DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Y DE MONTES UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERIA SESIÓN DE PRÁCTICAS 0 1. Introducción al cálculo de errores FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA Guión de prácticas 1.- Introducción al cálculo de errores Objeto: Aprender a determinar los errores inherentes a la medida de las magnitudes físicas. Fundamento: Cuando se realiza la medida de una determinada magnitud rara vez podemos afirmar con certeza que el valor obtenido es el valor real y probablemente, al repetir la medida los valores obtenidos sean diferentes. La realización de la medida lleva inherente una incertidumbre, la posibilidad de cometer un error, que puede deberse a imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones de nuestros sentidos, que deben registrar la información. Dicha incertidumbre suele disminuir cuando se hacen medidas repetidas de dicha magnitud. Hay que considerar también que, en determinadas ocasiones, el método de medida perturba el sistema de algún modo, por ejemplo cuando introducimos un molinete en una corriente fluida para medir la velocidad. De esta forma es conveniente acompañar a la medida realizada en el laboratorio del error estimado en dicha medida. Errores. El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Atendiendo a las causas que los producen se clasifican en: - Determinados o sistemáticos. Afecta a todas las mediciones y es el mismo para todas ellas. Puede deberse al aparato (e.g. error del cero), al operario, o al método elegido. Si somos capaces de medir este error podremos corregir su efecto. - Indeterminados o accidentales. Son pequeñas variaciones, tanto por exceso como por defecto, que se observan entre distintas medidas del mismo experimento. Para minimizar estos errores deben hacerse medidas repetidas y utilizar métodos estadísticos que nos acerquen al valor probablemente real. Junto a la medida debe indicarse las bandas de error que indica los límites entre los que puede oscilar la medida de la magnitud que se ha realizado. Podemos hablar de: a) Error absoluto, como la diferencia entre una medida obtenida experimentalmente y el valor verdadero. Naturalmente se expresa en las mismas unidades que la medida realizada. b) Error relativo. Se obtiene dividiendo el error absoluto por el valor verdadero. Suele expresarse en tantos por ciento o tanto por uno. 1.1 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA Guión de prácticas Medidas directas Son aquellas cuyo resultado se obtiene directamente en el curso de un experimento sin necesidad de realizar cálculo alguno. Por ejemplo, la temperatura medida con un termómetro o el tiempo contabilizado con un cronómetro. Las medidas directas pueden dividirse en dos grupos: a) Medida directa única. Cuando la sensibilidad del aparato es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios o accidentales, la repetición de la medida nos lleva siempre al mismo resultado. En este caso es suficiente hacer una sola medida, se admite ésta como valor verdadero y como error absoluto la sensibilidad del aparato utilizado, es decir, el intervalo mínimo que puede apreciarse con dicho aparato. Cuando se utilizan aparatos analógicos (la medida se da en forma continua, por ejemplo una aguja que se desplaza sobre una escala) se considera como valor de la medida la división de la escala que esté más próxima a la aguja y los límites de la banda de error serán la mitad de la precisión. Si se utilizan aparatos digitales (la medida aparece en una pantalla y la respuesta es discontinua, a intervalos discretos) el error dependerá del sistema interno de presentación de datos (redondeo o truncamiento), por lo que en caso de desconocerse este sistema se tomará como límites de la banda de error la precisión entera, no su mitad. b) Medida directa repetida. Repitiendo la medida se intentan minimizar los errores accidentales. Se toma como valor verdadero el valor medio de las medidas (1.1) n xi i 1 x (1.1) n Como error en la medida se considera la desviación típica de la muestra (1.2), que nos indica el error cuadrático medio al considerar x como valor de la medida. n xi x 2 i 1 n 1 (1.2) n 1 Medidas indirectas. Se obtienen a partir de una expresión matemática en la cual aparecen magnitudes medibles directamente. Por ejemplo, supongamos la magnitud física u que se calcula en función de las magnitudes x, y, z,...: u u ( x, y, x,...) (1.3) las medidas directas y sus incertidumbres se habrán determinado como se ha indicado anteriormente, dependiendo de que la medida sea única o repetida. Supongamos pues que los valores medidos son: x x, y 1.2 y, z z ,... FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA Guión de prácticas y queremos determinar el valor de u y la incertidumbre u u. El valor de u lo determinamos sustituyendo los valores medidos en la expresión (1.3). El valor de la incertidumbre lo calculamos teniendo en cuenta que el cambio que u experimenta el valor de u cuando el valor de x cambia una unidad es . Si x cambia x x , u cambiará u x ux x y lo mismo podemos decir para las magnitudes y, z,... Por lo que: u u x u y x y u z z ... Podemos decir que las diferenciales de las variables coinciden con los errores absolutos de las magnitudes, y las variables con los valores supuestos exactos. Así el error relativo será el valor de la diferencial dividida por la variable (valor exacto). De esta forma si se toman logaritmos neperianos en la expresión matemática y se diferencia, haciendo positivos todos los términos de la diferencial, obtenemos directamente el error en la medida indirecta en función de los errores en las magnitudes medidos directamente. Ejemplo: el volumen de un cilindro viene dado por la expresión, r 2h V (1.4) siendo r la medida del radio y h la altura. Si dr y dh representan los errores de estas dos magnitudes, el error de V lo podemos determinar tomando logaritmos neperianos en la expresión: ln V ln 2ln r ln h (1.5) diferenciamos la expresión: dV V 2 dr r dh h (1.6) El error absoluto vendrá dado por: dV dr r dh h (1.7) dr r dh h (1.8) V 2 El error relativo será: dV V 2 Cifras significativas. Las cifras significativas, como su nombre indica, son las que nos dan información detallada sobre el valor de la cantidad. En el número de cifras significativas no se tienen 1.3 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA Guión de prácticas en cuenta los ceros situados a la izquierda de la primera cifra no nula. Así 3.25 kg, 271 N y 0.0168 m tienen todas tres cifras significativas. El número de cifras que deben figurar en un resultado viene condicionado por el error o desviación cometido en su determinación. La última cifra significativa en el valor de una magnitud y en su error, expresados en las mismas unidades, deben corresponder al mismo orden de magnitud. Es correcto: 24.54 No es correcto: 24.5362 0.03 0.03 Cálculos con cantidades aproximadas Cuando se realizan cálculos con medidas realizadas previamente, no todas las cifras del resultado tienen porqué ser significativas. Para evitar calcular cifras innecesarias pueden tenerse en cuenta las siguientes recomendaciones: 1) En la suma y resta se conservan tantas cifras decimales en el resultado como el sumando que menos tenga. 2) En el producto y la división se conservan tantas cifras decimales como el factor que menos tenga. 3) Al elevar a un exponente (entero o fraccionario) se conservan tantas cifras decimales como tenga la base. 4) Cuando haya que realizar operaciones consecutivas es conveniente dejar una cifra más de la que establece la regla correspondiente en los resultados intermedios (cifra de seguridad) eliminándola por redondeo cuando se llegue al resultado final. Cuestiones: 1.- Se realizan diez medidas consecutivas del tiempo que tarda un móvil en recorrer un espacio de 5 m, obteniéndose los siguientes resultados expresado en segundos: 10.2; 10.3; 10.1; 10.2; 10.5; 10.3; 10.4; 10.1; 10.3; 10.1 Determinar el valor promedio de estas diez medidas y la desviación típica de la muestra (error estimado al considerar la media como valor de la medida del tiempo). 2 - Determinar el error cometido al calcular el volumen de un cilindro del cual se han medido el radio: 5.82 cm y la altura: 20.35 cm con una cinta métrica que aproxima hasta décimas de mm. 3- Para aforar el caudal suministrado por una fuente se utiliza un recipiente de base cuadrada de lado a y altura h. Cinco observadores miden las dimensiones del recipiente y el tiempo t que tarda en llenarse completamente. Determinar el caudal medio medido y el error estimado en la medida de dicho caudal. (Q=V/t) 1.4 FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA Observador a (cm) h (cm) t (s) 1 22.4 47.2 356.2 2 22.6 46.9 359.1 3 22.1 47.1 359.6 4 22.5 47.3 360.3 5 22.3 47.1 357.8 media error Q Q 1.5 Guión de prácticas FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA Guión de prácticas