Matemáticas I MATRICES Definición.- Una matriz sobre R ó C de dimensión m×n es un objeto ordenado a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. .. = (aij )i = 1, . . . , m . . j = 1, . . . , n . . . am1 am2 · · · amn se dice que A tiene m filas y n columnas. Tomaremos K = R ó C. Definiciones. Tipos de matrices.Una matriz A se dice cuadrada si columnas. a11 a21 A= . .. tiene el mismo número de filas que de a12 · · · a1n a22 · · · a2n .. .. .. . . . an2 · · · ann La matriz A = (aij ) ∈ Mm×n (K) j = 1 . . . , n. Se escribirá A = (0). 0 0 A = . .. se dice nula si aij = 0, ∀i = 1 . . . , m, an1 0 ··· 0 ··· .. .. . . 0 0 ··· 0 0 .. . 0 La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice identidad si aii = 1, ∀i = 1 . . . , n, y aij = 0, ∀i 6= j, i, j = 1 . . . , n. Se escribirá A = Id. 1 0 ··· 0 1 · · · A = . . . .. .. .. 0 0 ··· Universidad Antonio de Nebrija 1 0 0 .. . 1 Matrices Matemáticas I Sea A = (aij ) ∈ Mm×n (K) se define la matriz traspuesta de A como At = (bij ) donde bij = aji , ∀i = 1 . . . , m, j = 1, . . . , n. a21 a22 .. . a11 a12 At = . .. a1n a2n ··· ··· ··· ··· am1 am2 .. . amn La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice diagonal si aij = 0, ∀i 6= j, i, j = 1 . . . , n. a11 0 · · · 0 a22 · · · A= . .. .. .. . . 0 0 ··· 0 0 .. . ann La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice triangular superior si aij = 0, ∀i > j, i, j = 1 . . . , n. a11 a12 · · · 0 a22 · · · A= . .. .. .. . . 0 0 ··· a1n a2n .. . ann La matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) se dice triangular inferior si aij = 0, ∀i < j, i, j = 1 . . . , n. 0 a22 .. . a11 a21 A= . .. ··· ··· .. . an1 an2 · · · 0 0 .. . ann Al conjunto de las matrices m × n con elementos en K se denota por Mm×n (K). Propiedad.- (At )t = A. Universidad Antonio de Nebrija 2 Matrices Matemáticas I OPERACIONES CON MATRICES Sean A, B ∈ Mm×n (K) y λ ∈ K. Se define la suma de A y B como A + B = (aij + bij ) ∈ Mm×n (K). Se define el producto escalar de λ por A como λA = (λaij ) ∈ Mm×n (K). Si B ∈ Mn×p (K), se define el producto de A por B como A · B = (cij ) donde A · B ∈ Mm×p (K), y cij = ai1 b1j + · · · + ain bnj Observación.- En general, A · B 6= B · A. OPERACIONES CON SISTEMAS DE ECUACIONES Definición.- Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Propiedades.- Las siguientes operaciones en un sistema de ecuaciones nos dan sistemas equivalentes: Multiplicar una ecuación por un número no nulo. Intercambiar ecuaciones. Sumar o restar un múltiplo de una ecuación a otra. Universidad Antonio de Nebrija 3 Matrices Matemáticas I DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (K), se define su determinante como Si n = 2, Si n = 3, .. . a11 a12 = a11 a22 − a12 a21 det A = |A| = a21 a22 a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 det A = |A| = a21 a22 a23 = a11 −a12 a31 a33 −a13 a31 a32 a a 32 33 a31 a32 a33 Definición.- Sea A = (aij ) ∈ Mn×n (K), se define la matriz adjunta Aij de A como la submatriz (n − 1) × (n − 1) que se obtiene eliminando de A la fila i y la columna j. Se define el adjunto αij de A como el escalar αij = (−1)i+j |Aij |. En general, |A| = a11 α11 + a12 α12 + · · · + a1n α1n . Esta fórmula se puede desarrollar para cualquier fila o columna. Propiedades.1. Intercambiar 2 filas (o columnas) en un determinante, cambia de signo de éste. 2. Sumar un múltiplo de una fila (o columna) no altera el valor del determinante. 3. Multiplicar una fila (o columna) por λ ∈ K, multiplica el determinante por λ. 4. |λ · A| = λn |A|. 5. |A| = |At |. 6. Si A tiene una fila (o columna) nula, entonces |A| = 0. 7. Si A tiene una fila (o columna) proporcional a otra, entonces |A| = 0. 8. |A · B| = |A| · |B|. Universidad Antonio de Nebrija 4 Matrices Matemáticas I INVERSAS Definición.- Sea A ∈ Mn×n (K), se define la inversa de A y se denota por A−1 a una matriz cuadrada n × n tal que A−1 · A = A · A−1 = Id. Observación.- No toda matriz tiene inversa. Definición.- Una matriz cuadrada se dice invertible si tiene inversa. Teorema.- A es invertible ⇔ |A| = 6 0. Observación.- La matriz inversa se puede calcular utilizando el método de Gauss. Si A es invertible, consideramos la matriz (A | Id) y operando con filas se obtiene (Id |A−1 ). RANGO DE UNA MATRIZ Definición.- Un menor de A es el determinante de una submatriz cuadrada que se obtiene a partir de A suprimiendo un cierto número de filas y columnas. El rango de una matriz A es la dimensión del mayor menor no nulo de A. Se escribe rg(A). Propiedad.- Si A ∈ Mm×n (K), rg(A) ≤ mı́n{m, n}. Universidad Antonio de Nebrija 5 Matrices Matemáticas I TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS Sea (S) un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas: a11 x1 + · · · + a1n xn = b1 .. .. (S) = . . am1 x1 + · · · + amn xn = bm Se dice que (s1 , . . . , sn ) es una solución del sistema (S) si cumple las m ecuaciones. La matriz de coeficientes del sistema es A = (aij ). El vector de términos independientes es b = (b1 , . . . , bm ). La matriz ampliada del sistema es A∗ = (aij |bi ) = (A|b). Definición.- Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar todas sus soluciones. Discutir un sistema de ecuaciones es analizar si posee una, varias o ninguna solución. En la discusión se clasifica el sistema: INCOMPATIBLE (no tiene solución) DETERMINADO (solución única) COMPATIBLE INDETERMINADO (varias soluciones) Observación.- Si un sistema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas. Teorema de Rouché-Frobenius 1) Un sistema tiene solución ⇐⇒ rg(A) = rg(A∗ ). 2) Si rg(A) = rg(A∗ ) = n (número de incógnitas) =⇒ el sistema es compatible determinado. 3) Si rg(A) = rg(A∗ ) < n (número de incógnitas) =⇒ el sistema es compatible indeterminado. Universidad Antonio de Nebrija 6 Matrices Matemáticas I REGLA DE CRAMER Si Ax̄ = b̄ es un sistema compatible determinado, la solución viene determinada de la siguiente manera: Como el sistema es compatible determinado ⇒ rg(A) = rg(A∗ ) = n ⇒ hay n filas en A con un menor no nulo y n ≤ m. Por lo tanto, si A ∈ Mn×n con |A| = 6 0 ⇒ A tiene inversa ⇒ x̄ = A−1 b̄ A11 A21 · · · An1 b1 A A · · · A b 22 n2 2 1 12 x̄ = .. .. .. .. |A| . . . . A1n A2n · · · Ann b4 i g xi = A1i b1 + A2i b2 + · · · + Ani bn = |A| a11 · · · .. . an1 · · · b1 · · · .. . a1n .. . bn · · · |A| ann Observación.- Si el sistema es indeterminado se trabaja con una submatrix del sistema correspondiente a uno de los menores con determinante no nulo. SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS Definición.- Un sistema se dice homogéneo si b = (0 · · · 0). Ax = 0 Nota.- Un sistema homogéneo tiene siempre a (0, 0, . . . , 0) como solución. Además, si (s1 , . . . , sn ) y (t1 , . . . , tn ) son soluciones, entonces también α(s1 , . . . , sn ) + β(t1 , . . . , tn ) es solución, ∀α, β ∈ R. Esta propiedad es esencial para el concepto de espacio vectorial. Estas combinaciones lineales describirán los espacios vectoriales y también las ecuaciones lineales y homogéneas. Universidad Antonio de Nebrija 7 Matrices