Preliminares - Escuela de Matemáticas UIS

Capítulo 1
Preliminares
1.1.
Lógica
La lógica es una rama del conocimiento que trata los métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas,
con el fin de determinar si un argumento dado es válido.
Al leer cada uno de los siguientes enunciados:
X Está lloviendo.
X Bogotá es la capital de Colombia.
X El sol gira alrededor de la tierra.
X La UIS es una de las mejores universidades del país.
X Estamos al siglo XXI.
X Hace calor.
Quizás se produce en nosotros una sensación de aceptación o rechazo, ya que puedo afirmar que el enunciado es verdadero o falsos pero no las dos cosas a la vez. Este tipo de enunciados son básicos en la lógica y
son llamados proposiciones.
Definición 1.1.1. Una proposición es un enunciado declarativo del cual se puede afirmar que es verdadero o
que es falso pero no ambos a la vez.
La veracidad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad.
Ahora pensemos que mediante los conectivos lógicos ligamos algunas proposiciones. Por ejemplo:
∗ El libro es azul o es verde.
∗ Está lloviendo y hace calor.
∗ Si hace calor entonces el sol gira alrededor de la tierra.
2
1. Preliminares
∗ x + 5 = 7 si y sólo sí x = 2.
Definición 1.1.2. Las proposiciones compuestas son aquellas que se forman por unión de proposiciones simples
mediante los conectivos lógicos.
Enuncia dos ejemplos de proposiciones compuestas.
Sean las proposiciones simples:
“p : El tiempo es agradable”,
“q : Hace calor”.
Escribe las siguientes proposiciones compuestas:
p ∧ q; p ∨ q; p ⇒ q; p ⇐⇒ q.
1.1.1.
Valor de verdad para las proposiciones compuestas
¿Cómo decidir el valor de verdad para las proposiciones compuestas? Pensando en ello, vamos a plantear
algunos criterios los cuales posiblemente no se ajusten a todas las situaciones cotidianas.
Conjunción (p ∧ q): La conjunción es verdadera so- Disyunción (p∨q) : La disyunción es verdadera cuanlamente si ambas proposiciones son verdaderas .
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
do ambas proposiciones o una de ellas es verdadera.
p∧q
v
f
f
f
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p∨q
v
v
v
f
Implicación. De una verdad no se deben concluir Doble implicación o equivalencia (p ⇐⇒ q): La
cosas falsas, la Implicación entre dos proposiciones equivalencia entre dos proposiciones es verdadera
es falsa, únicamente cuando una proposición ver- cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.
dadera implica una falsa.
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p =⇒ q
v
f
v
v
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p ⇐⇒ q
v
f
f
v
Nótese que
p ⇐⇒ q es igual a
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Definiciones: Recíproca y contrarecíproca. Se dice que:
La Recíproca de la implicación de (p =⇒ q) es (q =⇒ p) .
La contrarecíproca de la implicación (p =⇒ q) es (∼ q =⇒∼ p) siendo desde luego (∼ q) la negación de
la proposición q.
Por ejemplo, al observar una figura geométrica se pueden presentar las siguientes proposiciones simples las
cuales pueden ser verdaderas o falsas:
[D.E. González & G. Arenas
1.1. Lógica
3
r: es un cuadrado.
s: es un polígono de lados iguales.
De aquí se puede escribir una implicación como:
r ⇒ s : “si es un cuadrado entonces es un polígono de lados iguales”.
La recíproca de r ⇒ s es s ⇒ r.
s ⇒ r : “si es un polígono de lados iguales entonces es un cuadrado”.
La contrarecíproca de r ⇒ s es ∼ s ⇒∼ r.
∼ s ⇒∼ r: “si no es un polígono de lados iguales entonces no es un cuadrado”.
Elaboremos una tabla de verdad para comparar (p ⇒ q) y su contrarecíproca: (∼ q ⇒∼ p) .
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
p⇒q
v
f
v
v
∼q
f
v
f
v
∼p
f
f
v
v
∼ q ⇒∼ p
v
f
v
v
¿Observas alguna relación entre p ⇒ q con respecto a ∼ q ⇒∼ p?
De la tabla anterior se concluye que (p ⇒ q) es equivalente en todos los casos con (∼ q ⇒∼ p) .
Elabora una tabla en la que compares (p ⇒ q) con su recíproca.
¿Qué discrepancia existe en este caso?
1.1.2.
Métodos de investigación científica
El investigador en ciencias se basa en métodos técnicos y lógicos para verificar sus conclusiones y concluir
algunos (o muchos) resultados o leyes que rigen a determinada ciencia.
Métodos técnicos: entendemos por estos, los utilizados al observar y experimentar, los podemos llamar
también métodos empíricos.
Métodos Lógicos: Son aquellos que nos permiten hacer deducciones estableciendo raciocinios lógicos, admisibles y demostrables.
Dentro de los métodos lógicos se encuentran el razonamiento inductivo y deductivo.
Ante la construcción de nuevas teorías (o replanteamiento de las mismas), especialmente en matemáticas
suele ocurrir lo siguiente:
1. Se establecen algunas definiciones. Por ejemplo, ¿Qué es un triángulo?, se puede afirmar que un
triangulo es “el poligono de tres lados incluidos todos los puntos que se encuentran dentro de él” o que
el triángulo es “el poligono de tres lados sin incluir los puntos que encierran sus lados”. Nos ponemos
de acuerdo en su significado.
Cálculo diferencial: notas de clase]
4
1. Preliminares
2. Se establecen los axiomas (postulados). Los axiomas o también llamados postulados son proposiciones que asumimos como verdades aceptandolos sin demostración alguna.
3. Se deducen proposiciones (Teoremas) a partir de las definiciones, los axiomas y los postulados. A
las proposiciones nuevas que se puedan verificar mediante el empleo de la lógica, se suelen llamar
teoremas y decimos que son demostrables. Cuando se habla de demostraciones, suelen aparecer adicionalmente los lemas (proposiciones que se deducen a partir de un teorema), los corolarios (proposiciones que se deducen a partir de un lema) y las conjeturas (proposiciones que aparentemente son
verdaderas pero no se han podido demostrar).
1.1.3.
Métodos para demostrar o refutar
Demostración directa
Este tipo de demostración suele estár asociado con la implicación p ⇒ q para el caso decimos que p es
la hipótesis y si partiendo de ella logramos mediante razonamientos lógicos deducir la tesis q decimos que
hemos realizado la demostración.
Ejemplo 1.1.3. “La suma de dos números pares es un número par”.
Demostración. Sean x, y números pares, entonces existe a, b números enteros tales que
x = 2a ∧ y = 2b
luego
x + y = 2a + 2b,
(factorización).
x + y = 2(a + b),
Como (a + b) es un número entero entonces se tiene que (x + y) es número par (al dividir x + y en 2 da como
resultado un número entero, para el caso sería a + b).
X
Ejemplo 1.1.4. Cualesquier real multiplicado por cero es igual a cero.
Demostración. Sea a un número real.
a·0=a·0
a · (0 + 0) = a · 0
a·0+a·0=a·0
a · 0 + a · 0 + (−a · 0) = a · 0 + (−a · 0)
a · 0 + (a · 0 + (−a · 0)) = 0
a·0+0 = 0
a · 0 = 0.
X
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1.1. Lógica
5
Demostración indirecta (método de reducción al absurdo).
Demostrar que p es válida, es equivalente a demostrar que ∼ p no es válida (si se cumple p, lo contrario no
se debe cumplir).
El método de reducción al absurdo consiste en suponer que la contraria se cumple y mediante procedimientos
lógicos llegar a una contradicción con ideas fundamentales, es decir ∼ p es algo falso, luego p debe ser verdad.
Ejemplo 1.1.5. Demostremos por reducción al absurdo que “no existe un número primo que sea el mayor de
todos”.
Demostración. Negando la tesis diríamos que “existe un número primo que es el mayor de todos los números
primos”. Esto equivale a decir que:
“Existe un numero primo n que es el mayor de todos los números primos”
Si hacemos el producto
1 · 2 · 3 · 5 · 7 · . . . · n > n,
ya que la multiplicación de varios factores es mayor que uno de ellos (en Z+ ).
Ahora si sumamos una unidad en el lado izquierdo, la desigualdad se mantiene, es decir
(1 · 2 · 3 · 5 · 7 · . . . · n) + 1 > n.
Por otra parte (1 · 2 · 3 · 5 · 7 · . . . · n) + 1 no es divisible por ninguno de los primos menores o iguales a n, dado
que siempre sobraría 1. De esto se deducen dos situaciones:
• si (1 · 2 · 3 · 5 · 7 · . . . · n) + 1 es primo, contradicción con la negación de la tesis,
• si (1 · 2 · 3 · 5 · 7 · . . . · n) + 1 es divisible por algún número primo más grande que n (Contradicción).
X
Demostración por contrarrecíproca
En lugar de demostrar la implicación p ⇒ q, simplemente, demostramos una proposición lógicamente equivalente que es ∼ q ⇒∼ p.
Recuerda que ( p ⇒ q) ⇐⇒ (∼ q ⇒∼ p) .
Ejemplo 1.1.6. “En el conjunto de los naturales, si el cuadrado de un número natural es impar entonces el
número es impar”.
Demostración. La contrarecíproca de esta esta proposición es:
Si un número es par entonces su cuadrado es par.
(Recuerda que en el conjunto de los naturales, la negación de ser par es equivalente a ser impar).
Sea x un número natural par entonces existe un r que pertenece a los naturales tal que:
x = 2r
Cálculo diferencial: notas de clase]
por hipótesis,
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1. Preliminares
x2 = (2r)2
elevando al cuadrado,
= 4r 2
propiedades de la potenciación,
= 2(2r 2 )
factorización.
Luego x2 es un número par.
X
Este método es muy parecido a la demostración directa, solo hay que tener en cuenta la equivalencia siguiente
( p ⇒ q) ⇐⇒ (∼ q ⇒∼ p) .
Refutación por contraejemplo
Si usted encuentra una situación para la cual la proposición p no se cumple, se dice que esa proposición es
falsa y se puede refutar con un contraejemplo.
Ejemplo 1.1.7. Si n es un entero positivo, 22n − 1 es un número primo.
Aunque la situación cumple en algunos casos, si hacemos n = 2 tenemos que la proposición no cumple porque
22·2 − 1 = 15, y este no es un número primo.
Ejemplo 1.1.8. Sean a, b números reales,
(a + b)2 6= a2 + b2 .
Esta proposición es falsa porque si a = 1 y b = 0 la igualdad se cumple. El enunciado propone diferencia sin
discriminación alguna en R.
1.2.
Conjuntos
Inicialmente se introducen algunas definiciones importantes:
Definición 1.2.1. Un conjunto es una colección de objetos, (llamados sus elementos).
Existen dos forma para escribir los conjuntos: extensión, por el cual determinamos el conjunto listando todos
sus elementos; comprensión o abstracción, por el cual es posible determinar un conjunto identificando
sus elementos mediante una propiedad común a ellos. Escribimos un conjunto por extensión cuando éste
tiene un número reducido de elementos, y por comprensión cuando lo anterior no es fácil, o sde vuelve muy
extenso.
Definición 1.2.2. El conjunto vacío es aquel que carece de elementos, y los denotamos por ∅.
Para conjuntos A y B cualesquiera se tiene:
∅ ⊂ A ⊂ U.
Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.
A ⊂ A.
A = B si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A.
[D.E. González & G. Arenas
1.2. Conjuntos
7
Definición 1.2.3. La cardinalidad de un conjunto finito A es el número entero de elementos del conjunto. Para
cualquier conjunto finito A, denotamos su cardinalidad por #A.
Dado un conjunto A cualquiera, la familia de conjuntos cuyos elementos son todos los posibles subconjuntos
de A, se llama el conjunto potencia de A, y se denota por P (A). La cardinalidad del conjunto potencias de A
es 2n , (#P (A) = 2n ) donde n = #A.
1.2.1.
Operaciones entre conjuntos
Intersección entre conjuntos:
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Unión entre conjuntos:
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Diferencia entre conjuntos:
A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈
/ B} .
Diferencia simétrica entre conjuntos:
A △ B = {x ∈ U : x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈
/ (A ∩ B)} .
Complemento de A:
A′ = {x ∈ U : x ∈
/ A} .
Las siguientes propiedades se cumplen para la unión de conjuntos. Recordemos que U representa el conjunto
universal.
A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ ∅ = A.
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) .
A ∪ U = U.
Las siguientes propiedades se cumplen para la intersección de conjuntos.
A ∩ B = B ∩ A.
A ∩ ∅ = ∅.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) .
A ∩ U = A.
Las siguientes propiedades se cumplen para las operaciones de unión e intersección de conjuntos.
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) .
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A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .
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1. Preliminares
Las siguientes propiedades, son llamadas Leyes de De Morgan.
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′ .
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ .
A continuación se presentan otras propiedades sobre las operaciones entre conjuntos.
A′ = U − A.
A △ B = B △ A.
A △ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) .
Si A ⊂ B, entonces A △ B = B − A.
A △ B = (A − B) ∪ (B − A) .
(A △ B) △ C = A △ (B △ C) .
Si A ∩ B = ∅, entonces A △ B = A ∪ B.
A ∪ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C) .
La siguiente propiedad está relacionada con la cardinalidad de conjuntos.
# (A ∪ B) = # (A) + # (B) − # (A ∩ B)
(∗)
Ejercicios.
1. Responder falso ó verdadero, justificando en forma clara y precisa cada respuesta.
a) {2, 3} ∈ P ({1, 2, 3, 4}) .
c) {∅} ∈ {{1, 2, 3, 4} , ∅} .
b) {∅} ⊂ {{1, 2, 3, 4} , ∅} .
d ) Si # (A) = n entonces # (P (A)) = 2n.
2. Negar las siguientes sentencias:
a) Todos los bumangueses son hinchas del Atlético Bucaramanga o del Real Santander.
b) Todas las aves vuelan.
c) Ninguna persona conoce todo.
d ) Ningún pez camina.
3. Muestre que para todo par de conjuntos A y B se cumple que:
a) A ∩ B ⊂ A.
4. Dados los conjuntos:
b) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ′ ) = A.
U = {x ∈ N : x ≤ 20} , A = {x ∈ 2N : x < 15} , B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} y
C = {2, 6, 8, 12, 16, 18, 20}.
Determine:
a) (A − B ′ ) ∪ C.
b) (B ∩ C) ∪ A.
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1.2. Conjuntos
9
5. Considere la siguiente distribución de elementos (cantidad de elementos)
U
Responda a las siguientes preguntas:
A
¿Cuántos elementos hay en el conjunto A?
4
¿Cuántos elementos hay en A y B?
5
8
¿Cuántos elementos hay en B pero no en C?
3
10
2
B
¿Cuántos elementos hay en A o B?
2
C
¿Cuántos elementos hay en A, B y C?
¿Cuántos elementos hay en A y C pero no en
B?
6. En una encuesta realizada en algunos paises acerca de los productos de mayor exportación se encontró
que: 8 paises exportan café, 15 petróleo y 13 frutas. 6 exportan sólo frutas y petróleo, 4 sólo frutas y 3
exportan los tres productos. Sólo café y petróleo ninguno.
a) Cuántos paise fueron encuestados?
b) Cuántos paise exportan sólo cafe?
c) Cuántos paise exportan sólo petróleo?
7. Utilizando las propiedades de las operaciones entre conjuntos simplifique las siguientes expresiones.
a) B ∩ (B − A)′
b) A − (B ∪ (A − B))
8. Encuentre una formula para # (A ∪ B ∪ C) y aplique la propiedad (∗) para demostrarla.
9. Dados los conjuntos A, B y C no vacíos; use diagramas de Venn para ilustrar los resultados obtenidos
al efectuar las operaciones indicadas en las expresiones dadas.
a) (A′ ∩ B ′ ) ∩ C ′ .
c) (A′ △ B ′ ) ∩ C ′ .
b) A △ B.
d ) (A ∪ B)′ ∩ (A ∪ C)′ .
10. Dados los conjuntos
A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g} , C = {c, g, m, n, p} y el conjunto universal
U = {a, b, c, d, e, g, m, n, p}.
Hallar:
(a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)′ △ [B − (C ∩ A′ )].
(b) {[B − (C △ A)] ∪ (B − A)} ∩ (C △ A)′ .
11. Para cada uno de los siguientes item’s encuentre una expresión solo en términos de uniones, intersecciones y complementos.
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1. Preliminares
(a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)′ △ [B − (C ∩ A′ )].
(b) {[B − (C △ A)] ∪ (B − A)} ∩ (C △ A)′ .
12. Dados # (U ) = 692,
# (A) = 300,
y # (A ∩
B′
∩
# (B) = 230,
C ′)
# (C) = 370,
= 10.
# (A ∩ B) = 150,
# (A ∩ C) = 180,
# (B ∩ C) = 90
Hallar:
a) # (A ∩ B ∩ C).
c) # (A′ ∩ B ′ ∩ C ′ ).
b) # (A′ ∩ B ∩ C ′ ).
d ) # ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)).
13. En una ciudad se publican tres periódicos, A, B y C. Realizada una encuesta, se estima que
Porcentajes
20 %
16 %
14 %
8%
5%
4%
2%
Periódicos que leen
A
B
C
AyB
AyC
ByC
los tres.
¿Qué porcentaje lee al menos uno de estos periódicos? De los que leen al menos un periódico, ¿qué
porcentaje lee el periódico A o el periódico B?
14. En un grupo de 150 personas, 45 nadan, 40 montan bicicleta y 50 corren. Se sabe que 20 personas
nadan y montan bicicleta, que 32 corren pero no montan bicicleta y 10 personas realizan las tres actividades.
a) ¿Cuántas personas montan bicicleta pero no nadan ni corren?
b) Si 21 personas corren y nadan, ¿cuántas no realizan ninguna de las tres actividades?
15. Forma todos los subconjuntos del conjunto M = {2, 3, 5, 7}.
[D.E. González & G. Arenas
1.3. Números
1.3.
11
Números
Hay varias clases de números1 . Los números que se originan al contar cosas son los números naturales:
1, 2, 3, 4, · · · . Estos son, probablemente, los números que usamos con más frecuencia en la vida diaria pues
constituyen el instrumento adecuado para contar elementos de un conjunto dado. Sin embargo, los números
naturales no son suficientes para otro proceso igualmente importante: medir cantidades como la longitud de
una línea y el volumen o el peso de un cuerpo. La expresión de medidas de cantidades en términos de
números conduce a extender el concepto de número hasta obtener el sistema de “números reales”.
En primer lugar, los números naturales, 1, 2, 3, · · · se combinan mediante las operaciones de suma y multiplicación, para producir otros números naturales. Estas operaciones satisfacen leyes como:
- Las leyes conmutativas:
- Las leyes asociativas:
a + b = b + a y ab = ba.
a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c.
- La ley distributiva:
a(b + c) = ab + ac.
- La ley cancelativa:
a + b = a + c implica que b = c.
Las operaciones de substración y división, conocidas como las operaciones inversas de la suma y la multiplicación respectivamente, no son siempre posibles si el resultado ha de estar en el conjunto de los números
naturales. En efecto, dados dos naturales a y b, el símbolo b − a denota la solución de la ecuación a + x = b
que es también un número natural sólo cuando “b es mayor que a”. Para hacer posible la operación b − a y
por lo tanto poder resolver la ecuación a + x = b aún si b = a o si b es menor que a, se introducen el 0 y
los enteros negativos −1, −2, −3, · · · . Se conviene en llamar enteros positivos a los números naturales y
conjunto de los números enteros al conjunto 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, etc. Este conjunto satisface todas las
leyes mencionadas anteriormente para la suma y la multiplicación, complementadas con la siguiente: Existe
una y solo una solución en el conjunto de los enteros para la ecuación a+x = b, cualesquiera sean los enteros
a y b. Tal solución es el entero b + (−a), denotado usualmente como b − a.
La comparación de dos cantidades, fundamento del proceso de medir, da origen a las fracciones p/q donde
p y q son enteros y q es distinto de 0. En este caso las cantidades comparadas se llaman conmensurables,
indicando con ello que una cantidad escogida como unidad común está contenida un número exacto de veces,
p, en una de las cantidades y q, en la otra. Desde un punto de vista abstracto, las fracciones surgen también en
la solución de ecuaciones de la forma ax = b, donde a, b son enteros y a es distinto de 0. Una ecuación como
4x = 3, por ejemplo, no tiene solución dentro del conjunto de los números enteros. Estas son justificaciones
para una nueva extensión del sistema de números. Llamaremos Conjunto de números racionales al conjunto
de todas las fracciones p/q donde p, q son enteros y q es distinto de 0.
Todo número racional tiene una representación decimal equivalente. Por ejemplo, 3/4 y 0,75 son representaciones distintas del mismo número racional. Tal vez es preferible entonces, caracterizar los números racionales
1
Tomado de: Apostol Tom. Cálculus, Volumen 1, 2a ed., Xerox College Publishing, 1969, y Espinoza Aleida & otros. Cálculo
I, unidades de apoyo y complementación, Universidad del Valle, 1995.
Cálculo diferencial: notas de clase]
12
1. Preliminares
como los que tienen la forma de una fracción p/q o que pueden transformarse en una de estas fracciones.
Entonces, al convenir que todo entero m puede representarse como una fracción m/1, se concluye que todo
número entero es a su vez un número racional. El lector probablemente recuerda que todo decimal finito,
como 2,753 y todo decimal infinito periódico como 0, 2335, es decir, 0,23353535 . . ., son números racionales.
En el primer caso, basta escribir 2753/1000; en el segundo aplicar el método siguiente:
Si x = 0, 2335 entonces
10 000 x − 100 x = 2335, 35 − 23, 35
Por lo tanto, x = 2 312/9 900, es un número racional.
Dentro del dominio de los números racionales todas las operaciones racionales, suma, resta, multiplicación y
división (no por cero) producen nuevamente números racionales. No obstante, aun cuando en las mediciones
resulta suficiente el conjunto de los números racionales, ellos no bastan para expresar, por medio de números,
todas las medidas posibles. Ya desde el siglo V a.C. los matemáticos griegos descubrieron la existencia de
cantidades no conmensurables, es decir, que no son múltiplos enteros de una unidad común, y que, en
consecuencia, no representan un número racional. Este es el caso de la diagonal d de un cuadrado y su lado,
elegido este como longitud unidad. Según el teorema de Pitágoras, d2 = 2; y se puede probar que la longitud
√
d, simbolizada como 2 no corresponde a racional alguno p/q.
Estos nuevos números fueron llamados “irracionales” y en consecuencia con lo dicho antes, no están representados ni por un decimal finito, ni por un decimal periódico infinito; tienen una representación como números
decimales pero no se pueden conocer todos los dígitos en esa representación. Hemos llegado así al sistema
más amplio de nuestro interés: El continuo de números o conjunto de números reales, formado por todos los
números racionales y todos los números irracionales.
Es frecuente utilizar los símbolos siguientes para denotar sistemas numéricos:
N : Conjunto de números naturales.
Z : Conjunto de números enteros.
Q : Conjunto de números racionales.
Q′ : Conjunto de números irracionales. (El complemento de Q).
R : Conjunto de números reales.
La relación de inclusión entre estos conjuntos puede indicarse, recordando que A ⊆ B índica que todo elemento de A también lo es de B, así:
N⊆Z⊆Q⊆R
1.3.1.
y
Q′ ⊆ R.
Estructura Algebraica de los Números Reales
Dados números reales a y b, las operaciones de adición y multiplicación originan los números reales a + b y
ab, llamados la suma y el producto de los números dados.
Estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas:
Axioma 1 (Conmutatividad). x + y = y + x ; xy = yx.
[D.E. González & G. Arenas
1.3. Números
13
Axioma 2 (Asociatividad). x + (y + z) = (x + y) + z ; x(yz) = (xy)z.
Axioma 3 (Distributividad). x(y + z) = xy + xz.
Axioma 4 (Elementos neutros). Existen dos números reales distintos, 0 y 1 tales que para cada número real
x, 0 + x = x + 0 = x y 1x = x1 = x.
Axioma 5 (Opuesto aditivo). Para cada número real x existe un número real y tal que, x + y = y + x = 0.
Axioma 6 (Recíproco). Para cada número real x 6= 0, existe un real y tal que xy = yx = 1.
De los axiomas anteriores se deducen todas las propiedades usuales del Álgebra elemental. En los siguientes teoremas se exponen las mas importantes. (En todos los casos a, b, c y d representan números reales
cualesquiera).
Teorema 1.3.1 (Propiedad cancelativa para la suma). Si a + b = a + c entonces b = c. (En particular esto
prueba que el número 0 del axioma 4 es único).
Teorema 1.3.2 (Sustracción). Dados a y b existe uno y sólo un x tal que a + x = b. Este x se denota por b − a.
En particular 0 − a se escribe simplemente como −a y se denomina el opuesto aditivo o el negativo de a.
Teorema 1.3.3.
1. b − a = b + (−a).
2. −(−a) = a.
3. a(b − c) = ab − ac.
4. 0 · a = a · 0 = 0.
Teorema 1.3.4 (Cancelativa para la multiplicación). Si ab = ac y a 6= 0, entonces b = c. (En particular esto
demuestra que el número 1 del axioma 4 es único).
Teorema 1.3.5 (División). Dados a y b con a 6= 0, existe uno y sólo un x tal que ax = b. La x se designa por
b/a y se denomina cociente entre b y a. En particular 1/a se escribe también a−1 y se llama recíproco de a.
Teorema 1.3.6.
1. Si a 6= 0, entonces b/a = b · a−1 .
2. Si a 6= 0, entonces (a−1 )−1 = a.
3. Si ab = 0 entonces o a = 0 o b = 0.
4. (−a)b = −(ab) y (−a)(−b) = ab.
5. (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd) con b 6= 0 y d 6= 0.
6. (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) con b 6= 0 y d 6= 0.
7. (a/b)/(c/d) = (ad)/(bc) con b 6= 0, c 6= 0 y d 6= 0.
Cálculo diferencial: notas de clase]
14
1. Preliminares
1.3.2.
Axiomas de orden
Hay un subconjunto de los números reales designado con el símbolo R+ , que satisface estas propiedades:
Axioma 7 (O1 ). R+ es cerrado bajo la suma y la multiplicación, esto es, si a, b ∈ R+ , entonces a + b y ab
son también elementos de R+ .
Axioma 8 (O2 ). Dado cualquier número real a 6= 0, se satisface una y sólo una de estas opciones:
a ∈ R+
o
− (a) ∈ R+ .
Axioma 9 (O3 ). 0 ∈
/ R+ .
R+ se le llama clase positiva de R ó conjunto de números reales positivos.
Se aprovecha la clase R+ para definir una relación en R conocida como “la relación menor que”, simbolizada
con <, así :
Definición 1.3.7. Dados a y b números reales, se dice que “a es menor que b”, lo cual se denota a < b, si b − a
es un elemento de R+ .
a < b si y sólo si b − a ∈ R+ .
Con base en la definición anterior se define la relación “menor o igual que”, simbolizada como ≤.
a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b.
En otras palabras: a ≤ b significa que b − a ∈ R+ o que b = a.
Por lo tanto, se tiene 0 < a si y sólo si a es positivo. Si a < 0 se dice que a es negativo; si 0 ≤ a se dice que
a es no negativo. El par de desigualdades dimultáneas a < b y b < c se escriben frecuentemente en la forma
breve a < b < c; interpretaciones análogas se dan a las desigualdades compuestas
a ≤ b < c,
a<b≤c
y
a ≤ b ≤ c.
Es fácil demostrar utilizando los axiomas de orden y la definición de ≤, las siguientes propiedades:
1. a ≤ a, para cada a ∈ R (≤ es reflexiva).
2. Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (≤ es antisimétrica).
3. Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (≤ es transitiva).
Es frecuente el uso de las expresiones “≤ es una relación de orden en R” ó “(R, ≤) es un conjunto parcialmente
ordenado”, para denotar que se satisfacen las tres propiedades anteriores.
En la sección de ejercicios resueltos se mostrarán algunas aplicaciones y propiedades de la relación ≤; en
especial, su utilización en la solución de desigualdades. Finalizamos esta sección, listando las propiedades
de uso más frecuente.
[D.E. González & G. Arenas
1.4. La Recta numérica
15
Definición 1.3.8. El símbolo b > a se lee “b es mayor que a” y se utiliza con el mismo significado de a < b.
Adicionalmente, b ≥ a significa b > a ó a = b.
A partir de las definiciones dadas en esta sección se pueden establecer estos resultados:
Teorema 1.3.9 (Tricotomía). Si a, b son números reales entonces se satisface una de estas relaciones, y excluye
a la otras dos: a < b ó a = b ó a > b.
De la comparación entre un real a y el real 0 se sigue de acuerdo con este teorema que: a > 0 ó a = 0 ó a < 0.
En el primer caso, a − 0 = a ∈ R+ ; esto es, son reales positivos los reales mayores que 0. En el último,
0 − a = −a ∈ R+ . En este caso, se dice que a es un real negativo (su opuesto es un real positivo).
Teorema 1.3.10. El producto de dos reales es positivo si y sólo si ambos son positivos o ambos son negativos.
Teorema 1.3.11.
(a) Si a < b entonces a + c < b + c.
(b) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.
Observación 1. Se obtiene un resultado verdadero si en el Teorema 1.3.11 se cambia < por ≤, >, ≥.
Teorema 1.3.12.
(a) Si a < b y x > 0, entonces ax < bx.
(b) Si a < b y x < 0 entonces ax > bx.
Teorema 1.3.13.
(a) Si a 6= 0 entonces a2 > 0.
(b) 1 > 0.
(c) Si a > 0 entonces (1/a) > 0; si a < 0 también (1/a) < 0.
(d) Si 0 < a < b, entonces 0 < b−1 < a−1 .
1.4.
La Recta numérica
Existe una forma útil de representar los números reales como puntos de una línea recta. Consiste en determinar sobre la recta un punto arbitrario O como referencia, al cual se asigna el número real 0 y el nombre de
origen. Se eligen también una unidad de longitud y una dirección positiva. Si A es el punto a la derecha de O
tal que longitud (OA) = 1, se asigna al punto A el real +1. Esta recta se conoce como Recta numérica. Con
ella se establece una correspondencia uno a uno entre puntos de la recta y números reales. A cada punto M
−→
sobre la semirrecta OA se asigna el número real positivo correspondiente a la longitud del segmento OM . Un
Cálculo diferencial: notas de clase]
16
1. Preliminares
real negativo −a será representado por el punto simétrico, respecto al origen, del punto que corresponde al
real positivo +a. La notación A(r) se utiliza para denotar conjuntamente el punto A y el real que le correspon-
de sobre la recta. Se lee “el punto A, de coordenada r”. En la figura 1.1 se muestran algunos puntos y sus
√
√
coordenadas; con líneas punteadas se ilustra la determinación del punto asignado a 2 y 10.
−2
−1
0
1
√
2
2
√
3 10
Figura 1.1: Representación gráfica de
√
4
5
2
La relación < se visualiza en forma muy sencilla sobre una recta numérica:
0
a
0
b
Figura 1.2: Representación en la recta numérica de a < b
y
3
(−∞, 3] = {x ∈ R : x ≤ 3}.
a < b si y solo si el punto correspondiente a a está a la izquierda del punto correspondiente a b. En consecuencia, el conjunto de valores x tales que x ≤ 3 está representado por el punto correspondiente a 3 y por
todos los puntos a su izquierda.
1.4.1.
Intervalos
Es frecuente en el cálculo el tener que operar con desigualdades, generalmente esto nos lleva a denotar ciertos subconjunto de R, que serán designados como intervalos; los intervalos básicos y sus representaciones
en la recta se dan en el siguiente en la figura 1.3:
1.4.2.
Valor absoluto
A continuación damos la noción de valor absoluto.
Definición 1.4.1. El valor absoluto del número real x, denotado por |x|, se define como
|x| =
x, si ≥ 0
−x, si a < 0
Observe que − |x| ≤ x ≤ |x|. Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el
número |x| se denomina distancia de x a 0. Si a > 0 y si un punto x está situado entre −a y a, entonces |x|
está más próximo a 0 que a. La expresión analítica de este hecho, está dada por el siguiente teorema y en la
Figura 1.4 se ilustra el significado geométrico.
Teorema 1.4.2. Si a ≥ 0, entonces |x| ≤ a si y sólo si −a ≤ x ≤ a.
[D.E. González & G. Arenas
1.4. La Recta numérica
17
b
a
0
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
b
a
0
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
b
a
0
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}.
b
a
0
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
0
0
b
b
(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.
(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}.
a
0
(a, ∞) = {x ∈ R : a < x}.
a
0
[a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}.
Figura 1.3: Representación en la recta numérica de los diferentes intervalos.
Ahora, si a > 0 y x es un punto que está a la izquierda de −a o a la derecha de a, entonces |x| está más
alejado de 0 que a. La expresión analítica de este hecho, está dada por el siguiente teorema y en la Figura 1.4
se ilustra el significado geométrico.
Teorema 1.4.3. Si a ≥ 0, entonces |x| ≥ a si y sólo si x ≤ −a ó a ≤ x.
a
0
|x| ≤ a ⇐⇒ {x ∈ R : −a ≤ x ≤ a}.
−a
a
0
|x| ≥ a ⇐⇒ {x ∈ R : x ≤ −a ó a ≤ x}.
−a
Figura 1.4: Significado geométrico de |x| ≤ a y |x| ≥ a.
Otras propiedades importantes que satisface el valor absolutos se presentan en el siguiente resultado:
Teorema 1.4.4. Sean x, y números reales, entonces:
a) |x| = 0 si y sólo si x = 0.
b) Si x 6= 0, |x| > 0.
c) |x − y| = |y − x|.
d) |xy| = |x| |y|.
e) |x + y| ≤ |x| + |y|.
(Desigualdad triangular).
A continuación se presentan dos resultados importantes asociados con el valor absoluto.
n
n
P P
Teorema 1.4.5. Si a1 , a2 , . . . , an son números reales cualesquiera, entonces ak ≤
|ak | .
k=1
Cálculo diferencial: notas de clase]
k=1
18
1. Preliminares
Teorema 1.4.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si a1 , a2 , . . . , an y b1 , b2 , . . . , bn son números reales
cualesquiera, entonces
n
X
ak bk
k=1
1.5.
!2
≤
n
X
k=1
a2k
!
n
X
k=1
b2k
!
.
Problemas y ejercicios resueltos
A continuación realizamos el desarrollo de algunos ejercicios de desigualdades en los cuales se deben aplicar
las propiedades de orden de los números reales y las propiedades del valor absoluto.
Ejemplo 1.5.1. Hallar todos los valores de la variable x para los cuales x2 + x − 6 ≥ 0.
Solución. En primer término, si x2 + x − 6 = 0 entonces (x + 3)(x − 2) = 0, lo cual significa que x + 3 = 0 o
x − 2 = 0. Por lo tanto, x = −3 y x = 2 hacen parte del conjunto solución de la desigualdad.
Para determinar los valores de x tales que x2 + x − 6 > 0 consideremos la recta numérica y las tres regiones
determinadas por los puntos A(−3) y B(2).
!
A(−3)
+
A(2)
Sea x la coordenada de un punto P, x 6= −3 y x 6= 2. El punto P está a la izquierda de A, o entre A y B o a la
derecha del punto B. Esto significa respectivamente,
1. x < −3
2. −3 < x < 2
3. x > 2.
Analizaremos, para cada caso, el signo del producto (x + 3)(x − 2). Solo cuando este producto es positivo
tendremos una solución de x2 + x − 6 > 0.
Caso 1: Si x < −3, entonces x + 3 < 0 y x − 2 < 0. Por lo tanto, (x + 3)(x − 2) > 0. Esto significa que el
conjunto {x|x < −3} = S1 , hace parte de la solución total.
Caso 2: Si −3 < x < 2, entonces x + 3 > 0 y x − 2 < 0. Por lo tanto, (x + 3)(x − 2) < 0 y en el intervalo (-3,
2) no hay soluciones de la desigualdad propuesta.
Caso 3: Si x > 2, entonces x + 3 > 0 y x − 2 > 0. Por lo tanto, (x + 3)(x − 2) > 0. Entonces, el conjunto
{x|x > 2} = S2 , también hace parte de la solución.
La solución de la desigualdad x2 + x − 6 ≥ 0 es entonces
Sf = {2} ∪ {−3} ∪ {x|x < −3} ∪ {x|x > 2}.
Es fácil ver en la recta numérica, que este conjunto es Sf = R − (−3, 2), es decir, todo número real que no
está en el intervalo (−3, 2) satisface la desigualdad.
[D.E. González & G. Arenas
1.5. Problemas y ejercicios resueltos
19
Observación 2. Algunas personas resuelven un problema como este considerando que
o sea
x2 + x − 6 ≥ 0,
(x + 3)(x − 2) ≥ 0
se cumple si y sólo si
caso 1:
x+3≥0 y x−2≥0
ó
caso 2: x + 3 ≤ 0 y x − 2 ≤ 0
Del primero se sigue que x ≥ 2 y del segundo que x ≤ −3. La unión de los dos intervalos proporciona la
solución que ya obtuvimos
Sf = R − (−3, 2)
Sin embargo, cuando el número de combinaciones es mayor a dos, este método puede resultar dispendioso.
Ejemplo 1.5.2. Pruebe que si a 6= 0 entonces a2 es positivo y, como consecuencia, que an es positivo para todo
n par.
Demostración. Si a 6= 0 entonces, a ∈ R+ ó −a ∈ R+ , según la propiedad O2 .
Si a ∈ R+ , a · a = a2 ∈ R+ ;
si
− a ∈ R+ ,
(−a)(−a) = a2 ∈ R+ , según O1 . En cada caso, a2 es positivo.
Ahora, si n = 2p es un entero par, entonces an = a2p = (ap )2 es un real positivo por lo ya demostrado.
Ejemplo 1.5.3. Resolver la desigualdad
X
3
1
+ > 0.
|x − 1| x
Solución. Se puede apreciar que si x > 0, con la excepción de x = 1, el lado izquierdo es suma de cantidades
positivas y la desigualdad se satisface. Por lo tanto, R+ − {1} es parte de la solución.
Si x < 0, la desigualdad se transforma en |x−1|+3x < 0 (compruébelo). Como x−1 es negativo, esto significa
1
1 − x + 3x < 0 ó x < − . La solución de la desigualdad es entonces S = {x < −(1/2)} ∪ {x > 0, x 6= 1}.
2
Ejemplo 1.5.4. Resolver la desigualdad
|x + 1| − |x − 2| < 1.
Solución. Utilizando la definición de valor absoluto para cada valor absoluto que compone la desigualdad
tenemos que se divide la recta en tres partes: Utilizando la definición en cada parte tenemos:
−1 ≤ x < 2
x < −1
−1
Caso 1. (x < −1). En
esta
parte
de
la
0
recta
2≤x
2
|x + 1| − |x − 2| < 1
es
equivalente
a
−(x + 1) − [−(x − 2)] < 1, esto implica que −3 < 1, como esta desigualdad la satisface todo R,
entonces una primer solución es la intersección entre esta solución, y el intervalo en el que estamos
trabajando, es decir S1 = R ∩ (−∞, −1) = {x ∈ R : x < −1}.
Cálculo diferencial: notas de clase]
20
1. Preliminares
Caso 2. (−1 ≤ x < 2). En este caso |x + 1| − |x − 2| < 1 se convierte en (x + 1) − [−(x − 2)] < 1, esto im-
plica que x < 1, entonces una segunda parte de la solución es la intersección entre esta solución, y el
intervalo en el que estamos trabajando, es decir
S2 = (−∞, 1) ∩ [−1, 2) = {x ∈ R : −1 ≤ x < 1}.
Caso 3. (2 ≤ x). Podemos ver que en esta parte de la recta |x + 1| − |x − 2| < 1 es equivalente a la in-
ecuación (x + 1) − (x − 2) < 1, esto nos lleva a 3 < 1, lo que es una contradicción, luego la solución es
vacío (∅), esto es, S3 = ∅ ∩ [2, ∞) = ∅.
A partir de los casos anteriores tenemos que la solución de la inecuación es la unión de estas tres soluciones
Sf = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, 1) = {x ∈ R : x < 1}.
Preguntas.
1. ¿Bajo qué circunstancias se sigue, de xn = y n , que x = y?
2. ¿Bajo qué circunstancias se sigue, de xn = y n , que x = y ó x = −y?
3. Sean a y b reales positivos y a < b. ¿Qué símbolo de desigualdad puede reemplazar a α en la
expresión
a
α
√
ab
α
a+b
2
α b
√
ab: media geométrica entre a y b
a+b
: media aritmética entre a y b
2
4. ¿Cómo puede definirse la desigualdad x > y para dos números reales en términos de sus representaciones decimales? Ilustre con un ejemplo.
5. ¿En qué intervalos se satisfacen las desigualdades siguientes?
(a)
x−a
≥ 0.
x+a
1 (b) x + ≥ 6.
x
6. ¿Cómo utiliza la propiedad (a − b)2 ≥ 0 para probar que x +
1
≥ 2, para x > 0?
x
7. ¿Cuál o cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas?
i) Si x es un real negativo, entonces |x| = −x.
ii) Si a > 0 y |x| < a, entonces x < a.
[D.E. González & G. Arenas
1.5. Problemas y ejercicios resueltos
21
Problemas y Ejercicios Propuestos.
1.
a) Establezca el valor numérico de la expresión
a − ba−b ,
b) Simplifique al máximo la expresión
s
para a = 2
1+
x4 − 1
2x2
2
y b = −2.
.
2. Entre las siguientes afirmaciones identifique las verdaderas. Justifique brevemente las respuestas
a) El producto de todo número real por sí mismo es un real positivo.
b) Si a y b son números reales y a < b entonces −a < −b.
c) Si x es un real distinto de cero, entonces −x es un real negativo.
1
1
d) Si a y b son reales y < entonces a > b
a
b
3. Resuelva la desigualdad
1
1
<
.
|x − 2|
x+1
b) |x2 − x + 1| > 1.
3x + 5
> −2.
c)
2x − 1
d) x3 − 2x2 − 3x ≥ 0.
a)
2
4
≤
.
x−2
x+1
f) x3 − 3x2 − 6x + 8 ≤ 0.
e)
g) (3 − 5x) (7x + 3) ≤ 0.
h) x3 + 6x2 < 16x.
4. Encuentre todos los números x para los cuales se cumple:
a) |x − 3| = 8.
e) |9x − 5| ≤ 72.
b) |x − 1||x − 2| > 1.
f) 2 |x − 1| − x ≥ 3.
c) |x − 2||x + 2| = 0.
g) |x − 1| − 2 |x| ≤ 3.
d) |x − 1||x + 2| = 3.
h) |3 − 5x| − |2x − 1| < 4.
Cálculo diferencial: notas de clase]
22
1. Preliminares
Universidad
Industrial de
Santander
Taller – Descartes
Cálculo I
Grupo
Octubre de 2010
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemáticas
Nombre:
Código:
1. Dados los puntos A (−3, 1) y B (−5, 3) encuentre
la ecuación de la recta que es perpendicular al segmento AB y pasa por el punto medio entre A y B.
2. Si A (−1, −3) , B (5, 1) y C (−5, 3) ; encuentre un
cuarto punto D de tal forma que ABCD sea un rectángulo.
3. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo
diámetro tiene extremos en los puntos A (1, 2) y
B (5, 6) .
4. Sean las circunferencias B1 y B2 con ecuaciones
x2 − 8x + y 2 + 6y + 16 = 0 y
a) Pasa por (2, −3), pendiente 6.
b) Pasa por (2, 1) y (1, 6).
c) Intercepción x igual a 1, intercepción y igual
a −3.
d) Pasa por
x + 2y = 6.
(1, −6),
paralela a la recta
e) Pasa por (−1, −2), perpendicular a la recta
2x + 5y + 8 = 0.
12. En los ejercicios dibuje la región dada en el plano xy.
x2 + y 2 + 4x + 12y + 15 = 0
respectivamente. Encuentre la ecuación de la recta
que es paralela al segmento que une los centros de
B1 y B2 y pasa por el punto (1, 1).
5. Encuentre una ecuación de la circunferencia que satisface las siguientes condiciones: es tangente a los
dos ejes con centro en el cuarto cuadrante y tiene
radio 3.
6. La recta que pasa por los puntos P (−2, 3) y
Q (0, −1) es perpendicular a la recta 3x − 6y + 1 = 0.
7. La circunferencia con ecuación
x2 + y 2 − 6x + 4y + 4 = 0,
tiene centro en C (3, −2) y radio r = 3.
8. Utilizando el teorema de Pitágoras, demuestre que el
triángulo cuyos vértices son A(6, −7), B(11, −3) y
C(2, −2) es rectángulo.
a) Utilice las pendientes para demostrar que
ABC es un triángulo rectángulo.
b) Encuentre el área del triángulo.
9. Demuestre que los puntos (−2, 9), (4, 6), (1, 0) y
(−5, 3) son los vértices de un cuadrado.
10. Demuestre que
A(1, 1), B(7, 4), C(5, 10)
D(−1, 7) son los vértices de un paralelogramo.
11. Encuentre la ecuación de la recta que satisface las
condiciones dadas.
y
a) {(x, y) | x < 0}.
b) {(x, y) | xy < 0}.
c) {(x, y) | x < 0}.
d) {(x, y) | x ≥ 1
y y < 3}.
e) {(x, y) | |x| < 3 y |y| < 2}.
x+3
.
f ) (x, y) | −x ≤ y <
2
13. Encuentre un punto del eje y que sea equidistante a
los puntos (5, −5) y (1, 1).
14. Demuestre que el punto medio del segmento de recta que une los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) es
x1 + x2
y1 + y2
,
2
2
15. Encuentre la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas en cada uno de los Ejercicios.
a) Centro (3, −1); radio 5.
b) Centro (−1, 5); pasa por (−4, −6).
16. Demuestre que la ecuación dada representa una circunferencia; encuentre el centro y el radio.
a) 16x2 + 16y 2 + 8x + 32y + 1 = 0.
b) 2x2 + 2y 2 − x + y = 1.
[D.E. González & G. Arenas