La Geometría dinámica - opción webApp y tabletas táctiles Introducción a DGPad - Junio 2015 DGPad es una aplicación de geometría dinámica táctil, pero disponible en WebApp en computador. Tiene la ventaja de tener un módulo 3D fácil de usar. Su módulo de graficación de curvas también anticipa las construcciones, lo cual permite explorar las funciones de manera diferente a la usual. 1.1. Un nuevo concepto de interfaz– las paletas contextuales Usted tal vez ha usado GGB, Cabri o CaRMetal: todos esos software tienen una interfaz clásica para sus herramientas: las herramientas están prefijadas, se selecciona una herramienta y luego los objetos asociados. No siempre tomamos conciencia pues se tiene la costumbre y los gestos se realizan rápidamente, pero esta interfaz necesita muchos clics, sobre todo si tienen menús desplegables. El autor de DGPad pensó en una interfaz más eficaz que necesitara menos contacto con la tableta, o clic con el ratón. Se decidió por un concepto radicalmente nuevo, el de las paletas contextuales. Es la elección de una programación objeto centrada en los objetos geométricos y no en las herramientas. Es como si se despertara un objeto (punto, recta, segmento, polígono, círculo) y que nos propusiera todo lo que puede hacerse con él. Las paletas son diferentes para un punto, una recta, un segmento, un círculo… Son necesarios nuevos gestos, especialmente para herramientas con tres o más entradas (circuncírculo, ángulo, polígono) : el puntero táctil – el dedo – no se comporta igual que el ratón; cuando uno levanta el dedo, el sistema no sabe dónde va a aparecer, mientras que sí sabe dónde está el puntero del ratón aunque no se haga clic. Pasamos de un puntero continuo a un puntero discontinuo. La interfaz debe tener en cuenta esto para conservar las construcciones con anticipación. 1.2. La línea de comandos– Modo estándar y modo consulta La línea de comandos está por defecto en modo estándar. La mayoría de las herramientas son interruptores que se activan o desactivan. Cuando ninguna herramienta está activada, es el modo consulta: se puede actuar sobre la figura sin crear objetos nuevos. Este modo hace parte de esta interfaz abierta. En el modo consulta, en particular el sistema de referencia 3D es más rápido y se desplaza sólo con un dedo o clic-izquierdo-arrastre en lugar de dos dedos (respectivamente clic-derecho-arrastre). Cuando se abre una figura, por defecto está en modo consulta. “Tocar” una de las herramientas de la línea de comandos hace pasar al modo estándar (de creación de objetos). En clase –sobre todo con tabletas–se puede enseñar a los alumnos a pasar de un modo al otro rápidamente para manipular la figura « en consulta ». Manipulación de una figura en modo consulta: http://huit.re/PatronsCube 1.3. La paleta de los comportamientos (también contextual) Esta paleta de comportamientos contiene: • Comportamientos específicos: anclaje e imantación en 2d, punto flotante en 3D. • Atajos de la línea de comandos (propiedades, supresión, calculadora). • Ajustes que no pueden hacerse desde la ventana misma (nombre de puntos y desplazamiento de objetos superpuestos) TD 1 - Parte A –Instrumentaciones geométrica y algebraica Tres figuras planas para una primera panorámica Ejercicio 1: un primer contacto – las mediatrices de un rombo. a) Elegir nombres automáticos. Sobre un círculo de centro A que pasa por B tomar un punto D. b) Construir el punto C de tal manera que ABCD sea un rombo. Puede hacerse terminando el paralelogramo: • Geométricamente (construir segmentos y no rectas) • Analíticamente: como𝐶 = 𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷se puede construir en DGPad (en la calculadora) simplemente el punto B+D-A (señalando los puntos). b) Construir los 4 segmentos de ABCD, luego las mediatrices del rombo que se cortan en IJKL. c) Conjeturar la naturaleza de IJKL con las herramientas del software (medidas en las propiedades). d) ¿Cuál es la relación entre las diagonales de IJKL y el rombo inicial? (puede demostrarse fácilmente con las propiedades de las mediatrices). Ejercicio 2: Conjetura– Utilización de una macro estándar. a) elegir nombres automáticos, construir con rectas un triángulo ABC, luego una recta transversal (DE) como se muestra a continuación, completar con el punto F. b) Colocar el siguiente nombre sobre I y construir I, J, K puntos medios de (B, F), (D, C) y (A, E) respectivamente. c) ¿Una conjetura? d) Utilización de las macros: abrir las macro-construcciones, seleccionar « Tests » y « alineación » y señalar los tres puntos. Ejercicio3: Manipular herramientas con 3 ítems. Sobre la misma figura, suprimir todo menos A, B, C y las tres rectas. a) Construir las bisectrices de dos ángulos del triángulo y su intersección I, luego la perpendicular a un lado por I, y su intersección con el lado. b) Terminar el círculo inscrito con la herramienta « Círculo y punto ». c) Construir, sin nombrarlos, los puntos medios de los lados del triángulo (señalando 2 puntos). Luego utilizar “círculo por tres puntos” para construir el circuncírculo de los tres puntos medios. d) Utilizar el modo «ocultar/mostrar» para revelar su centro, llamarlo w. e) utilización de la calculadora (o modo expresión) en un primer momento calcular la diferencia de los radios, señalando los círculos y validar. Luego en otra expresión, utilizar el comando d(,)del teclado de DGPad, y calcular la distancia entre los centros. f)¿qué significa matemáticamente que los dos resultados sean idénticos? TD 1 - Parte B - Micromundo–Crear una macro-construcción Ejercicio 4: Ejemplo con el fractal de Pitágoras Consejo: estar atento al orden de los puntos cuando se creen polígonos. a) Crear un cursorE1de 0 aπ/2, inicializado en 1. b) Mostrar los ejes, tomar una paralela al eje horizontal por A y un punto B sobre ese eje. Ocultar los ejes, la recta, trazar el segmento [AB]. c) construir el cuadrado ABCD, geométricamente, o analíticamente (menos objetos): D=A+i*(B-A) et C=B+D-A d) Construir el círculo de diámetro [CD] –con la herramienta círculo por centro y punto, tomando el punto medio I de C y D. e) Construir un círculo de centro D y radio fijo, abrir la calculadora y definir como radio d(D,C)*cos(E1). Los dos círculos se cortan en K por encima de [CD]. Construir K acariciando la intersección. El polígono cuadrado debe construirse en el orden ABCD. Nota técnica: sería más complicado tomar un punto K sobre el círculo en lugar de un cursor, pues habría que modificar la macro a mano en un archivo. f) continuar con dos cuadrados utilizando la macro cuadrado (macros/polígonos/cuadriláteros/cuadrado) señalando en orden D y K, luego K y C. • Se pueden suprimir todos los lados salvo [DK] y [KC].Así habrá menos objetos. • es inútil nombrar los puntos, en esta figura tienen nombre solamente para comunicar el orden. g) Construir el triángulo DCK luego los cuadrados en este orden: DKMN y KCPQ. En efecto, si se respeta el orden aparece el objeto final de la futura macro, con objeto inicial ABCD, para que pueda reproducirse. h) fase final: crear la macro señalando primero el cursorE1luego el polígono ABCD. Estos aparecen como objetos iniciales, mostrar simplemente los tres polígonos: el triángulo y los dos cuadrados. Luego darle un nombre a la macro y validar. Sólo le falta aplicar la macro al polígono rosado y azul y sucesivamente… esto es lo que debería obtener… Aplicar la macro varias veces, luego mover el cursor TD 1 - Parte C –Representaciones gráficas y anticipación de construcciones Ejercicio5: gráfica de una función de segundo grado. a) Crear tres cursores a (de -2 a 2), b (de - 3 a 3) y c (de -10 a 10). Primero se crean – no olvidar validar, luego desplazarlos antes de crear el siguiente – y luego se les da nombre con la herramienta propiedades. Ahora vamos a ver lo que significa la anticipación de construcciones en un módulo de representación gráfica bien hecho. b) retomar una expresión y escribir a*x–observar qué pasa - confirmar la construcción de la curvas seleccionando la herramienta asociada. c) mostrar el sistema de referencia, pasar a modo consulta para desplazar la figura (deslizando el dedo) y modificar a. Volver al modo estándar. d) Seleccionar la curva, modificar a*x por a*x^2 (con el teclado de DGPad).Observar el cambio. e) añadir +b. Observar la modificación, luego continuar*x. Observar que cada vez que la expresión tiene sentido algebraico, el módulo gráfico actualiza la gráfica de la función. Terminar con +c. Atención, validar al terminar. Ejercicio 6: utilización de listas para las curvas paramétricas. DGPad utiliza mucho las listas. Una lista de dos términos es en general un punto. Si ese punto contiene una variable automáticamente reconocida por DGPad, se convierte en una función paramétrica en 2D. a) Crear la siguiente expresión [cos(5x)+3sin(x), cos(3x)+sin(5x)], con cotas (0 y 2*π). Trazar la curva con la herramienta que aparece. b) Añadir un cursor u, también de 0 a 2πy el punto E1(u). Se obtiene una curva y un punto móvil. Nota: este método aún no está implementado en 3D pero algunas figuras preconstruidas permiten hacerlo. c) Prolongación. Se considera la función f(x) = 2-sin(7x)+0.5cos(30x). Trazar la curva paramétrica g(x) = [f(x)*cos(x),f(x)*sin(x)], en el intervalo [0 2π]. Nota: en estos dos ejemplos se aprecia que entre un número y una variable o una función no hay necesidad de poner signo de multiplicación pero sí es necesario hacerlo entre dos variables o funciones. TD 1 - Parte B – Utilización práctica Ejercicio7: una conjetura antes de calcular. Esta figura está formada por dos paralelogramos en los que una diagonal de uno de ellos es un lado del otro. Así se construyen ocho zonas. Se da el área de la parte en gris y se pregunta por las otras siete áreas a) Hacer rápidamente una figura (con D=A+C-B por ejemplo) b)con la herramienta polígono, y la medida en las propiedades, evaluar las cuatro áreas más pequeñas. Enunciar una conjetura sobre todas las áreas. c) Puede hacerse una demostración. Ejercicio 7: Lugar y mínimo de una función. ABC es un triángulo rectángulo en A – tomamos AB horizontal – y M un punto de la hipotenusa. Las proyecciones ortogonales de M sobre los lados del triángulo forman un segmento [PQ]. ¿Para qué posición de M [PQ] tiene longitud mínima? a) Construir el lugar con un círculo como se muestra enseguida. b)Enunciar un argumento geométrico para el mínimo. c)Complemento algebraico: si b=AC - en DGPad crear la variable b=d(A,C) - y c=AB, y si A es el origen de coordenadas, entonces para x=AP b2 2 b2 PQ 1 2 x 2 x b 2 c c Forzar A en el origen (A=[0,0]), y trazar la función para ver si coincide con el lugar.