Calibración Dinámica de un Resorte y Movimiento Armónico Simple Laboratorio de Física Mecánica Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín RESUMEN: Verificaremos experimental la ley de Hooke, para un sistema masa-resorte en movimiento, satisfaciendo condiciones para que efectué un movimiento armónico simple, para ello fue necesario colocar dos resortes en un porta pesas, adicionando masas continuamente a cada uno independientemente y luego en serie, dejamos que la masa colgada del resorte oscile, y tomamos el tiempo que demoro en realizar 20 vaivenes (oscilaciones). Los datos se los organizara y analizaran en tablas, gráficas y los resultados tendrán sus respectivos intervalos de error. FUNDAMENTO TEORICO: En el laboratorio de un resorte, verificamos ley de Hooke, ahora lo Movimiento Armónico la fuerza, que actúa produzca una proporcional a su forma calibración estática de experimentalmente la relacionaremos con el Simple. Siempre que sobre una partícula, aceleración que sea desplazamiento de la a x Proporciona un movimiento armónico simple, es decir, la partícula oscila periódicamente, pasando cada vez por su posición de equilibrio. Es por eso que de la relación F kx Fe representa la fuerza elástica del resorte, que siempre estará dirigida hacia arriba, puesto a que el resorte tiende a recuperar su longitud natural y mg es la fuerza gravitacional o peso. (1) se deduce que el movimiento de la masa que cuelga de un resorte tiene un movimiento de este tipo. Figura 1. Montaje experimental, masa suspendida de un resorte. Figura 3. Gráfica del movimiento de una masa suspendida de un resorte. En equilibrio con de: deformación en equilibrio, la fuerza hecha por el resorte, Fe esta dada por (1). F kd e (1) Por Newton: (diagrama de cuerpo libre) Σ Fx = max : k(de − x)− mg = m a Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio: Σ Figura 2. Diagrama de cuerpo libre, de la masa en una posición genérica. (Cuando tiene movimiento oscilatorio) Fx = 0 , k de − mg = 0 . La aceleración queda: 𝒂=− 𝒌 𝒎 𝐱 (1a) 𝑘 Llamemos ω2, a la constante , además teniendo en cuenta 𝑚 que la aceleración es la doble derivada de la posición tenemos: 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 2 + 𝜔2 𝑥 = 0 Si integramos con las condiciones iniciales obtendremos la velocidad: x (t 0 ) x 0 𝑣 ∫0 𝑣 𝑑𝑣 = v (t 0 ) 0 𝑥 −𝜔2 ∫𝑥 𝑥 0 𝑑𝑥 Si despejamos la velocidad: v= 𝝎√𝒙𝟐𝟎 − 𝒙𝟐 (1b) Integrando nuevamente para obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo, tenemos: 𝑥 2 𝑥0 √𝑥0 ), velocidad ( ) y 𝑡 𝑑𝑥 ∫ Figura 4. Gráfica de posición ( aceleración ( ). Derive 6.0 − 𝑥2 𝑥 𝑥 sin−1 [ ] 𝑥0 𝑥 0 = 𝜔 ∫ 𝑑𝑡 = 𝜔𝑡 0 = 𝜔𝑡 = sin−1 Amplitud Amplitud Amplitud 𝑥 𝑥0 − sin−1 1 Desplazamiento Velocidad Amplitud Máximo Cero Mínimo Cero Cero Mínimo Cero Máximo Mínimo Cero Máximo Cero Por consiguiente: Aceleración 𝜋 𝑥 = 𝑥0 sin [𝜔𝑡 + ] Por identidades 2 𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒕 (1c) Figura 5. Tabla de la amplitud en ciertos puntos de la posición, velocidad y aceleración. La función coseno tiene período 2π y por tanto: 𝑥 = 𝑥0 cos 𝜔 𝑡 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 2𝜋) = 𝑥0 𝑐𝑜𝑠𝜔 (𝑡 + 2𝜋 𝜔 ) Así cuando transcurre un tiempo que llamaremos periodo T: T= 2𝜋 𝜔 Figura 6. Grafico de identificación del marco de referencia. el movimiento se repite idénticamente. 𝑘 Como 𝜔2 = , finalmente el período queda expresado así: 𝑚 𝒎 𝑻 = 𝟐𝝅√ 𝒌 (1d) Las ecuaciones 1a, 1b, 1c, 1d, son las ecuaciones de la aceleración, la velocidad y la posición respectivamente de la partícula en cualquier tiempo, la ecuación 1d nos da información acerca del período. Si nos centramos ahora en la ecuación (1c) podemos observar que derivándola encontramos la velocidad y la aceleración en términos del coseno y seno, así: 𝒗(𝒕) = −𝒙𝟎 𝝎 𝐬𝐞𝐧 𝝎 𝒕 𝒂(𝒕) = −𝒙𝟎 𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒕 Si graficamos esto tenemos: (2c) (3c) De la graficación de la las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración podemos observar: Para iniciar tenemos que nuestro movimiento armónico simple describe una función cosenoidal para la posición, el origen esta ubicado en donde el sistema resorte-masa esta en equilibrio, como para iniciar el movimiento oscilatorio fue necesario estirar, la grafica de posición inicia en un punto (a) donde el sistema resorte-masa están estirados. En este punto la velocidad, que es una función seno es cero, es la condición inicial de nuestro sistema y la aceleración descrita por una función coseno es la mínima, ya que la fuerza elástica que hace el resorte sobre la partícula es mayor que el peso (mg). Cuando la posición alcanza un cero por primera vez, significa que llego al punto que definimos como de equilibrio u origen, es decir a la posición que obtuvo nuestro sistema masa-resorte sin aplicar un estiramiento por la mano hacia abajo (+), aquí la amplitud de la velocidad es mínima, esto significa que la velocidad debida al impulso que da el resorte es máxima. (Lo negativo no significa que la velocidad decrezca, se debe a que la velocidad crece hacia arriba, (marco de referencia negativo hacia arriba). Aquí la aceleración es cero debido a que la magnitud de la fuerza elástica es igual al peso, es decir la sumatoria de las fuerzas es igual a cero, ya que alcanza el punto de equilibrio. Cuando la gráfica de la posición alcanza un mínimo, es cuando nuestro cuerpo sobrepaso el punto de origen o equilibrio y asciende hasta el punto superior posible como se lo permita el impulso inicial, aquí la velocidad es cero debido a la fuerza contraria del peso que atrae el cuerpo hacia la tierra y es mas grande que la fuerza elástica. La aceleración alcanza un máximo y con evidente razón vemos que el cuerpo en este punto superior es atraído totalmente por la fuerza de la gravedad. Finalmente la posición vuelve a ser cero, lo que significa que pasa nuevamente por el punto de equilibrio, sin embargo no es un movimiento de ascenso sino de descenso de la partícula, aquí la velocidad alcanza un máximo en su amplitud, lo que significa que la velocidad crece hasta este punto, en donde podríamos analizarlo como un movimiento de caída libre, puesto que el resorte no hace resistencia hasta y en el punto de equilibrio, ya sobrepasado el punto de equilibrio, la fuerza elástica ofrecerá resistencia al movimiento de caída, que ya no será libre. La aceleración es cero nuevamente debido a que las fuerzas elástica y de peso tienen la misma magnitud y se anulan. Demostración de la fórmula: kep = k1 + k2 De la figura 7, vemos que a la izquierda están dispuestos tres resortes. R1 y R2 están ausentes de estiramiento y tienen contantes elásticas k1 y k2 respectivamente, el tercer resorte es el equivalente del conjunto R1/R2 representativo a una disposición en paralelo. Teniendo en cuenta que colgándole el mismo cuerpo el equivalente se estira lo mismo que el conjunto. Tal como nos lo muestra el esquema: Δx1 + Δx2 = Δxes. (2a) Lo que constituye una primera ecuación. Para completar el sistema de ecuaciones vamos a un diagrama de cuerpo libre: Figura 8. Diagrama de cuerpo libre En cada caso tenemos un equilibrio, por lo tanto podemos escribir: F1 + F2 = P Fep = P (2b) (2c) Con lo que deducimos que: (2) En un sistema en paralelo se cumple: kep = k1 + k2 F1 + F2 = Fep (2d) Y sabemos que: F1 = k1 Δx1 = k1 Δx (2e) F2 = k2 Δx2 = k2 Δx (2f) Fep = kes Δxep = kep Δx (2g) Ingreso estas igualdades en la ecuación (2d) k1 Δx + k2 Δx = kep Δx (2d1) Ahora saco factor común Δx en el primer miembro y lo cancelo con el del segundo, así queda demostrado que: Figura 7. Diagrama de resortes en paralelo e individuales. kep = k1 + k2 (2) 4π2m (g/f) Figura 9. Montaje experimental de los resortes individualmente y en serie. Elongación correspondiente dada por una fuerza 1 Fuerza (gf) 81.6 ± 0.1 R5 (s) 19.72± 0.01 R1 (s) 19.64± 0.01 R1ll R5 (cm) 31.21± 0.01 2 45.9 ± 0.1 15.76± 0.01 15.39± 0.01 26.82± 0.01 3 52.3 ± 0.1 16.50± 0.01 16.18± 0.01 27.68± 0.01 4 35.7 ± 0.1 14.00± 0.01 13.82± 0.01 25.65± 0.01 5 98.2 ± 0.1 20.53± 0.01 20.80± 0.01 32.86± 0.01 6 88.0 ± 0.1 20.36± 0.01 20.15± 0.01 31.80± 0.01 7 133.9 ± 0.1 23.86± 0.01 23.68± 0.01 36.59± 0.01 8 31.8 ± 0.1 13.62± 0.01 13.14± 0.01 25.20± 0.01 9 77.7 ± 0.1 19.36± 0.01 19.14± 0.01 30.84± 0.01 10 165.7 ± 0.1 25.93± 0.01 25.84± 0.01 39.46± 0.01 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 y = 4314.7x - 837.11 R² = 0.9948 0.5 1 T2 1.5 (s2) Figura 12. Gráfica de masa versus Periodo. Resorte 5. Excel De esta relación podemos obtener nuestra constante de elasticidad del resorte 5, a partir de la pendiente de la gráfica que viene siendo 4314.7 g/fs2 como trabajamos con simplemente dividimos entre 980 para dejarlo en términos de masa. Esto nos da que la constante de elasticidad del resorte 5 es de 4.402 Dcm, que es la misma relación que obtenemos al despejar K de (1d) 𝒎 𝑻 = 𝟐𝝅√ ∆g = 𝒌 → 𝑲= d(4𝝅𝟐m/T2 ) 𝑑𝑚 𝟒𝝅𝟐 𝒎 𝑻𝟐 = 4.4 Dcm ± 0.4Dcm ∆m + d(4𝝅𝟐 m/T2 ) 𝑑𝑇 ∆t Figura 10. Tabla de los datos obtenidos en el laboratorio. 𝑻= 𝒕 De donde n es el número de oscilaciones. 𝒏 ∆T = ∆𝐭 𝒏 = 𝟎.𝟎𝟏 𝟐𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 4𝝅𝟐 ∆m T2 = 4𝝅𝟐 0.46382 + −8𝝅𝟐 𝒎 ∆T T3 x 0.1 + −8𝝅𝟐 𝟏𝟐𝟓𝟓.𝟒 0.46383 x0.0007 = 713.82/980 𝑲𝟓 = 4.4 Dcm ± 0.7Dcm Resorte 5 Resorte 1 ∆𝑻𝟐 = 𝟐𝑻 ∆𝐓 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟖𝟏𝟎 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕 R5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4𝛑𝟐 𝒎 3221.4 ± 0.1 1812.0 ± 0.1 2064.7 ± 0.1 1409.4 ± 0.1 3876.8 ± 0.1 3474.1 ± 0.1 5286.1 ± 0.1 1255.4 ± 0.1 3067.5 ± 0.1 6541.6 ± 0.1 T=t/20 0.9860 ± 0.0005 0.7880 ± 0.0005 0.8250 ± 0.0005 0.7000 ± 0.0005 1.0260 ± 0.0005 1.0180 ± 0.0005 1.1930 ± 0.0005 0.6810 ± 0.0005 0.9680 ± 0.0005 1.2960 ± 0.0005 T2 0.9722± 0.0007 0.6209± 0.0007 0.6806± 0.0007 0.4900± 0.0007 1.0537± 0.0007 1.0363± 0.0007 1.4232± 0.0007 0.4638± 0.0007 0.9370± 0.0007 1.6809± 0.0007 Figura 11. Tabla de datos para la graficación de Periodo Versus masa del resorte 5. Excel ∆𝑻𝟐 = 𝟐𝑻∆𝐓 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟓𝟕 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔 R1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4𝛑𝟐 𝒎 3221.4 ± 0.1 1812.0 ± 0.1 2064.7 ± 0.1 1409.4 ± 0.1 3876.8 ± 0.1 3474.1 ± 0.1 5286.1 ± 0.1 1255.4 ± 0.1 3067.5 ± 0.1 6541.6 ± 0.1 T=t/20 0.982 ± 0.0005 0.769 ± 0.0005 0.809 ± 0.0005 0.691 ± 0.0005 1.040 ± 0.0005 1.007 ± 0.0005 1.184 ± 0.0005 0.657 ± 0.0005 0.957 ± 0.0005 1.292 ± 0.0005 T2 0.9643 ± 0.0006 0.5921 ± 0.0006 0.6545 ± 0.0006 0.4775 ± 0.0006 1.0816 ± 0.0006 1.0150 ± 0.0006 1.4019 ± 0.0006 0.4316 ± 0.0006 0.9158 ± 0.0006 1.6693 ± 0.0006 Figura 13: Tabla de datos para la graficación de Periodo Versus masa del resorte 1. Excel. 2 7000 Ahora demostraremos 𝟏 5000 𝒌𝒔 𝑲𝟏+𝑲𝟓 𝒌𝟏𝑲𝟓 → 𝟏 𝟐.𝟑𝟐 = 𝟒.𝟑+𝟒.𝟒 𝟒.𝟑 𝒙 𝟒.𝟒 = 0.46 4000 Ks= 2.32 ± 0.07 3000 2000 ∆ 1000 0 0.5 1 1.5 𝒎 𝒌 → 𝑲= 4𝝅𝟐 0.43162 =− ∆𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟏 + − ∆𝒌𝟓𝟐 𝒌𝟓 2 T 2(s2) Figura 14. Gráfica de masa versus Periodo. Resorte 1. Excel 𝑻 = 𝟐𝝅√ 𝟏 𝒌𝒔 = −𝟎. 𝟕/𝟒. 𝟑𝟐 + −𝟎. 𝟕/𝟒. 𝟒𝟐 =0.07 0 y = 4258x - 718.03 R² = 0.9958 ∆g = = 𝟒𝝅𝟐 𝒎 𝑻𝟐 7000 = 4.3 Dcm ± 0.4Dcm 6000 −8𝝅𝟐 𝟏𝟐𝟓𝟓.𝟒 0.43163 x 0.1 + Notemos que el delta de error calculando nuestra constante elástica de los resortes en paralelo es mas grande, eso se debe a que se suma es error de la constante de elasticidad del resorte 1 mas la del resorte 5. x0.0006 = 760.93/980 K1= 4.3 Dcm ± 0.7Dcm 4π2m (g/f) 4π2m (g/f) 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Resortes en Serie: ∆𝑻𝟐 = 𝟐𝑻∆𝐓 = 𝟐 𝐱 𝟎. 𝟔𝟖𝟏 𝐱 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕 4𝛑𝟐 𝒎 1 3221.4 ± 0.1 2 1812.0 ± 0.1 3 2064.7 ± 0.1 4 1409.4 ± 0.1 5 3876.8 ± 0.1 6 3474.1 ± 0.1 7 5286.2 ± 0.1 8 1255.4 ± 0.1 9 3067.5 ± 0.1 10 6541.6 ± 0.1 T=t/20 0.986 ± 0.005 0.788 ± 0.005 0.825 ± 0.005 0.700 ± 0.005 1.026 ± 0.005 1.018 ± 0.005 1.193 ± 0.005 0.681 ± 0.005 0.968 ± 0.005 1.296 ± 0.005 T2 2.4352 ± 0.0007 1.7983 0000 ± 0.0007 1.9155 ± 0.0007 1.6448 ± 0.0007 2.6994 ± 0.0007 2.5281 ± 0.0007 3.3471 ± 0.0007 1.5876 ± 0.0007 2.3778 ± 0.0007 3.8927 ± 0.0007 Figura 15. Tabla de datos para la graficación de Periodo Versus masa de los resorte 5 y 1 en serie. Excel 𝒎 𝑻 = 𝟐𝝅√ ∆g = 𝒌 → 𝑲= 4𝝅𝟐 1.58762 𝟒𝝅𝟐 𝒎 x 0.1 + 𝑻𝟐 = 2.32 Dcm ± 0.02Dcm −8𝝅𝟐 𝟏𝟐𝟓𝟓.𝟒 1.58763 Ks= 2.32 Dcm ± 0.02Dcm x0.0007 = 18.906/980 0 1 y = 2279.4x - 2321.2 R² = 0.9997 2 3 T 4 5 2(s2) Figura 16. Gráfica de masa versus Periodo. Resorte 5 y 1 en serie. Excel Ahora analicemos los interceptos.