GUÍA- Matrices y Aplicaciones.

El gran desarrollo del algebra lineal se alcanza en el siglo XIX gracias sobre
todo a los trabajos de los matemáticos británicos Silvestre y Cayley. Al primero se debe,
en 1850, la denominación de matriz para la disposición rectangular de números, y a
Cayley, en 1855, el descubrimiento de La conexión entre el cambio de variables en un
sistema y la noción del producto de matrices.
DEFINICIÓN Y CLASES: Se llama matriz de orden mxn a cualquier tabla de número
que conste de m filas y n columnas.
a1n 
 a11 a12


a 2n 
 a 21 a 22
 a
a mn 
 m1 a m 2
El primer subíndice indica la fila y el segundo la columna
Cuando se quiere referir a la matriz sin escribir la tabla, escribimos simplemente:
A= (aij ) , para i= 1, 2,3,….., m
j=1, 2,3,…….n
MATRIZ FILA: Tiene una sola fila A= ( a11 , a12 ,..........a1n )
 a11 


 a 21 
MATRIZ COLUMNA: tiene una sola columna: B= 



a 
 m1 
MATRIZ CUADRADA: Una matriz con igual numero de filas que de columnas
a1n 
 a11 a12




A= 



a

a
nn 
 n1
MATRIZ NULA: Matriz cuyos elementos son todos nulos.
DIAGONAL PRINCIPAL: conjunto de elementos de la forma a nn
MATRIZ DIAGONAL: matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos excepto
los de la diagonal principal D= (aij ) ≠ 0, ∀i = j
MATRIZ UNIDAD: Matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal
iguales a la unidad real .I= (aij ) =1, ∀i = j
MATRIZ TRIANGULAR: Matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima o
por debajo de la diagonal principal son nulos.
T= (aij ) ≠ 0, ∀i = j ⇔ i ≥ j ∨ i ≤ j
IGUALDAD DE MATRICES: Si se cumple las dos condiciones siguientes:
1º: Tener el mismo orden
2º: (aij ) = (bij ) ⇔ a ij = bij , ∀ij
OPERATORIA CON MATRICES:
SUMA: Siempre que tengan el mismo orden:
(aij )+ (bij )= (aij + bij )
Se suman los términos correspondientes por filas y columnas.
PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA MATRIZ: K (aij ) = (Ka ij ) , ∀i = j
Se multiplica cada elemento de la matriz por la constante.
MULTIPLICACION DE MATRICES: No todas las matrices se pueden multiplicar .Es
necesario que la primera que multiplica sea de orden mxn y la segunda de orden nxp;
dicho de otra manera, solo se pueden multiplicar dos matrices cuando el numero de
columnas de la primera matriz que multiplica coincide con el numero de filas de la
segunda. Así, la matriz producto será de orden mxp
En concreto, sea
(aij ) , una matriz de mxn , y (bij ) , otra matriz de orden nxp .
La matriz producto es
(aij )x (bij )= ( ai1b1 j + a j 2 b2i + ..........a jn bin ) , que es una matriz de orden mxp . es decir :
A mn xBnp = C mp
Las matrices verifican además las siguientes propiedades.
Suma
Asociativa
(A+B)+C=A+(B+C)
Conmutativa.
A+B=B+C
Elemento neutro Es la matriz nula, pues:
A+O=A
Elemento simétrico
La opuesta de A es –A , pues:
A+(-A)=0
Multiplicación por un escalar.
Distributiva respecto de la suma :
K(A+B)=KA+KB
Distributiva respecto de la suma en ℜ
(K+K’)A=KA+K’A
Asociativa mixta:
(KK’)A=K(K’A)
Neutralidad:
1A=A
EJERCICIOS DE APLICACIÓN: