Tema 5

PROBLEMAS DE FÍSICA CUÁNTICA
(Lic. en Fı́sica, UEx; Curso 2010/2011)
Tema 5
1. Comprueba que el flujo de probabilidad en estados estacionarios de una barrera de potencial con energı́a menor
que la altura de la barrera es constante.
2. Halla el coeficiente de transmisión para la siguiente barrera de potencial:

0 , x<0
V (x) = V0 , 0 < x < a

V1 , x > a,
donde V0 > V1 > 0, cuando (a) E > V0 y (b) V1 < E < V0 .
3. Demuestra, por integración de la ecuación de Schrödinger unidimensional en las proximidades de x = 0, que para
un potencial de la forma V (x) = −γδ(x), γ > 0 (pozo delta) las correctas condiciones de contorno a imponer a
la función de onda son ψ(0− ) = ψ(0+ ) y ψ ′ (0+ ) − ψ ′ (0− ) = −(2mγ/~2 )ψ(0). Encuentra las funciones de onda
y las energı́as de los estados ligados.
4. Partı́culas de masa m y energı́a E inciden sobre el pozo delta V (x) = −γδ(x), γ > 0. (a) Calcula los coeficientes
de reflexión y transmisión. (b) Haz un esbozo de la función T (E) para E ≥ 0. (c) Si permitimos a E ser
negativa, podemos encontrar que T (E) diverge para cierta energı́a E0 . Halla dicha energı́a. (d) ¿Qué fracción
de las partı́culas incidentes sobre el pozo con energı́a E = |E0 | es transmitida y qué fracción es reflejada?
5. Calcúlense los coeficientes de reflexión y transmisión para partı́culas que se mueven sometidas al potencial
V (x) = γ[δ(x − a) + δ(x + a)]. ¿Existe resonancia?
6. Una partı́cula de masa m está sometida al siguiente potencial:

∞ , x<0
V (x) = 0 , 0 < x < a

V0 , x > a.
a) Halla las autofunciones correspondientes a la zona del espectro en que E > V0 .
b) Halla la ecuación que determina los valores de la energı́a en la zona E < V0 y muestra gráficamente que
las energı́as propias forman un espectro discreto.
c) ¿Cuál es el valor mı́nimo de 2mV0 a2 /~2 para el cual el n-ésimo nivel aparece? ¿Cuántos niveles discretos
existen si a2 V0 = 75~2 /m?
d ) Halla el valor de 2mV0 a2 /~2 para el cual la energı́a del único nivel discreto es E = 12 V0 . En este caso, ¿cuál
es el valor más probable de la posición de la partı́cula? ¿Cuál es la probabilidad de que la partı́cula se halle
en regiones clásicamente prohibidas?
7. Sea una partı́cula de masa m sometida al potencial (doble pozo delta)
V (x) = −γδ(x) − γδ(x − ℓ),
γ > 0,
ℓ > 0.
a) Escribiendo la energı́a en la forma E = −β 2 ~2 /2m, muestra que las energı́as de los estados ligados vienen
dadas por la relación exp(−βℓ) = ±(2β/µ − 1), donde µ = 2mγ/~2 . Muestra la resolución gráfica de esta
ecuación.
b) Prueba que el estado fundamental es simétrico respecto del punto x = 12 ℓ y que su energı́a Es es inferior
a la energı́a E0 del estado ligado de un solo pozo delta. Representa gráficamente la función de onda
correspondiente.
c) Muestra que cuando ℓ es mayor que un cierto valor, que deberá hallarse, existe un estado excitado impar
de energı́a Ea superior a E0 . Representa la función de onda correspondiente.
8. Consideremos el siguiente pozo doble como modelo sencillo de una molécula diatómica (unidimensional):

|x| > ℓ + a,
 ∞,
ℓ < |x| < ℓ + a,
V (x) = 0,

V0 > 0, |x| < ℓ.
a) ¿Tienen las autofunciones del hamiltoniano una paridad definida?
b) Prueba que los niveles energéticos E < V0 son solución de una de estas dos ecuaciones transcendentes:
1
1
1
1
tan ka = − tanh βℓ,
tan ka = − coth βℓ,
k
β
k
β
√
√
donde k = 2mE/~2 y β = 2m(V0 − E)/~2 . ¿Qué paridad tiene la autofunción correspondiente en cada
caso?
c) Prueba que en el lı́mite en que los dos átomos están muy separados (ℓ → ∞), ambas ecuaciones transcendentes se reducen a una única ecuación. ¿Qué degeneración tienen entonces los niveles energéticos?¿Cuál
es la interpretación fı́sica?
9. Partiendo de que las energı́as y funciones propias del oscilador armónico son conocidas, encuentra las energı́as
y funciones propias de una partı́cula de masa m sometida al potencial
{
∞
, x≤0
V (x) = 1
2 2
mω
x
, x > 0.
2
10. En 1926 Schrödinger encontró la siguiente solución exacta de su ecuación (dependiente del tiempo) para un
oscilador armónico:
[
]}
{
( mω )1/4
) i~t
mω 2
a2 (
−iωt
−2iωt
Ψ(x, t) =
exp −
x − 2axe
+
1+e
+
,
π~
2~
2
m
donde m es la masa de la partı́cula, ω es la frecuencia angular del oscilador y a es una constante real arbitraria.
La solución anterior es un ejemplo de estado coherente en el que todos los términos del desarrollo en estados
estacionarios oscilan en fase.
a) Comprueba que la función de onda anterior efectivamente satisface la ecuación de Schrödinger dependiente
del tiempo.
b) Prueba que la densidad de probabilidad es
( mω )1/2
[ mω
]
2
P (x, t) =
exp −
(x − a cos ωt)
π~
~
y describe el movimiento del paquete de ondas.
c) Calcula los valores esperados ⟨x⟩ y ⟨px ⟩ en función del tiempo y comprueba que se verifica el teorema de
Ehrenfest.
⃗ se
11. La ecuación de Schrödinger para una partı́cula de carga q moviéndose en el seno de un campo magnético B
⃗ donde A
⃗ es el potencial vector, es decir, B
⃗ = ∇ × A.
⃗ Supongamos que
obtiene haciendo el cambio p⃗ → p⃗ − q A,
⃗ = B⃗ez , por lo que podemos tomar A
⃗ = Bx⃗ey .
el campo magnético es constante: B
a) Escribe la ecuación de Schrödinger (independiente del tiempo) para ψ(x, y, z) en ese caso.
b) Haciendo el cambio ψ(x, y, z) = ei(ky y+kz z) φ(x′ ), donde x′ = x − ~ky /mω, ω ≡ qB/m, demuestra que la
ecuación que verifica φ(x′ ) es
(
)
~2 d2
1
~2 kz2
′
2 ′2
′
−
φ(x ) + mω x φ(x ) = E −
φ(x′ ).
2m dx′2
2
2m
¿Qué situación fı́sica está descrita por una ecuación formalmente idéntica a la anterior?
c) Utilizando la equivalencia anterior, indica cuáles son los niveles energéticos de la partı́cula cargada si kz = 0.
12. Una partı́cula de masa m está sometida al siguiente potencial
{
0 para 0 < x < a y 0 < y < b
V (x, y) =
∞ en el resto
a) Encuentra las energı́as y funciones propias de la partı́cula.
b) Si la partı́cula se encuentra en el estado fundamental, ¿cuál será la probabilidad de que se encuentre en la
región 0 < x < a/3, 0 < y < b/3?
c) Halla las energı́as de los primeros cuatro niveles si a = b.
d ) Encuentra el número de estados permitidos en el intervalo de energı́a (E, E + dE).
13. Una partı́cula de masa m se mueve en el potencial tridimensional V (x, y, z) = 12 mω 2 (x2 + y 2 + z 2 ). Halla las
energı́as permitidas y el grado de degeneración del nivel n-ésimo.