Lección 8 - GEOCITIES.ws

Lección 8 - Líneas rectas
Líneas rectas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás determinar la ecuación de una recta a partir de dos de sus puntos o a
partir de un punto y la inclinación de la línea. También podrás determinar la inclinación de una línea a partir de su
ecuación. Podrás reconocer cuando dos líneas son paralelas y cuando son perpendiculares.
En la lección previa aprendiste que la gráfica de las ecuaciones de las formas
1)
y = mx + b
2)
y=b
3)
x =c
son líneas rectas. A la ecuación 2 le corresponde una línea horizontal y a la ecuación 3 le
corresponde una línea vertical. Puedes notar que la ecuación 2 es un caso particular de la
ecuación 1, pues tiene la misma forma que esta con m = 0. Con las ecuaciones 1 y 3 podemos
describir a todas las líneas rectas. Todas las rectas no-verticales pueden definirse con la
ecuación 1, y todas las rectas verticales pueden definirse con la ecuación 3.
Una característica importante de las rectas no-verticales es su inclinación o pendiente.
Definiremos la pendiente m de una recta que pasa por los puntos ( x1 ,y1 ) y ( x2 ,y 2 ) con la fórmula
y −y
m= 2 1
x 2 − x1
Para segmentos de recta definimos su pendiente como la pendiente de la recta que incluiría al
segmento. Por lo tanto la pendiente de un segmento de recta con extremos ( x1 ,y1 ) y ( x2 ,y 2 ) es
y −y
tambiénm = 2 1 . Es fácil verificar que el valor de la pendiente calculado con esta fórmula no
x 2 − x1
cambia si usamos cualesquiera otros dos puntos en la misma recta. Esta definición puede
frasearse diciendo que la pendiente es el cociente del desplazamiento vertical entre el
desplazamiento horizontal. Esto puede apreciarse en el siguiente dibujo.
( x2 ,y 2 )
y
y2 − y1
( x1 ,y1 )
m=
y2 − y1
x 2 − x1
x2 − x1
x
=
desplazamiento vertical
desplazamiento horizontal
Un applet en esta parte de la lección
podría permitir al usuario cambiar,
usando el ratón, la inclinación de una
recta presentada y observar en un
lugar apropiado de la ventana el
valor de la pendiente. También
podría ser útil permitir al usuario
especificar numéricamente la
pendiente y observar varias rectas
con la inclinación correspondiente.
Lección 8 - Líneas rectas
Nuestros conocimientos de aritmética nos dicen que si en una fracción aumentamos el valor del
numerador, el valor completo de la fracción aumentará. Entonces si en una recta apreciamos un
mayor desplazamiento vertical, tiene que ser que la pendiente de esa recta es mayor. De hecho,
una mayor magnitud de la pendiente es equivalente a un mayor parecido de la recta con una recta
vertical y mientras más cercano a 0 sea la pendiente, mayor será el parecido de la recta a una
recta horizontal. Además, si la pendiente es positiva tiene que ser que la recta asciende según
nos movemos en ella hacia la derecha. Si la pendiente es negativa la recta será descendente.
y
L5
L1
x
L3
L2
L4
1
Sean −4, − , 0, 1, y 4.5 las pendientes de las rectas L1, L2 , L3 , L4 , y L5 que se muestran en el
2
dibujo de arriba. Entonces a L1 corresponde la pendiente 0 porque es una recta horizontal. L2 y L3
tienen pendientes positivas porque ambas son ascendentes y como L2 es más parecida a una
vertical su pendiente es mayor. Por lo tanto la pendiente de L2 es 4.5 y la de L3 es 1.
1
Análogamente determinamos que a L4 corresponde − , y a L5 corresponde -4 como pendiente.
2
Ejemplos
0 − (−3) 3
1) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,-3) y (4, 0) es
= = 1.
4 −1
3
2) Podemos calcular la pendiente de la recta con ecuación y = 3x + 1 determinando dos
puntos en la recta y luego usando la fórmula de la pendiente. Podemos obtener dos
puntos en esa recta sustituyendo en su ecuación cualesquiera dos valores de x y
determinando los correspondientes valores de y. Si x = 0, y = 3(0) + 1 = 1, y por lo
tanto el punto (0 , 1) está en la recta. Similarmente determinamos que el punto (2 , 7)
7 −1
también está en la recta. Por lo tanto la pendiente está dada por m =
= 3.
2−0
Si conocemos la ecuación de la recta no es necesario determinar dos puntos en ella como hicimos
Lección 8 - Líneas rectas
en el ejemplo previo. Para ver porqué consideraremos una recta con ecuación y = mx + b . Los
puntos ( x1 ,mx1 + b ) y ( x2 ,mx2 + b) son puntos en esta recta. Calculando la pendiente con estos dos
(mx2 + b) − (mx1 + b) mx2 − mx1 + b − b m( x 2 _ x1 )
puntos obtenemos
=
=
= m , independientemente de lo
x2 _ x1
x 2 _ x1
x 2 _ x1
que sean x1 y x2 . Notemos también que para la recta con ecuación y = mx + b , el punto (0 , b) es
parte de la gráfica de ella. El punto (0 , b) es un punto del eje y y por eso lo llamamos el
intercepto en y de la recta y a la ecuación y = mx + b la llamamos la ecuación pendiente-intercepto
de la recta.
Ejemplos
3) La recta con ecuación y = 3x + 5 tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0,5).
4) De la ecuación 3x − 2y = 5 obtenemos, resolviendo para y,
3
5
−2y = −3x + 5 ⇔ y = − x − . Por lo tanto la recta correspondiente tiene pendiente
2
2
3
5
− e intercepto en y igual a − .
2
2
Ejercicios
1) Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3 , -2) y (4 , -1).
2) Halle la pendiente y el intercepto en y de las rectas correspondientes a cada una de las
siguientes ecuaciones:
1+ x
a) y = −3x + 2
b) y = 5 − x
c) y = 2x
d) y =
e) x − 2y = 8
3
3) Dibuje en un sistema de coordenadas rectangulares una recta que pase por el punto
(2 , -1) y que tenga pendiente igual a 2.
4) Halle la pendiente del segmento de recta cuyos extremos son los puntos (0 , -2) y
(3, -4).
Respuestas
Si un punto ( x0 , y0 ) está en una recta con pendiente m, con cualquier otro punto ( x, y ) en la recta
y − y0
podríamos calcular m y obtener
= m . De esta ecuación obtenemos
x − x0
y − y 0 = m( x − x0 ) ,
a la cual llamamos la ecuación punto-pendiente de la recta.
Lección 8 - Líneas rectas
Ejemplo
5) Para hallar la ecuación pendiente-intercepto de la recta que pasa por el punto (7,-2) y
tiene pendiente -3, comenzaremos formando la ecuación punto-pendiente:
y − (−2) = −3(x − 7).
Al despejar y en esa ecuación, obtenemos
y = −3x + 19 ,
que es la ecuación deseada.
Si dos rectas tienen la misma pendiente entonces nunca se intersecarán y son consideradas
paralelas entre sí. Recíprocamente, si dos rectas son paralelas es porque tienen la misma
pendiente.
Ejemplos:
6) Las ecuaciones y = 3x − 10 y y = 3x + 4 corresponden a rectas paralelas pues ambas
tienen pendiente igual a 3.
7) Para hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (-2 , 9) y que es paralela a
la recta con ecuación y = 7x − 11, podemos proceder de la siguiente manera:
Primero: Notamos que la pendiente de la recta cuya ecuación buscamos es 7 pues
tiene que tener la misma pendiente que la recta con ecuación y = 7x − 11.
Segundo: Usamos la ecuación punto-pendiente con los dos datos que de la recta
tenemos. Así obtenemos que y − 9 = 7(x − (−2)) ⇔ y = 7x + 14 + 9 ⇔ y = 7x + 23.
Casi tan fácil como determinar si dos rectas son paralelas es determinar si dos rectas son
perpendiculares. Rectas perpendiculares son aquellas que se intersecan formando un ángulo recto.
Si una recta es vertical entonces sólo rectas horizontales son perpendiculares a ella. Eso es
claro. Por otro lado, consideremos dos rectas, L1 y L2 , con pendientesm1 y m2 respectivamente,
que se intersecan en algún punto. Ahora dispongamos de un sistema de coordenadas de manera que
el punto de intersección coincida con el origen (el punto (0, 0) ) como se muestra en el dibujo
siguiente. En tal sistema de coordenadas la ecuación de la recta L1 será y = m1 x y la ecuación de
la recta L2 será y = m2 x . Por lo tanto el punto (1 , m1 ) está en L1 y el punto (1 , m2 ) está en L2 .
Los puntos (0,0), (1 , m1 ) , y (1 , m2 ) son los vértices de un triángulo y la perpendicularidad entre
L1 y L2 equivale a que este triángulo sea un triángulo rectángulo.
Lección 8 - Líneas rectas
L2
(1 , m1 )
L1
(1 , m2 )
En virtud a un resultado muy conocido de geometría, tal triángulo sería un triángulo rectángulo si
y sólo si las longitudes de sus tres lados satisfacen el teorema de Pitágoras (la suma de los
cuadrados de las longitudes de dos de sus lados equivale al cuadrado de la longitud del tercer
lado). Sea el tercer lado el que se muestra con la línea roja punteada en el dibujo de arriba.
Entonces L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si la ecuación
2
2
2
(1− 0 )2 + (m1 − 0) + (1 − 0) 2 + (m2 − 0) = (1 − 1)2 + ( m1 − m2 )
[
] [
]
es cierta. Esta ecuación equivale a
1 + m1 2 + 1 + m2 2 = 0 + m12 − 2m1 m2 + m2 2 ,
la cual es a su vez equivalente a
2 = −2m1 m2 .
Dividiendo por -2 en ambos lados de la ecuación obtenemos
−1 = m1m2 .
Esto demuestra el siguiente teorema:
Teorema: Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si m1 m2 = −1.
Ejemplos:
8) Las rectas con ecuaciones y = 12x + 40 y y = −
pendientes, 12 y −
1
x + 93 son perpendiculares porque sus
12
1
 1
, satisfacen 12 •  −  = −1.
12
12
Lección 8 - Líneas rectas
9) Para hallar la ecuación pendiente-intercepto de la recta que pasa por el punto (2, -3) y
que es perpendicular a la recta con ecuación y = −4x + 21, podemos proceder de la
siguiente manera:
Primero: Determinamos la pendiente de la recta con ecuación y = −4x + 21. Esta
pendiente es -4.
Segundo: Determinamos la pendiente de la recta cuya ecuación buscamos. Como esta
recta es perpendicular a la otra, su pendiente m satisface -4m = -1. Por lo
1
tanto la pendiente es m = .
4
Tercero: Usamos la ecuación punto-pendiente con el punto dado y la pendiente recién
1
determinada. De esta manera obtenemos y − (−3) = ( x − 2) .
4
Cuarto: Re-escribimos la ecuación del paso previo en la forma pendiente-intercepto.
1
5
En este caso terminamos con la ecuación y = x − .
4
2
Ejercicios
5) Determine la ecuación pendiente-intercepto de la recta que pasa por el punto
2
(6,-3) y es paralela a la recta con ecuación y = x + 10 .
3
6) Halle una ecuación para la recta que biseca perpendicularmente el segmento de
recta cuyos extremos son los puntos (2 , 1) y (10 , -9).
7) ¿Son perpendiculares las rectas con ecuaciones 3x − 2y = 10 y 2x + 3y = −1 ?
Respuestas
Asignación:
•
•
Leer del texto las páginas 61-64 y páginas 67-72
Hacer los problemas 21-37 (impares) en las páginas 65-66, y los problemas 1-47
(impares) de las páginas 72-74