S3 Movimiento de una particula

V. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE
UNA PARTÍCULA
1. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO a = f(t).
Se sabe que a = dv/dt, entonces podemos escribir
DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE
UNA PARTÍCULA
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN a = f(x).
Se sabe que a = vdv/ds, entonces podemos escribir
V.DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO
DE UNA PARTÍCULA
2. LA ACELERACIÓN COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD a = f(v).
Se sabe que a = dv/dt o también a = vdv/ds, entonces podemos
escribir
V.DETERMINACIÓN DEL MOVIMEINTO
DE UNA PARTÍCULA
4. LA ACELERACIÓN ES CONSTANTE a = constante
A este caso se le denomina movimiento rectilíneo uniforme y las ecuaciones obtenidas
son
Ejemplo
01
El auto mostrado en la figura se mueve en línea recta de tal manera que su velocidad
para un período corto de tiempo es definida por
pies/s, donde t es
el tiempo el cual está en segundos . Determine su posición y aceleración cuando t =
3,00 s. Considere que cuando t = 0. S = 0
Solución
POSICIÓN Para el sistema de
referencia considerado y sabiendo
que la velocidad es función del
tiempo v = f(t). La posición es
Cuando t = 3 s, resulta

ACELERACIÓN. Sabiendo que
v = f(t), la aceleración se
determina a partir de a = dv/dt

Cuando t = 3 s
Ejemplo
02
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente hacia abajo dentro de un medio fluido
con una velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del fluido produce una
desaceleración del proyectil que es igual a
donde v se mide en m/s.
Determine la velocidad v y la posición S cuatro segundos después de que se disparó el
proyectil.
Solución
Usando el sistema de
referencia mostrado y sabiendo que
a = f(v) podemos utilizar la ecuación
a = dv/dt para determinar la
velocidad como función del tiempo
esto es
Velocidad:
POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),
la posición se determina a
partir de la ecuación v = dS/dt
Ejemplo 03

Una partícula metálica está sujeta a la influencia de un
campo magnético tal que se mueve verticalmente a
través de un fluido, desde la placa A hasta la placa B, Si
la partícula se suelta desde el reposo en C cuando S =
100 mm, y la aceleración se mide como
donde S está en metros. Determine; (a) la velocidad de
la partícula cuando llega a B (S = 200 mm) y (b) el
tiempo requerido para moverse de C a B
Solución


Debido a que a = f(S), puede
obtenerse la velocidad como
función de la posición usando vdv
= a dS. Consideramos además que
v = 0 cuando S = 100 mm
La velocidad cuando S = 0,2 m es

El tiempo que demora en
viajar la partícula de C a B se
determina en la forma

Cuando S = 0,2 m el tiempo
es
Ejemplo 04
Desde una ventana situada a 20 m sobre el suelo se lanza
una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de
10 m/s. Sabiendo que la bola todo el tiempo se encuentra
sometida a un campo gravitacional que le proporciona una
aceleración g = 9,81 m/s2 hacia abajo. Determine: (a) la
velocidad y la altura en función del tiempo, (b) el instante en
que la bola choca con el piso y la velocidad correspondiente
Solución
dv
 a  9.81 m s 2
dt
v t 
t
vt   v0  9.81t
 dv    9.81 dt
v0
0
vt   10
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
dy
 v  10  9.81t
dt
yt 

y0
t
dy   10  9.81t  dt
y  t   y0  10t  12 9.81t 2
0
m
 m 
yt   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
Solución
Cuando la bola alcanza su altura máxima su
velocidad es cero, entonces se tiene
m 
m
vt   10   9.81 2  t  0
s 
s 
t  1.019 s
• Remplazando el valor del tiempo obtenido se
tiene.
m
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
m

 m
y  20 m  10 1.019 s    4.905 2 1.019 s 2
 s

s 
y  25.1m
Solución
• Cuando la bola choca contra el suelo y = 0
Entoces tenemos.
m 2
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t  0
 s 
s 
t  1.243 s meaningles s 
t  3.28 s
vt   10
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
m 
m
v3.28 s   10   9.81 2  3.28 s 
s 
s 
m
v  22.2
s

VI. MOVIMIENTO DE VARIAS
PARTICULAS:
Sea
A y B dos partículas que seMovimiento
mueven en línea recta como serelativo
ve en la figura. Sus
posiciones respecto a O serán xA y xB. La posición relativa de B con respecto a A será.
xB A  xB  xA 
xB  x A  xB

La velocidad relativa d A con respecto a B será.

La aceleración relativa se expresa en la forma
vB A  vB  vA 
aB A  aB  aA 
vB  v A  vB
A
A
aB  a A  aB
A
Ejemplo 05

Desde una altura de 12 m, en el interior de un hueco de
un ascensor, se lanza una bola verticalmente hacia arriba
con una velocidad de 18 m/s. En ese mismo instante un
ascensor de plataforma abierta está a 5 m de altura
ascendiendo a una velocidad constante de 2 m/s.
Determine: (a) cuando y donde chocan la bola con el
ascensor, (b) La velocidad de la bola relativa al ascensor
en el momento del choque
SOLUCION:
• Remplazando la posición, velocidad inicial
y el valor de la aceleración de la bola en
las ecuaciones generales se tiene.
v B  v0  at  18
m 
m
  9.81 2 t
s 
s 
m
 m 
y B  y0  v0t  12 at 2  12 m  18 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
• La posición y la velocidad del ascensor será.
m
vE  2
s
 m
y E  y0  v E t  5 m   2 t
 s
• Escribiendo la ecuación para las posiciones
relativas de la bola con respect al elevador y
asumiendo que cuando chocan la posición
relativa es nula, se tiene.
yB
E


 12  18t  4.905t 2  5  2t   0
t  0.39 s
t  3.65 s
• Remplazando el tiempo para el impacto en la ecuación de la
posición del elevador y en la velocidad relativa de la bola con
respecto al ascensor se tiene
y E  5  23.65
v B E  18  9.81t   2
 16  9.813.65
y E  12.3 m
v B E  19.81
m
s
VI. MOVIMIENTO DE VARIAS
PARTICULAS:
Movimiento
 La posición de
una partícula puede depender de
la posición de otra u otras partículas.
dependiente

En la figura la posición de B depende de la
posición de A.

Debido a que la longitud del cable ACDEFG que
une ambos bloques es constante se tiene
xA  2 xB  cons tan te
vA  2vB  0
a A  2aB  0
Debido a que sólo una de las coordenadas
de posición xA o xB puede elegirse
arbitrariamente el sistema posee un grado de
libertad
VI. MOVIMIENTO DE VARIAS
 Aquí la posición de una partícula depende de dos
PARTICULAS:
Movimiento
posiciones más.
dependiente
En la figura la posición de

B depende de la
posición de A y de C

Debido a que la longitud del cable que une a los
bloques es constante se tiene
2 xA  2 xB  xC  ctte
dx A
dx B dxC
2
2

 0 or 2v A  2v B  vC  0
dt
dt
dt
dv A
dv B dvC
2
2

 0 or 2a A  2a B  aC  0
dt
dt
dt
Como solo es posible elegir dos de las
coordenadas, decimos que el sistema posee
DOS grados de libertad
Ejemplo 06

El collar A y el bloque B están
enlazados como se muestra en la figura
mediante una cuerda que pasa a través
de dos poleas C, D y E. Las poleas C y
E son fijas mientras que la polea D se
mueve hacia abajo con una velocidad
constante de 3 pul/s. Sabiendo que el
collar inicia su movimiento desde el
reposo cuando t = 0 y alcanza la
velocidad de 12 pulg/s cuando pasa por
L, Determine la variación de altura, la
velocidad y la aceleración del bloque B
cuando el collar pasa por L
Solución
Se analiza en primer lugar el movimiento de A.


El collar A tiene un MRUV, entonces se determina la
aceleración y el tiempo
v 2A  v A 02  2a A x A   x A 0 
2
 in. 
12   2a A 8 in.
 s 
aA  9
in.
s2
v A  v A 0  a At
in.
in.
12  9 2 t
s
s
t  1.333 s
Solución
• Como la polea tiene un MRU se calcula el
cambio de posición en el tiempo t.
x D   x D 0  v D t
 in. 
x D   x D 0   3 1.333 s   4 in.
 s 
• El movimiento del bloque B depende del
movimiento de collar y la polea. El
cambio de posición de B será
x A  2 x D  x B   x A 0  2 x D 0   x B 0
x A  x A 0  2xD   xD 0  xB   xB 0   0
8 in.  24 in.  x B   x B 0   0
x B   x B 0  16 in.
Solución
• Derivando la relación entre las posiciones
se obtiene las ecuaciones para la velocidad
y la aceleración
x A  2 xD  xB  constant
v A  2vD  vB  0
 in. 
 in. 
12

2


 3   vB  0
s 

 s 
vB  18 pu lg/ s
a A  2aD  aB  0
 in. 
 9 2   aB  0
 s 
in.
vB  18 
s
in.
aB  9 2
s
aB  9 pu lg/ s 2 