UNIDAD 7

Unidad 7
transforMaciones
lineales
Objetivos:
Al inalizar la unidad, el alumno:
• Comprenderá los conceptos de dominio e imagen de una transformación.
• Distinguirá cuándo una transformación es lineal.
• Encontrará el núcleo de una transformación lineal, así como su nulidad
y su rango.
• Distinguirá cuándo una transformación lineal es inyectiva, suprayectiva,
biyectiva, y utilizará las propiedades de los isomorfos.
• Realizará operaciones entre transformaciones lineales y encontrará la
transformación lineal inversa.
Álgebralineal
Introducción
E
n varias ramas de las matemáticas y de las ciencias sociales, es común
representar fenómenos mediante modelos que emplean funciones de
variable vectorial. Es decir, funciones entre espacios vectoriales.
Estas funciones tienen el nombre de transformaciones y son el primer
paso para estudiar transformaciones con propiedades especiales llamadas
transformaciones lineales.
7.1. Definición de transformación. Dominio e
imagen
Comenzaremos la unidad recordando lo que es una función. Una función
es una regla que asocia cada uno de los elementos de un conjunto A, llamado
dominio, con uno de otro conjunto B, llamado codominio. Es decir, si f: AB
es una función, significa que si a es un elemento de A entonces f(a) es el
elemento de B asociado a a mediante la regla f. Es importante mencionar que
f(a) es único para cada a en A.
Definición 7.1. Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea T: V  W una
función que asigna a cada vector v de V un vector único w en W.
T se llama transformación y los conjuntos V y W son respectivamente el
dominio y el codominio de la transformación.
Vamos a dar varios ejemplos de transformaciones entre espacios vectoriales
conocidos.
Ejemplo 1
a) Consideremos la relación reflexión que manda a cada vector (x, y) al
vector (x, –y) que es su reflexión con respecto al eje x.
Sea T: R2  R2, tal que T(x,y) = (x, –y). Probaremos que es una
transformación; es decir, probaremos que T(x, y) es único.
Consideremos el vector u = (u1, u2) en R2 y supongamos que T(u) = (a, b) y
T(u) = (c, d) son dos vectores en W, entonces, por la definición de la relación
tenemos que
237
Unidad 7
(a, b) = T(u) = T(u1, u2) = (u1, –u2) y (c, d) = T(u) = T(u1, u2) = (u1, –u2) de donde
(a, b) = (c, d) = T(u) por lo que T(u) es único y T es una transformación.
 x + y
 x 

b) Sea la función T: R  R definida por T   =  x − y  .
y
   y 
 3 
2
3
Como R2 y R3 son espacios vectoriales, T es una transformación donde R2
es el dominio y R3 es el codominio.
Definición 7.2. Sea T: V  W una transformación. Sea v en V, entonces
T(v) en W se llama la imagen de v bajo la transformación T, y el conjunto
{w en W tal que w = T(v) para alguna v en V} se llama imagen de la
transformación T.
Veamos ejemplos de la imagen de algunas transformaciones.
Ejemplo 2
a) Considera la transformación T: R3 R2 dada por T(x, y, z) = (x, y).
La imagen del vector (2, 3, –5) es T(2, 3, –5) = (2, 3) y la imagen de la
transformación es el conjunto de todas los vectores (x, y) de R2, tal que exista un
vector (a, b, c) en R3 tal que T(a, b, c) = (x, y), es decir, T(a, b, c) = (a, b) = (x, y) de
donde a = x, b = y, por lo tanto el rango es todo el plano cartesiano R2.
b) Considera la transformación T: R  R tal que T(x) = 0.
Entonces la imagen de toda la transformación es T(R) = {0}. Esto es, la
imagen de T es el vector cero.
c) Sea T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = (y, 3y).
La imagen de T es el conjunto de vectores de R2 de la forma (a, 3a).
La imagen del vector (1, –2, 4) es T(1, –2, 4) = (–2, –6).
238
Álgebralineal
Ejercicio 1
1. Di si las siguientes funciones son transformaciones:
a) T: R  {1, 2, 3}
b) T: R2  R3 tal que T(x, y) = (x, y, 0)
2. Encuentra el dominio y la imagen de las siguientes transformaciones:
a) T: R2  R2 tal que T(x, y) = (–x, –y)
b) T: R3  R tal que T(x, y, z) = 2x
c) T: Mm×n  Mn×m tal que T(A) = AT
3. Considera la transformación T: R2 R3 tal que T(x, y) = (–x, –y, x+ y)
Encuentra la imagen de los siguientes vectores:
a) (2, –3)
b) (–3, 0)
c) (6, 2)
d) (–2, 6)
7.2. Definición de transformación lineal.
Propiedades
En esta sección nos ocuparemos de una clase de transformaciones que son
muy útiles, pues preservan la suma y el producto por escalar, que son la base de
los espacios vectoriales. Estudiaremos sus propiedades que nos darán la pauta
para manejar las transformaciones tanto en su representación de funciones
como en su representación por medio de matrices.
Definición 7.3. Sean V y W espacios vectoriales y T: V  W una
transformación.
T se llama transformación lineal si satisface las siguientes propiedades:
i) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u, v ∈V
ii) T(cu) = cT(u), ∀u ∈V , c ∈ R
239
Unidad 7
Esta definición nos dice que las transformaciones lineales conservan la
suma y el producto por un escalar, es decir, que se obtiene el mismo resultado
si las operaciones de suma y multiplicación por un escalar se efectúan antes
o después de que se aplique la transformación lineal. Debe observarse que las
operaciones pueden ser diferentes a como se indica en el siguiente diagrama
Suma en W
Suma en V
T(u + v)
=
Multiplicación
por escalar en V
T(cu)
T(u) + T(v)
Multiplicación
por escalar en W
=
cT(u)
Ejemplo 3
a) Considera la transformación T: R2  R2 tal que T(u, v) = (u – v, u + 2v);
probaremos que es una transformación lineal.
i) Sean u = (u1, u2) y v = (v1, v2) en R2, probaremos que T(u + v) = T(u) + T(v).
Recordemos que en R2 u + v = (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2)
Por la definición de la transformación tenemos que
T(u ) = T(u1, u2) = (u1 – u2, u1 + 2u2);
T(v) = T(v1, v2) = (v1 – v2, v1 + 2v2)
T(u + v) = T(u1 + v1, u2 + v2) = [(u1 + v1) – (u2 + v2), (u1 + v1) + 2(u2 + v2)]
= [u1 + v1 – u2 – v2, u1 + v1 + 2u2 + 2v2]
Consideremos ahora la suma T(u) + T(v) en R2
T(u) + T(v) = (u1 – u2, u1 + 2u2) + (v1 – v2, v1 + 2v2) usando la definición de
suma en R2 tenemos
= [(u1 – u2) + (v1 – v2), (u1+ 2u2) + (v1 + 2v2)], eliminando paréntesis:
240
Álgebralineal
= [u1 – u2 + v1 – v2, u1 + 2u2 + v1 + 2v2], usando la propiedad conmutativa
en R:
= [u1 + v1 – u2 – v2, u1 + v1 + 2u2 + 2v2] = T(u + v)
De donde T(u + v) = T(u) + T(v)
ii) Sea c un escalar, entonces probaremos que T(cu) = cT(u)
Por la definición de la transformación lineal tenemos que
T(cu) = T(cu1, cu2) = (cu1 – cu2, cu1 + 2cu2)
por otro lado, al multiplicar por un escalar c la imagen de la transformación
tenemos que
cT(u) = c(u1 – u2, u1 + 2u2) = [c(u1–u2), c(u1 + 2u2)] por la propiedad de
transitividad en R:
= (cu1 – cu2, cu1 + 2cu2) = T(cu)
Por lo tanto T(cu) = cT(u)
De i) y ii) tenemos que T es una transformación lineal.
b) Sea A una matriz de 2×2, considera la transformación T: R2  R2 tal que
T(u) = Au
Vamos a probar que T es una transformación lineal.
i) Probaremos que T(u + v) = T(u) + T(v)
Por la definición de la transformación T(u + v) = A(u + v)
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices, tenemos
que A(u + v) = Au + Av = T(u) + T(v) por la definición de la transformación.
De donde T(u + v) = T(u) + T(v)
ii) Comprobaremos que T(cu) = c T(u)
Por la definición de la transformación tenemos que T(cu) = A(cu)
241
Unidad 7
Usando la propiedad de la multiplicación de matrices c(AB) = (cA)B =
A(cB) tenemos que
A(cu) = c(Au) = cT(u)
por lo tanto, T(cu) = cT(u)
De i) y ii) podemos asegurar que T es una transformación lineal.
Es importante mencionar que no todas las transformaciones son lineales.
Veamos un ejemplo de esto.
c) Consideremos la transformación T: R  R tal que T(x) = x + 1
Sea T(x + y) = x + y + 1, sin embargo, T(x) + T( y) = (x + 1) + ( y + 1) = x
+y+2
Por lo tanto T no es una transformación lineal.
Las transformaciones lineales son importantes dentro del álgebra porque
poseen propiedades especiales como las que se mencionan en el siguiente
teorema.
Teorema 7.1. Sea T: V  W una transformación lineal, y sean u, v dos
vectores en V, entonces T tiene las siguientes propiedades:
i)
ii)
iii)
iv)
T(0v) = 0w
T(–u) = –T(u)
T(u – v) = T(u) – T(v)
Si v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn, entonces
T(v) = T(c1v1 + c2v2 + ... + cnvn) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + ... + cn T(vn)
Es importante mencionar que en la propiedad i) el primer cero corresponde
al espacio vectorial V mientras que el segundo corresponde al cero del espacio
vectorial W.
Vamos a dar un ejemplo para verificar que se satisface este teorema.
242
Álgebralineal
Ejemplo 4
 x + y
x




Consideremos la transformación T: R2  R3 definida por T   =  x − y 
y
   y 
 3 
Probaremos que T es una transformación lineal y después que satisface las
propiedades mencionadas en el teorema 7.1.
 u1 
1) Sean u =   y v =
 u2 
 v1 
  en R2 , entonces u + v =
 v2 
 (u1 + v1 ) + (u2 + v2 ) 
 u1 + v1  

T( u + v) = T 
 =  (u1 + v1 ) − (u2 + v2 )  =
 u2 + v2  

3(u2 + v2 )


 u1 + v1 


 u2 + v2 
 (u1 + u2 ) + (v1 + v2 ) 


 (u1 − u2 ) + (v1 − v2 ) 


3u2 + 3v2


 u1 + u2 
 v1 + v2 
 u1  
 v1  

T(u) = T   =  u1 − u2  y T(v) = T   =  v1 − v2 
 u2   3u 
 v2   3v 
2 

2 

v
v
+
 u1 + u2   1 2   (u1 + u2 ) + (v1 + v2 ) 
 v1  
 u1 

 
 
T(u) + T(v) = T   + T   =  u1 − u2  +  v1 − v2  =  (u1 − u2 ) + (v1 − v2 ) 
 v2   3u   3v  
 u2 

3u2 + 3v2
2 



2 

De donde T(u + v) = T(u) + T(v)
 cu1 + cu2 
 cu1  

2) Sea c un escalar, T(cu) = T 
 =  cu1 − cu2 
cu
 2   3cu 
2


 u1 + u2   cu1 + cu2 
 u1 

 

cT(u) = c T   = c  u1 − u2  =  cu1 − cu2  = T(cu)
 u2 
 3u   3cu 
2
2 



por 1) y 2) T es una transformación lineal.
Probemos ahora las propiedades del teorema 7.1.
0 + 0 0
0 
  
0

i) Sea 0 en R , entonces 0 =   y T(0) = T   =  0 − 0  =  0  = 0 en R3
0  3 0  0
0
 ( )  
2
243
Unidad 7
 −u1 + (−u2 )   −u1 − u2 
 −u1  

 
ii) T(–u) = T 
 =  −u1 − (−u2 )  =  −u1 + u2 
 −u2   3(−u )   −3u 
2
2 

 
 u1 + u2   −u1 − u2 
 u1 

 

–T(u) = – T   = −  u1 − u2  =  −u1 + u2  de donde T(–u) = –T(u)
u
 2
 3u   −3u 
2 
2 


iii) T(u – v) = T[u + (–v)] = T(u) + T(–v) = T(u) + [–T(v)] = T(u) – T(v)
iv) Sea v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn, una combinación lineal de vectores de
R2, entonces por ser T una transformación lineal tenemos que
T(v) = T(c1v1 + c2v2 + ... + cnvn) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + ... + cn T(vn)
Esta propiedad siempre se va a satisfacer por el simple hecho de ser una
transformación lineal si tomamos en cuenta la propiedad asociativa de los
reales.
La propiedad iv) es una propiedad muy importante ya que establece que
una transformación lineal T: V  W está determinada por sus efectos sobre
los elementos de una base de V; ya que si {v1, v2, ..., vn} es una base de V de
modo que T(v1), T(v2), ..., T(vn) estén definidos, entonces T(v) está definida para
cualquier v en V.
Ejemplo 5
Sea B = {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)} la base canónica de R3 y sea
T: R3  R3 una transformación lineal tal que T(1, 0, 0) = (2, –1, 4) ; T(0, 1, 0)
= (1, 5, –2) y T(0, 0, 1) = (0, 3, 1)
Encontrar la imagen T(2, 3, –2).
Como (2, 3, –2) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) –2(0, 0, 1), entonces, por la
propiedad iv) del teorema 7.2 tenemos que
T(2, 3, –2) = 2 T(1, 0, 0) + 3 T(0, 1, 0) –2 T(0, 0, 1 )
= 2(2, –1, 4) + 3(1, 5, –2) –2(0, 3, 1) = (7, 7, 0)
244
Álgebralineal
Lo anterior nos lleva a preguntarnos: Si dos transformaciones lineales
mandan a los elementos de una base a imágenes iguales, ¿serán la misma
transformación?
El siguiente teorema nos da la respuesta.
Teorema 7.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, B = {v1, v2,
..., vn} una base de V. Sean T1: V  W y T2 : V  W dos transformaciones
lineales tales que para i = 1, 2, ..., n se tiene que T1 (vi ) = T2 (vi ), entonces
T1 = T2.
Este teorema nos dice que si T: V  W y V es de dimensión finita, entonces
sólo es necesario conocer el efecto de T sobre los vectores de la base de V para
determinar de manera única la imagen de cualquier vector de V.
Sin embargo, surge otra pregunta, si {w1, w2, ..., wn} son n vectores de W,
¿existirá alguna transformación lineal T de tal manera que T(vi) = wi para i = 1,
2, ..., n ? La respuesta nos la muestra el siguiente teorema.
Teorema 7.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base
B ={v1, v2, ..., vn}. Sea W un espacio vectorial y {w1, w2, ..., wn} un conjunto de
vectores en W.
Entonces existe una transformación lineal única T: V  W tal que
T( vi ) = wi para i = 1, 2, ..., n.
Ejemplo 6

 x 

 
Sea W =  y  tales que 2 x − y + 3 z = 0  un subespacio vectorial de R3.

 x 

 
Sean w1 = (1, 2, 0) y w2 = (0, 3, 1) vectores de W.
Vamos a encontrar una transformación lineal T: R2  W de tal modo que
las imágenes de la base canónica de R2 sean específicamente w1 y w2.
Definimos T(1, 0) = (1, 2, 0) y T(0, 1) = (0, 3, 1), entonces
245
Unidad 7
T(x, y) = x T(1, 0) + y T(0, 1) = x(1, 2, 0) + y(0, 3, 1) = (x, 2x, 0) + (0, 3y, y) =
(x, 2x + 3y, y) lo cual determina completamente a T.
Ejercicio 2
1. Determina si las siguientes transformaciones son transformaciones
lineales:
a) T: R2  R2 tal que T(x, y) = (x, 1)
b) T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = (x + y, x – y, z)
c) T: M2×2  R tal que T(A) = det (A)
d) T: R2  R2 tal que T(x, y) = (0, 0)
e) T: R2  R2 tal que T(x, y) = (x, y)
2. Considera la transformación lineal T: R2  R2 tal que T(1, 1) = (1, 0) y
T(1, –1) = (0, 1):
Encuentra T(1, 0) y T(0, 2).
3. Sea T: R 2  R 2 una transformación lineal tal que T(1, 0) = (1, 0) y
T(0, 1) = (0, 0)
Determina T(x, y).
7.3. Definición de núcleo de una
transformación lineal. Determinación de núcleos
En esta sección nos ocuparemos de aquellos vectores cuya imagen bajo
una transformación lineal es el vector cero. Este conjunto llamado núcleo está
íntimamente relacionado con la nulidad de una matriz además de que posee,
junto con la imagen, propiedades muy importantes y útiles en el manejo de las
transformaciones lineales.
Definición 7.4. Sea T: V  W una transformación lineal. El conjunto
de vectores de V cuya imagen es el vector cero de W se llama núcleo de la
transformación y se denota nu T, es decir,
nu T = {v en V tales que T(v) = 0}.
246
Álgebralineal
Al núcleo de una transformación también se le llama kernel.
Es importante mencionar que el núcleo de una transformación lineal nunca
es un conjunto vacío, ya que la propiedad i) del teorema 7.2 nos garantiza que
al menos contiene al cero del espacio vectorial que actúa como dominio.
Ejemplo 7
a) Consideremos la transformación lineal T: P2  R tal que T (ax 2 + bx + c) = c
.
Vamos a encontrar su núcleo.
nu T = {p en P2 tales que T(p) = 0} esto implica que si p = ax 2 + bx + c ,
2
entonces T(p) = T(ax + bx + c) = c = 0 lo que nos lleva a concluir que los
vectores de núcleo de T son aquellos polinomios de la forma p = ax 2 + bx ; es
decir, nu T = {p en P2 tales que p = ax 2 + bx }
b) Sea T: V  V tal que T(v) = 0, entonces nu T = V.
A esta transformación lineal se le llama la transformación cero.
c) Sea T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = (x, z); donde nu T = {x en R3 tales
que T(x, y, z) = 0}
En este caso T(x, y, z) = 0 implica que T(x, y, z) = (x, z) = (0, 0), entonces
x = z = 0 de donde nu T = {(0, y, 0) en R3}
d) Sea T: V  V tal que T(v) = v. Esta transformación se llama
transformación identidad.
nu T = {v en V tal que T(v) = 0} esto nos lleva a que T(v) = v = 0, por tanto
nu T = {0}
El siguiente resultado nos será de gran utilidad cuando se manejen las
representaciones matriciales de una transformación lineal; nos proporcionará
una equivalencia entre el núcleo de una transformación lineal y los
correspondientes núcleo y nulidad de una matriz.
247
Unidad 7
Teorema 7.4. Sea T: V  W una transformación lineal, entonces
i) nu T es un subespacio vectorial de V.
ii) Imagen T es un subespacio vectorial de W.
Utilizando las propiedades de las transformaciones lineales, probaremos
este teorema.
i) Sean u, v vectores del núcleo de T, queremos que u + v esté en el núcleo
de T.
Como u, v están en nu T, entonces T(u) = T(v) = 0
T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0, por lo que u + v está en nu T.
Sea c un escalar, veremos si cu está en el núcleo de T.
T(cu) = cT(u) = c(0) = 0, por tanto cu está en nu T
De ambos resultados obtenemos que nu T es un subespacio vectorial de V.
ii) Sean x y w vectores de la imagen de T, queremos que x + w esté en la
imagen de T.
Como x, w son vectores de la imagen, existen u, v vectores de V, tales que
T(u) = x y T(v) = w.
Como T es una transformación lineal, T(u + v) = T(u) + T(v) = x + w, entonces
x + w está en la imagen de T, pues existe u + v ∈V con T(u + v) = x + w
Sea c un escalar, probaremos que cx está en la imagen de T.
Como T es transformación lineal, T(cu) = cT(u) = cx, de donde cx está en
la imagen de T, por los dos resultados imagen de T es un subespacio vectorial
de W.
Como el núcleo y la imagen son subespacios vectoriales, podemos
considerar su dimensión. Veamos la siguiente definición.
Definición 7.5. Sea T: V  W una transformación lineal, entonces a la
dimensión del núcleo de T se le llama nulidad de T, y a la dimensión de la
imagen de T se le llama rango de T y se denotan por
248
Álgebralineal
ν(T) = dim nu T = nulidad
ρ(T) = dim imagen T = rango
Recordemos que para encontrar la dimensión de un espacio vectorial, basta
encontrar una base de ese espacio, y la dimensión del espacio es el número de
vectores de la base.
Vamos a encontrar el rango y la nulidad de algunas transformaciones
lineales conocidas.
Ejemplo 8
a) Sea T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, 0).
nu T = {(x, y, z) en R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, 0) = (0, 0, 0)} = {(0, 0, z) en R3} el
vector (0, 0, 1) es una base para nu T, por lo tanto la nulidad de T = ν(T) =
1.
imagen T = {(x, y, 0) en R3} de donde {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} es una base para
la imagen T de donde el rango de T = ρ(T) = 2.
b) Sea T: R2  R2 tal que T(x,y) = (x + y, x – y)
nu T = {(x, y) tal que T(x, y) = (0, 0)} = {(x, y) tal que (x + y, x – y) = (0, 0)}
x + y = 0
Al resolver el sistema de ecuaciones 
obtenemos que x = 0, y = 0,
x − y = 0
por lo tanto nu T = {(0, 0)} de donde ν(T) = dim nu T = 0
En este caso obtener una base para la imagen de T no resulta tan fácil,
surge entonces la pregunta: ¿no habrá alguna otra manera de obtener el rango
de la transformación? El siguiente resultado nos brinda la respuesta.
Teorema 7.5. Sea T: V  W una transformación lineal donde V es un
espacio vectorial de dimensión n. Entonces la suma de la nulidad y el rango es
igual a la dimensión del dominio.
nulidad + rango = ν(T) + ρ(T) = dim V = n
En el ejemplo anterior observamos que ν(T) = dim nu T = 0 y que la dimensión
de R2 es 2, por lo tanto usando este teorema tenemos que el rangoΤ=ρ(T) = 2.
249
Unidad 7
En cualquier caso, es más fácil encontrar la nulidad de una transformación
lineal y usar el teorema anterior para encontrar el rango de la misma. Veamos
algunos ejemplos.
Ejemplo 9
 x
 
y
x+ y
una transformación lineal.
a) Sea T: R4  R2 tal que T   = 
 z   z + w 
 
 w
Vamos a encontrar su núcleo o kernel.
 x
 
y
 x + y  0
x + y = 0 x = −y
T  = 
=   eso implica que 
y 
, por lo tanto

 z   z + w  0
 z + w = 0  z = −w
 
 w
 −y  −y  0
 −1 
     
 
y
y
0
1
nu T =   =   +   = y   + w
 −w   0   −w 
 0
     
 
 w  0   w
 0
 0
 
 0
 −1 
 
 1
de donde{(–1, 1, 0, 0), (0, 0, –1, 1)} es una base para el núcleo,
por tanto ν(T) = dim nu T = 2.
Como dim R4 = 4 = νρ(T) + ρ(T) = 2 + ρ(T) entonces el rangoΤ=ρ(T) = 2.
 x 
 x 
b) Sea T: R  R tal que T   = x + y  una transformación lineal.


 y  y 


2
3
 x  0
 x 
nu T = T   =  x + y  =  0  lo que implica que x = y = 0, por lo tanto
 y  y   

 0
nu T = {(0, 0)}, entonces ν(T) = dim nu T = 0. Como dim R 2 = 2 = ν(T)
+ ρ (T) = 0 + ρ (T) entonces rangoΤ=ρ (T) = 2.
250
Álgebralineal
 x   x  0
1
0
 x 







Esto nos lleva a que T   =  x + y  =  x  +  y  = x  1  + y  1  de donde
 y  y     y
0
1

 0  
 
 
{(1, 1, 0), (0, 1, 1)} es una base para la imagen de T.
Ejercicio 3
1. Encuentra el núcleo de las siguientes transformaciones lineales:
a) T: R  R2 tal que T(x) = (x, 2x)
 x   x − 2y 
b) T: R2  R2 tal que T   = 

 y   −x + y 
 x
 x
   1 2 3 
c) T: R  R tal que T  y  = 
 y 
 z   4 5 6 z 
 
 
3
2
d) T: R  P3 tal que T(a) = a + ax + ax2 + ax3
2. Encuentra el rango y la nulidad de las transformaciones del ejercicio
anterior.
3. Encuentra una base para la imagen de las transformaciones de los incisos
a), b) y c) del ejercicio 1.
7.4. Transformaciones lineales inyectivas,
suprayectivas y biyectivas. Isomorfismos
En esta sección se estudiarán transformaciones lineales especiales como son
las inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Estos tipos de transformaciones
son importantes porque dan origen a los isomorfismos entre espacios
vectoriales, lo que nos permitirá definir clases de espacios vectoriales que
tienen la misma dimensión.
Definición 7.6. Sea T: V  W una transformación lineal, se llama
transformación inyectiva si satisface que T(u) = T(v) implica que u = v.
251
Unidad 7
Esta definición nos dice que una transformación inyectiva es aquella donde
elementos del dominio distintos tienen imágenes distintas.
Ejemplo 10
 x  x − y 
a) T: R2  R2 tal que T   = 
 ; vamos a probar que es inyectiva.
 y   2x + y 
 x   x − y   x − y2 
x 
 x1 − y1 = x2 − y2
T 1 =T 2 ⇒ 1 1  = 2
 , de donde 
 y2   2 x1 + y1   2 x2 + y2 
 y1 
2 x1 + y1 = 2 x2 + y2
al resolver el sistema de ecuaciones anterior obtenemos x1 = x2 y y1 = y2 por
lo tanto T es inyectiva.
b) T: R2  R2 tal que T(x, y) = (x2, y); vamos a probar que T no es inyectiva.
Para ello basta con exhibir dos elementos distintos que tengan la misma imagen.
Considera los vectores (1, 3) y (–1, 3). Estos son dos vectores diferentes, sin
embargo, sus imágenes T(1, 3) = (12, 3) = (1, 3) y T(–1, 3) = ((–1)2, 3) = (1, 3) son
iguales. Esto nos lleva a decir que T no es inyectiva.
Definición 7.7. Sea T: V  W una transformación lineal, entonces T se
llama transformación suprayectiva si la imagen o rango de T es W, es decir,
que para toda w en W existe una v en V, tal que w = T(v).
Ejemplo 11
 x− y 
a) Sea T: R2  R2 tal que T(x, y) = 
 , vamos a probar que es
 2x + y 
suprayectiva.
Sea (u, v) en R2, queremos encontrar un vector (x, y) en R2 de tal modo que
T(x, y) = (u, v);
 x− y =u
 x − y  u 
T(x, y) = 
 =   de donde 2 x + y = v al resolver el sistema

 2x + y   v 
 x− y 
−2u + v
u+v
,y=
, entonces T(x, y) = 
tenemos que x =
,
3
3
 2x + y 
252
Álgebralineal
pero x – y =
2x + y = 2
u + v −2u + v u + v + 2u − v 3u
−
=
=
=u
3
3
3
3
y
u + v −2u + v 2u + 2v − 2u + v 3v
+
=
= =v
3
3
3
3
donde T(x, y) = (u, v), por lo tanto, T es suprayectiva.
 x− y 
b) Sea T: R2  R2 tal que T(x, y) = 
 , probaremos que T no es
 2x − 2 y 
suprayectiva, para esto necesitamos encontrar un vector de R2 que no sea imagen
de ningún otro vector. Consideremos el vector (0, 1) y supongamos que existe
un vector (x, y) en R2 tal que T(x, y) = (0, 1) eso quiere decir que x – y = 0 y que
2x – 2y = 1 de donde x – y = 0 x – y = ½, lo cual no puede ser, por lo tanto, no
existen (x, y) tales que T(x, y) = (0, 1), de donde podemos asegurar que (0, 1) no
está en la imagen de T, por lo tanto, T no es suprayectiva.
De las dos definiciones anteriores se desprende el siguiente resultado que
nos habla de las dimensiones de los espacios vectoriales con respecto al tipo de
transformación que se puede definir entre ellos.
Teorema 7.6. Sea T: V  W una transformación lineal, entonces
a) Si T es inyectiva dim V ≤ dim W
b) Si T es suprayectiva dim V ≥ dim W
Este resultado nos dice que dependiendo de la dimensión de los espacios
vectoriales, se pueden definir transformaciones inyectivas o suprayectivas.
Ejemplo 12
a) Considera la transformación T: R3  R2 tal que
 x
 x
   1 2 3  
T  y = 
  y
 z   4 5 6  z 
 
 
Observemos que la dimensión de R3 es mayor que la dimensión de R2, por
lo cual T no puede ser inyectiva.
253
Unidad 7
En efecto, consideremos los vectores (–1, 2, 0) y (2, –4, 3) son elementos
distintos, sin embargo, sus imágenes son iguales:
 2
 2
 −1 
 −1 
   1 2 3   3
   1 2 3   3
T 2 = 
  2  =   y T  −4  =  4 5 6   −4  =  6  y, por
 3  
 3 
 0  4 5 6 0  6
 
 
 
 
lo tanto T no es inyectiva.
1 2
 x 
 x
b) Tomemos la transformación T: R  R tal que T   =  3 4   
 y  5 6 y 


como la dimensión de R2 es menor que la dimensión de R3, T no puede ser
suprayectiva.
2
3
Consideremos el vector (0, 0, 1). Si existiera un vector (x, y) tal que
1 2
 x + 2y  0
 x 
 x  
  
T(x, y) = (0, 0, 1) tendríamos que T   =  3 4    =  3 x + 4 y  =  0 
 y 
  y   5x + 6 y   1 
5 6

  
donde x = y = 0 y al mismo tiempo 5x + 6y = 1, lo que sería una contradicción,
por lo tanto, no existe el vector (x, y) y T no es suprayectiva.
c) Consideremos la transformación lineal T: R  R 2 definida como
T(x) = (x, x). Como la dimensión de R es menor que la dimensión de R2,
vamos a probar que T es inyectiva.
Sean u, v elementos de R, tales que T(u) = T(v), como T(u) = (u, u) y
T(v) = (v, v), entonces (u, u) = (v, v), por lo tanto u = v, de donde T es inyectiva.
d) Definamos T: R2  R tal que T(x, y) = x + y. Como la dimensión de
R es mayor que la de R. Probaremos que T es suprayectiva. Consideremos
un vector x de R, definimos en R2 el vector x = (x/2, x/2), entonces
T(x) = T (x/2, x/2) = x/2 + x/2 = x, por tanto, T es suprayectiva.
2
Retomando las definiciones de núcleo, rango y dimensión de una
transformación lineal, vamos a determinar cuándo una transformación lineal
es inyectiva o suprayectiva. Consideremos el siguiente resultado:
254
Álgebralineal
Teorema 7.7. Sea T: V  W una transformación lineal, entonces
i) T es inyectiva, si y sólo si, nu T = {0}
ii) T es suprayectiva, si y sólo si, el rango de T = ρ(T) = dim W.
Al considerar las transformaciones lineales inyectivas y suprayectivas de
los ejemplos anteriores vamos a corroborar el resultado anterior.
Ejemplo 13
a) Demostraremos que la transformación lineal inyectiva T: R2  R2 tal que
 x  x − y 
T =
 , tiene como núcleo al vector cero:
 y   2x + y 
x− y=0
 x   x − y  0
},
entonces
de donde
nu T = {(x, y) tal que T   = 
=
  
2x + y = 0
 y   2x + y   0 
x = y = 0, por tanto, nu T = {(0, 0)}
b) Consideremos ahora la transformación suprayectiva:
 x
 x
 1 2 3  


T: R  R tal que T  y  = 
  y  ; probaremos que su rango es
 z   4 5 6  z 
 
 
2
la dimensión de R .
3
2
Como sabemos que es suprayectiva, entonces imagen T = R2, por lo tanto,
su rango que es la dimensión de su imagen es 2 = dim R2.
Si tomamos en cuenta el resultado anterior podemos preguntarnos, ¿cómo
deberán ser los espacios vectoriales para que se pueda definir entre ellos una
transformación que sea al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva?, ¿cuáles
serán sus propiedades?
Para responder a estas preguntas necesitamos la siguiente definición.
255
Unidad 7
Definición 7.8. Sea T: V  W una transformación lineal, entonces
i) T se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
ii) T se llama isomorfismo si es biyectiva; se dice que V y W son isomorfos
entre sí.
Esta definición describe una manera de concebir diferentes espacios
vectoriales como si fueran “esencialmente iguales”, por lo menos con respecto
a las operaciones de suma vectorial y multiplicación por un escalar.
Ejemplo 14
a) Sea P2 el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual
a
 
a 2; definimos la transformación lineal T: R3  P2 tal que T  b  = a + bx + cx 2 .
c
 
Vamos a probar que es un isomorfismo usando el teorema 7.4.
a
i) nu T = {(a, b, c) en R tales que T  b  = a + bx + cx 2 = 0} eso implica que
c
 
a = b = c = 0, de donde nu T = {(0, 0, 0)}, por lo tanto, es inyectiva.
3
ii) Como 3 = dim R3 = ν(T) + ρ(T) = 0 + ρ(T) = ρ(T) y dim P2 = 3 = ρ(T),
entonces T es suprayectiva.
De acuerdo con la definición anterior y con i) y ii) podemos asegurar que
T es un isomorfismo.
Si recordamos el teorema 7.3, éste nos habla de las dimensiones de los
espacios vectoriales relacionados con el tipo de transformaciones que se
pueden definir entre ellos. ¿Qué pasará con los isomorfismos? Veamos el
siguiente resultado:
256
Álgebralineal
Teorema 7.8. Sea T: V  W un isomorfismo, entonces dim V = dim W.
Ejemplo 15
En el ejemplo 14 se definió un isomorfismo entre los espacios vectoriales
R3 y el espacio de los polinomios de grado menor o igual a 2. Esto nos lleva,
según el teorema anterior, a que la dimensión de P2 es 3 ya que es la dimensión
del espacio vectorial R3.
a) Consideremos el espacio vectorial M2×2. Como su dimensión es 4, por lo
tanto, es isomorfo al espacio vectorial R4.
Este resultado, junto con el siguiente teorema, nos indica la similitud entre
los espacios vectoriales isomorfos, hasta el grado de poderlos considerar como
si fueran el mismo, ya que se comportan de la misma forma como vectores,
aun cuando son entidades matemáticas distintas.
Teorema 7.9. Sea T: V  W un isomorfismo, si {v1, v2, ..., vn} es una base de
V, entonces {T(v1), T(v2), ..., T(vn)} es una base de W.
Ejemplo 16
 x  x − y 
Consideremos el isomorfismo T: R2  R2 tal que T   = 
.
 y   2x + y 
Sea {(1, 0), (0, 1)} una base para R2, vamos a obtener las imágenes de cada
uno de los vectores bajo T.
 1   1 − 0   1   0   0 − 1   −1
T  = 
 =   T  = 
 =   , entonces vamos a probar
 0   2(1) + 0   2   1   2(0) + 1  1 
que {(1, 2), (–1, 1)} es también una base para R2.
Tomemos una combinación lineal igual a cero, a(1, 2) + b(–1, 1) = (0, 0),
entonces
257
 +


Unidad 7
a – b = 0 y 2a + b = 0 de donde a = b = 0, por lo tanto, {(1, 2), (–1, 1)} es
linealmente independiente.
Sea (x, y) un vector de R2, si definimos a =
tenemos que
a (1, 2) + b(−1, 1) =
2x + 2 y   − y + 2x
,
+
3
3  
x+ y
y − 2x
, b=
, entonces
3
3
x+ y
y − 2x
x+ y
(1, 2) +
( −1, 1) = 
,
3
3
 3
y − 2x 
 =(x, y)
3 
2x + 2 y   − +
+
3  
por lo tanto, genera a R2 de donde {(1, 2), (–1, 1)} es base para R2.
Ejercicio 4
1. Di si se puede definir una transformación lineal inyectiva, suprayectiva
o isomorfismo entre cada una de las siguientes parejas de espacios vectoriales
y da la razón:
a) De R a R2
b) De R3 a R
c) De R a V = {3x | x ∈ R}
2. Di si las siguientes transformaciones son inyectivas, suprayectivas o
isomorfismos:
2
a) T: P2  R tal que T (ax + bx + c) = c
b) T: R  R2 tal que T(x) = (x, 2x)
 x   x − 2y 
c) T: R2  R2 tal que T   = 

 y   −x + y 
3. Prueba que la transformación lineal T: R3  R3 definida por
 x x + y + z
  

T  y  =  2 z − x  es un isomorfismo y encuentra otra base para R3 aplicando
 z   2y − z 
  

la transformación a la base canónica.
258
−



Álgebralineal
7.5. El espacio vectorial de las
transformaciones lineales. Composición de
transformaciones lineales. Transformación lineal
inversa
En esta sección nos dedicaremos al manejo de las transformaciones
lineales como elementos de un espacio vectorial y con ello construiremos las
transformaciones lineales inversas y veremos cuáles son los requisitos para que
una transformación lineal tenga inversa.
Primero probaremos que el conjunto de todas las transformaciones lineales
entre dos espacios vectoriales es, en sí mismo, un espacio vectorial.
a) Sean T1:V  W y T2:V  W dos transformaciones lineales, definamos
la transformación [T1 + T2 ] :V  W tal que si v es un vector de V, entonces
[T1 + T2 ](v) = T1 (v) + T2 (v); vamos a probar que [T1 + T2 ] :V  W es una
transformación lineal.
i) Sean u, v vectores de V, usando la definición de T1 + T2 tenemos que
[T1 + T2 ] (u + v) = T1 (u + v) + T2 (u + v)
Como T1 y T2 son transformaciones lineales:
T1 (u + v) + T2 (u + v) = [T1 (u) + T1 (v)] + [T2 (u) + T2 (v)]
Por otro lado, tenemos que usando la definición de T1 + T2 en los vectores u y v
[T1 + T2 ](u) + [T1 + T2 ](v) = [T1 (u) + T2 (u)] + [T1 (v) + T2 (v)]
por lo tanto [T1 + T2 ] (u + v) = [T1 + T2 ](u) + [T1 + T2 ](v)
ii) Sea c un escalar, por la definición de T1 + T2 tenemos
[T1 + T2 ](cv) = T1 (cv) + T2 (cv)
Como T1 y T2 son transformaciones lineales
T1 (cv) + T2 (cv) = cT1 (v) + cT2 (v)
259
Unidad 7
Por otro lado, al usar la definición de T1 + T2 tenemos que
c[T1 + T2 ](v) = c[T1 (v) + T2 (v)]
Usando la propiedad distributiva de W:
c[T1 (v) + T2 (v)] = cT1 (v) + cT2 (v)
por lo tanto [T1 + T2 ](cv) = c[T1 + T2 ](v)
de i) y ii) podemos decir que [T1 + T2 ] :V  W es una transformación
lineal.
b) Sea c un escalar, definimos la transformación [cT]: V  W
[cT](u) = c[T(u)].
probaremos que [cT] es una transformación lineal.
i) Sean u, v vectores de V, usando la definición de cT tenemos que
[cT](u + v) = c[T(u + v)]
Como T es una transformación lineal:
c[T(u + v)] = c[T(u) + T(v)]
usando la propiedad distributiva en W:
c[T(u) + T(v)] = cT(u) + cT(v)
Por otro lado tenemos que:
[cT](u) + [cT](v) = c[T(u)] + c[T(v)], por la definición de cT,
de donde [cT](u + v) = [cT](u) + [cT](v)
ii) Sea a un escalar, por la definición de cT tenemos:
[cT](au) = c[T(au)]
Como T es una transformación lineal entonces:
c[T(au)] = c[aT(u)] = caT(u)
260
tal que
Álgebralineal
Usando la propiedad conmutativa de R:
caT(u) = (ac)T(u) = a[cT](u)
de i) y ii) concluimos que [cT]:V  W es una transformación lineal.
De a) y b) podemos concluir que el conjunto de las transformaciones lineales
de V en W es un espacio vectorial.
Ahora definiremos una nueva operación entre transformaciones lineales que
se llama composición de transformaciones que es también una transformación
lineal.
Definición 7.9. Sean T: V  W y S: W  U dos transformaciones
lineales, definimos la composición de T y S como S  T : V  U donde
S  T (v) = S[T(v)]
Probaremos que S  T es una transformación lineal.
Sean u, v vectores de V, como T y S son transformaciones lineales, entonces
i) S  T (u + v) = S[T(u + v)] = S[T(u) + T(v)] = S[T(u)] + S[T(v)] =
S  T (u) + S  T (v).
ii) S  T (cv) = S[T(cv)] = S[cT(v)] = cS[T(v)] = c S  T (v)
de i) y ii) podemos asegurar que S  T es una transformación lineal.
Ejemplo 17
Sean T: R4  R3 y S: R3  R2 dos transformaciones lineales definidas por:
 x
 x
   x + 2y 
y 
 2x + y 


T
= x − z  y S  y  = 
 , encontrar la transformación lineal
 z  
3y + 4z 




   w + 2 z 
z
 w
ST .
S  T : R4  R2 es tal que
261
Unidad 7
  x 
 x
 x + 2y 
  
 
y
y 

  2( x + 2 y ) + ( x − z )   3 x + 4 y − z 



ST
=S T
= S x − z  = 

=
  z 
z
3( x − z ) + 4( w + 2 z )   3 x + 5 z + 4 w 



+
w
z
2
   
 


  w  
 w
Vamos ahora a dar una definición que nos permita encontrar transformaciones
lineales cuya composición sea la transformación lineal identidad.
Definición 7.10. Sea T: V  V una transformación lineal, entonces T se
llama operador lineal.
Ejemplo 18
a) La transformación lineal T: R2  R2 tal que T(x, y) = (x + y, x – y) es un
operador lineal.
b) La transformación lineal I: V  V tal que I(v) = v se llama operador
lineal identidad.
Consideremos ahora los siguientes operadores lineales especiales.
Definición 7.11. Sea T: V  V un operador lineal, entonces T se llama
invertible o no singular si existe otro operador lineal S: V  V tal que S  T
sea el operador lineal identidad I, es decir, S  T = T  S = I. Al operador lineal
S se le llama inversa de T y se le denota T–1.
Ejemplo 19
 x   2x 
  

Sea T: R  R un operador lineal definido por T  y  =  x + 2 y  y sea
 z   x + 3z 
  

3
262
3
Álgebralineal
1 / 2( x )
 x 




S: R  R otro operador lineal definido por S y = −1 / 4( x) + 1 / 2( y )  ,
  

 z   −1 / 6( x) + 1 / 3( z ) 
  

entonces
3
3
1 / 2( 2 x )
 x
  x
 2x  
 x
 
 
  

 
S  T  y  = S  x + 2 y  =  −1 / 4(2 x) + 1 / 2( x + 2 y )  =  y  = I R3  y 
 
z
 x + 3 z   −1 / 6(2 x) + 1 / 3( x + 3 z )   z 
 
  

 
z
1 / 2( x )
2(1 / 2 x)
 x

 
  x
 x
 

 
  
 
T  S  y  = T  −1 / 4( x) + 1 / 2( y )  = 1 / 2 x + 2(−1 / 4 x + 1 / 2 y )  =  y  = I R3  y 
z
 −1 / 6( x) + 1 / 3( z )   1 / 2 x + 3(−1 / 6 x + 1 / 3 z )   z 
z
 

 
  
 
Por lo que T es invertible y S = T–1.
Surgen las preguntas: ¿cualquier operador será invertible?; si no, ¿qué
condiciones tiene que cumplir una transformación lineal para ser invertible?
Consideremos el siguiente teorema.
Teorema 7.10. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n. Sea
T: V  V un operador lineal, entonces T es invertible, si y sólo si, T es un
isomorfismo.
Ejemplo 20
 x   2x + 2 y 
  

Sea T: R3  R3 un operador lineal definido por T  y  =  x + y  vamos
 z  x + y + z
  

a probar que no es un isomorfismo. Consideremos los siguientes vectores de R3
u = (1, 0, 0) y v = (0, 1, 0)
0  2
1  2
    T 1 = 1
T  0  =  1  y     esto indica que T no es inyectiva, por lo tanto,
0 1
0 1
   
   
no es un isomorfismo, lo que implica que no es invertible.
263
Unidad 7
En la siguiente unidad encontraremos un método para encontrar la inversa
de una transformación lineal a través de su matriz asociada.
Ejercicio 5
 x  x + y 
  

1. Di si T: R  R definido por T  y  =  2 x + z  es un isomorfismo.
 z   3x + y 
  

3
3
2. Encuentra S o T si sabemos que T: R2  R2 y S: R2  R2 son dos
 x   x − 2y 
 x   2x 
transformaciones lineales definidas por T   = 
 y S =

 y   2x + 3y 
 y  x − y
 x   x − 2y 
3. Determina si T: R2  R2 definida por T   = 
 es invertible.
 y   2x + 3y 
Ejercicios resueltos
1. Encuentra la imagen de la transformación T: R2  R3 tal que T(x, y) =
(x, 0, y)
La imagen de T, T(R2) = {(a, b, c) en R3 tales que existe (x, y) en R2 de modo
que T(x, y) = (a, b, c)} eso quiere decir que T(x, y) = (x, 0, y) = (a, b, c) donde
x = a, b = 0, c = y;
por lo tanto, T(R2) = {(a, 0, c) en R3}
2. Considera T: P2  P2 una transformación lineal. Si sabemos que
T(1) = x; T(x) = 1 + x;
T(x2) = 1 + x + x2, encuentra T(2 – 6x + x2).
Como {1, x, x2} forman una base para P2, entonces 2 – 6x + x2 la podemos
escribir como 2 – 6x + x2 = 1(x2) –6(x) + 2(1), por lo tanto, la imagen se obtiene
usando las imágenes de los elementos de la base con respecto a T.
T(2 – 6x + x2) = 1T(x2) –6T(x) + 2T(1) = 1(1 + x + x2) – 6(1 + x) + 2 (x)
= x – 3x – 5.
2
264
Álgebralineal
3. Sea T: R2  R2 una transformación lineal. Si sabemos que T(1, 0) = (2, 4)
y T(0, 1) = (1, 0), encuentra una expresión para T(x, y).
Como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), entonces
T(x, y) = xT(1, 0) + yT(0, 1) = x(2, 4) + y(1, 0) = (2x + y, 4x)
4. Encuentra el núcleo de la transformación T: R2  R tal que T(x, y) = x+y.
nu T = {(x, y) en R2 tal que T(x, y) = 0} = {(x, y) tal que T(x, y) = x + y = 0},
esto implica que x = –y, por lo tanto, nu T = {(–y, y) en R2}
5. Encuentra la nulidad y el rango de la siguiente transformación lineal, así
 x 
 x 

2
3 T
como una base para el núcleo y para la imagen. T: R  R ,   =  2 x + 3 y  .
 y  y 


 x   0 
x



  
nu T = {(x, y) en R2 tal que T   =  2 x + 3 y  =  0   , entonces x = 0 = y
y
   y   
de donde

  0 
nu T = {(0, 0, 0)}, esto nos lleva a que ν(T) = 0.
Como dim R2 = 2 = ν(Τ) + ρ(Τ) = 0 + ρ(Τ) =ρ(Τ), entonces ρ(T) = 2.
Como el rango de T es 2 vamos a buscar una base para su imagen.
 x   x 0
1
0
 x 
    
 
 
T   =  2 x + 3 y  =  2 x  +  3 y  = x  2  + y  3  de donde {(1, 2, 0), (0, 3, 1)}
y
   y     y
0
1

 0  
 
 
es una base para la imagen de T.
6. Prueba que la transformación T: R2  R2 tal que T(x, y) = (–x, –y) es un
isomorfismo.
Vamos a probar que es inyectiva. Sean (x, y) y (a, b) en R2 tales que T(x, y)
= T(a, b), entonces (–x, –y) = (–a, –b) de donde x = a, y = b, por lo tanto,
T es inyectiva.
Para ver que es suprayectiva tomemos (x, y) en R2, queremos encontrar (a,
b) en R2 de tal modo que (x, y) = T(a, b).
265
Unidad 7
Definimos a = –x, b = –y, entonces T(a, b) = T(–x, –y) = (–(–x), –(–y))=
(x, y), por lo tanto, T es suprayectiva y un isomorfismo.
7. Sean T: R2  R3 y S: R3  R2 dos transformaciones lineales definidas
por T(x, y) = (x, y, y) y S(x, y, z) = (y, z). Encuentra las transformaciones
lineales S o T y T o S.
[S o T](x, y) = S[T(x, y)] = S(x, y, y) = (y, y)
[T o S](x, y, z) = T[S(x, y, z)] = T(y, z) = (y, z, z)
8. Considera la transformación lineal definida por T(x, y) = (2x, 0). ¿Es
invertible?
nu T = {(x, y) tal que T(x, y) = (2x, 0) = (0, 0)}, entonces x = 0 de donde
nu T = {(0, y)}, por lo tanto, ν(T) = 1 y T no es inyectiva.
Eso nos dice que T no es invertible pues no es un isomorfismo.
Ejercicios propuestos
1. Encuentra el dominio y la imagen de la siguiente transformación:
T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = (x, –x)
2. Di si la transformación T: R2  R tal que T(x, y) = x + y es una
transformación lineal.
3. Considera la transformación lineal T: R3  R2 y las imágenes de la base
canónica bajo T:
T(1, 0, 0) = (1, 0); T(0, 1, 0) = (0, 1); T(0, 0, 1) = (1, 0).
Encuentra una expresión para T(x, y, z).
4. Prueba que T: R2  R tal que T(x, y) = x + y es suprayectiva.
5. Prueba que T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = (x + y, x – y, 2x) es un
isomorfismo.
266
Álgebralineal
6. Encuentra el núcleo de la transformación
T: P3  P2 tal que T(a + bx + cx2 + dx3) = a + bx + cx2
7. Encuentra el rango y la nulidad de la transformación lineal T: R4  R3
 x
  x+ y
y
definida por T   =  z + w 
z 
   x + z 
 w
8. Considera las siguientes transformaciones lineales:
T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = (x, y, z)
S: R3  R3 tal que S(x, y, z) = (0, x, 0)
Encuentra S o T y T o S.
267
Unidad 7
Autoevaluación
1. Si T: V  W es una tranformación lineal, la imagen de T es un
subconjunto de:
a) V
b) W
c) R
d) T(V)
2. Es una transformación inyectiva:
a) T: R  {0} tal que T(x) = 0
b) T: P3  R tal que T(a + bx + cx2 + dx3) = a
c) T: R  R2 tal que T(x) = (x, 3x)
d) T: R2  R tal que T(x, y) = 2x – y
3. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) Una transformación lineal T: R2  R no puede ser un isomorfismo.
b) Si T: V  W es inyectiva, dim V > dim W.
c) Si T: V  W es un isomorfismo, dim V = dim W.
4. Un isomorfismo es una transformación lineal:
a) Inyectiva.
b) Suprayectiva.
c) Lineal.
d) Inyectiva y suprayectiva.
5. Una transformación lineal T: V  W es inyectiva si:
a)
b)
c)
d)
nu T = {0}
nu T = dim V
Imagen T = W
dim V = 0
6. El núcleo de una transformación T: V  W se define como:
a)
b)
c)
d)
268
nu T = {v en V tales T(v) = 1}
nu T = {v en V tales T(v) = 0}
nu T = {v en W tales T(v) = 0}
nu T = {v en V tales T(v) = v}
Álgebralineal
7. Si T: V  W es una transformación lineal, entonces:
a) dim V = dim W
b) dim V = ν(Τ)+ρ(Τ)
c) dim V = ν(Τ)−ρ(Τ)
d) dim V =ρ(Τ)
8.La composición de transformaciones lineales S  T (u) está definida por:
a) S(u) + T(u)
b) S(u)T(u)
c) S[T(u)]
d) T[S(u)]
9. Que una transformación lineal sea invertible significa que:
a) Tiene inversa.
b) Es inyectiva.
c) Es un operador lineal.
d) Es suprayectiva.
10. Ser invertible es equivalente a ser:
a) Inyectiva.
b) Suprayectiva.
c) Transformación lineal.
d) Isomorfismo.
269
Álgebralineal
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1.
a) No, porque {1, 2, 3} no es un espacio vectorial (No tiene el cero).
b) Sí es, porque es función entre espacios vectoriales.
2.
a) Dominio = R2, Imagen T = R2
b) Dominio = R3, Imagen T = {2x tal que x esté en R}
c) Dominio = Mm×n, Imagen T = Mn×m
3.
a) (–2, 3, –1)
b) (3, 0, –3)
c) (–6, –2, 8)
d) (2, –6, 4)
Ejercicio 2
1.
a) No es.
b) Sí es.
c) No es.
d) Sí es.
e) Sí es.
2. T(1, 0) = (1/2 , 1/2); T(0, 2) = (1, –1)
3. T(x, y) = (x, 0)
Ejercicio 3
1.
a)
b)
c)
d)
nu T = {0}
nu T = {(0, 0)}
nu T = {(x, –2x, x) | x ∈R}
nu T = {0}
271
Unidad 7
2.
a) nulidad = 0;
b) nulidad = 0;
c) nulidad = 1;
d) nulidad = 0;
rango = 1
rango = 2
rango = 2
rango = 1
3.
a) {(1, 2)} es base para la imagen
b) {(1, –1), (–2, 1)}
c) {(1, 0), (0, 1)}
Ejercicio 4
1.
a) Inyectiva ya que dim R < dim R2
b) Suprayectiva ya que dim R3 > dim R
c) Isomorfismo ya que dim R = dim {3x}
2.
a) Suprayectiva.
b) Inyectiva.
c) Isomorfismo.
3.
nu T = {(0, 0, 0)}, por lo tanto, T es un isomorfismo.
{(1, –1, 0), (1, 0, 2), (1, 2, –1)} es una base para R3.
Ejercicio 5
1.
nu T = {(0, 0, 0)}, por lo tanto, es inyectiva.
dim R3 = 3 = ν(Τ)+ρ(Τ)=0+ρ(Τ),por lo tanto, es suprayectiva, donde T
es un isomorfismo.
 x   2x − 4 y 
2. S  T   = 

 y   −x − 5y 
3. nu T = {(0, 0)}, por lo tanto, es inyectiva e isomorfismo, donde T es
invertible.
272
Álgebralineal
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. Dominio = R2 , Imagen = {(x, –x)}
2. Sí es lineal.
3. T(x, y, z) = (x + z, y)
4. Sea a en R, entonces (a, 0) está en R2 y además T(a, 0) = a+ 0 = a, por lo
tanto T es suprayectiva.
5.
Inyectiva: T(a, b, c) = T(x, y, z), entonces (a + b, a – b, 2c) = (x + y, x – y, 2z)
de donde a = x, b = y, c = z, por lo tanto, T es inyectiva.
a+b
a −b
c
;y =
;z = ,
Suprayectiva: Sea (a, b, c) en R3, definimos x =
2
2
2
entonces T(x, y, z) = (a, b, c), por lo tanto, es suprayectiva y un isomorfismo
6. nu T = {dx3}
7. rango = 3, nulidad = 1
 x
0 0
 x
 x  0








8. S  T  y  = S  y  =  x  ; T  S  y  = T  x  =  x 
z
0 0
z
 z  0
 
   
 
   
Respuestas a la autoevaluación
1. b)
2. c)
3.
a) V
b) F
c) V
4. d)
5. a)
6. b)
7. b)
8. c)
9. a)
10. d)
273