TUTORIAL 2 MUESTRAS DE ACEPTACIÓN CONTENIDO DEL TUTORIAL § § § § § § § § § PLANES DE MUESTREO Ø Muestreo simple Ø Muestreo doble Ø Muestreo secuencial CURVAS DE CARACTERÍSTICA OPERATIVA RIESGO DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR CALIDAD MEDIA DE SALIDA RESUMEN TÉRMINOS CLAVE PROBLEMA RESUELTO CUESTIONES PARA DESARROLLAR PROBLEMAS En el suplemento del Capítulo 6, Control estadístico de procesos, se hizo una introducción breve al tema de las muestras de aceptación. El muestreo de aceptación es un tipo de test que implica tomar muestras aleatorias de “lotes” de productos acabados, medirlos y compararlos con estándares predeterminados. En este tutorial, ampliamos nuestra introducción al muestreo de aceptación con una explicación de los planes de muestreo, la elaboración de una curva de característica operativa (OC) y una calidad media de salida. PLANES DE MUESTREO Un “lote” de artículos puede ser inspeccionado de diversas maneras, a saber, muestreo simple, doble o secuencial. MUESTREO SIMPLE Dos valores especifican el plan de muestreo simple: el número de elementos que compondrá la muestra (n) y el número de defectos aceptado que se ha especificado previamente (c). Si en la muestra no existen más defectos que el número aceptado, c, entonces se acepta todo el lote. Si existen más de c defectos, se rechaza todo el lote o se somete a una inspección del 100%. MUESTREO DOBLE A menudo un lote de productos es tan bueno o tan malo que se puede determinar una conclusión sobre su calidad tomando una muestra más pequeña que la que habríamos utilizado en un plan de muestreo simple. Si el número de defectos en esta pequeña muestra (de tamaño n1) es inferior o igual a un determinado límite inferior (c 1), el lote puede ser aceptado. Si el número de defectos excede un determinado límite superior (c 2), el lote puede ser rechazado. Pero si el número de defectos en la muestra n1 se sitúa entre c 1 y c 2, se toma una segunda muestra (de tamaño n2 ). Los resultados acumulados determinan cuándo aceptar o rechazar el lote. Este concepto se llama muestreo dobles. MUESTREO SECUENCIAL El muestreo múltiple es una extensión del muestreo doble, con pequeñas muestras tomadas secuencialmente hasta que se tenga clara la decisión a tomar. Cuando las unidades son seleccionadas aleatoriamente de un lote y comprobadas una a una, registrando el número acumulado de piezas inspeccionadas y de defectos encontrados, este proceso se denomina muestreo secuencial. Si el número acumulado de defectos excede de un límite superior especificado para esta muestra, todo el lote será rechazado. O, si el número acumulado de defectos es inferior o igual a un límite inferior, el lote será aceptado. Pero si el número de defectos se encuentra entre los dos límites, se continúan tomando muestras del lote. Es posible que en algunos planes de muestreo secuenciales se lleguen a inspeccionar todas y cada una de las piezas del lote antes de tomar una decisión. La selección del mejor plan de muestreo (simple, doble, o secuencial) depende del tipo de productos que vayan a ser inspeccionados y del nivel de calidad esperado. Por ejemplo, un lote de productos de baja calidad puede ser identificado más deprisa y de forma más barata con un muestreo secuenciale. Esto significa que la inspección, que puede ser costosa e incluso destructiva, puede acabar antes. Por otro lado, hay muchos casos donde el muestreo simple es más fácil y menos complejo de llevar a cabo por los trabajadores, aunque el tamaño de las muestras pueda ser superior al utilizado en otros planes de muestreo. CURVAS DE CARACTERÍSTICA OPERATIVA (OC) La curva de característica operativa (OC) describe la capacidad de un plan de aceptación para discriminar entre lotes buenos y malos. Una curva pertenece a un plan específico, esto es, a la combinación de n (tamaño de la muestra) y c (nivel de aceptación). Esta curva muestra la probabilidad de que el plan acepte lotes de diferentes niveles de calidad. Figura T2.1 (a) Plan de inspección con discriminación perfecta. (b) Curvas OC para dos niveles diferentes de aceptación de defectos (c = 1, c = 4) y con el mismo tamaño de la muestra (n = 100). (c) Curvas OC para dos tamaños de muestra diferentes (n = 25, n = 100), pero con el mismo porcentaje de aceptación (4%). Tamaños de muestra mayores implican mejor discriminación. Naturalmente, se preferirá un plan de muestreo y una curva OC altamente discriminantes. Si todo el pedido de piezas tiene un inaceptable alto nivel de defectos, se espera que la muestra refleje este hecho con una probabilidad muy alta (preferiblemente de 100 por cien) de que el pedido sea rechazado. La Figura T2.1(a) muestra un plan de discriminación perfecta para una empresa que quiere rechazar todos los lotes con más de un 2,5% defectuosos. Desafortunadamente, la única manera de asegurar el 100% de aceptación de los buenos lotes y el 0% de aceptación de lotes malos es llevar a cabo una inspección total, lo que a menudo resulta muy costoso. La Figura T2.1(b) muestra que ninguna curva OC será en realidad como la de la Figura T2.1(a); y, por tanto, no será lo suficientemente discriminante como para asegurar una inspección 100% libre de error. La Figura T2.1(b) indica que para el mismo tamaño de la muestra (n =100 en este caso), un valor más pequeño de c (defectos aceptables) provoca una curva con mayor pendiente que otra con un valor de c más elevado. Por lo tanto, una manera de incrementar la probabilidad de aceptar sólo buenos lotes y rechazar sólo malos lotes con un muestreo aleatorio es la de fijar niveles de aceptación muy ajustados. Una segunda vía de desarrollar una curva OC con mayor pendiente, y por tanto mejor, es incrementar el tamaño de la muestra. La Figura T2.1(c) muestra que incluso cuando el nivel de aceptación es el mismo, en proporción al tamaño de la muestra, un valor de n incrementará la verosimilitud de la precisión de la medida de calidad de los lotes. En esta figura ambas curvas utilizan un mismo ratio de defectos del 4% (igual a 4/100 = 1/25). Sin embargo, si coge una regla y examina detalladamente la Figura T2.1(c), podrá ver que la curva OC para n =25, c =1 rechaza más lotes buenos y acepta más lotes malos que el segundo plan. He aquí algunos valores para ilustrar este punto. En otras palabras, la probabilidad de aceptar un lote más que satisfactorio (uno con el 1% de defectos) es del 99% para n =100, pero sólo del 97% para n =25. De la misma manera, la posibilidad de aceptar un lote “malo” (uno con el 5% de defectos) es sólo del 44 % para n 1 =100, mientras que utlizando la muestra de tamaño menor pasa a ser del 64% . Evidentemente, si no fuese por el coste de inspección, todas las empresas optarían por tamaños muestrales elevados. RIESGO DEL CONSUMIDOR Y DEL PRODUCTOR En el muestreo de aceptación están involucradas dos partes: el productor del producto y el consumidor del producto. En la especificación de un plan de muestreo, cada parte quiere evitar los costosos errores en la aceptación o rechazo de los lotes. El productor quiere evitar el error de tener un buen lote rechazado (riesgo del productor) porque generalmente tendrá que acabar reemplazando el lote. Recíprocamente, el cliente o consumidor quiere evitar el error de aceptar un lote malo porque los defectos de un lote aceptado son generalmente responsabilidad del consumidor (riesgo del consumidor). La curva OC muestra las características de un plan de muestreo determinado, incluyendo los riesgos de tomar decisiones erróneas. Para ayudarle a entender la teoría que sustenta el uso de los planes de muestreo, vamos a ayudarle a ver como se construye estadísticamente una curva OC. 1 Aún a riesgo de ser repetitivos, el muestreo siempre comporta el peligro de llevarnos a conclusiones erróneas. Supongamos que en este ejemplo la población total es de 1.000 chips de los que en realidad sólo 30 (o 3%) son defectuosos. Esto significa que deberíamos aceptar el pedido, dado que el porcentaje es del 4%. Pero ante una muestra aleatoria de n =50 chips, podemos concluir y aceptar el lote (que estaría bien) o también puede pasar que encontremos 30 defectuosos en la muestra. Si ocurriera esto último, nos llevaría a pensar de manera errónea que el 60% del lote es defectuoso, y, por tanto, el lote sería rechazado. En una muestra de atributos, donde se determina si los productos son buenos o malos, se emplea normalmente una distribución binomial para construir la curva OC. La ecuación binomial es: donde n= número de artículos de una muestra (denominados pruebas). p=probabilidad de que un x (defecto) ocurra en una prueba cualquiera. P(x)=probabilidad de exactamente x resultados en n pruebas. Cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y el porcentaje de defectos (p ) es bajo, la distribución de Poisson puede utilizarse como aproximación a la fórmula de la binomial. Este hecho es bastante útil, pues los cálculos con la binomial pueden resultar ciertamente complejos, y porque las tablas con valores de probabilidad acumulados de la ley de Poisson son fácilmente disponibles. Nuestra tabla de Poisson aparece en el Apéndice II. En la aproximación de Poisson de la distribución binomial, la media de la binomial que es np, se utiliza como media de Poisson, que es λ, esto es: λ = np (T2.2) EJEMPLO T1 Un pedido de 2.000 baterías portátiles para computadores personales va a ser inspeccionado por un importador de Malasia. El productor coreano y el importador han establecido un plan de muestreo donde el riesgo de α está limitado al 5%, con un nivel de calidad aceptable (AQL) del 2% de defectos, y el riesgo de β fijado al 10%, con un LTPD de 7% de defectos. Queremos construir la curva OC para el plan de tamaño de la muestra n = 120 y un nivel de aceptación de c menor o igual a 3 defectuosos. Ambas empresas desean saber si este plan satisfará sus requisitos de calidad y riesgo. Para resolver el problema, utilizaremos la tabla de acumulados de Poisson del Apéndice II del libro, cuyas columnas están dispuestas en términos del nivel de aceptación, c =3. Las filas de la tabla son λ (=np), que representa el número de defectuosos que esperaríamos encontrar en cada muestra. Variando el porcentaje de defectos (p) desde 0,01 (1%) hasta 0,08 (8%) y manteniendo el tamaño de muestra (n) en 120, podemos calcular la probabilidad de aceptación del lote para cada porcentaje escogido. Los valores de P (aceptación) calculados en la tabla siguiente se representan después gráficamente, dando la curva OC de la Figura T2.2. – FIGURA T2.2 CURVA OC DEL EJEMPLO T1 Volvamos al tema de si esta curva OC satisface los requisitos de calidad y riesgo del consumidor y del productor de baterías. Para un AQL del 2% (p= 0,02) de defectos, la P (aceptación) del lote es del 0,779, esto conlleva a un riesgo α= 1 – 0,779 = 0,221, es decir, del 22,1% que excede considerablemente el nivel del 5% deseado por el productor. El riesgo β de 0,032, esto es, del 3,2%, está bien por debajo del 10% perseguido por el consumidor. Parece ser que son necesarios nuevos cálculos con una muestra más grande si el valor deber ser reducido. En el ejemplo T1, hemos fijado los valores de n y c para un plan de muestreo, y después hemos calculado los riesgos de α y β para ver si coincidían con los niveles deseados. A menudo, las empresas, en lugar de esto, desarrollan una curva OC con los valores fijados y el AQL deseado y luego van sustituyendo los valores de c y n hasta que la curva cumple LTPD y β. CALIDAD MEDIA DE SALIDA En la mayoría de planes de muestreo, cuando se rechaza un lote, el lote entero se inspecciona y todos los artículos defectuosos son reemplazados. El uso de esta técnica de reemplazo mejora la calidad media de salida expresada en términos de porcentaje de defectuosos. De hecho, dado (1) un plan cualquiera de muestreo que reemplaza todos los defectuosos encontrados y (2) el porcentaje real de defectuosos del lote, es posible determinar la calidad media de salida (AOQ) expresada en porcentaje de defectuosos. La ecuación de AOQ es: donde Pd = porcentaje real de defectuosos del lote Pa= probabilidad de aceptar el lote N = número de artículos del lote n = número de artículos de la muestra EJEMPLO T2 El porcentaje de defectos del lote que llega del Ejemplo T1 es del 3%. La curva OC muestra que la probabilidad de aceptación es 0, 515. Dado un lote de 2.000 y una muestra de 120, ¿cuál es la calidad media de salida expresada en porcentaje de defectuosos? De esta manera, un plan de muestreo de aceptación cambia la calidad de los lotes en porcentaje de defectuosos del 3% al 1,5% en promedio. El muestreo de aceptación incrementa de forma significativa la calidad de los lotes inspeccionados. En muchos casos no conocemos el valor de Pa; debemos determinarlo a partir de un plan de muestreo determinado. El hecho de que raramente conozcamos el porcentaje de defectos real presenta un problema adicional. En la mayoría de los casos se suponen diferentes porcentajes de defectos, y después se calcula la calidad media de salida para cada valor. EJEMPLO T3 Para ilustrar las relaciones de AOQ utilizaremos los datos obtenidos de la curva OC del Ejemplo T1. El tamaño del lote en aquel caso era de N= 2.000 y el tamaño de la muestra n= 120. Asumimos que cada batería defectuosa detectada durante la inspección es reemplazada por una sin defectos. Una vez hecho esto, tomamos la fórmula AOQ anterior y las probabilidades de aceptación del Ejemplo T1, y desarrollamos los siguientes datos: Estos valores los dibujamos en la gráfica de la Figura T2.3, en la que aparece la calidad media de salida en función de la calidad media de los lotes de entrada. ¿Se ha percatado cómo cambia el AOQ para diferentes porcentajes de defectuosos? Cuando el porcentaje de defectuosos de los lotes de entrantes es muy alto o muy bajo, el porcentaje de defectuosos del lote saliente es bajo. Para un porcentaje de entrada del 1% el AOQ es del 0,009, y para un 8% de entrada el AOQ es del 0,001. Para niveles moderados del porcentaje de defectusos en los lotes recibidos, el AOQ es mayor: el AOQ para un 2-3% es del 0,015. Es decir, el AOQ es bajo para valores pequeños del porcentaje de defectuosos entrantes. Cuando el porcentaje de defectuosos de los lotes recibidos aumenta, el AOQ aumenta hasta un valor. A partir de ahí, para mayores porcentajes de defectuosos de entrada, el AOQ disminuye. El valor máximo en la curva AOQ corresponde al porcentaje medio de defectuosos de salida más elevado o a la calidad media más baja del plan de muestreo. Se le llama el límite de la calidad media de salida (AOQL). En la Figura T2.3, el AOQL está justamente por encima del 1,5%, lo que significa que el 94,8% de las baterías son buenas, cuando la calidad de entrada está entre el dos y el 3%. El muestreo de aceptación es útil para tener una percepción inmediata de los lotes que se reciben. Cuando las partes defectuosas se reemplazan con partes buenas, el muestreo de aceptación ayuda a incrementar la calidad de los lotes, reduciendo el porcentaje de defectos de salida. RESUMEN El muestreo de aceptación es la herramienta estadística más importante del control de calidad. Los planes de muestreo y las curvas de característica operativa (OC) posibilitan el muestreo de aceptación y proporcionan a los directivos herramientas para evaluar la calidad de una tanda de producción o de un pedido. TÉRMINOS CLAVE Muestreo de aceptación (p.T2-2) Muestreo simple (p.T2-2) Muestreo doble (p. T2-.2) Muestreo secuencial (p.T2-2) Curva de característica operativa (OC) (p.T2-2) Calidad media de salida (AOQ) (p.T2-6) PROBLEMAS RESUELTOS Problema resuelto T2.1 En un plan de muestreo de aceptación desarrollado para lotes que contienen 1.000 unidades, el tamaño de la muestra, n, es de 85 y c es 3. El porcentaje de defectos de los lotes de entrada es del 2% y la probabilidad de aceptación, obtenida de una curva OC, es 0,64. ¿Cuál es la calidad media de salida? Solución CUESTIONES PARA DESARROLLAR 1. 2. 3. 4. Explique la diferencia entre muestreo simple, doble y secuencial. Defina AQL y LTPD. ¿Qué es la “calidad media de salida”? ¿Qué es AOQL? PROBLEMAS∗ T2.1 De un lote de 6.000 peluches que hablan se escogen aleatoriamente 80, siendo aceptado todo el lote si hay c = 2 defectos. Construya una curva OC para este plan de muestreo. T2.2 Un lote de 200 lámparas de mesa acaba de llegar al almacén de Lighting,Inc. Se inspeccionan muestras aleatorias de n = 5 lámparas. Si más de una lámpara es ∗ Nota: significa que el problema se puede resolver con el programa POM para Windows; que el problema se puede resolver con el programa Excel OM; y resolver con el programa POM para Windows y/o con Excel OM. significa significa que el problema se puede defectuosa, se rechaza todo el lote. Haga una curva OC para este plan de muestreo. T2.3 Construya una curva AOQ para el problema T2.2. T2.4 Cada semana, Melissa Bryant Ltd. recibe un lote de 1.000 relojes Swiss para su cadena de tiendas de la Costa Este. Bryant y el fabricante Swiss han acordado el siguiente plan de muestreo: α= 5%, β= 10%, AQL= 1%, LTPD= 5%. Construya una curva OC para el plan de muestreo con n= 100 y c = 2. ¿Satisface este plan los requisitos del fabricante y del consumidor? T2.5 La empresa de Kristi Conlin en Waco (Texas) ha diseñado una curva OC que muestra una probabilidad de 2/3 de aceptar lotes con un porcentaje real de defectos del 2%. Se producen lotes de 1.000 unidades cada vez y se extraen al azar 100 unidades como muestra. ¿Cuál es el nivel medio de calidad de salida?