(0.034) (r,, a¡¡r¡v
= 'ur¿+, -
300J00
t.t
.
-11
.
r
43094552 = (1.034)rv
log(l'034) = Log(1'1430945512)'multíplicando"+logaritmo
ar i tmo s
il'Zog(l'034) = Lo g (1'l 4309 4 5 5 12)' pr op ie dad de
"'
N
-
-
'Log(l'Cf,\
'
"log
= 0'0580821 54
0.0580821s4
¿üg(l '034)
N =3.e.2e
'
Esdecirquee|ahorradordeberádepositar-e^n|acorporación$300.000durante
acumule $1'262'598'99
vencidos p"t";;;;';; tasa iel ¿o'ay" anual
4 meses
aF¡¡¡+..:
3.1.4 Gálculo de la Tasa. de Interés'
3.4.
i"o
EjemPlo
,
que
pagó. una co¡9or13ro¡r.-{nanciera a un cliente
interé!
de
¿'<i"J
cuatro períodos consecutivos y al
depositó g30o.oo0 at nngr dEiada mes durante
ñ"ái"ut"ü" una liquidación por $1'262'598,99?
Solución:
ip=?
i'N=4meses
-: a=$30000O
-.^ ^^
VF = $1'262'598'99
-.\
Sabemos gue:
:.
MATEMÁT|cAs
Flt¡¡t¡ctgnasi'
cohPoRAcrÓN uNlvERsÍARrA DEL caRlBE'
62
A
uAuDAoEs. . UNIOAO 3.
,, -"I(*¡,Y -ú
lr_kt*¡,)'-t]
a
t,
l'262.598,99 _
300.000
4,2086633
ltr+;,1"
-t]
lp
[n *i r" -r]
- L\- '/'/in
La tasa de interés que buscamos es aquella que nos permata que se cumpla la
s¡guiente igualdad:
l(t + ¡- 1"
ln
-rl = 4.2086633
Veamos:
Si ip =
3o7o,
= 4.t83627
Si iP = 3.50¿
[n*oorsro-rl
L\- - ---l 'r = 4.21494297
0.035
Esto quiere decir que la tasa de interés que buscamos está entre 3 y 3.5%.
Ahora debemos tantear con tasas del 3.2, 3.3
igualdad.
y 3.4 para encontrar la
Gon 3J%
= 4.19612877
MATEMATICAS FINANCIERAS . coRpoRAc|óN uilrvERsrrARrA
oEL CAR|8E.
OJ
ANUALIDADES.. UNIOAD 3.
Con 3.3%
= 4.20239194
Con
3.4o/o
t
Il
+
..,,¡ - ,lli
0.0]1)'
0 034
= 4.2086611
o es lo más cercana posible;
Como esta últ¡ma tasa cumple con la igualdad'
es del 3.4% mensual.
entonces la Tasa p"g.o."p*oiiu árpór.iion.financieradurante cuatro periodos
final de. mes
Significa que al depos¡tui b:oo ooo il
es de esperar una liquidaciÓn por ta
consecutivos a una tasa del 3 4% mensual'
suma de $1'262.598'99
'i':" r'1"''"T -*-, ';*i¡¡'';¡¿;'.'r,.* ' ' -i"-"''¡l¡a''"*
- ::,: .,,,'-j
Vencida'
3.1.5 Valor presente de una Anualidad
partiendo
Á"üi¡0"¿ vencida en función del VF'
n" tr"o"jJi"
Hasta ahora
de
"""
de ella para trabalarla en función
""
."ü;"J;;;;;;;;¿;
obtenida
fórmuta
de ta
VP, veamos:
1. Sabemos que:
n._oltr*i)"-rl
I,
es igual a:
2. Y que VF de interés eompuesto
VF =VP(\+ip)N
2 en la 1 Y nos queda:
3. Ahora reemPlazamos la fórmula
I
,,P(l+ir)\
MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coR?oRAcroN
rl(r+t.,)'-ll
I,
uNrvcRslrARrA DEL cARTBL
64
AirualroaoÉs. - uNloaD 3.
4. despejamos Valor presente así:
1., ..N _tJ
tP) .l
vP _aL\t+
ír(1+i,)"
Siendo esta la fórmula para encontrar Vp de una anual¡dad vencida.
Ejemplo 3.5.
. un clie¡te de un banco paga cuotas mensuares vencidas de $63.677,37 a una
tasa del 307o de interés compuesto capitarizabre durante 3 años.
a
¿o"
monto del créd¡to otorgado?
"rá¡to ""
Solución:
a= $63.677,37
i = 307o anual o 2.5% mensual
N= n*m = 3*12 = 36 pagos
m= 12 (12 pagos al año)
n= 3años
YP-
?
Como:
, -af!+¡)'.tl
in(l+in)*
'
vP
_
63.677 37f0 + 0.025)t6
- tf
0.025(l +0.025)ró
rP = $l'500.000
?
Si¡nifica que al obtener qn crédito por $1.SOO.OO0, este se pagará con 36
cuotas de $63.677,37 cada una al 2,5o/o de intérés. Es lo miánJ pág"i
noy
$1'500.000 que pagar 36 anuaridades de $63.677,37 mensr¡ts áüá un.
(equivalencia financiera).
MATEMÁICAS FINANctERAS - coRpoa¡clóir
uNrvERsrrARrq oEL cARrBE.
65
ANUAUDAD€S. . IJNIDAO 3.
3.1.6 Cálculo del número de períodos.
Sabemos que:
-tl
,, -oll*¡,)'
i,(l
)"
+
i/"
Entonces:
r)N = okt * ir)n - t]
VPt ip(I + i)N = a(l + ip)N - a
vP * i t, * (l +
vP *
i
r(l + i )N - a(l + í r)n = -a
(1+ i)N (a -VP r i) = a;multiplicando..por(-l)
i
(l+,p)=
N .Lo s
a
@_W-A
(t +
i,)
* tlC+,
o
.f
'cl
=
@
.
r)ri
on iedad
-. -toewu^'
1
-vP.'ül
'N='- Log(l+in)
y:
De esta manera reemplazamos en la fórmula anter¡or
r
.^ /a-.I
t,Jt
o'.ot
. I
'""1 t6l.6tt,tt - l'500.000(0.025) I
I
"
log(1 + 0.025)
'N_0.386059106=15.999
0.010723865
N = 36meses
2'5o/o mensual se paga
Siqnifica que una deuda de $1'500.000 a una Tasa del
en 3é meses con anualidadesde $63 677,37 cada una'
MAÍEÍ',ÁNCAS FTNANCIERAS .
CORPORACIÓN UNIVERSITARTA OEL CARIBE'
66
A
UALTDADES. .
UI{IDAD 3.
3.1.7 Cálculo del Número de periodos.
Ejemplo 3.6.
Un computador vale $1 '50O.OOO de contado y lo entregan para pagarlo con 36
mensualidades vencidas iguates a una Tasa del 30olo anual de interés compuesto.
¿Cuál es el valor de la mensualidad?
Replanteando tenemosi
VP = $1'500.000
N = 36 meses
i = 30% anual
a
=?
Sabemos que:
-tl
,, -oll+¡)'
ip(l i)"
+
YP * i t
) = af1+rn)" - t]
u=r!*¡'(tl¡'):
0+i
(l+i,")"-ll
Siendo la fórmula para calcular anualidad venc¡da conociendo Vp.
l's00.000(0.025)(l .02s)'ó
(1.025)ró
-I
9r.220,07434
1.432535t6
a
"=$63.677,37
Quiere decir que una deuda de $1.s00.000 a una Tasa del 30% anual
capitalizable mensualmente se paga con 36 mensualidades de $63.677,37 caoa
una.
MATEMÁncAs FlNAltclERAs . coRpoRAcóN
uNtvERsrrARiA oEL cARtBE
67
ANUALIDAOES.
' UNIOAD
3.
3.1.8 Cálculo de la Tasa de interés.
Una empresa adquiere un crédito por la suma de $1'500 000 para pagarlo con
36 mensualidades de $63.677,37 cada una. Determine a que tasa de interés
compuesto fue contrido el préstamo.
Replanteando tenemos:
Vp = $1'500.000
N = 36 meses
a=$63677,37
Sabemos que:
oftl
*¡^)^
..,t.p=ff
tflt+tt,)
-tl
rl
-tl
-l,l-i')"
a i,,(l+i,,)''
vP
|
.,
6167737=
t#;;r
I
l'500.000 [l+1")" -ll
[,,', l" -tl
rrlt+tp)
una que cumpla la
Ahora determinemos tasas de interés hasta encontrar
igualdad anterior, veamos:
Si ip = 2Y" entonces:
(1
+ir)\ -l_
ln (1
+in)'
(t +0.02)rú
-l
o'02(l 02)
=25,488842
Si ip = 37" entonces:
(l o3)f -1
0.03(l .03)'
MATEMÁTlcAs FINANcIERAS - coRPoRAoÓN
=21.832252
uNlvÉRSrrARrA DEL cARIBE
68
ANUALIDADES.. UNIOAO 3.
Quiere decir que la Tasa pedida debe de estar entre el 2 y el 3%; ¡ntentemos
con:
i
''
ll
= 2.3o/o
0? l)ró
-
I
0.023(1.023)-
/t 014)'-I
i^ = 2.4Vo = --rj--::--,-:'' = 23.9251673
j(l j.r
'
0.02
t,, = ¿.)"to =
.02
(1.025)'6
O¡tf
-
I
t¡rrr
=
rr.))o-)
I
u/
Observamos que el valor más aproximado al 23.55624926, es con una tasa de
interés del 2.5Vo el cual nos arroja un resultado de 23.55625107; una muy buena
aproximación. Esto quiere de cirque la tasa buscada es de 2.5o/o, eue es la Tasa
que paga la empresa por el crédito adquirido.
3.2 ANUALIDADORDINARIAANTICIPADA.
En la anualidad ordinaria anticipada los pagos o recibos se emp¡ezan a efectuar
desde el momento de la transacción.
3.2.1 Valor Futuro para Anualidades Anticipadas.
'j-.
.
Ejemplo 3.7.
Consigno $150.000 al inicio de cada mes en una corporación financiera que
paga el 22,2o/o de interés compuesto capital¡zando mensualmente. ¿Cuánto
acumularé en dicha corporación al final del quinto año?
Replanteando tenemos:
a = $150.000
i = 22.2ok ó ip = 1.357
n=5años
r".
m= 12 (12 consignaciones por año)
N= n"m = 5-12 = 60 consignaciones
VF= ?
Utilizaremos la fórmula para calcu¡ar el VF de una anualidad anticipada que es:
MATEMATICAS FINANCIERAS . coRPoMcIÓN
UNIVERSITARIA DEL CARIBE
69
ANUALIOADES.. UNIDAD 3.
l+tP)
Entonces procederemos a reemplazar:
I 50.000( I + 0.01 85) r.0l8s
----yr =-0.01 85
., n, =s16'547.082.25
cle la
Quiere decir que al final del quinto año acumularé $16',547.082,25. tanto
fórmu|adeVFyVPparaanua|idadesanticipadassepuededespejar..a',,..N'',o'.i''
conociendo las otras variables
3.2.2 Gálculo del Valor Presente para Anualidades Anticipadas'
Ejemplo 3.8.
Unbancoconcecleuncréditoaunodesusc|ientesaunatasadeinterés
a pr¡ncip¡o
compuesto del 30% capitalizable trimestralmente, el cual es cancelado
de cada trimestre de acr.rerdo al siguiente flujo de fondos:
Flujo de Fondos Para el Cliente.
a= 9601 29¿24
TICAS FINANCIERAS .
CORPORACIÓN
UNIVERSITARIA OÉL CARIEE
70
ANUALIDAOES. . UNIDAD 3.
¿Cuál es el valor del crédito otorgado?
Para resolver esa ¡nquietud aplico la siguiente fórmula de Vp para anualidades
anticipadas:
vD-
Entonces:
vp
_
60t .2s2,24(t + 0.o7
rle
+ 0.07
s)t,
-
t7
0.075(1.075),,
,/P = $5000.000
..,..
#;,"'.¡¡¡-''"i*;!s#|tq'.-"ry.
;i:k"ffi
::Ír;;.::;;Hñif,.*s-
3.2.3 Gálculo de la cuota periódica para Anuaiidades Anticipadas.
Ejemplo 3.9.
¿cuánto debo depositar al principio de cada trimestre en una entidad financiera
que reconoce una Tasa de lnterés compuesto del21o/o Anual para que dentro
de S
años pueda disponer de $20'000.000 para dar el 40% del valor de üna vivienda?
Replanteando tenemos:
.
a=?
= 21o/o
VF = $ 20'000.000
tF 0.2114 = 0.0525 trimestral
n=5años
m= 4 depósitos al año
N=n*m = 8.4 = 20 depósitos
Solucióq:
como está en función de varor futuro aplicamos la fórmura de vF
anualidades Anticipadas para despejar a, veamos:
para
i
MATEMÁfcAs FINANctERAS
- cóRpoRAcóN u¡ltvERsrrARlA DEL cARtaE.
71
ARUAIIOAOES. . UNIDAD 3.
Yll =-
o=
a(l+i")kl +i,)"
-ll
rp
VF*i.
,-- .t-!^--,despejando,a
(l + ¡r r[l + ¡/,, - tl
4=@20'000.000(0.0s25)
.
a = 5559.663.34
Significa|oanteriorquedebodepositar$559.663,34aprinc¡p¡ode.cada
para la cuota inicial
trime-stre para poder acumular los $2O.O0O.OO0 que necesito
de la vivienda dentro de 5 años.
3.2.4 Cálculo de la Taba de Interés para anualidades Anticipadas'
,
-:.S,-.¡,rí¡-
=;"á*:"'T--"'-*-
*,3"¿*¡¡¡("q-t':¿"*'15*¡i$r
Ejemplo 3.10.
gi ffü¡o de fondos s¡gu¡ente muestra las consignaciones. hechas^Pol-yn"
persona en un Banco. Al terminar el año hay disponibles en el Danco
el banco'
que reconoce
bl'¿Ot.ZzS,O¿. queremos conocer la Tasa de lnterés
Flujo de Fondos Para la Petsona
Cons¡gnac¡ones
a = $100.000
11
'lz
Meses
Con la siguiente información:
'
-
a = $100.000
VF = $1'461.779'04
n=1año
N=nrm= 1"12=12
m = 12 caPitalizaciones al año
ip= ?
MATEMÁTlcAs FINANC¡ERAs - coRPoMclÓN uNlv€RsttARlA
DEL
cARlsE
72
ANUALIOAOES. - UNIOAD 3.
Aplicamos la expresión
:
r/F
-
t.,
¿(l + i.)[l
+ir)'-lll
ln
|
..
I
VF {l+,¡)[l+rn)" -lJ
a
ln
1'461.779.04 1r+in¡ft1 +in)n
100.000
14'6177904'
(l
-r]
i,
+ i/'
)^
-
I
iP
Quiere decir que debemos determinar un "ip" que cumpla la igualdad anter¡or.
Para ello, med¡ante un proceso de tanteo buscamos dos tasas de interés que nos
arrojen vafores lo más cercanos pos¡bles a 14,6177904 (un valor por encima de
14,6177904 y el otro por debajo).
Si iP= 3.57o
(l
+
0.0i5)[(l + 0.0i5)':
- tl= ls 6)6Ri7ÁR
0.035
Si iP=
3.2o7
-
r
,, I
(l +0.0i1)[1.19 032). _rl
= 14.8137021
0.0i2
Con ip= 3.2o/o la tasa debe de ser menor.
Si iP =
2.go7o
(t + 0.028)kt + 0.02g)''
0.028
- lj
=
t4.42474t12
Con ip= 2.8o/o la tasa debe ser mayor.
Significaque la Tasa buscada debe estar entre 2.8% y 3.2o/o. interpolemos:
MATEMÁTtCAS FINANCIERAS -
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA OEL CARtEE
AXUALIOADES. . UNIDAD 3.
--1
{,
-0,
1
8
9
I
I
5
9
o
0
9
1
1
z
Si irn=
Si ip =
--------|
I
2.970 ---------:>
i. - 3.2Yo _
2.8o/o
- 3.2Vo
14,6177 904
-
1
4,8137 021
14'42474112 -14,8137021
i- -0,032 - 0.19591 l7
0.028-0.032 -0.38896098
; -n n1?
- 0.004
i^ -0.032 = -0.00201471828
i,, = 0.029985281
j"
= 0.030
Es decir 3%.
t$;*o"*ti' " :T.',*ati:-*t**.*"' *t#"c'$t"iÉÉg'F
3.2.5Cá|culode|NúmerodePeriodosparaAnus|idadesAnticipadas.
*'&¡g'':F-ff
--+ *F*"x¡¡:"f
"
!'l¡I#**ref'-
EjemPlo 3.11.
un monto de
Se me aprueba un crédito para compra de vehículo pordel
360/o Anual
de interés
Sró;oooo.oob en un ban;o qué coura una Tasa
principio de cada mes $439.129,10
óapitaiizaUte trimestralmente. Sí deseo paga! a
cáncelar al bánóo? (se pide hacer el ejemplo con Tasa
ldjñl*
Á"tas
deberé
Efectivd.
MATEMÁICAS FINANGIERAS ' coRPoRAclÓN
uNlvERslrARrA DEL cARIBE
74
AI{UALIOAI}ES. . UNIDAD 3.
Solución:
Calculemos primero la Tasa Efectiva Anual.
. (. ,\''
¡4=lt+-[
-l
\ ml
, _1, , 0.36)"
¡(-l¡-r-l-r
\-./
,
¡" = 0.411581609
Calculemos ahora la Tasa Efectiva Mensual.
t = (l
l
+i.). -l
I
'¡'
;=(1 +0.411581609)--1
i =t.029142467
i = 0.02914
i =2.91%
-l
Calculemos ahora el número de períodos N en función de Vp.
,r_a(t+¡)f0+¡r), -tl
in(\+in)n
*
)N = a(l+ ir¡ftt + i"¡t - tl
YP * i o * (l + í
r)N = a(l + i p)(1 + i p)N - a(l + i )distribuyendo. a(l + i o)
VP*iF(\+í)n - a(l + ir)(l + ir)il = -a(l + in)
(t + i)N Vp * i - a(t + i
t
r)]= - a(t + i ), Fac_t oriz ando..(l + i o)N
VP
(l
ir,(1 + i
+tr)"
-a(l+i')
-=Vr.r,-;;Gd
Ahora aplicamos logaritmos.
Log(t + in)
MATEMÁTtcAs FINANC|ERAS - coRpoRAcóN
uNtvERsrrARtA
oel cARtaE.
75
ANUALIDADES.. UNIDAD 3.
Siendo esta la formula para determ¡nar el número de Periodos para anualidades
anticipadas. Ahora sustituimos los valores en la fórmula anterlor, asÍ:
- |
'
""ul
,
-$9.t2e,1(L+0.0291)
|
[lo'ooo.ooo(0.0291) - 43q.t2e,l(l + 0.0291)ll
log(l + 0.0291)
[-+sr.soz.zol
'"gL
-
-
rooeoTJo
-l
0.012457578
0.448472809
0.012457 578
N = 36meses
Significa que debo cancelar 36 cuotas al banco'
3.3 ANUALIDADES DIFERIDAS.
compuesto
Son pagos iguales en períodos iguales de t¡empo a interés
gracia' en una anualidad
posterioieJ a un periodo de gracia E-ste periodo ,de
el créd¡to. Los pagos se
biferioa, es el tiempo durantJ el cual no se amortiza
inicie la vida
p".t"ró"" y empiezan a efectuarse a partir del momento en que se
úti|de|proyectoqueserrnanciócone|créditoobtenido.Estasmoda|idadesde
proye-ctos cuyas inversiones emplezan a
crédito se util¡zan a menuoo para realizar
para
o larso plazo' Por eiemplo' en los créditos
;;;;;;;"¿;;;os a med¡anó
palm¡to
o
africana'
proyectos agropecuatros (cultivos- de caucho, palma por
el tiempo en que
gracia
lfrontrdrro, lanado etc ) se conceden periodos de
o beneficios'
tales inversiones empiezan a generar ingresos
3.3.1 Anualidades Diferidas Vencidas'
Utilizando procesos
obtenemos:
",tit"t"t
a los empleados en anualidades venc¡das
,,11t*i,,.¡'-tl
l'F='
1,,
tl
n[l+ t,,)' - ll
---a---r¡.,(t+i/,)^"
I f = -----
MATEMÁflcAS FINANcIERAs
DEL cARTBE
" coRPoRAcrÓN uNtvERSrrARrA
76
ANUALIOAOES.. UNIDAD 3.
Donde "N" es el número de pagos, "K" el número de períodos que la anualidad
está diferida, "VF" es el futuro o acumulado de la anualidad diferida, "VP" es el
valor actual e "ip" la tasa de interés compuesto_
3.3.2 Anualidades Diferidas Anticipadas.
De forma igual las anuaridades anticipadas diferidas definen er VF v Vp así:
,, _a(t+¡)L(t+¡)'-tl
t,
vp
-
u(l+i
:..,.:
Ejemplo 3.12.
un pequeño comerciante desea recibir dentro de 3 años a principio de cada mes
una anualidad constante para mejorar su negocio durante los 10 años siguientes.
Para ello consigna $7000.000 en un banio que paga er 22,2o/o dJ interés
compuesto capitalizable cada mes, ¿de cuánto es el valór de la mensualidad que
emp¡eza a recibir dentro de 3 años?
Solución:
-
VP=$7'000.000
i= 22.2o/o, que mensualmente será 0,222112 =0.0.185
m = 12 veces al año
n = 10 años
K=3años o 36 meses
a=?
N = n*m = 10"12 =120 mensualidades
Como tenemos VP entonces utilizamos la fórmula de Valor presente:
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN
uNrvERStrARrA DEL cARTBE
77
ANUALIOADES, . UNIOAD 3.
VP
a(t+¡r)kl+¡r)"
ir(l+ ir)K*N
=-
YP + i t
-tl
0 + i r\K" = a(1+ ;n)ftt +,r)n
-l]
VPti,(l+i^)x.h
(l+ir)(l+;n)" -lj
Ahora reemplázo los valores en la fórmula de anualidad así:
7'ooo.ooo(o.ol
85)ró*r2o
".'=_----.-_.-._--|
(1+ 0.0185)(l + 0.018s)''" - ll
a =$276.645,4
Autoevaluación.
---i.
neatice
z.
el
ejercicio 3.12 haciendo uso _solamente
de
anualidades
36')
anticipaaas (Súgerencia: lteve $7'000'000 a VF del mes
se recibe al
que
la
anualidad
neáfiie er e¡em-pto 3.12 teniendo en cuenta
final de cada mes.
m¡tgmÁttc¡s
ptNANclERAs ' coRPoRAclÓN
uNlvERslrARlA oEL cARlaE
78
ANUALIDADES. . UNIDAD 3.
VP=
r
a(l +,,)kl + i,)'v
inQ + in)"
-
I
Cuota periódica para anualidades.anticipadas.
"
=
Affi7:¡'desPeiando'a
..'
.
Gálculo del número de períodos para anualidades anticipadas.
-
a(l +
i,)
Vp.-E;"e+r;l
Log(l+ i o)
.
Cálculo de VF y VP para Anualidades Diferidas Vencidas.
,, -
,,
aL( +
¡,)' -t)
ln
-ll
-oIQ*¡,)'
-"
(l
in
+ i, )^
MATEMÁT|cAS FINANGIERAS - coRpoMctoN uNrv€RstrARrA
oEL cARtBE.
80
ANUALIOAOES. - UNIDAD 3.
.
VF de una anualidad vencida.
VF=
VP de una anual¡dad venc¡da.
.¡.
,r=-i4jJ
.
Anualidad venc¡da conoc¡endo VP'
VP*i,(l+i,,)N
a=lr+tl'.{f
VF de una anualidad anticiPada'
vF
.
--
VP para anualidades anticipadas'
.
ITETCN¡TÁNC¡S FINANCIERAS CORPORACóN
UNIVERSITARIA O€L CARIBE'
ANUALIDADES. . TJNIDAO 3.
.
VF y VP de Anualidades Diferidas Anticipadas.
Yr =
,.,o
a1l +
i,,;lil
- +¡,,)n
i,
_ o(1+
|
¡r
)[
'
I + t/, )
" - ---; tt\t,' -f,-'t1 '^-r
|
MATEMATICAS F¡NANCIERAS - coRPoRAcIÓN
-ll'
..
' -l]l
UNIVERSITARIA DEL cARIBÉ
81
ANUALIDAOES. . UNIDAD 3.
Una anualidad es un valor fijo de dinero que se paga o se recibe a intervalos
iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo'
Las anualidades de mayor aplicac¡ón y uso son: anualidad ordinaria vencida'
anualidad ordinaria anticipáda, anualidad diferida vencida y diferidas anticipadas
y VF y
Para las anualidades ordinarias vencidas se part¡ó de las fórmulas de VP
períodos, el cálculo
desde allí se despejafonJlara obtener el cálculo del número de
áe la anualidaO,'y'et Oel la tasa de interés. Para la tasa de interés se enseñó a
por tanieó y más adelante por el método de interpolación. Esto m¡smo se
"ár"ufui
hizo para las anualidades ordinarias ant¡c¡padas.
presentaron
Para las anualidades diferidas vencidas y diferidas anticipadas se
de
las fórmulas de VP y VF únicamente; ya que para el cálculo de números
ordinarias.
p"i¡oOo" y tasas de inierés se procede como en las anualidades
¡t¡leuÁttc¡s
FINANcIERAS - coRPoRAc¡ÓN uNlvÉRslraRh oeL CARIBE
82
ANUALIOADES, - UNIDAD 3.
AUTOEVALUA(
..
'
.:
1. Buena Vida es un buen ahorrador, recibe de su padre
$Bb0.0OO
trimestrales. Desea realizar una excursión por las principales ciudades de
las costas Colombianas cuando termine sus estudios universitarios. para
elfo consigna al final de cada trimestre el 20o/o de lo que le da su padre en
una corporacron que paga el 19.20o/o de interés compuesto. ¿Cuánto
logrará acumular buena vida al cabo de los 5 años? Rta $5'503.g49,i4
) Compro un apartamento para pagarlo durante qu¡nce años con
mensualidades vencidas de $50.000, a interés compuesto del 21%.
capitalizando mensualmente. ¿Porqué suma se contrajo la deuda? Rta
4.
6
7
$2'731 .326,61
Un apartamento tiene un costo de $20'000.000 V lo enrreqan con una cuora
inicial del 25% y mensualidades vencidas por-un perioáo de 1 0 años al
19,2% efectivo de ¡nterés compuesto. Determine el costo de la anualidad.
Rta / $267.314,5651
¿A que tasa de interés compuesto (Nominal) se paga una deuda de
15'000.000 a 10 años y pagos al final de cada mes por valor de
$267.063,67? Rta: ip = 0 0176924145.
¿Cuántas mensualidades vencidas de $28g.063,67 cada una se deberá
pagar por una deuda de $B'000.000 si la Tasa de Interés Nominal
compuesto es del orden del 360/o? Rta. 60 mensualidades
Un crédito de X cantidad de dinero se paga a una corporación financiera
que cobra el 36%-de interés nominal compuesto, con cuotas mensuales de
$289.063,67 cada una durante 5 años. ¿Cuál es el valor de la deuda? Rta
$8',000 000
¿Qué es anualidad?
MATEMATICAS FINANCIERAS .
CORPORACIÓN UNIVERS TARTA DEL CARIEE
83
Gradientes.
Un¡dad 4
tl¡reltÁrtc¡s
FIN,ANCIERAS - coRPoRAcroN uN¡'/E¡srlAR A DEL cAR
BF
83
GRADIENTES. . UNIDAD 4.
Normalmente las personas vinculadas a la actividad financiera reciben o pagan
cantidades iguales de d¡nero a intervalos iguales de t¡empo, pero también muy a
menudo encontramos Flujos de Dinero cuyas entradas y salidas varían en un
monto igual respecto del último pago o cuota. Esto nos da a entender que cuando
un Flujo de Fondos se incrementa o d¡sminuye respecto a su última cuota en una
forma constante lo podemos denominar gradiente lineal.
En la presente unidad estudiaremos el gradiente lineal creciente, el Gradiente
lineal decreciente y el gradiente exponencial.
¿Al
terminar de estudiar la presente unidad usted debe estar en capacidad de:
Calcular el Valor Presente, Valor Futuro y pagos periódicos en series
uniformes para gradientes lineales crecientes.
Calcular Valor Presente, Valor Futuro y pagos periódicos en sefies
uniformes para gradientes lineales decrecientes.
Calcular Valor' Presente, Valor Futuro y pagos periódicos en senes
uniformes para gradientes exponenciales.
MATEMÁTtcAs FlñANclERAs - coRpoRAóróN
uNrvERsrrARrA.oELCAR|8E.
84
GRADIENTES.. UNIDAD 4.
DINAMICA PARA CONSTRUR
UNIDAD 4.
Para el desarrollo exitoso de esta unidad se recomienda lo siguiente:
ACTIVIDADES.
/
/
/
/
Lea detenidamente la Unidad N" 4.
Resuelva los ejercicios que aparecen en la "evaluación".
Desarrolle los ejercicios que aparecen como Autoevaluación.
Realice un resumen de toda la unidad 4 el cual será debatido Reunidos en
los Cipas, discutan el resumen de la Unidad 4 y socialicen los ejercicios
correspondientes
a la Autoevaluación;
Formulen, analicen
y
resuelvan
todos los e.jercicios.
/
En los Cipas, realicen los Ejercicios Prácticos que aparecen al final de
la
Unidad 4.
/
Todos los ejercicios realizados individualmente y en los Cipas, se deben
socializar en la sesión presencial en el aula.
MATEMÁTtcAS FINANcIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARlA
DEL cARrsE
85
GRAOIENTES. - UNIDAD 4.
EVALUACIÓN INICIAL
¿ Qué entiendes por Gradiente?.
¿ Qué Tipos de Gradientes conoces?.
¿ Qué es un Gradiente lineal Creciente?
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN
uNtvERStrARrA oEL cARTBE
86
UNIDAD 4.
4
4. LOS GRADIENTES
Con frecuencia en el estudio de las matemáticas financieras y también en
Flujos de Fondos
situaciones de la vida real (mercados financieros) encontramos
respecto al pago
cuyos Ingresos o egresos varían en una cantidad constante con
gráficamente:
tnÁeoiaámente anterior. Tal situación la podemos ilustrar
Flu¡o de Fondos con variac¡ón decreciente'
Grallco 4
1
Fttrio de Fondos con Variación Crec¡ente'
S'1
.600 lngresos
Gtáfico 4.2
ttnlEuÁrlcas
FINANcIERAS " coRPoRAcroN uNlvERslrARrA
DEL cARTBE
87
GRADIENTES.. TJNIOAD 4.
En el primer gráfico vemos que disminuye en $20 para cada período, mientras
que en et segundo gráfico aumenta en $200. lo anterior nos quiere decir que la
variación consiste en un aumento o disminución de cada varor respecto ar anterior
en una cant¡dad constante.
GRADIENTE:
.
Es un Flujo de Fondos donde los valores de cada período aumentan o
disminuyen en una cantidad constante tratándose por lo
tanto de un gradiente
lineal.
4.1 GRADIENTE LINEAL CRECIENTE.
Recopilando los elementos anteriores entonces podemos
decir, que cuando un
Flujo de Fondos aumenta en un valor constante
respecto a la cuota anterior,
,o muestra el gráfico 4.2, lo
P-11T,ry. tener pagos que recibe un banco)
oenomtnaremos
gradien{¡l lineal creciente.
"oro
4.1.1 Como determinar el Valor presente equivalente
a un Gradiente
Líneal Creciente.
Tomemos er siguiente frujo de fondos para construir
ra fórmura o expresión que
nos determine er Varor presente (Vp) que
a un ard¡ente r¡near
crectente.
", "q,u"'.n,"
Flujo de Fondos con Variación Creciente.
$1400
Gráfico 4.3
Este Flujo de Fondos lo podemos descomponer en dos Flujos:
uno en una sefle
de a = $100 cada uno y er otro en una serie
de ingresos
variables para cada periodo a partir del mes 2, úeamos.
, ingresos
de
iguares
MATEMÁT¡cAs FINANcIERAS - coRpoRAcroN
uNrvERsrrARrA DEL cARTBE
88
GRADIEI{TES. . UI{IDAO 4.
Flujo de fondos con ingresos ¡guales (anual¡dades).
Greflf,o 4.4
Pfuios de Fondos con ingresos var¡abl6
f.rrad¡ente lineal cfec¡ente)
-
propósito'.do¡de el gradiente es G
Este Flujo es el que nos interesa para nuestro
flujo de fondos en función de G será:
= üóó ;'p;rtir' def mes 2. este
merer|iiirc¡s FlNAllclERAs ' coRPoRActÓN uNtvERsrrARlA
oEL cARIBE'
89
GRADIENfES. . UNIDAO ¡I.
G.áfico 4 6
Los Valores Presentes de G,2G y (N-1)G serán:
VP = VPt + VP.,
+.....+
Vp,_,
t'-tr
,r=cl--! .* 2 * (l+ir)'_l
il+in),
'l
L(l+l¡).
Donde B=
I
2
-LGil-¡;il.
f
r¡/-l)-l
.ü.r¡1
""-l
Entonces VP= G*B
'=[c}. #¡.G].ch.
.##]
ecuación 4
Multiplicando por (1+ie) ambos miembros de ra iguardad
tenemos:
B(t+
i)=fdt"*=t.G;
*
1,
*|* * ffi],,**,.,,
Restando de la Ecuación 5 la ecuación 4 tenemos:
u_,.,r,=#D:1.,
c,l].f*},#r].f#¡ .;r].
l++1.[.-+É#i]
#
MATEMATICAS FINANCTERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEL
cARTBE
90
GRAOIENÍES. - UNIDAD 4.
Observación.
El penúltimo término de la ecuación 4 es
ecuación
5es:
5
.
-
(l + /r J,
, entonces:
N-2
(1 + in
y el quinto término de
)'"-'
-'i¡'-
lllll
B(l+i"S-B=
::-r^
'
(r + r/,)
i---+
-:- +' (l
+ i")' (l + i,,)' (l+ r,,)'
1t * t, ): -----'=
-i
Como: B(1+i)-B = B +
B.
iP
-
la
l
(r;"l"-r
(N-l)
('
.
,¡"
B = B. iP
Entonces:
R*i
*......
- (l +Iin)* --l----(1 +i/,)'
B*i,
I
=(l + in)+-L;+.
(l + i/,)'
.
i¡)"
(1 +
Nr
--+-+ in)!
il
(l + ln)"
DistribuYendo el último término'
Ya ordenando los términos, pr¡mero los pos¡tivos
tenemos:
r_,,,=f¡*G,
.
y
.*,h
luego los
1l + l,,
negauvos,
)'
En la exPresión anter¡or:
I
* f-- +.. ... + --]
(l+i/')'
(lr¡,,) -ti+¡,,)r
No es oira cosa que
períodos, Por tanto:
B
l¡¡tE¡¡Árlces
-ip
el
=
Valor Presente (VP) de una anualidad a = 1 en
{valorpresentedea
FtNANcIERAS ' coRPoRAclÓN uNrvERsrrARlA
DEL
=
1}
cARrBt
-t't
N
l1t+ip¡*
91
GRADIEI{TES. . UNIDAD ¡I.
Aislando B tenemos:
N
¡=1[(t*;n)"-l_
irlir(1+i)N (l+¡,)ilJI
Como habíamos planteado anteriormente que: Vp
= G-8, entonce",
*
NI
_
ir)* (l tr)tr
¡,)*
=91,r*
i,,l ir(l+
-t
+
l
siendo ésta ra expresión que nos perm¡te carcurar
er Vp en er punto de origen
de un Flujo de Fondos para
graáiente Ae primer grado (l¡neal), que
crece a
11.
partir del período 2 en una cantidal
d;ü"t"
fé;;ra
N períodos, a una tasa cre
interés ip.
Ejemplo 4.1.
consideremos er Fruio de Fondos de nuestro ejempro
iniciar para determinar el
Valor Presente
$1000
MATEMÁTtcAS F|NANCIERAs - coRpoRActóN uNrv€RstrARtA
DEL cAR,BE.
GRAOIENÍES. . UiIIDAD 4.
Solución:
Descomponiendo el Flulo anterior en 2 partes tenemos:
1
.
Una serie uniforme con a = $1000
Anualidades
Meses
Gráfióo 4.8
'
Un gradiente lineal creciente con G = $100
crálico ¡t.9
2' por tanto el Valor Presente
Observamos que el gradiente emp¡eza en el mes
(VP) en el Punto cero (o) será:
MATEMÁT|cAS FINANcIERAS - coRPoRAcrÓN uNlvERslfARlA
oEL CARIBE
93
GRADIEÍTES. . UNIDAD 4.
yp = (Valor
Presente de a = $1000) + (Valor presente de
l,,
{
rp_aLt+i)N
l¡
_tl,cl(t+i,)'_t_
¡r
ir(l+i,)n
vp
ipLi,,(t+i)N
G)
.
I
(l+to)trJ
_1000[e.02)'-i_ t00l(1.02)i_l _ s I
0.02(1.02)' 0.02L0.02(t,02), (r.oz),
I
vp = 4.7 t3,36 +5.000h,7 I 36.. _ 4,5291=
VP = 5.637.45
una forma de confrontar er proceso anter¡or
período y luego sumar en el punto cero, así:
yP
es carcurando er Vp para cada
1000 _+ 1100
1400
+ 1200 - 1300+(t+0o2t'
= (t+0.02)r
(t+0¡¿f-GoJrF*(l+0J2).
VP = 980,39 +1057,29 +1130,79 +120t +126t.02
VP =85.637.45
El cual es el mismo varor carcurado mediante gradiente rinear creciente.
- .álq"¿ry; '":-*{-i*'.*"
;;: .-iÉ,"**x'- -i:r-:ffi*,g¡üffi
Ejemplo 4.2.
Determine
el Valor Prpsente para er siguiente Gradiente sabiendo que ra Tasa
.
de lnterés es del 48olo anual.
Gradientes
MATEMAT¡CAS F¡NANCIERAS - coRpoRAcróN uNtvERsrrARtA
DEL cARtBE
94
GRADI€XTES. . UNIDAD 4.
Gráfco 4.10
Tenemos la siguiente información:
¡
G=
$'1
.000
N=4años
i = 48% anual
YP=?
Como:
-=;[fr4i
.
]
Entonces:
-=+
1000[
'
/P =
Ír t19J"=l
|
0.48 [0.+t1t .+s¡' 0.48)l
vP = 2.oS333F,64e
VP
-
0'8341
=
=1698
Este valor se puede probar con VP =VF/(1+¡)N
ElVa|orPresenteVPl$1.698ye|gradiente|inea|crecientede|gráfico4.10son
gráficamente así:
uná equivalencia financiéra que repre-entamos
Vp= 91 .698
Diciéndolo en otros términos:
m¡tguÁncls
FINA¡¡ctERAs ' coRPoRAcrÓÑ
uNlvERstrARlA oEL cARIBE'
95
GRADIENTES, . UNIOAO 4.
un gradiente lineal creciente de G= $1.000 a cuatro años con una tasa
del 4g%
anual es equivalente a un Valor presente de $1.6gg.
También podemos decir que es indiferente tener un grad¡ente
rinear creciente de
- = $1.000 coni 4!o/o
G
y N = 4 años que un Vp = $ 1 69g
=
4'1.2 como determ¡nar er varor Futuro equivarente a un Gradiente
Lineal
creciente.
utilicemos er mismo oradiente der ejempro que
nos sirvió para construir ra
de Vp, con er própósito de hacer
pert¡nentes más aderante.
fórmul1
La equivalencia gráfica será la siguiente: "on"¡rlLn",
$'1.300
Periodos
El.siguiente es er proceso para determinar
er varor futuro de un Gradiente Linear
creciente:
1.
Ya demostramos que para un Gradiente Lineal
Creciente:
¡"
vr=91(l'ir)\-lit,L i1,(l I
ir)u
2.
Por interés compÁsto
-l
1t+i,,)^,1
Vf = Vp(1+ip)'
Vp=VF/(i+ip¡N
3.
Sustituyamos 2 en 1 así.
I/F _c [{t n i,)^ -
(l +
4.
-_ -1-
=
t/,)," -|i" L i,(t + i,,)n
t
Nl
o;ti'j
Despejando Valor Futuro tenemos:
unrgmÁT|ces FINANcIERAs - coRponncroN
uNrvERs¡TARTA DEL cAR¡aE
96
cRAOr€r{TES. -
vp=(,+i)N.i[frgi
5.
"h]
Factorizando Denominador:
vF
6.
ut{lDAo 4-
*,'
*9
=(1+¡,)"
' P' i,,
1'
.o
(1 +i,")^
itr*¡'1"
¡/,
L
-r -
"lI
Simplificando términos semejantes tenemos:
.¿ ,,r=q[o.t;]'-'-N]
de un gradiente lineat
Siendo esta la expresión para calcular VF equivalente
creciente.
eiempto propuesto atrás'
Apliquemos ahora esta ecuación para resolver nuestro
donde:
N = 4 meses
6 = 9100
ip = o.o2
YF= ?
El gráfico conQspondiente será:
I,NATEMÁTICAS FINANCIERAS' CORPORACIÓN
UNIVERSITARIA OEL CARIAE'
97
GRADIENfES, . UNIDAD 4.
Que descompuesto en dos Fluios será:
VF 2
t
$3f 0
$2po
$100 |
Ttl
tll
Insresos
|
ffi
meses
I
|
|
I
El Valor Futuro equivalente para los dos Flujos será
VF= VF1+\7¡,
t_
,,
=oLtl
vF
_t
*
./
i,)'__ll*
9
|
,,
ooo[Q
e?),
(l
*¡"1' - I
_
inL i,
|
"'1j
_i*#[*#__]
VF = 4.121,61+ 608,04
vF = 4729,6s
Podemos encontrar er resurta.do anterior resorviendo er probrema
mediante el
de la fórmula de VF = (Vp+ip¡n para cada ingreso así:
VF-VF ¡ +VFz+VF¡+VF¿
VFr=-1 696,1*0.02)3
= r.061 ,2i porque hay 3 períodos desde er mes
mes 4.
VF2= 1.199,'t*0.02)2 = 1.144,44
VF3= 1.269,'t*0.02)1 = 1.224
VF = 1.300 Porque este valor ya está en el punto 4.
I
hasta el
Entonces VF = 1.061 + 1.144,44 + 1.224 + 1.300
MATEMATICAS FINANCTERAS - coRpoRAcróN
uNtvERsrTARrA DEL cARTBE
98
GRAOIE¡IfES. . UNIOAD 4.
VF = $ 4.729,65 que es el resultado obtenido anteriormente.
Significa que $4.729,65 es el Valor Futuro equivalente al gradiente lineal G = $100
pa;a cuatro períodos y una Tasa de Interés del 2% mensual. En otras palabras,
una serie de ingresos de $1.000, $1.100, $1.200' y $1.300 a uno, dos, tres y
cuatro meses respectivamente a una Tasa del 2o/o mensual la podemos
reemplazar por un ingreso total único al f¡nal del mes cuatro ($4729'65)'
como determinar una Anualidad "a" equivalente a un gradiente lineal creciente
En el capitulo sobre anualidades obtuvimos que para anualidades vencidas:
EcuaciÓn (.1
)
¿t
=
Como Valor Futuro de un gradiente es:
no=g[,'.,;]'-'-^l
Sustituvendo VF en (.1 ) tenemos:
(1
+if)'' -1
I+
Cancelando
¡P
i/)Ñ
-
I
nos queda:
o.[,'.1t:
(l
m¡tEruÁttcas FINANcIERAS
l--]
+in)"-I
- coRPoRAcrÓN uNlvERsrrARrA DEL cARTBE
99
GRAOGI{ÍES. . UNIDAD 4.
Dividamos ahora cada término entre (1+ip)N-1 y de este modo obtenemos ra
convertir un gradiente r¡near'creáente
(una ser¡e de pagos iguales ,,a").
"nu"r¡áJ"qri"áiát"
j9T{:1"r,"
"n,,*
(l+i/")"-l
,ry,iffixffi.*i,¡jil:ffibr¡ffi
..6
Ejemplo 4.3.
El s¡gu¡ente Frujo de Fondos representa los gastos mensuares
de una empresa
cuyas inversiones rentan a una tasa de interés tel 4g%
anual.
s2000
Que lo debemos convertir a una serie uniforme de la forma:
1.
Una serie uniforme con a = $1000
1
2
3-
4
5
Anualidades
Meses
MAÍEMÁT|cAs FtNANcIERAS
- coRpoRAcróN uNtv€RsrrAR¡A oEL cARrBE.
100
GRAOIEI{TES.
. UNIDAD 4.
a=?
Donde:
N=5años
G = $500
lp = 48olo anual
a=?
La anualidad será:
N
I
'
Lio (l+t/)" -ll
^.=G*l[r
|
q-v
-
¿r
[r
qnn!
^" -'""[0.+a
r I
r rt/
5
(1 +
0.48)5
-
I
a = 500(1,263771534)
a = 63t,86
por 5 anualidades de $631'86
Sionifica que el gradiente se puede reemplazar
. ::::¡E¡r.cadiuna desde el año t hasta el 5
-- '
"a* drr'é
El Gradiente Decreciente'
EiemPlo 4.4.
que la tiasa de ¡nterés es
Uiafi"ief VP equ¡valente del gradiente dado sab¡endo
del 4.5% mensual.
a
Meses
Flujo de Fondos:
Que se puede convertir en el siguiente
uetg¡¡Áttc¡s
cARraE'
FINANCIERAs - coRPoRAcrÓN uNlvÉRstrARlA o€L
101
GRAOIENTES. - UNIOAD 4.
una ser¡e uniforme con a = $10.000
Anualidades
Meses
Donde variamos el flujo así:
-
En el período 2 aumentó
En el período 3 aumentó
En el período 4 aumentó
En el período S aumentó
en $2.000
en $4.000
en $6.000
en $B.0OO
como estos varores ros aumentamos, entonces debemos restar
a ra se.e
uniforme el siguiente gradiente lineal creciente:
Entonces:
VP= VP de los pagos "a"
,,o
_,,kt-
i,,
i,.(t +
- Vp del gradiente lineal crecrenre
)' - r] c f rr - i,, )' - l
i,,)''
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRPoMcIÓN
i,,
L
i/(l
+
i/,)^
UNIVERSITARIA DEL cARIBE
¡¿ I
1t +
i,,)'J
102
GRADIENTES.. UNIDAD 4.
Donde:
10.000
N= 5 meses
in=
45%
'I
Q= 2000
Entonces:
r
'
-rl- z.ooo[ (1.045)' -l
=r0.000kr.0+s)'
o¡¡s¡l4st- o¡45 10¡4r ¡4s t'
l
sl ,t
(l.045)'
l
yP = 43.899.77 -16.787.64
VP =27.112.27
. . ,.-^
--
-
-$--
:" "':"¡';
-.--"'
4.2.1 como calcular-.el Valor Futuro equivalente
-#'
.':i'"t!* ¡'*: '"'€-
a un Gradiente lineal
Decreciente.
'':.:.,-...
....-
'- '. - ' ""''q1.--.-.,
.,.*it
¡':,,.ei;i""*"
'.';;."t".¿*i:'-*
Ejemplo 4.5.
Las ganancias en una lechería disminuyen en $10.000 mensuales Si hubo
ganancias el primer mes por $650.000, ¿cuál será el valor acumulado de ellas al
final del año si los dineros rentan en una corporación Financiera al 33 6% anual?
650.000
610 000
600 000
590.000
580 000
550 000
Ganancias
Este Flujo lo descomPonemos en:
a) Una serie unlforme con a = $650.000
tt¡tr¡*Ártces
FINANcIERAS - coRPoRAcrÓN
uNrvERsrrARrA DEL cARTBE
03
GRADIENfES. . I,JNIOAD 4.
a = $650.000
0 1 2
3 4
5 6
7 8 I
10
b) Un Gradiente Lineal creciente con G $1O.O0O
=
Ganan
1234
7 8 910.11
12
En los Flujos Anteriores:
á
=t
?3333
N = 12 meses
p= 0.336/12 = 0.028
Entonces el acumulado d-e las ganancias en el mes 12
será:
y¡
= (VF de la serie uniforme) _ (VF del gradiente tineal crec¡ente)
,r-ofu+!,t'-ú;f*+.
VF=
650.0001(t .018)rr
0.028
{
*l .^l
- lo.00of(1,028),r
0or8
oJrs -r1
L
,' F = 9' 120.7 02,0ó8 _ 35 7. I 42,86[r +,0: r as _ t z]
vF -- 9',1 20.7 02,068 _ 7 25.660.48
vF =8,395.041,58
MATEMATICAS FINANCIERAS . coRpoRAc¡óN uN¡vERs¡rAR¡A
oEL cARrsE
104
GRAOIENTES, , UNIOAD 4.
Sl usted lo desea, lleve la ganancia a VF en el mes 12 para el Flujo orig¡nal del
problema anterior y compruebe que el acumulado de estos valores es igual al
resultado anterior.
4.2.2 Cómo calcular la Anualidad "a" equivalente a un Gradiente Lineal
Decreciente.
Ejemplo 4.6.
una foiocopiadora trabalando a su máxima capacidad instalada, ¡n¡cia el pr¡mer
mes con una producción de 100.000. Se esiima que en los tres primeros años de
vida útil tiene una disminución a ¡azón de mil fotocopias mes. El vaior de la
fotocopia en el mercado es de $ 40 y las ganancias netas se estiman en un 40%.
Si las utilidades se reinvierten en el mrsmo proyecto a una tasa de oportunidad del
38.4% capitalizando intereses mensualmente, ¿cuál será la serie uniforme de
utilidades mensuales durante los 3 primeros años?
Solució n:
lp=0.348112=0.032
Utilidad neta mes 1 : 100.000(40)(0.40) = 1'600.000
Utilidad neta mes 2 99.000(40)(0.40) = 1'584.000
Utilidad neta mes 3 98 000(a0X0.40) = 1'568 000
.
.
observamos entonces que hay una disminución mensual de $16.000 en
ut¡l¡dades, obteniéndose el siguiente Flujo de Fondos:
1 056 000
000
1
Utilidades
35
36
Meses
iP=oo¡z
Que convirtiendo a una serie uniforme de utilidades será:
MATEMÁTlcAS FINANcIERAS - coRPoRAclÓN
cARlSE
'.lNrvÉRSlrARlA oEL
05
'.-'---*
GRAOEXTES. . UI{IDAD
a=?
'.
Ulilidades
ip = 0.032
Meses
Para convertir a una serie uniforme (carcurar 'a") se puede
carcurar primero Vp o
luego
q"iq
determ¡nar
er
"a".
varor
de
Entonc"r
u"''o.
Y.I
a resorverro carcurando
VF del Flujo original, así:
Valor Futuro de la serie
a=
,,
1'600.000
_aLo+¡,)r
i,
Utitida
-t)
l'600,000kt.032)ft -1]
zF _
0.032
VF =$195'395.739,,
" Valsr Futuro del Gradiente Lineal creciente
ler¡rrr.lpü!¡*rar*¡d¡e¡ffi¡¡eq
Ganancias
MATETTÁT|CAS FINANCIERAS - coRpoRActóN uxrvERstrARlA
DEL cARtBE.
106
GRAOIEiITES. - UNIDAD 4.
,'=¡[".';l'-'-"]
/F_
r6000f
o.ol2
(lol2)r" -I_"6.l
L o.oi2
-l
VF =t4'936.168,51
VF del Flujo original = (VF serie "a") - (VF de G = 416 000)
VF = 105'395.739,2
-
14'936 168,51
VF = 90'459.570,68
EsteValorFuturoloconvertimosasuserieuniformeequivalente:
Como:
ltf =-
o[tt * i,,1"
-t]
I,
Entonces,
yF*iP
0=
(l + ir)''
--__i;-
_l
90"459.570,69* 0.032
(1.032)rn - 1
-/t=
2',894.706.26
I.107914785
u =|373.255,83
lo podemos
Quiere decir que el Flujo original (Gradiente Decreciente)
,"ilpf"."i po|. ,n. serie'rn¡forrJ de uiilidades mensuales de $1'373.255'83
cada una.
Ejercicio.
(el resultado deberá ser igual)'
.Eesuelva el ejemplo anter¡or en función de VP
MATÉMÁTlcAS FINANcIERAS - ,coRPoRAcr0N
uNrvERsrrARrA oEL cARTBE
07
GRAOIENTES. . UNIDAD 4,
4.3 GRADIENTE EXPONENCIAL.
En las secciones anter¡ores hablábamos de aumentos o disminuciones de
los
ingresos o egresos en los Flujos de Fondos. En el siguiente aparte trataremos los
aumentos o disminuciones de los ingresos o egresos los cuáles se dan en un
porcentale constante respecto al pago anterior. un ejemplo puede ser el siguiente
Flujo que representa el aumento de los inqresos.
$1.331
Ingresos
lvleses
4.3.1 Cómo determinar
el Valor Futuro equivalente a un
Gradiente
Exponenc ia l.
Si el valor inicial lo designamos con la letra "E"; "K" la tasa con que aumenra
cada pago; e "ip" la Tasa de interés periódica; entonces un Fluio exponencial lo
podemos representar gráficamente, así:
E(1+K)N''
Y cuya fórmula cuando "ip" es diferente de "K" es la siguiente:
MATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERsrrARrA DEL cARtBE
08
GRAOIEiITES. . UNIDAD ¡I.
r (l + t/,
vf =Ll-l
T -(r + K)"
it,
L
-K
Si ip = 11 la expresión anterior no la podemos utilizar porque se hace imposible
dividir entre cero (0). En estos casos lo que hacemos es util¡zar la siguiente
expresión:
VF = E*
4.3.2 Cómo determinar
N(l+i,,)'-'
el Valor Presente equivalente a un
Gradiente
Exponencial.
Como ya sabemos:
,r=rl*o#-l
ecuacion r
Po¡ otro lado a interés compuesto
VF = VP(1+iP)N Eéuación 2
Ahora sustituyendo la ecuación 2 en la 1 obtenemos:
vP(t+i"¡N = r[(r
'
L
*¡"i" -q*r1"1
tn-L
J
Ahora despejamos:
MATEMÁnCAs FtNANcIERAS ' coRPoRActÓN uNvERslrARlA
oEL cARlEE
109
GRADIENTES.. UNIDAD 4.
(l+ i,,)n -
(1
+ K)n'
,r=4 (l+i
La expresión anterior no es posible operarla cuanoo
utilizar la siguiente ecuación:
r'l +
MATEMAfICAS FINANCIERAS . coRpoRActóN
i
ip=x.
para ello debemos
I
uNtvERStrARtA oEL cARTBE
110
GRADETES. . UNIDAD ¡t.
.
Valor Presente de un Gradiente lineal Creciente'
cf n+¡-)" -l
vP=;ltlt+,,)r
.
N
I
o.¡/l
Valor Futuro equivatente de un gradiente lineal creciente'
zr=g[(r.,/"-'_N]
Fórmula para convertir un gradiente lineal- creciente en una
anualidad'equivalente (una serie de pagos iguales "a")'
,'.::F
(1
¡
+tr)n -1
Valor Presente de un Gradiente Lineal decreciente'
:r
tlD_
u¡tguÁttc¡s
o[rto,-)'-ll
c[(t+¡,)'-l---------;N I
r'
'-_i--'
rlNANclERAs
in(l + ln)f
if
L
i2(l +
i/")"
- coRPoRÁclÓt¡ uNlv€RslrARlA DEL cAREE
(1 +
tr)''
I
I
CRAOIENTES. . UI{IDAD ¡I.
.
Va¡or Futuro de un Gradiente Lineal Decreciente,
,r-"Ia*'¿'-tl
o
;t*#
"]
Anualidad de un Gradiente Lineal Decreciente.
a=
VF*i,
(l +in)" -l
---t_
U
iTATEMÁTlcAs FINANCtERAS - coRpomcróN
uNrvERsnARrA DEL cARrBE.
GRADIENTES.. UNIDAD 4.
f:-:..-
I :..t: '". ' '...t
'1'"1''-
'::'lrf i¡ll.i'il'
LosGradientessonunF|ujodeFondosdonde|osva|oresdecadaperiodo
por lo tanto de un
constante tratándose
aumentan o disminuyen en una cantidad
gradiente l¡neal.
en
cuando un Flu¡o de Fondos aumenta
Se denomina gradiente lineal Creciente
que reclbe
anterior' (podríamos tener pagos
un valor constante respecto J la cuota
y
Presente
a calculai el Valor Futuro' Valor
un banco) . en esta ,n'n'i t" "ntenÓ
Anualidaó para un Gradiente Lineal Crec¡ente'
Másade|anteSeestudio|oreferentea|osGradientesLinealesdecrecientes,los
que.disminuye.:t Y! Yil"^':Tf""
cuáles se definen como un Flulo de Fondos
el
se presentó ra metodorogia para calcular
respecto a ra cuota antenor. rl,-n¡i¿n
los Gradrentes Lineales
Valor Presente' Valor lut"o V Anualidades de
Decrecrentes
tema de los Gradientes Exponenciales
Para culminar la un¡dad se abordÓ el
este tema; los cuáles se
n't1:h:pero de una manera groo"f- iin prof undizar
"n
de los ingresos o egresos que se
definen como los uua"nto' o d'isminuciones
pago anterior'
üln'"n ,n porcentaje constante respecto al
MATEMÁTlcAS FINANcIERAs - coRPoRAcroN
uNrvERsrrARrA DEL cARTBE
113
.::¡r'tll'1i'.::l:l:
cRAOr€NrEs. . Uf.llDAO 4.
1. Descomponga en una serie de pagos
siguiente Flujo de Fondos:
iguales y en un Gradiente Lineal el
Ingresos para un Banco.
1700
Gananc¡as
Años
2. determine er varor presente para er Flujo de Fondos
der probrema anterior.
3. determine el Varor Futuro para er Frujo de Fondos
der probrema 1, utirizando
la fórmula de Gradientes y utilizandoia Fórmula
de-lnteres compuesto.
en 2 Fhrjos de Fondos el gráfico siguienre que representa
las
paga un cliente a una enidad finañciera que
9u9!1s_gye
cobra una Tasa
4. Convierta
del 37
.5o/o
capitalizando intereses trimestralmente
a
$
100
MATEMÁTtcAs FtNANcIERAs - coRpoRActóN
uNrvERsFARtA oEL cARrsE
114
GRAOIENTES. . UNIDAD 4.
5.
Determine para el Flujo del problema anterior el Valor Presente, el Valor
Futuro, y la serie uniforme de cuotas que paga el cliente. Comente cada
resultado.
6. Una persona interesada en fomentar su ganadería se propone
montar
inicialmente dos hectáreas de pasto el primer año, 4 hectáreas el segundo
año, 6 hectáreas el tercer año y así sucesivamente hasta completar 10
hectáreas que tiene como meta. Los costos a precios constantes del año
cero son de $25.000 por hectárea y la tasa de interés es del 360/0 anual
capitalizable trimestralmente. Construya el Flujo de Fondos y determine el
Valor Presente, Valor Futuro y la serie uniforme de costos.
MATEMÁTtcAS FtNANcIERAS - coRPoRAcroN uNrvERslfARrA
DÉL cARTBE
GRADIENTES. - UNIDAD 4.
LECTURA : .
..
:
AMORTIZACIONES.
En la presente lectura vamos a echar un vistazo a ros srstemas de riquidación
de créditos más usados actualmente en las entidades financieras para cráditos de
consumo. Existen en el mundo de las finanzas diferentes formas de liquidar un
crédito, pero para efectos de un aprendizaje que verdaderamente sirva en la
práciica vamos a expricar er de cuotas fijas y er de cuotas decrec¡entes.
El primero es uno delos más utirizados para créditos de vehícuros y de tarjetas
de crédito y el segundo se utiriza con frecuencia en ros créd¡tos rotativós.
Liquidación de un crédito con cuota fija.
como ya dijimos es er más usado en er crédito de consumo v el que más re
gusta a los usuarios debido a que conocen de principio a fin el monto a pagar
de
cada una de las cuotas. Generalmente este tipo de liquidación se utiliza en
cred¡tos de 24, 36, 60 y 72 meses, y actualmente se está utilizando en crédrtos qe
hasta 10 años. otra de las ventajas con este tipo de crédito para el usuario es que
como la cuota queda fija, y el valor a pagar siempre será el mrsmo, al cabo de
unos años la cuota le parecerá más baja debido a la inflación, ya que su salario s¡
se le incrementa mientras la cuota permanecerá constante. Véamos el siguiente
Ejemp lo.
Luis requiere un crédito de $1.500. para cancelar en cuotas anua¡es de igual
valor a 7 años con un interés del 2SoA anual.
Lo pnmero que se debe hacer es utilizar la fórmula de anualidades oue es
srgutente.
,
VP(.1 +
i
la
,.)' (¡,,)
(l+t.,)''-l
IVIATEMATICAS FINANCIERAS - coRpoRAcróN uNrvERSrrARtA oEL cARiBE
I lo
GRAOIENTES.
1
474'51
15oO
' UNIDAD
'1.
375
r
*.¡'*€*Yr!r-'.!*:;¡iliiill'1,9¡l*f
Y el saldo final lo obtenemos de restar saldo lnicial menos Amortización o sea:
15OO-99,51 =1400,49. nos queda en la tabla de este modo:
i
i a",do,n,",", :
r
'*-r*-"--.-"-
cuota (a)
i
i-iii'
tlir¡nnloro,ut:375igg'St:1400'49
¡1ttos
'
Amortización
iI ,-
saldo final
período 2 así:
El saldo Final del período 1 es el saldo inicial del
Saldo hicial
1500
hasta obtener una
De este modo se siguen realizando los pasos anteriores
Tabla completa como se muestra a cont¡nuac¡ón:
N
'|
Cuota
Saldo Inicial
I
JUU
'
1400.49
¿z¿
(a)
<r
17 4,51r
4/4,b
474,51 :
Interss
375
Arnort¡uac¡ón
99'51
.
350,12
124,39
319.02
't55,49 !
1400,49
1276,1
1120.61
1120,61
9&,25
I
683,3
t
474,51
ultvERsrrARt/a
MATEMÁT|CAs FlNANGlÉRAs ' coRPoRAcÓN
DEL cARIBE'
GRADE lES.. UNIDAD4.
Ahora susütuimos los vato¡es:
i _ 1500(t + 0.25r
¿-------------_-
(0.25)
(1+0.25)'-l
A = 474,51
Q.uiere decir que Lu¡s debe pagar 9474,51 anuales durante 7 años para pagar
el
créd¡to.
con este valor constru¡mos una tabla de amortización que incluya las siguientes
variables: Número de periodos, sardo iniciar,.cuota, InteÉs, n.ofttacion"lquu
es
el abono a capital) y el saldo final.
474,51
474,51
Hasta ahora conocemos estos valores; el paso a seguir es calcular el interés del
periodo 1. como sabemos que el interés es det 25% entonces multiplicamos
1500-0.25 y obtenemos un váror
;-_-
-'
de $37s.
nos queda ra tabra de este mod'o:
i-
i
;'-'
:l
'
l
.1
474,51
-* *- "-
*'
*--_--i
j
Amortlzac¡ón
Sa|do fln.l
Para conocer la columna de Amortización le restamos a la columna de cuota la
de interés; es dec¡r474,51-375 = 99,51 y nos queda asi:
mATEMÁT¡cAs FINANGIERAS - coRpoRAcróN
uNlvERsrrARrA DEL cARBE.
1't7
GRADIENÍES.. UNIOAO 4.
Liquidación de un crédito con cuota decreciente.
Es una forma muy común que realizan las entidades financieras sobre todo en
sus créditos rotativos y créditos a la vrsta. Bajo esta forma de liquidación de crédito
el usuario empreza con la cuota más alta el primer mes, el segundo mes baja la
cuota y así sucesivamente hasta que term¡na pagando en la última cuota el valor
mas bajo. Es muy usual en créditos de 36 meses.
Liquidemos el anterior ejemplo a 7 años y con cuota decreciente a un ¡nterés del
25o/o anual. El monto inicial es de $1500.
Lo primero que debemos hacer es dtvidir 1500 en 7 años asi:
15001 7 = 214.28
Este es el abono a capital o sea la amortización para toda la vida del créditoAhora realizamos una tabla igual a la anterior pero con estos datos nuevos. Hasta
aquí tenemos lo siguiente:
N
Saldo In¡c¡al
Afnortizac¡ón
1
1500
214.28
Interés
Cuota
Saldo t¡nal
214,28
214.28
214.28
214 28
5
214.28
.
7
El siguiente paso es calcular la columna de interés, y lo hacemos multiplicando
1500"0.25 = 375. la tabla con este nuevo dato nos queda así:
N
1
2
Saldo
¡ñ¡cial
1500
Amortizac¡ón
lnteres
214,23
75
cuot¿
saldo f¡nal
214.28
Ahora procederemos a calcular la cuota, que no es más que sumar la columna de
amortización con la de interés, que para nuestro caso seria: 214,28+375= 589,28
que es la primera cuota de srete y también la más alta. Nuestra tabla quedaría así:
MATEMÁTlcAS FINANcIERAS - coRPoRAcrÓN
uNlvERSlrARlA DEL caRlaÉ
GRAOIENIES. . UNIDAD ¡I.
1{
Satdo
In¡c¡al
Amo.t¡z€c¡ón
!
1
214,28
:
i
ztc,za
Int€rás
375
,
Para calcular el saldo final restamos el saldo inicial menos la columna oe
amortización así: I 500-214,28 =1285.72
Recordemos que el saldo final es el saldo inicial del siguiente período, entonces
nos queda:
N
Sa¡do
Inic¡al
Amort¡ración
'
Inten¡6
Saldo f¡nal
12A5.72
Y así continuamos realizando todos los pasos anteriores hasta obtener
una
tabla como esta:
1
¡
Saldo Inic¡al
Amoñizacién
1500
214,28
1245.72
214,28
321.43
535
1071.44
214,28
267.86
48214
857.16
214,28
214.29
642.84
214,28
160.72
214,28
107.15
428.6
:
lnterés
589.28
i_-*.**..--***.i*-"*'*_.****,j."-"-,-*_sa.ss i
: 214.32 1 214,28 j
MATÉrtÁT¡cAs FINANcIERAS - coRPoRA0or{
Cuota
ur{rvERsrrARrA oEL caRrBE.
1285.72
71
zoz.ae
lgJl
Í-
857.16
i
'120
GRAOT€NfES. . UNIDAD 4.
Proye-ctos d-llnversión'
Karen Marie. Evaluación Financiera de
MOKATE,
'eót¡oCbse,
1998'
Universidad de los Andes' Bogota D'C '
'''-'-
Económica'
TARQUIN, A'J. y Blank, L'T" Ingeniería
Mcóraw Hill' Bogotá D'C 1985'
Financiera'
VAN HORNE, J. Fundamentos de Administración
1982'
Prentice Hall Intemational' Bogotá D'C'
-'
Financieras'
MORALES R. Alfonso. Matemáticas
ESAP Publicaciones' 1988'
Financieras y los Sistemas'
BACA CURREA, Guillermo' Las Matemáticas
COMEX S.A.
Financieras'
GOMEZ CEBALLOS, J' Alberto' Matemáticas
Tecnomundo Editores'
¡t¡TgmÁttc¡s
r¡HANCIERAS - coRPoRAclÓN uNlvERstrARrA
oEL cARIBE'
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
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