Capítulo 2 - Servidor web opsu

CAPÍTULO II
DEFINICIONES BÁSICAS
Y
SEGMENTOS
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BASES TEÓRICAS
a. Propiedades en R.
Sean el conjunto R y la relación de igualdad entre reales que cumple las siguientes
propiedades (a, b, c, son números reales)
1. a = a
2. a = b ?
Propiedades reflexiva
b=a
Propiedad simétrica
3. a = b
c=b
? a=c
Propiedad transitiva
b. Definición de Geometría.
Parte de la matemática que estudia las propiedades y medidas de las figuras y
sólidos geométricos.
c. Proposición.
Es un enunciado al cual se le puede asignar un valor de verdad, esto significa que
una proposición puede ser verdadera o falsa.
Ej. 3 + 5 = 11;
5 + 8 = 13
En gramática existen dos tipos de proposiciones:
-- Generales: caracterizadas por el cuantificador universal para todo (? )
Ejemplo: toda función lineal tiene como gráfica una línea recta.
-- Particulares: caracterizadas por el cuantificador existencial (? )
Ejemplo: Existe un x tal que x ? x , x ? R
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Observaciones.
1. Ninguna proposición puede ser verdadera y falsa a la vez. (Ley de
contradicción.
2. Una proposición es verdadera o falsa (Tercero excluido)
El paso de proposiciones generales a particulares se llama deducción.
Ejemplo: Todos los números pares son divisibles por 2
28 es un número par
28 es divisible por 2
Esquemáticamente tenemos: p ? q
p
q
El paso de proposiciones generales a particulares siempre conduce a proposiciones
verdaderas ( si la general es verdadera)
El paso de proposiciones particulares a generales se llama inducción.
Ejemplo: 30, 45, 60, 80 son divisibles por 5
Todos los números terminados en cero o cinco son divisibles por 5.
El paso de proposiciones particulares a generales no siempre conduce a
proposiciones verdaderas.
Ejemplo: 3, 33, 93 son divisibles por 3
Todos los números terminados en 3 son divisibles por 3
d. Proposiciones Contradictorias.
Dos proposiciones son contradictorias si una es la
Ejemplo: 2 + 3 = 5, ?, 2 + 3 ? 5
negación de la otra
e. Teorema.
Una proposición que necesita ser demostrada. Un teorema está constituido por
dos proposiciones denominadas hipótesis y tesis.
f. a? R. a, es racional si existen enteros m, y n, n? 0 tales que
a, es irracional si a ≠
m
n
a=
m
.
n
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g. Número entero par.
a? R. a, es un entero par si existe un entero k, tal que a = 2k. Significa que 2 divide
al número a. Si a, es impar entonces es un número de la forma
a = 2k + 1
h. Números enteros primos relativos.
Los números enteros son primos relativos si no existe un número entero diferente
de ± 1 que los divide a ambos.
i. Algunos métodos de demostración.
1. Demostración Directa.
Consiste en una cadena de razonamientos lógicos que partiendo de la hipótesis
dada, permiten llegar a la conclusión de la tesis.
Ejemplos
Si dos ángulos son adyacentes suplementarios entonces sus bisectrices forman un ángulo recto
2. Demostración por Reducción al Absurdo
Para demostrar que una proposición, p, es verdadera, basta probar que su negación
(¬p) es falsa; para lo cual se demuestra que de ¬ p se deriva una contradicción de la forma
r y ¬ r.
Si h es la hipótesis y t es la tesis en un teorema de la forma: Si h entonces t, puesto
que la negación de la proposición: Si h entonces t, es: (h y ¬ t), para demostrar un teorema
de la forma antes mencionada, se niega la tesis, manteniendo igual la hipótesis. Se debe
inferir de h y ¬ t, una contradicción.
Ejemplo
Si una secante forma con otras dos rectas ángulos correspondientes iguales,
entonces dichas rectas son paralelas
j. Sólido o cuerpo material.
Es todo ente que ocupa un lugar en el espacio. El sólido es tangible. Se puede
manipular ( doblar, guardar, llevar…)
Ejemplo
Un cubo de madera.
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k. Sistema axiomático.
Un sistema axiomático está constituido básicamente por:
1.
Los términos primitivos
2.
Las definiciones.
3.
Los axiomas.
4.
Los teoremas.
Propiedades de un sistema axiomático.
Consistente: si a partir del mismo no se deduce un teorema y su negación.
Completo: si a partir del mismo se deducen todos los teoremas y leyes.
Independiente: si ningún axioma se deriva de otro u otros.
RAZONES Y PROPORCIONES .
Definición.
Si p y q son dos cantidades, la razón geométrica de p a q es el cociente p/q, q ? 0. Si p y
q son segmentos con la misma unidad de medida, la razón de dichos segmentos, es el
cociente de ellos.
Observación: la razón geométrica entre dos segmentos es independiente de la
unidad de medida.
Proporción geométrica.
Una proporción es la igualdad de dos razones. En la proporción, a = c , a y d
b d
se llaman extremos; b y c se llaman medios.
Si a = c entonces a.d = b.c. Es decir, en una proporción el producto de los medios
b d
es igual al producto de los extremos.
Cuarta proporcional.
Se llama cuarta proporcional de tres cantidades a,b y c, a un valor x tal que
cumple la condición:
a = c.
b x
Media proporcional.
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Se llama media proporcional de dos cantidades a y b, a un valor x, que cumple la
condición: a = x .
x b
FIGURA GEOMÉTRICA
Cuando en un sólido prescindimos de sus aspectos materiales (peso, color,
sustancia etc.) y consideramos únicamente su forma hemos definido una figura
geométrica. Las figuras geométricas no las podemos manipular, carecen de peso, no tienen
volumen, es decir no ocupan un lugar en el espacio.
Ejemplo.
Un triángulo.
MEDIDAS DE LONGITUD
Unidad: El metro
Símbolo: m.
Definición.
Es 1.650.763 veces la longitud de onda en el vacío de radiación anaranjada del
criptón 86.
Esta definición fue adoptada por la Conferencia General de Pesas y Medidas,
celebrada en París en 1.990.
PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR CONVERSIONES ENTRE LOS
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO
Escriba la escala de múltiplos y submúltiplos del metro. Por cada nomenclatura
ubique una cifra, a excepción de los extremos de la escala donde se puede anotar uno o
más números. La última cifra entera de la derecha se escribe en la columna de la unidad
dada, los espacios libres se rellenan con ceros.
Ejemplo.
Transformar:
1. 12,45 Km. a cm.
2. 11,2 m. a Km.
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3. 34567 cm. a Dm.
Para el primer ejemplo el 2 por ser la última cifra entera de la derecha, lo ubicamos
en la columna de Km. a su derecha el 4 y el 5; como nos preguntan cm, las columnas de
m, dm. y cm se rellenan con ceros.
Mm
1
Km Hm Dm
2
4
5 0
m dm
0 0
cm
mm
R/ En 12,45 Km. hay 1.245.000 cm
Para el segundo ejemplo el 1 los ubicamos en la columna de m. Como nos
preguntan Km., las columnas de Hm. y Km. se rellena con ceros y en la columnas Km.
colocamos la coma.
Mm
mm
Km
Hm
Dm
m
dm
0
2
1
2
0
3
cm
R/ En 21,2 m hay 0,0212 Km.
Para el tercer ejemplo el número 7 por ser la última cifra entera lo colocamos en
cm, que es la unidad dada como nos preguntan por Dm. sencillamente colocamos la coma
en Dm.
Mm
mm
Km
Hm
3
Dm
4
R/ En 34567 cm hay 34,567 Dm.
m
5
dm
6
cm
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NOTACIÓN CIENTÍFICA
Escribir un número en notación científica es expresarlo como un producto,
constituido por dos factores: la parte entera del primer factor es un número
comprendido entre 1 y 9. El segundo factor es 10; con un exponente que se determina
según las siguientes condiciones:
aa.. Si la coma se corre a la izquierda el exponente de 10 es positivo.
10 +
bb.. Si la coma se corre a la derecha el exponente de 10 es negativo.
10 −
cc.. El exponente de 10 en cualquiera de los casos depende del número de lugares que
corra la coma.
En forma general bx10n. neZ.
b = 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Ejemplo
1. 456.781 en notación científica es 4,56781 x 105
2. 0,000987654 en notación científica es 9,87654 x 10-4
LÍNEAS Y OPERACIONES CON SEGMENTOS
NECESIDAD DE LOS TÉRMINOS INDEFINIDOS
Anteriormente mencionamos los elementos de un sistema axiomático e indicamos
que el primero de ellos lo constituía los términos indefinidos; los cuales, sólo pueden
definirse en términos de otros conceptos igualmente no definibles. Por ejemplo, afirmar
que una recta es una línea que no tiene curvas; pero suele definirse una curva como línea
que no tiene partes rectas. Igualmente si definimos una recta como la línea que se extiende
sin cambiar de dirección, es necesario saber qué es dirección.
Podríamos intentar dar otras definiciones, pero ellas sólo nos conducen a caer en
un círculo vicioso. En esta parte del texto usaremos tres términos no definidos: punto,
recta y plano.
¿Qué es el punto?
Aunque podemos representar un punto dibujando una pequeña marca sobre una
hoja de papel, esto no es un punto, sólo nos da la idea intuitiva de él. Euclides intentó
definir el punto como lo que tiene posición pero no dimensión. Sin embargo las palabras
posición y dimensión son términos no definidos.
Recta.
Un hilo bien tirante, el cordel que sostiene una plomada, nos da la idea intuitiva de
la línea. La palabra recta es una abstracción que todos usan y entienden comúnmente,
debido a la muchas observaciones de objetos físicos.
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Notación.
Recta. R, L,.... o también por AB, donde A y B son puntos de la recta.
Semi-recta: CD Ejemplo:
C
D
R
L
B
A
Plano.
Luego de haber observado y palpado la superficie de una mesa, una hoja de papel,
el piso del salón, la pizarra, etc., nuestra intuición nos permite concebir “una superficie
perfectamente lisa que se extiende indefinidamente en todas las direcciones, y llegar de
esta manera a la representación mental de la palabra plano”. (P. Hurtado A.)
Para Representar un plano, dibujamos un trazo del mismo y lo denotamos por una
letra griega por ejemplo a (alfa); dos letras mayúsculas o una letra mayúscula.
D
Plano
C Plano CD
E
Plano E
Segmento Rectilíneo.
Notación.
Segmento: MN
N
M
Se fijan dos puntos sobre una recta, la parte que está comprendida entre ellos se
denomina segmento rectilíneo.
CONGRUENCIAS SEGMENTARIAS
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Símbolo: ?
B
A
C
D
Definición.
Dos segmentos son congruentes cuando al colocar el uno sobre el otro coinciden
en todos los puntos. AB ? CD
OPERACIONES CON SEGMENTOS
Con segmentos rectilíneos se pueden efectuar todas las operaciones que se realizan
con números reales positivos.
Ejemplo
2.- Un segmento CD de 140 cm se corta a partir de C en 3/ 7 de su longitud y se
prolonga a partir de D en 4/5 del resto. ¿Cuánto es en Km. la longitud del nuevo
segmento? Exprese el resultado en Km y notación científica.
3/7de 140 cm = 3/7 x 140 cm
= 60 cm
140 cm - 60 cm = 80 cm
4/5 del resto, significa que debo hallar los 4/5 de 80 cm que son 4/5 x 80 cm = 64 cm.
La longitud del nuevo segmento es de 80 cm + 64 cm = 144cm. Para expresarlos
en Km. construimos nuestra tabla.
Mm
mm
Km
4
0
Hm
Dm
0
0
0,00144 Km. = 1,44 x 10- 3
PROBLEMAS
m
dm
1
4
Km.
cm
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1. Calcular en metros la suma de los segmentos cuyos valores son 12 Hm. y 124,56Dm.
2. Un segmento AB que mide 80 cm se recorta a partir de A de ¾ de su longitud y a
partir de B se prolonga en 5/6 de su longitud. ¿Cuál es en Hm. la longitud del
segmento que resulta? Exprese el resultado en notación científica.
3. Un segmento AB que mide 120 cm se recorta a partir de A en 1/3 de su longitud y a
partir de B hacia la izquierda se corta en 1/8 de su longitud. ¿Cuál es la medida del
segmento resultante en Km.? Exprese el resultado en notación científica.
4. Un segmento AB mide 75 cm. A partir de B se prolonga en 5/9 de su longitud. Si al
segmento obtenido le agregamos los 2/3 de su longitud. ¿Cuál es la medida del nuevo
segmento?
5. Usted se va de viaje de San Cristóbal a Caracas, lo cual le implica aproximadamente
900 Km. Pero el vehículo en el cual usted transitaba se accidenta y tan solo recorrió
3/5 de la mencionada distancia. ¿Qué kilometraje le faltó para llegar a Caracas?
Exprese el resultado en mm y notación científica. R. 360 Km = 3,6 x 108 mm.
6. Demostrar que
3 es irracional.
7. Demostrar que si x , y ,c, son números reales tales que x < y, entonces x +c < y +c. Si
c < 0 entonces xc > yc; si c > 0 entonces xc < yc .
8. Demostrar que el producto de dos números racionales es otro racional
9. Demostrar que el cociente de dos números racionales es otro número racional.
10. Demostrar que la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado es irracional.