Universidad de Costa Rica, Escuela de Matemática MA-720 Teorı́a de Probabilidades, I ciclo lectivo 2011 Carta al estudiante 1 Descripción del curso Este es un primer curso clásico de teorı́a de probabilidades con orientación especı́fica hacia las carreras de Matemática Pura y las Ciencias Actuariales. El objetivo central es dotar al estudiante de los conceptos básicos de la teorı́a, ası́ como las herramientas operativas del cálculo de probabilidades. 2 Contenidos del curso Capı́tulo 1. Elementos de combinatoria: cardinalidad de conjuntos finitos; permutaciones simples; permutaciones con objetos repetidos; permutaciones de n objetos, tomados m de ellos a la vez; números de Stirling de primera especie; arreglos de objetos en cajas ordenadas; palabras en orden creciente; combinaciones sin repeticiones; distribución de objetos en varios subconjuntos; selección simultánea de objets en varias clases; combinaciones con repeticiones; selección de objetos no consecutivos; el binomio de Newton, coeficientes binomiales; el triángulo de Pascal; coeficientes multinomiales; el teorema del multinomio; particiones de un conjunto; los números de Bell; fórmulas de inversión; números de Stirling de segunda especie; principio de inclusión y exclusión.1 Capı́tulo 2. Eventos, probabilidad, independencia: probabilidades empı́ricas, combinatorias y geométricas; álgebra de eventos; axiomática de la teorı́a fundamental de probabilidades; espacios de probabilidad y álgebra de eventos; probabilidades condicionales; independencia estocástica; regla de la multiplicación, teorema de Bayes; teorema de las probabilidades totales.2 Capı́tulo 3. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad : variables aleatorias; propiedades básicas; combinaciones de variables aleatorias; funciones de distribución; distribuciones multivariadas; esperanzas; varianzas; distribuciones marginales; teorema de descomposición de Lebesgue.3 Capı́tulo 4. Distribuciones discretas: distribuciones discretas univariadas; distribuciones Binomial, Pascal, Hipergeométrica, Poisson; distribuciones discretas multivari1 Capı́tulos 1 a 5 del libro Combinatoria Enumerativa, de Piza E. 1 y 2 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker H.G. y capı́tulos 1 y 2 del libro Problemas de la teorı́a de las probabilidades y de estadı́stica matemática, de Gmurman V.E. 3 Capı́tulo 3 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker H.G. y capı́tulo 3 del libro Theory of Probability, de Harris B. 2 Capı́tulos 1 adas; esperanzas; momentos; manipulaciones con variables aleatorias discretas.4 Capı́tulo 5. Distribuciones absolutamente continuas: definiciones básicas; densidades de funciones absolutamente continuas; distribuciones Uniforme, Gamma, Beta, Normales, Exponenciales, Logı́stica, Chi-Cuadrado F y t; distribuciones multivariadas; densidades condicionadas; estadı́sticas de orden; distribuciones de muestreo; Normal multivariada; esperanzas; varianzas; manipulaciones con variables aleatorias absolutamente continuas.5 Capı́tulo 6. Esperanzas, funciones generadoras y funciones caracterı́sticas: valores esperados, momentos, desiguadad de Chebyshev; momentos absolutos y la desigualdad de Lapunov; funciones generadoras de probabilidad; funciones generadora de momentos; integral de Riemann-Stieltjes; funciones caracterı́sticas y sus propiedades; fórmulas de inversión y teorema de Fubini; valores esperados y momentos de funciones de varias variables aleatorias.6 Capı́tulo 7. Convergencia en probabilidad y teoremas lı́mite: convergencia en ley; convergencia en probabilidad; convergencia en media cuadrática; convergencia casi segura; teoremas centrales del lı́mite: el teorema de Lévy-Cramér; el teorema de Moivre-Laplace; el teorema de Lindeberg-Lévy; el teorema de Lapunov, el teorema de Gnedenko; las leyes de los grandes números de Poisson, Chebyshev y Khintchin; la ley fuerte de los grandes números.7 3 Bibliografı́a Ekeland, Ivar: Al Azar: la suerte, la ciencia y el mundo (versión española), Editorial Gedisa, 1992. Feller, William: An introduction to Probability Theory and its applications, John Wiley & Sons, Inc, London, 1950. Fisz, Marek: Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1963. Gmurman, V.E.: Problemas de la teorı́a de las probabilidades y de estadı́stica matemática, Editorial Mir, Moscú, 1975. Harris, Bernard: Theory of Probability, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1966. 4 Capı́tulo 4 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker H.G. y capı́tulo 3 del libro Introduction to Probability Theory, de Hoel-Port-Stone. 5 Capı́tulos 5 y 6 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker H.G. y capı́tulos 5 y 6 del libro Introduction to Probability Theory, de Hoel-Port-Stone. 6 Capı́tulo 7 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker H.G. y capı́tulos 6 y 7 del libro Introduction to Probability Theory, de Hoel-Port-Stone y capı́tulo 4 del libro Theory of Probability, de Harris B. 7 Capı́tulo 7 del libro An introduction to probability and mathematical statistics, de Tucker H.G. y capı́tulo 7 del libro Theory of Probability, de Harris B. 2 Hoel, Paul G. & Port, Sidney C. & Stone, Charles J.: Introduction to Probability Theory, Houghton Mifflin Company, Boston, 1971. Piza, Eduardo: Combinatoria enumerativa, Editorial de la Universidad de Costa Rica, San José, 2006. Prohorov, Yu. V. & Rozanov, Yu. A.: Probability Theory, Springer Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1969. Tucker, Howard G.: An Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Academic Press, New York, 1967. 4 Evaluación 3 exámenes parciales: 75%; trabajos y exposiciones: 25%. Prof. Eduardo Piza Volio San Pedro de Montes de Oca, marzo del 2011. 3