Árboles Estructura de Datos y Algoritmos Mtr. Ing. Nancy López Ejemplos de estructuras arborescentes • Arborescente -con forma de árbol Ejemplos de estructuras arborescentes Árboles • Estructura jerárquica. • Se usan habitualmente para organizar información en sistemas de bases de datos. Director SubDir1 J´Dpto1 J´Dpto2 SubDir2 J´Dpto3 SubDir3 J´Dpto4 J´Dpto5 Árboles Definición • Un árbol es una colección de elementos llamados nodos, uno de los cuales es distinguido y llamado raíz junto con una relación ser padre que impone una estructura jerárquica en los nodos. • Un nodo es un árbol= el nodo raíz. Árboles Definición • Un árbol es una estructura de datos, que puede definirse de forma recursiva como: – Una estructura vacía o – Un elemento o clave de información (nodo) más un número finito de estructuras tipo árbol, disjuntos, llamados subárboles. Si dicho número de estructuras es inferior o igual a 2, se tiene un árbol binario. Árboles Definición • Es un grafo acíclico, conexo y no dirigido. • Ejemplo de árbol 2-ario o binario. Árboles - nomenclatura • Raíz: es aquel elemento que no tiene antecesor; ejemplo: a. • Rama: arista entre dos nodos. • Antecesor: un nodo X es antecesor de un nodo Y si por alguna de las ramas de X se puede llegar a Y. • Sucesor: un nodo X es sucesor de un nodo Y si por alguna de las ramas de Y se puede llegar a X. • Grado de un nodo: el número de descendientes directos que tiene. Ejemplo: c tiene grado 2, d tiene grado 0, a tiene grado 2. Árboles - nomenclatura • Hoja: nodo que no tiene descendientes: grado 0. Ejemplo: d • Nodo interno: aquel que tiene al menos un descendiente. • Nivel: número de ramas que hay que recorrer para llegar de la raíz a un nodo. Ejemplo: el nivel del nodo a es 1 (convención), el nivel del nodo e es 3. • Altura: el nivel más alto del árbol. En el ejemplo de la figura 1 la altura es 3. • Anchura: es el mayor valor del número de nodos que hay en un nivel. En la figura, la anchura es 3. Árbol Binario de Búsqueda • Un árbol binario es un árbol vacío o un árbol en el cual cada nodo tiene ninguno, uno o dos hijos. • Llamamos a los hijos hijo izquierdo e hijo derecho. • La propiedad que hace de un árbol binario un árbol binario de búsqueda es que para todo nodo en el árbol los valores de los nodos en el subárbol izquierdo son menores y los valores de los nodos en el subárbol derecho son mayores. Árbol Binario de Búsqueda Raíz: A. Rama: Antecesor: B es antecesor de E. A Sucesor: E sucesor de B. Grado de un nodo: 2 C B Hojas: D, E, F, G. Nodos internos: a, b, c. Nivel: de A: 1, de B: 2, de D: 3. Altura: 3. Anchura: 4. D E F G Árbol Binario de Búsqueda • Los hijos se ordenan de izquierda a derecha. • Regla de construcción: – Primero el nodo raíz. – Si el nuevo elemento es menor, se coloca a la izquierda; si es mayor, a la derecha. – Ejemplo: 10-5-12-4-7-3-6-9-8-11-14-13-2-1-1517-18-16 10 5 12 4 3 2 7 6 11 9 14 13 15 8 1 Preorden: 10-5-4-3-2-1-7-6-9-8-12-11-14-13-15-17-16-18 Postorden: 1-2-3-4-6-8-9-7-5-11-13-16-18-17-15-14-12-10 Inorden: 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18 17 16 18 Árbol Binario de Búsqueda Recorrido • Preorden – Visita al padre – Preorden hijo izquierdo – Preorden hijo derecho * Visita es cualquier operación sobre el nodo, por ejemplo, mostrarNodo. Árbol Binario de Búsqueda Recorrido • Inorden – Inorden hijo izquierdo – Visita al padre – Inorden hijo derecho * Visita es cualquier operación sobre el nodo, por ejemplo, mostrarNodo. Árbol Binario de Búsqueda Recorrido • Postorden – Postorden hijo izquierdo – Postorden hijo derecho – Visita al padre * Visita es cualquier operación sobre el nodo, por ejemplo, mostrarNodo. Árbol Binario de Búsqueda • Definición typedef struct nodo { int valor; nodo *izq; nodo *der; } tipoNodo; typedef tipoNodo *ABB, *pNodo; Árbol Binario de Búsqueda • Crear un nuevo nodo pNodo crearNodo(int v) { pNodo nuevo=new tipoNodo; nuevo->valor=v; nuevo->izq=NULL; nuevo->der=NULL; return nuevo; } Árbol Binario de Búsqueda • Insertar un nodo void insertar (ABB &arbol, pNodo v) { if (arbol==NULL) arbol=v; else if(v->valor<arbol->valor) insertar(arbol->izq,v); else if(v->valor>arbol->valor) insertar(arbol->der, v); } Árbol Binario de Búsqueda • Mostrar en preorden void preOrden(ABB arbol) { if (arbol==NULL) return; cout<<arbol->valor<<" "; preOrden(arbol->izq); preOrden(arbol->der); } Árbol Binario de Búsqueda • Recorrido en postorden void postOrden(ABB arbol) { if (arbol==NULL) return; postOrden(arbol->izq); postOrden(arbol->der); cout<<arbol->valor<<" "; } Árbol Binario de Búsqueda • Recorrido en inorden void inOrden(ABB arbol) { if (arbol==NULL) return; inOrden(arbol->izq); cout<<arbol->valor<<" "; inOrden(arbol->der); } Borrar un nodo • Si no está, no se elimina. • Si el nodo es una hoja, se elimina directamente. • Si se toma de un nodo interno o una rama, se busca el nodo más a la izquierda del subárbol derecho o el más a la derecha del subárbol izquierdo y se intercambia con el nodo a eliminar, luego se elimina el nodo. Árbol Binario de Búsqueda • Borrar un nodo void borrar(ABB &arbol, int x) { if(arbol==NULL) return; if(x<arbol->valor) borrar(arbol->izq, x); else if(x>arbol->valor) borrar(arbol->der, x); else { ABB p = arbol; arbol = unirABB(arbol->izq, arbol->der); delete p; } } Árbol Binario de Búsqueda ABB unirABB(ABB izq, ABB der) { if(izq==NULL) return der; if(der==NULL) return izq; ABB centro = unirABB(izq->der, der->izq); izq->der = centro; der->izq = izq; return der; }